2016年专项练习题集-反证法

2016年专项练习题集-反证法

1、用反证法推出矛盾的过程中，下列可以作为条件使用的个数（ ） ① 原命题的条件； ② 与结论相反的判断； ③ 原结论； ④ 公理、定理、定义等 A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【分值】5 【答案】B

【考查方向】本题主要考查了反证法的含义及原理。 【易错点】可能会忽略了②。 【解题思路】根据反证法的原理判别。

【解析】根据反证法的原理易知. ①②④可以作为条件使用，故选B

2、如果在用反证法证明“数列{}n a 的各项均为正数”时，那么下列假设正确的是（ ）

A. 假设数列{}n a 的各项均小于0

B. 假设数列{}n a 的各项均小于等于0

C. 假设数列{}n a 中存在某一项小于0

D. 假设数列{}n a 中存在某一项小于等于0 【分值】5 【答案】D

【考查方向】本题主要考查了反证法假设，及语句的否定。 【易错点】全称量词的否定。

【解题思路】明确反证法的假设，对全称量词命题的否定。

【解析】反设时“均”的否定是“存在”.，正数的否定是小于等于0，故选D

3、,,(,0)a b c ∈-∞，且互不相等，那么111

,,a b c b c a

+

++三个数中（ ） A. 至少有一个不小于2- B. 最多有一个不小于2-

C. 最多有两个不小于2-

D. 都不小于2- 【分值】5 【答案】C

【考查方向】本题主要考查了反证法的应用，均值不等式。 【易错点】对“至少、最多、不小于”短语的理解和把握。 【解题思路】首先对三个数相加，再用反证法思维判别选项的正误。 【解析】,,(,0)a b c ∈-∞，则111

2,2,2a b c a b c

+

≤-+≤-+≤- 111

6a b c b c a

+++++≤-

,,a b c 互不相等，111

6a b c b c a

+++++<-

所以111

,,a b c b c a +++三个数不可能同时大于等于（不小于）2-，

否则111

6a b c b c a

+++++≥-

所以最多有两个不小于2-，故选C

4、已知两个矩形形ABCD 和DCEF 不在同一平面内，M ，N 分别为AB ，DF 的中点，如图所示，那么直线ME 与BN 的位置关系是（ ） A. 相交 B. 平行 C. 异面 D. 相交或异面 【分值】5 【答案】C

【考查方向】本题主要考查了空间直线的位置关系判断和反证法思想的应用。

【易错点】由于两个矩形的还有一条边长不确定，在变化过程中认为有可能相交，会选择D 。

【解题思路】先排除B ，再假设它们相交，得出矛盾。 【解析】假设直线ME 与BN 相交

则AB ?平面MBEN ，那么直线AB 与EN 共面 由已知，两矩形不共面，故AB ?平面DCEF 。 又AB //CD ，CD //EF ,则AB //EF ， 所以AB 和EN 只能相交，设交点为P

那么,P EN EN CDEF ∈?平面，则P CDEF ∈平面 那么,P AB AB ABCD ∈?平面，则P ABCD ∈平面 因此P CD ∈，即P 是直线AB 和CD 的公共点

这和AB//CD 矛盾，所以假设不成立，即直线ME 与BN 不相交，所以ME 与BN 只能异面，故选

C

5、已知双曲线的中心在原点，以坐标轴为对称轴，离心率为

2

，且双曲线上动点P 到点A （2，0）的最近距离为1，满足条件的双曲线的焦点位置（ ）

A. 不可能在y 轴上

B. 不可能在x 轴上

C. 可能在x 轴上也有可能在y 轴上

D. 可能在y 轴上 【分值】5 【答案】A

【考查方向】本题主要考查了双曲线的基本性质，同时综合考查了用反证法的思想的应用。

【易错点】没有利用点A 到渐近线的距离大小。

【解题思路】利用离心率得到,,a b c 的关系，假设焦点位置，求出渐近线，通过考察点A 到渐近线的距离大小进行判断。

【解析】.设双曲线的实半轴长为a ，虚半轴长为b ，半焦距为c ，

则由c a =222

54a b a +=，所以，

12b a =． 假设存在满足条件且焦点在y 轴上的双曲线，则其渐近线方程为2y x =±．

点A （2，0）到渐近线的距离为1

d =

>．

所以双曲线上动点到点A 的距离都超过1．

所以，不存在满足条件且焦点在y 轴上的双曲线，故选A

6、命题：已知数列{}n a 满足：1a λ=，12

43

n n a a n +=+-，其中λ为实数，n 为正整数，则对任意实数λ，数列{}n a 不是等比数列。 判断命题的真假_________（填真命题或假命题） 【分值】3 【答案】真命题

【考查方向】本题主要考查了反证法应用，及全称量词的否定形式。 【易错点】没有反设结论。

【解题思路】假设原命题不成立，举一反例，说明假设不成立。

【解析】假设存在一个实数λ，使{}n a 是等比数列，则有2

213a a a =，即

224(3)(4)39λλλ-=-，得2244

49499λλλλ-+=-，即90=矛盾， 所以{}n a 不是等比数列，因此原命题为真命题。

7、若x 、y 、z 均为实数，且2

π22a x y =-+

，2π23b y z =-+，2

π26

c z x =-+，则a 、b 、c 中_________________大于零。

【分值】3

【答案】至少有一个

【考查方向】本题主要考查了反证法应用，同时考察了观察能力与分析能力。 【易错点】没有将a 、b 、c 相加。

【解题思路】先将a 、b 、c 相加，配方后发现大于0，在利用反证法的思想容易得出答案。

【解析】2

π22a b c x y ++=-+

+2π23y z -+2π26

z x +-+ 222(1)(1)(1)30x y z π=-+-+-+->

所以a 、b 、c 中至少有一个大于0

假设a 、b 、c 都不大于0，即a ≤0，b ≤0，c ≤0，则0a b c ++≤ 这与0a b c ++>矛盾。

8、如图，在锐角的二面角l αβ--中，O l ∈，,A B α∈，且AOB ∠为直角，''A OB ∠是

AOB ∠在β内的射影，则下列正确的序号是_________

①''A OB ∠为直角；②''A OB AOB ∠>∠； ③'AOB BOB π∠+∠<； ④''B OB BOA AOA π∠+∠+∠≥

【分值】3 【答案】②③

【考查方向】本题主要综合考查了线线角，线面角和面面角之间的关系，同时考察了判别能力与分析能力。

【易错点】没有作出二面角l αβ--的平面角，不熟悉直线与平面所成的角是直线与平面内所有直线所成角中最小的。

【解题思路】本题主要比较两种角的大小，第一判别'AOl A Ol ∠>∠

的大小，第二判别

'AOl AOA ∠>∠的大小。

【解析】'B C l ⊥于C ，连BC

因为'BB β⊥,则BC l ⊥，那么'B CB ∠就是二面角

l αβ--的平面角且为锐角，

在'RT BCB ?中，'90B BC ∠=

，所以'B C BC <

在,'RT BCO RT B CO ??中，有公共直角边CO 所以'BOC B OC ∠>∠, 同理'AOD A OD ∠>∠

又AOB ∠为直角，所以''90A OB ∠>

A

O

B

'

A '

B α

l

β

O

B

C

所以①错误，②正确

','AOA BOB ∠∠是直线,OA OB 与平面β所成的角，

所以','AOA AOl BOB BOl ∠<∠∠<∠ 假设④正确，即''B OB BOA AOA π∠+∠+∠≥

那么''AOl AOB BOl AOA AOB BOB π∠+∠+∠>∠+∠+∠≥ 这和AOl AOB BOl π∠+∠+∠=矛盾

那么''B OB BOA AOA π∠+∠+∠<,这样③必定正确。

9、已知二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠，[1,1]x ∈-且|()|1f x ≤，试问是否存在实数

,,a b c ，使得|(2)|8f >。

【分值】12 【答案】答案见解析

【考查方向】本题主要考查了反证法的应用，绝对值不等式性质的综合应用。 【易错点】没有抓住三个特殊的函数值反解,,a b c 。 【解题思路】先假设结论不正确，根据

(0)f ，(1)f ，(1)f -三个函数值表示,,a b c ，

再代入|(2)|f ，利用绝对值不等式得出矛盾。

【解析】假设存在实数,,a b c ，使得|()|1f x ≤，同时|

(2)|8f >，

(0)f c =，(1)f a b c =++，(1)f a b c -=-+

由题意，|(0)|1,|(1)|1,|(1)|1f f f ≤≤-≤，所以

|(2)||42||3(1)(1)3(0)|

3|(1)||(1)|3|(0)|7.

f a b c f f f f f f =++=+--≤+-+≤

这与|(2)|8f >矛盾。所以不存在实数,,a b c ，使得|(2)|8f >。

10、已知}{n a 是各项为正数的等比数列，n S 是其前n 项和。证明：不存在实数0c >，使

{lg()}n S c -是等差数列。

【分值】12 【答案】答案见解析

【考查方向】本题主要考查了反证法的应用，绝对值不等式性质的综合应用。 【易错点】没有抓住三个特殊的函数值反解,,a b c 。 【解题思路】先假设结论不正确，根据

(0)f ，(1)f ，(1)f -三个函数值表示,,a b c ，

再代入|(2)|f ，利用绝对值不等式得出矛盾。

【解析】假设存在常数存在实数0c >，使{lg()}n S c -是等差数列， 即21lg()lg()2lg()n n n S c S c S c ++-+-=-， 则有122

210,0,0

(1)()()()

(2)

n n n n n n S c S c S c S c S c S c ++++->->->???

--=-??

由（2）式得2

2121(2)

(3)n n n n n n S S S c S S S ++++?-=+-

①1=q 时，,1na S n =.0)1()2(2

121211212<-=+-+?=-?++a a n a n na S S S n n n

②1≠q 时，1(1)

1n n a q S q

-=-，

.0)1()1()1()1)(1(212

2112212

12<-=------=-?++++n n n n n n n q a q q a q q q a S S S

由①和②得2

12++

又根据平均值不等式知

2112()()2()n n n n S S S S c S c S c ++++-=-+---

12()0.n S c +≥-=

因为0c >，故（这样得出矛盾，所以假设不成立。

故不存在实数0c >，使{lg()}n S c -是等差数列。