特殊数列恒等式的矩阵证明

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特殊数列恒等式的矩阵证明

作者：陈香兰

来源：《新课程·中学》2013年第09期

数列是中学数学中一个很重要的知识点，等比数列和等差数列是其中最基本的数列。在实际应用中，还存在着各种各样的无穷数列。其中有一种被称为斐波那契数（Fibonacci sequences），记作Fn，由于其本身的特色性，被很多数学家研究。美国数学会还出版了一种季刊——《斐波那契数》（《Fibonacci sequences》），专门刊登对这类数研究的论文。斐波

那契数是一种特殊的无穷数列：0，1，1，2，3，5，8，13，…也可以递推关系定义：

Fn+2=Fn+1+Fn

其中F0=0，F1=1。斐波那契数在现代物理、化学晶体结构、数学各个分支理论研究等方面应用广泛[2，5]。

卢卡斯数（Lucus sequences）Ln是另外一种无穷数列，可以表示为Ln+2=Ln+1+Ln

其中L0=2，L1=1。作为一种著名的数，卢卡斯数的性质被广泛地研究。比如，卢卡斯数中的平方数只有1和4，它还与很多数论方面的研究相关，尤其是在解偶次丢番图方程方面。关于卢卡斯数的一些性质可见[3，4]。斐波那契数和卢卡斯数关系密切，有着相同的递推关系，只是初始值不同，它们还有其他很多相似的性质。这两类数还满足不少恒等式，比如：

Fm+1Ln+FmLn-1=Fm+n （1）

我们可以把等式写成如下形式：

Ln=FkLn+1-k+Fk-1Ln-k （2）

其中k是整数，且满足0≤k≤n-1。即

Ln=F1Ln+F0Ln-1=F2Ln-1+F1Ln-2=…=Fn-1L2+Fn-2L1 （3）

矩阵也是高中数学中用得很多的一个概念。矩阵理论在大学数学中也是很重要的知识。矩阵在科学研究计算等各方面应用广泛。本文通过构造一类矩阵给出等式（1）的另外一种证明。

令A0是一个2×2阶的矩阵，表示为

A0=F1-F0Ln-1Ln