数学应用性问题

数学应用性问题专练

【考点梳理】

一、数学应用题

所谓数学应用题是指利用数学知识解决一些非数学领域中的问题。

数学的高度抽象性决定了数学应用的广泛性，因而应用题的非数学背景是多种多样的，解应用题往往需要在陌生的情景中去理解、分析给出的有关问题，并舍弃与数学无关的非本质因素，通过抽象转化相应的数学问题。

二、考试要求

1．高考对应用题的考查已逐步走向成熟，大体上是3道左右的小题，一道大题，小题除了考查一些基本知识与能力外，近年的小题开始注意到问题及方法的新颖性，出现了非常规问题，提高了适应陌生情境的能力要求，大题的难度逐步趋向平稳。

2．能力要求

能阅读、理解对问题进行陈述的材料，能综合应用所学数学知识、思想和方法解决问题，包括解决在相关学科、生产、生活中的数学问题，并能用数学语言正确地加以表述。

三、思想方法

1．解应用题的一般思路

解应用题，首先要在阅读材料、理解题意的基础上，把实际问题抽象成数学问题，就是从实际问题出发，经过去粗取精、抽象概括、利用数学知识建立相应的数学模型。再利用数学知识对数学模型进行分析、研究，得到数学结论，然后再把数学结论返回到实际问题中去，其一般思路可表示如下：

2．解应用题的一般程序

（1）读：阅读理解文字表达的题意，分清条件和结论，理顺数量关系。应用题文字表达是必不可少的，疏通文字、阅读理解题意是入门的第一关。

（2）建：将文字语言转化成数学语言，利用数学知识，建立相应的数学模型。解应用题的根本是“建模”，熟悉基本数学模型，正确简便地建立数学模型是关键的一关。

（3）解：求解数学模型，得到数学结论。解数学模型应注意两点：第一，充分注意到这个数学问题中元素的实际意义。第二，注意巧思妙作，简化过程。不要将实际问题的数学模型解决与繁琐的过

程划上等号。

（4）答：将数学方法得到的结论，还原为实际问题的意义。 四、中学数学中常见的基本问题与数学模型

1．优选问题。实际中的“优选问题”，常需建立“不等式模型”来解决。 2．预测问题。经济计划、市场预测这类问题，通常设计为“数列模型”来解决。

3．最值（极值）问题。工业建设、工农产业、建筑设计及实际生活中的极限问题通常需设计成“函数模型”，转化为求函数的极值。

4．等量关系问题。涉及等量关系问题，通常建立“方程（或方程组）模型”来解决。

5．测量问题。测量问题一般可设计成“图形模型”（包括三角形、空间图形、坐标系等）来解决。

【例题解析】

例1 某宾馆有相同标准的床位100张，根据经验，当宾馆的床价（即每张每天的租金）不超过10元时，床位可以全部租出；当床价高于10元时，每提高1元，将有3张床位空闲。

为了获得较好的效益，该宾馆要给床位定一个合适的价格，条件是：（1）要方便结帐，床价应为1元的正整数倍；（2）该宾馆每日的费用支出为575元，床位出租的收入必须高于支出。

若用x 表示床价，用y 表示该宾馆一天出租床位的净收入（即除去每日的费用支出后的收入）： （1）把y 表示成x 的函数，并求出其定义域；

（2）试确定，该宾馆将床价定为多少元时，既符合上面的两个条件，又能使净收入最多？ 解 （1）由题意知，x ≤10时，床位全部租出，故 y=100x －575， 当x>10时，每增加1元有3张床位空闲。所以 y=[100－3×(x －10)]x －575 又由题意知，y 必须大于0，

∴

???>-+->-0575130305751002x x x 解之得：5.75

121301302?-+

又∵x ∈N ∴6≤x ≤38 综上所述：其函数的表达式是

y=?

??≤<-+-≤≤-381057513031065751002x x x x x

其函数的定义域是{6，7，8，9，…，38}。

（2）对于y=100x －575(6≤x ≤10,x ∈N)，显然当x=10时，y max =425(元)；

对于y= －3x 2+130x －575

= －3(x －365)2+32500

（10

有当x=22时， y max =833(元)。

故床位定价于22元时，净收入最多。

注 本题是一个典型的利用目标函数求最优化问题的实际应用性问题。在求函数定义域时，注意“租床位的租金收入必须高于支出”这一句话，从而得出定义域是6≤x ≤38，x ∈N ，防止出现定义域是(0,+∞)的错误。故应认真阅读，仔细推敲题中的每一句话。正确领悟“陌生名词”，把握数学语言，挖掘其隐含条件。

例2 某工厂有工人214名，现要生产1500件产品，每件产品由3个A 型零件和1个B 型零件配套组成，每个工人加工5个A 型零件与加工3个B 型零件所需的时间相同。现将工人分成两组，分别加工一种零件，同时开始加工。设加工A 型零件的工人有x 人，在单位时间里每一个工人加工A 型零件5k 件，加工完A 型零件所需时间为g(x)，加工完B 型零件所需时间为h(x)。

（1）比较g(x)与h(x)的大小，并写出完成总任务的时间f(x)的解析式； （2）应怎样分组，才能使完成任务时最少？

解 由题设，每个工人在单位时间内加工5k 个A 零件，所以x 个工人在单位时间内加工5k ·x

个A 零件。总共需要1500×3个A 型零件，所以,g(x)=kx 531500?=kx 900。

单位时间内加工B 型零件的个数为3k 个，所以 h(x)= )214(500

)214(31500x k x k -=

-?。

（1）g(x)－h(x)= kx 900

－)214(500x k -=)214(31500x k -? ∵1≤x<214,x ∈N ，

所以：(i)当1≤x ≤137时，g(x)>h(x) (ii)当138≤x ≤213时，g(x)

即当x ≤137时，加工A 型这一组所用的时间多；当x ≥138时，加工B 型这一组所用的时间多。要完成任务必须使两组全完成才能完成任务，故完成总任务时间是：

f(x)=???????∈≤≤-∈≤≤N x x x k N x x kx ,213138)214(500,1371900

（2）要使任务完成最快，|g(x)－h(x)|应最小，令g(x)－h(x)=0，得x=13774

。

∵x ∈N ，∴需比较x=137和138时，|g(x)－h(x)|的大小。

经比较，加工A 型零件有137人，加工B 型零件有77人时，完成任务的用时最少。 另外可以这样考虑，要使任务完成最快，即求函数f(x)的最小值。 当1≤x ≤137，x ∈N 时

f(x)= kx 900

，显然x=137时，f(x)最小。 故f(x) ≥k 137900

(1≤x ≤137,x ∈N)。

当138≤x ≤213时

f(x)= )214(500

x k ，显然x=138时，f(x)最小。 故 f(x) ≥k 19125

。 而k 19125－ k 137900=k 260325

>0

故得当加工A 型零件137人，加工B 型零件77人时，完成总任务的用时最少。

例3 一艘太空飞船飞往地球。第一次观测时发现一个正三角形的岛屿（我们记其边为1）；第二次观测时，发现它并非正三角形，而是每边中央1/3处向外有一正三角形半岛，形成正六角形；第三次观测时，发现原先每一小边的中央1/3处都有一向外突出的半岛（正三角形，如图），……，把这个过程无限继续下去，就得到著名的数学模型——柯克岛。

（1）把第k 次观测到的岛的面积记为a k ,{a k }有无极限？如果有，我们把这个极限叫岛的面积，则

柯克岛的面积是多少？

（2）把第k 次观测到的岛的海岸线长记为b k ,求{b k }的通项公式，{b k }有无极限？如果有，则把此极限当作柯克岛的海岸线长，它是多少？

（3）以上结果能说明什么问题？

解 （1）记c k 为第k 次观测时的边数，c 1=3，由于每一边中央突起一个三角形，即每一边变为4条边，故c k+1=4c k ,从而第k 次观测时，柯克岛的边数是c k =3×4k －

1,(k ∈N)。

又设第k 次观测时每边边长为d k ，则

d k+1=31d k

∴{d k }成等比数列，公比q=31

，d 1=1。 ∴d k =(31)k －

1

故a k+1=a k +43

·(31d k )2×3×4k －

1

=a k +43

·231×(91)k －1×3×4k －

1 =a k +123

·(94)k －

1

所以，a n =(a n －a n －1)+(a n －1－a n －2)+…+(a 2－a 1)+a 1

=941])9

4(1[1231--?-n +43

=2033[1－(94)n －

1+ 43

所以a n 的极限存在，且∞→n lim

a n =5

2

3

（2）由（1）可知 b k =c k ·d k

=3×4k －1×(31)k －

1

所以{b k }为等比数列，且公比q=34

>1。

故b n →+∞，极限不存在。

（3）以上结果说明了一个面积有限的平面区域的周界长度可以是无限的。

例4 一电视台某天有n 次插播广告时间，一共播了m 条广告，第一次播了一条以及余下的(m －1)条的1/8，第二次播了2条以及余下的1/8，以后每次按此规律插播广告，在最后一次即第n 次插播了余下的最后几条广告(n>1)。问这天有几次播广告时刻？并求广告的条数m 。

解 设播送k 次广告之后，还剩下a k 条广告未播，则第k 次播出的广告条数为：

k+81(a k －1－k)=81a k －1+87k 所以，a k =a k －1－81

(a k －1+7k)

=87a k －1－87k

∴a k －1=k+78

a k

由此递推式得：

m=1+78a 1=1+78(2+78a 2) =1+2×78+(78

)2·a 2

=1+2×78+(78)2·(3+78

a 3) =1+2×78+3×(78)2+(78

)3a 3

=…

=1+2×78+3×(78)2+……n ×(78)n －

1+(78

)n a n

由a k 的定义知，a n =0，则

m=1+2×78+3×（78）2+…+n ×(78

)n －1

∴78m=78+2×(78)2+3×(78)3+…+n ×(78)n

以上两式相减得：

－71m=1+78+(78)3+…+(78)n －

1－n ·(78

)n

=1781)78

(--n －n ×(78)n

∴m=49+(n －7)·1

78-n n

对于n>1，显然有 |n －7|<7n －

1

又（8n ,7n －

1）=1,m ∈N 。

∴(n －7)·1

78-n n

∈N,所以n －7=0，

即n=7，此时m=49。

答：有7次插播广告时刻，共播了49条广告。

例5 用一张半径为R 的圆形铁皮，做一个圆锥形的无盖容器，试问怎样下料做成的容器最大？ 解 由于圆锥的侧面展开图是扇形，所以“怎样下料”意求其侧面展开扇形的中心角θ，设圆锥

的底面半径为r ，高为h ，所需扇形的中心角为θ，则

2πr=θ·R ?r=πθ2R

∴h=2

2r R -=

22)

2(

πθR R -=π2R ·224θπ-

故V 2=（2

3

24πR ）2·θ4·（4π2－θ2） =21

·（2

324πR ）2·θ2·θ2·（8π2－2θ2） ≤21

（2

324πR ）2·[3)28(2222θπθθ-++]3

当θ2=8π2－2θ2，即θ=36

2π时，V 2取得最大值，此时容积最大。

所以，从半径为R 的圆形铁皮剪下中心角θ=36

2π的扇形，用此扇形卷成的圆锥容积最大。

注 （1）将实际问题转化为函数求极值，在求极值时，常用不等式来解，这是应用问题中常见的一个数学模型。

（2）本题可改编为：如果要求的容积V 一定，那么怎样下料使容器的侧面积最小？

设锥形容器的底面半径为r ，高为h ，则有 V=31πr 2h ?r 2=h V

π3

又侧面积S=πr ·2

2

h r + 所以 S 2=π2·r 2（r 2+h 2）

将r 2=h V

π3代入上式得：

S 2=π2×h V π3·（h V

π3+h 2）=2

29h V +3V πh =2

29h V +23h V π+23h

V π

≥3

3

2

223239h

V h V h V ππ?? =29V

·3

26V π

当2

29h V =23h V π，即h=3

6πV 时，S 2取得最小值，此时：

θ=R r π2=R

π2h V π3

=R 1

·6

24288

V π。 例6 B 、C 是我军的两个前线观察哨所，A 是我军的炮兵阵地，A 位于B 的正东，相距6公里，C 位于B 的北偏西30°，相距4公里。某天凌晨4点15分21秒，A 发现某一信号，紧接着B 、C 哨所通知A 也发现了这一信号，时刻是4点15分28秒。经核实此信号发自敌人一观察前哨所，指挥部

命令A 打掉它，已知该信号的传播速度为74

公里每秒。

（1）计算A 炮击目标的射程，以及炮击的方位角；

（2）某炮弹的初速度为33

20g ，计算A 准确射击的仰角（不计空气阻力）。

解 （1）以BA 所在直线为x 轴，BA 的中点为原点，建立如图所示的坐标系，则A(3,0),B(－3,0),C(－5,23)。又设敌人哨所在P 点，则

由题设??

?=-=4||||||||PA PB PB PC ②①

由①知P 在BC 的垂直平分线l 上，l 的方程为：

y=33

(x+7) ③

由②知，P 又在以B 、A 为焦点，原点为中心，焦点在x 轴上的双曲线的右支上，半焦距为3，实轴为4，则双曲线的方程是：

42x －52

y =1 (x>0) ④

由???????>=-+=)0(154)7(332

2

x y x x y

解之得：P(8,53)。

∵tan ∠xAP=k AP =380

35--=3

∴PA 的倾斜角为60°，即方位角为东偏北60°， 射程|AP|=2

2

)035()38(-+-=10(km)。

（2）以AP 为x 轴，A 点为原点，垂直于水平面的直线为y 轴，建立如图11－2所示的直角坐标系。

设仰角为θ，则炮弹的轨迹方程为

?

???

???-==221sin 3320cos 3320gt gt y gt x θθ

消去参数t ，得：

y=θ2

cos 403-x 2+θθcos sin x

∵P （10，0）在抛物线上，

∴θ2

cos 401003?-+θθ

cos sin ×10=0

解之得：θ=30°或60°。

∴A炮准确射击的仰角为30°或60°。

注（1）由|PB|－|PA|=4，|PB|=|PC|，故P既在双曲线的一支上，又在一线段的中垂线上，故P 是两曲线的交点。将实际问题转化为解析几何中曲线求交点的数学模型。

（2）用解析法解应用题，关键是建立恰当的坐标系，与常用的曲线联系起来，转化为求曲线方程和曲线性质的讨论，从而建立恰当的数学模型。

例7 《中华人民共和国个人所得税法》第十四条中有下表：

个人所得税表——（工资、薪金所得适用）

目前，上表中“全月应纳税所得额”是从月工资、薪金收入中减除1000元后的余额。例如某人工资、薪金收入1220元，减除1000元，应纳税所得额就是220元，应缴纳个人所得税11元。

（1）请写出月工资、薪金的个人所得税y关于收入额x（0

（2）一公司职员某月缴纳个人所得税265元，问他该月工资、薪金的收入是多少？

（3）一国家公务员全年税金285元，其中从10月份起每月增加工资、薪金200元。问他现在每月工资多少元？

解（1）①当0

②当1000

③当1500

④当2000

⑤当6000

即：

y=?

?

?

?

??

?

?

?

≤

<

-

≤

<

-

≤

<

-

≤

<

-

≤

<

8000

6000

575

2.0

6000

3000

275

15

.0

3000

1500

125

1.0

1500

1000

50

05

.0

1000

x

x

x

x

x

x

x

x

x

其图像如下：

（2）由函数表达式知，当y=265时，

3000

265=0.15x－275，得x=3600（元）。

（3）公务员全年税金285元，加薪前后的工资应在1000至3000中。

如果加薪前工资、薪金大于1500元，则全年税金应不小于：(25×12+600×15%)=390元，故加薪前工资、薪金收入应为1500元内。

如果加薪后工资收入仍为1500元以内，则他全年所交税金不大于：

300×5%×12+200×5%×3=210元

所以加薪后的工资应在1500元至3000元中。设他现在的月工资为x，

所以：

[0.05(x－200)－50]×9+(0.1x－125)×3=285

得x=1600（元）

∴该公务员现在的每月的工资、薪金为1600元。

注纳税、银行利率等与一次分段函数有关，故常建立一次函数的数学模型。对于第二、三小题先搞清工资应在哪一段，然后列方程解等量问题。

例8 从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业。根据规划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上年减少1/5。本年度当地旅游业收入估计为400万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增加1/4。

（1）设n年内（本年度为第一年）总投入为a n万元，旅游业总收入为b n元。写出a n、b n。

（2）至少经过几年，旅游业的总收入才能超过总投入？ 解 （1）第一年投入为800万元，

第二年投入为800×(1－51

)万元，……， 第n 年投入为800×(1－51)n －

1万元。

所以，n 年内的总投入为：

a n =800+800×(1－51)+…+800×(1－51)n －

1=4000×[(1－54

)n ]。

第一年旅游业收入为400万元，

第二年旅游业收入为400×（1+41

）万元，……， 第n 年旅游业收入为400×（1+41

）n －

1万元。

所以，n 年内的旅游业总收入为：

b n =400+400×(1+41)+…+400×(1+41)n －

1=1600×[(45

)n －1]。

(2)设至少经过n 年旅游业的总收入才能超过总投入，由b n －a n >0，即

1600×[(45)n －1]－4000×[1－（54

）n ]>0 化简得:5×(54)n +2×(45

)n －7>0 设x=(54

)n ，代入上式得5x 2－7x+2>0 解此不等式，得x<52

,或x>1（舍去） 即(54)n <52

，n ≥5

答：至少经过5年旅游业的总收入才能超过总投入。

注 本题是2001年全国高考试题。从第一年、第二年逐年计算然后推出一般规律是解数列问题的重要方法之一，尤其注意的是首项、末项与项数。

例9 某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从2月1日起的300天内，西红柿市场售价与上市时间的关系用左图的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用右图的抛物线段表示。

（1）写出左图表示的市场售价与时间的函数关系P=f(t)；写出右图表示的种植成本与时间的函数关系式Q=g(t)。

（2）认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿纯收益最大（2000年全国高考数学试题）？

解 （1）当0≤t ≤200时，f(t)=300－t ，当200

f(x)=??

?≤<-≤≤-300200,30022000,300t t t t

对于右图中的抛物线，因为顶点为(150,100)，且过点(50,150)，故可设 g(t)=a ·(t －150)2+100， ∴150=a ：1002+100

∴a=2001即

g(t)= 2001

(t －150)2+100,0≤t ≤300

（2）设t 天的纯收入为h(t)，则由题意得： h(t)=f(t)－g(t)，即

h(t)= ??????

?≤<-+-≤≤++-300200,210252720012000217521200122t t t t t t

当0≤t ≤200时，配方整理得

h(t)= －2001

(t －50)2+100

所以，当t=50时，h(t)取得区间[0，200]上的最大值100。 当200

h(t)= －2001

(t －350)2+100

所以t=300时，h(x)取得区间（200，300]上的最大值87.5。

综上，由100>87.5可知，h(t)在定义区间上可以取得最大值100，此时t=50，即从2月1日开始的第50天时，上市西红柿纯收益最大，其最大值是100。

例10 如图为一台冷轧机的示意图，冷轧机由若干对轧辊组成，带钢从一端输入，经过各对轧辊逐步减薄后输出。

（1）输入带钢的厚度为α，输出带钢的厚度为β，若每对轧辊的减薄率不超过r 0,问冷轧机至少需要安装多少对轧棍？

（一对轧棍减薄率=输入该对的带钢厚度从该对输出的带钢厚度

输入该对的带钢厚度-）

（2）已知一台冷轧机共有4对减薄率为20%的轧辊，所有轧辊周长均为1600mm 。若第k 对轧辊有缺陷，每滚动一周在带钢上压出一个疵点，在冷轧机输出的带钢上，疵点的间距为L k 。为了便于检修，请计算L 1、L 2、L 3并填入下表（轧钢过程中，带钢宽度不变，且不考虑损耗）。

解法一 （1）厚度为α的带钢经过减薄率均为r 0的n 对轧辊后厚度为α(1－r 0)n 。为使输出带钢的厚度不超过β，冷轧机的轧辊数(以对为单位)应满足

α(1－r 0)n ≤β，即 (1－r 0)n ≤αβ

由于(1－r 0)n >0, αβ

>0，对上式两端取对数，得 nlg(1－r 0) ≤lg αβ

由于lg(1－r 0)<0，所以n ≥)1lg(lg lg 0r --α

β

故至少需要安装不小于)1lg(lg lg 0r --α

β的整数对轧辊。

（2）第k 对轧辊出口处疵点间距为轧辊周长，在此处出口的两疵点间带钢的体积为 1600·α(1－r)k ·mm （其中r=20%）， 而在冷轧机出口处两疵点间带钢的体积为 L k ·α（1－r ）4·mm 。

因宽度相等，且无损耗，由体积相等得 1600·α(1－r)k =L k ·α（1－r ）4(r=20%) 即 L k =1600·0.8k －

4，由此得 L 3=2000(mm),

L 2=2500(mm),L 1=3125(mm)。

解法二 （1）设每对轧辊的减薄率为r ，冷轧机至少需安装x 对轧辊，且00,β<0)

即(1－r)x =αβ

。又1－r ≥1－r 0>0，

∴(1－r 0)x ≤αβ

x ≥)1lg(lg lg 0r --αβ。

故冷轧机至少需安装[)1lg(lg lg 0r --α

β]对。（这里[α]表示α的整数部分。）

（2）若第4对轧辊有缺陷，则显然有L 4=1600mm 。

若第3对轧辊有缺陷，则由第3对轧辊出来后的疵点间距为1600，设此间距的厚度为m ，再经过第4对轧辊的减薄，出来后厚度变为m （1－20%）=0.8m ，长度为L 3，由体积相等及宽度不变有

1600×m ×宽度=0.8×m ×L 3×宽度

解得 L 3=8.01600

=2000mm 。

若第2对轧辊有缺陷，则由第2对轧辊出来后的疵点间距为1600mm ，设此间距的厚度为b ，再经过第3对及第4对轧辊的减薄，出来后的厚度为b ×0.8×0.8，长度为L 2，由体积相等及厚度不变有

1600×b ×宽度=0.82×b ×L 2×宽度

解得L 2=2

8.01600

=2500mm 。同理L 1=3125mm 。