2015年马鞍山市第二中学创新人才实验班招生考试数学试题答案及评分标准

2015年马鞍山市第二中学创新人才实验班招生考试

数学试题答案及评分标准

一、

三、解答题：本大题共5小题，共60分． 17．（本题满分12分）

解：因为方程有两个不相等的实数根，所以

224(2)4(3+34m 40,m m m ?=---=-+>） 则1m < .

又因为1m ≥- ，所以11.m -≤< …………………………………………2分

（1） 因为222

22

2

1212

1

2

(x x

)24(2)2(3

3)2m 10m

x x x x m m m

+=+-=---+=-+ 所以22m 10m 106,-+= 即2520.m m -+=解得,m =

由于11.m -≤<故,m =

…………………………………………6分

（2）222222

12122112121212121212[(1)(1)][()]11(1)(1)1

mx mx m x x x x m x x x x x x x x x x x x x x -+-+-++==

------+ 223222

[21010+m 3m+32m 4)](2882)

m 3m+32m 4)1m m m m m m m m m -+---+-=--+-（）（）(（）+( 22213+1)

2(31).(1)

m m m m m m m m --=-+-（)( ………………………………10分

设2

2

35

2(31)2(),112

2

y m m m m =-+=--

-≤< 因为y 在11m -≤<上是递减的，

所以，当1m =- 时，10.y =最大值 ……………………………………12分

18．（本题满分12分）

解一：延长BA 、EC ，设交点为O ，则四边形OADC 为平行四边形．………………2分 ∵ F 是AC 的中点，∴ DF 的延长线必过O 点，且3

1

=OG DG ． ∵ AB ∥CD ，∴

DN AN

PN MN =． ∵ AD ∥CE ，∴ DN

CQ

PN PQ =． ∴ +PN MN =PN PQ DN AN DN

CQ +＝DN CQ AN +． (7)

分 又 =OQ DN 31

=OG DG ， ∴ OQ ＝3DN ．

∴ CQ ＝OQ －OC ＝3DN －OC ＝3DN －AD ，AN ＝AD －DN ， 于是，AN ＋CQ ＝2DN ， ∴

+PN MN =PN

PQ DN CQ

AN +＝2.…………………………………12分

解二：过点F 作直线FK 平行于AB ，交直线MQ 于点K . ∵ AB ∥CD ，∴

MN AM PN PD = ∵ AD ∥CE ，∴ PQ CP

PN PD =

∴ +PN MN =PN

PQ AM PD CP PD +＝AM CP DP +．……7分 ∵ F 为AC 中点，//FK AB ∴2PC AM FK +=

∵ G 为FD 中点, ∴FGK DPG ??? ∴ PD FK = ∴2PC AM PD += ∴

+PN MN =PN

PQ 2AM CP

DP +=…………………………………12分 （推理过程不充分，仅仅得出结果给2分，其它解法相应给分．）

19．（本题满分12分）

解：⑴由题意，a ＋b ＋c ＝2， ∵a ＝1，∴b ＋c ＝1 …………………………1分 抛物线顶点为A （－b 2，c －b 24

）

设B （x 1，0），C （x 2，0），∵x 1＋x 2＝－b ，x 1x 2＝c ，△＝b 2－4c ＞0

∴|BC|＝| x 1－x 2|＝| x 1－x 2|2＝（x 1＋x 2）2－4 x 1x 2＝b 2－4c

∵△ABC 为等腰直角三角形，∴b 2

4 －c ＝12b 2－4c ……………………4分

即b 2－4c ＝2b 2－4c ，∵b 2－4c ＞0，∴b 2－4c ＝2 ∵c ＝1－b ， ∴b 2＋4b －8＝0， b ＝－2±

所求b 值为－2± ……………………………………6分 ⑵∵a ≥b ≥c ，若a ＜0，则b ＜0，c ＜0，a ＋b ＋c ＜0，与a ＋b ＋c ＝2矛盾.

B

A

C M

N

P E F Q D

G O

∴a ＞0． …………………………7分 ∵b ＋c ＝2－a ，bc ＝4

a

∴b 、c 是一元二次方程x 2－(2－a )x ＋4

a ＝0的两实根．

∴△＝（2－a ）2－4×4

a

≥0，

∴a 3－4a 2＋4a －16≥0, 即（a 2＋4）(a －4)≥0，故a ≥4. ……………………9分 ∵abc ＞0，∴a 、b 、c 为全大于０或一正二负．

①若a 、b 、c 均大于０，∵a ≥4，与a ＋b ＋c ＝2矛盾； ……………………10分 ②若a 、b 、c 为一正二负，则a ＞0，b ＜0，c ＜0,

则|a |＋|b |＋|c |＝a －b －c ＝a －(2－a )＝2a －2， …………………………11分 ∵ a ≥4，故2a －2≥6

当a ＝4，b ＝c ＝－1时，满足题设条件且使不等式等号成立．

故|a |＋|b |＋|c |的最小值为6． …………………………12分

20．（本小题满分12分）

解：（1）由60BAC ?

∠= 知2120BOC BAC ?

∠=∠=.

因为360(9090)120BHC DHE BAC ????∠=∠=-++∠=，

所以BOC BHC ∠=∠. …………………………4分 （2）由BOC BHC ∠=∠得B C H O 、、、四点共圆，所以OBM OCH ∠=∠.

又因为BM CH OB OC ==，，故BOM COH ???. ……………………8分 （3）由（2）得O H O M =，且C O H B O M ∠=∠，从而O H M O M H ∠=∠，

120MOH BOC ?∠=∠=,1

(180120)302

OHM ???∠=

-=. 在OMH ?中，作OP MH ⊥，P 为垂足，则1

2

OP OH =，

由勾股定理，得22222

11()()22

MH OH OP OH

OH =-=-.

所以MH

OH

= …………………………12分 （其它解法相应给分．）

（第20题图）

21．（本小题满分12分）

解：因为122015n a a a = ，所以12n a a a ，，，均为奇数，由12+++2015n a a a = 为奇数，知n 为奇数（否则，偶数个奇数的和应为偶数，矛盾）. ………………………4分 若3n =，则1231232015a a a a a a =++=. 不妨设123a a a ≥≥，则123120152

671333

a a a a ++≥

==

又因为201551331=??，所以12015a =

则23231,0a a a a =+=，矛盾. …………………………8分

当5n =时，存在11112015--、

、、、满足1251252015a a a a a a =+++= . 故n 的最小值为5. ……………………………１２分

（若只列出5n =时的情况，没有说明具体理由给4分.）