2017-2018学年人教A版必修一 集合与函数概念 单元质量检测

阶段质量检测（一）

(A 卷 学业水平达标)

(时间120分钟，满分150分)

一、选择题(本大题共10小题，每小题6分，共60分)

1．设全集U ＝{x ∈Z|－1≤x ≤5}，A ＝{1,2,5}，B ＝{x ∈N|－1

A ．{3}

B ．{0,3}

C ．{0,4}

D ．{0,3,4}

解析：选B ∵U ＝{－1,0,1,2,3,4,5}，B ＝{0,1,2,3}，

∴?U A ＝{－1,0,3,4}．

∴B ∩(?U A )＝{0,3}．

2．设集合A ＝{－1,3,5}，若f ：x →2x －1是集合A 到集合B 的映射，则集合B 可以是

( )

A ．{0,2,3}

B ．{1,2,3}

C ．{－3,5}

D ．{－3,5,9}

解析：选D 将A 中的元素－1代入得－3，A 中的元素3代入得5，A 中的元素5代入得9，故选D.

3．已知f (x )＝????? 2x 2＋3，x ∈(－6，－1)，1x ，x ∈[－1，1)，

x ，x ∈[1，6]，

则f (2)等于( ) A.22

B. 2 C ．7

D ．无法确定

解析：选B ∵1<2<6，

∴f (2)＝ 2. 4．若f (x )为R 上的奇函数，给出下列结论：①f (x )＋f (－x )＝0；②f (x )－f (－x )＝2f (x )；

③f (x )·f (－x )≤0；④f (x )f (－x )

＝－1.其中不正确的结论有( ) A ．1个

B ．2个

C ．3个

D ．0个

解析：选A 由奇函数的性质可知①②③正确，④错误，故选A.

5．已知函数f ????x －1x ＝x 2＋1x

2，则f (3)＝( ) A ．8

B ．9

C ．11

D ．10

解析：选C ∵f ????x －1x ＝???

?x －1x 2＋2， ∴f (3)＝9＋2＝11.

6．已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且满足f (x ＋2)＝－f (x )，则f (6)的值为( )

A ．－1

B ．0

C ．1

D ．2

解析：选B ∵f (x )是定义在R 上的奇函数，

∴f (0)＝0.又∵f (x ＋2)＝－f (x )，

∴f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )，f (x )是周期为4的奇函数，∴f (6)＝f (2)＝f (0＋2)＝－f (0)＝0.

7．函数y ＝f (x )与y ＝g (x )的图象如下图，则函数y ＝f (x )·g (x )的图象可能是( )

解析：选A 由于函数y ＝f (x )·g (x )的定义域是函数y ＝f (x )与y ＝g (x )的定义域的交集 (－∞，0)∪(0，＋∞)，所以函数图象在x ＝0处是断开的，故可以排除C ，D ；

由于当x 为很小的正数时，f (x )>0且g (x )<0，故f (x )·g (x )<0，可排除B ，故选A.

8．偶函数f (x )的定义域为R ，当x ∈[0，＋∞)时，f (x )是增函数，则不等式f (x )＞f (1)的解集是( )

A ．(1，＋∞)

B ．(－∞，1)

C ．(－1,1)

D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)

解析：选D 因为f (x )是偶函数，所以f (|x |)＝f (x )，所以f (x )＞f (1)可转化为f (|x |)＞f (1)，又因为x ∈[0，＋∞)时，f (x )是增函数，所以|x |＞1，即x ＜－1或x ＞1.

9．设奇函数f (x )在(0，＋∞)上为增函数，且f (1)＝0，则不等式f (x )－f (－x )x

<0的解集为( )

A ．(－1,0)∪(1，＋∞)

B ．(－∞，－1)∪(0,1)

C ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)

D ．(－1,0)∪(0,1)

解析：选D 由f (x )为奇函数可知，

f (x )－f (－x )x

＝2f (x )x <0. 而f (1)＝0，则f (－1)＝－f (1)＝0.

当x >0时，f (x )<0＝f (1)；

当x <0时，f (x )>0＝f (－1)．

又∵f (x )在(0，＋∞)上为增函数，

∴奇函数f (x )在(－∞，0)上为增函数．

所以0

10．设奇函数f (x )在[－1,1]上是增函数，且f (－1)＝－1，若对所有的x ∈[－1,1]及任意的a ∈[－1,1]都满足f (x )≤t 2－2at ＋1，则t 的取值范围是( )

A ．[－2,2]

B.???

?－12，12 C ．(－∞，－2]∪{0}∪[2，＋∞)

D.????－∞，－12∪{0}∪???

?12，＋∞ 解析：选C 由题意，得f (1)＝－f (－1)＝1.

又∵f (x )在[－1,1]上是增函数，

∴当x ∈[－1,1]时，有f (x )≤f (1)＝1.

∴t 2－2at ＋1≥1在a ∈[－1,1]时恒成立．

得t ≥2，或t ≤－2，或t ＝0.

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)

11．当A ，B 是非空集合，定义运算A －B ＝{x |x ∈A ，且x ?B }，若M ＝{x |y ＝1－x }，N ＝{y |y ＝x 2，－1≤x ≤1}，则M －N ＝________.

解析：集合M ：{x |x ≤1}，集合N ：{y |0≤y ≤1}，

∴M －N ＝{x |x ∈M 且x ?N }＝{x |x <0}．

答案：{x |x <0}

12．已知f (x )＝ax 3＋bx －4，其中a ，b 为常数，若f (－2)＝2，则f (2)＝________. 解析：设g (x )＝ax 3＋bx ，显然g (x )为奇函数，

则f (x )＝ax 3＋bx －4＝g (x )－4，

于是f (－2)＝g (－2)－4＝－g (2)－4＝2，

所以g (2)＝－6，

所以f (2)＝g (2)－4＝－6－4＝－10.

答案：－10

13．函数f (x )＝?????

2x －x 2，0≤x ≤3，x 2＋6x ，－2≤x ≤0的值域是________． 解析：设g (x )＝2x －x 2,0≤x ≤3，结合二次函数的单调性可知：g (x )min ＝g (3)＝－3，g (x )max ＝g (1)＝1；

同理，设h (x )＝x 2＋6x ，－2≤x ≤0，

则h (x )min ＝h (－2)＝－8，h (x )max ＝h (0)＝0.

所以f (x )max ＝g (1)＝1，f (x )min ＝h (－2)＝－8.

答案：[－8,1]

14．若函数f (x )是定义在R 上的偶函数，在(－∞，0]上是减函数，且f (2)＝0，则不等式f (x )<0的解集为________．

解析：因为f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (2)＝0，所以f (－2)＝0.

又因为f (x )在(－∞，0]上是减函数，故f (x )在[0，＋∞)上是增函数．

故满足f (x )<0的x 的取值范围应为(－2,2)，

即f (x )<0的解集为{x |－2

答案：{x |－2

三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．)

15．(10分)已知集合A ＝{x |2≤x ≤8}，B ＝{x |1＜x ＜6}，C ＝{x |x ＞a }，U ＝R.

(1)求A ∪B ，(?U A )∩B ；

(2)若A ∩C ≠?，求a 的取值范围．

解：(1)A ∪B ＝{x |2≤x ≤8}∪{x |1＜x ＜6}

＝{x |1＜x ≤8}．

∵?U A ＝{x |x ＜2或x ＞8}，

∴(?U A )∩B ＝{x |1＜x ＜2}．

(2)∵A ∩C ≠?，作图易知，只要a 在8的左边即可，

∴a ＜8.

∴a 的取值范围为(－∞，8)．

16．(12分)已知集合P ＝{x |－2≤x ≤10}，Q ＝{x |1－m ≤x ≤1＋m }．

(1)求集合?R P ；

(2)若P ?Q ，求实数m 的取值范围；

(3)若P ∩Q ＝Q ，求实数m 的取值范围．

解：(1)?R P ＝{x |x <－2或x >10}；

(2)由P ?Q ，需?????

1－m ≤－2，1＋m ≥10，得m ≥9，即实数m 的取值范围为[9，＋∞); (3)由P ∩Q ＝Q 得，Q ?P ，

①当1－m >1＋m ，即m <0时，Q ＝?，符合题意；

②当1－m ≤1＋m ，即m ≥0时，需????? m ≥0，1－m ≥－2，

1＋m ≤10，

得0≤m ≤3；

综上得：m ≤3，即实数m 的取值范围为(－∞，3]．

17．(12分)若f (x )是定义在(0，＋∞)上的增函数，且对一切x ，y >0，满足f ????x y ＝f (x )－

f (y )．

(1)求f (1)的值；

(2)若f (6)＝1，解不等式f (x ＋3)－f ????13<2.

解：(1)在f ????x y ＝f (x )－f (y )中，令x ＝y ＝1，

则有f (1)＝f (1)－f (1)，

∴f (1)＝0.

(2)∵f (6)＝1，

∴f (x ＋3)－f ????13<2＝f (6)＋f (6)，

∴f (3x ＋9)－f (6)

即f ????x ＋32

∵f (x )是定义在(0，＋∞)上的增函数，

∴????? x ＋3>0，x ＋32<6.

解得－3

18．(12分)已知奇函数f (x )＝????? －x 2＋2x ，x >0，0，x ＝0，

x 2＋mx ，x <0.

(1)求实数m 的值，并画出函数f (x )的图象；

(2)若函数f (x )在区间[－1，a －2]上是增函数，结合函数f (x )的图象，求实数a 的取值范

围；

(3)结合图象，求函数f (x )在区间[－2,2]上的最大值和最小值．

解：(1)当x <0时，－x >0，

则f (－x )＝－(－x )2＋2(－x )＝－x 2－2x .

又∵函数f (x )为奇函数，

∴f (－x )＝－f (x )．

∴f (x )＝－f (－x )＝－(－x 2－2x )＝x 2＋2x .

又∵当x <0时，f (x )＝x 2＋mx ，

∵对任意x <0，总有x 2＋2x ＝x 2＋mx ，∴m ＝2.

函数f (x )的图象如图所示．

(2)由(1)知f (x )＝????? －x 2＋2x ，x >0，0，x ＝0，

x 2＋2x ，x <0.

由图象可知，函数f (x )的图象在区间[－1,1]上的图象是“上升的”，

∴函数f (x )在区间[－1,1]上是增函数．

要使f (x )在[－1，a －2]上是增函数，

需有?????

a －2>－1，a －2≤1，解得1

(3)由图象可知，函数f (x )的图象在区间[－2,2]上的最高点是(1，f (1))，最低点是(－1，f (－1))．

又因为f (1)＝－1＋2＝1，f (－1)＝1－2＝－1，所以函数f (x )在区间[－2,2]上的最大值是1，最小值是－1.

19．(12分)已知函数f (x )＝x ＋m x

，且此函数的图象过点(1,5)． (1)求实数m 的值；

(2)判断f (x )的奇偶性；

(3)讨论函数f (x )在[2，＋∞)上的单调性，并证明你的结论．

解：(1)∵f (x )过点(1,5)，∴1＋m ＝5?m ＝4.

(2)对于f (x )＝x ＋4x ，∵x ≠0，