2018年高考数学江苏专版三维二轮专题复习教学案：专题三解析几何 Word版含答案

江苏新高考

高考对本章内容的考查多以“两小一大”的形式出现，小题多考查双曲线、抛物线、圆的方程与性质，而大题主要考查直线与圆(如2013年、2016年)、直线与椭圆(如2014年、2015年、2017年)的位置关系、弦长问题及范围问题等.

第1课时解析几何中的基本问题(基础课)

[常考题型突破]

1．两条直线平行与垂直的判定

若两条不重合的直线l 1，l 2的斜率k 1，k 2存在，则l 1∥l 2?k 1＝k 2，l 1⊥l 2?k 1k 2＝－1.若给出的直线方程中存在字母系数，则要考虑斜率是否存在．

2．两个距离公式

(1)点(x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离公式d ＝

|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2

. (2)两平行直线l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0，

l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0间的距离d ＝|C 1－C 2|

A 2＋

B 2. [题组练透]

1．已知点P (3,2)与点Q (1,4)关于直线l 对称，则直线l 的方程为____________．

解析：由题意知直线l 与直线PQ 垂直，所以k l ＝－1k PQ

＝1.又直线l 经过PQ 的中点(2,3)，所以直线l 的方程为y －3＝x －2，即x －y ＋1＝0.

答案：x －y ＋1＝0

2．(2017·南京、盐城二模)在平面直角坐标系xOy 中，直线l 1：kx －y ＋2＝0与直线l 2：x ＋ky －2＝0相交于点P ，则当实数k 变化时，点P 到直线x －y －4＝0的距离的最大值为__________．

解析：由题意，kl 1＝k ，kl 2＝－1k

，则kl 1·kl 2＝k ·????－1k ＝－1(k ＝0时，两条直线也相互垂直)，并且两条直线分别经过定点：M (0,2)，N (2,0)．

∴两条直线的交点在以MN 为直径的圆上．并且k MN ＝－1，可得MN 与直线x －y －4＝0垂直．

∴点M 到直线x －y －4＝0的距离d ＝|0－2－4|2

＝32为最大值．答案：3 2

3．(2017·苏州考前模拟)在平面直角坐标系中，已知两点P (0,1)，Q (3,6)，在直线y ＝x 上取两点M ，N ，使得MN ＝2a (其中a >0为定值)，则当PM ＋NQ 取得最小值时，点N 的坐标为________．

解析：(1)设点A (1,0)，B (1＋a ，a )，则AB ∥MN ，且AB ＝MN ，所以四边形ABNM 为平行四边形，所以AM ＝BN ，又因为点P 与A 关于直线y ＝x 对称，所以PM ＝AM ，所以PM ＋NQ ＝AM ＋NQ ＝BN ＋NQ ，所以当B ，N ，Q 三点共线时，PM ＋NQ 取最小值为BQ ＝(a －2)2＋(a －6)2.此时BQ 方程为(a －6)x －(a －2)y ＋3a ＋6＝0，与直线y ＝x 联立解得N ????3a ＋64，3a ＋64.

(2)若设A (1,0)，B (1－a ，－a )，同理可得PM ＋NQ 最小值为(a ＋2)2＋(a ＋6)2，因为a >0，所以(a ＋2)2＋(a ＋6)2>(a －2)2＋(a －6)2，不合题意．

综上，PM ＋NQ 取得最小值时点N 的坐标为??

??3a ＋64，3a ＋64.

答案：????3a ＋64，3a ＋64 [方法归纳]

求直线方程的两种方法

[必备知识]

1．圆的标准方程

当圆心为(a ，b )，半径为r 时，其标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，特别地，当圆心在原点时，方程为x 2＋y 2＝r 2.

2．圆的一般方程

x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，其中D 2＋E 2

－4F >0，表示以????－D 2，－E 2为圆心，D 2＋E 2－4F 2为半径的圆．

[题组练透]

1．(2017·南通一模)已知圆C 过点(2，3)，且与直线x －3y ＋3＝0相切于点(0，3)，则圆C 的方程为_______________．

解析：设圆心为(a ，b )，

则????? b －3a ·33＝－1，(a －2)2＋()b －32＝a 2＋(b －3)2，

解得a ＝1，b ＝0，r ＝2.

即所求圆的方程为(x －1)2＋y 2＝4.

答案：(x －1)2＋y 2＝4

2．(2016·天津高考)已知圆C 的圆心在x 轴的正半轴上，点M (0，5)在圆C 上，且圆心到直线2x －y ＝0的距离为455，则圆C 的方程为________________．解析：因为圆C 的圆心在x 轴的正半轴上，设C (a,0)，且a ＞0，所以圆心到直线2x －y ＝0的距离d ＝2a 5

＝455，解得a ＝2，所以圆C 的半径r ＝|CM |＝4＋5＝3，

所以圆C 的方程为(x －2)2＋y 2＝9.

答案：(x －2)2＋y 2＝9

3．与圆C ：x 2＋y 2－2x ＋4y ＝0外切于原点，且半径为25的圆的标准方程为_______．解析：由题意，所求圆的圆心在直线y ＝－2x 上，所以可设所求圆的圆心为(a ，－2a )(a <0)，又因为所求圆与圆C ：x 2＋y 2－2x ＋4y ＝0外切于原点，且半径为25，所以a 2＋(－2a )2＝25，可得a 2＝4，解得a ＝－2或a ＝2(舍去)．所以所求圆的标准方程为(x ＋2)2＋(y －4)2＝20.

答案：(x ＋2)2＋(y －4)2＝20

[方法归纳]

1．过圆O ∶x 2＋y 2＝r 2上一点P (x 0，y 0)的圆的切线方程是x 0x ＋y 0y ＝r 2.

2．过圆O ∶x 2＋y 2＝r 2外一点P (x 0，y 0)作圆的两条切线，切点为A ，B ，则O ，P ，A ，B 四点共圆且直线AB 的方程是x 0x ＋y 0y ＝r 2.

3．判断直线与圆的位置关系问题的两种方法

(1)代数法：将圆的方程和直线的方程联立起来组成方程组，利用判别式Δ来判断位置关系：Δ>0?相交；Δ＝0?相切；Δ<0?相离．

(2)几何法：把圆心到直线的距离d 和半径r 的大小加以比较：d r ?相离．

4．判断两圆位置关系时常用几何法

即通过判断两圆心距离O 1O 2与两圆半径R ，r 的关系来判断两圆位置关系．

(1)外离：O 1O 2>R ＋r ；

(2)外切：O 1O 2＝R ＋r ；

(3)相交：R －r

(4)内切：O 1O 2＝R －r ；

(5)内含：0≤O 1O 2

[提醒] 利用两圆组成的方程组解的个数，不能判断内切与外切、外离与内含．

[题组练透]

1．(2017·苏锡常镇二模)已知直线l ：mx ＋y －2m －1＝0，圆C ：x 2＋y 2－2x －4y ＝0，当直线l 被圆C 所截得的弦长最短时，实数m ＝________.

解析：由题意得，C (1,2)，直线l ：m (x －2)＋y －1＝0恒过定点A (2,1)，当直线l 被圆C 所截得的弦长最短时，直线l ⊥CA ，因为直线l 的斜率为－m ，直线CA 的斜率为

1－22－1＝－1，所以－m ×(－1)＝－1，即m ＝－1.

答案：－1

2．(2016·全国卷Ⅰ)设直线y ＝x ＋2a 与圆C ：x 2＋y 2－2ay －2＝0相交于A ，B 两点，若|AB |＝23，则圆C 的面积为________．

解析：圆C ：x 2＋y 2－2ay －2＝0化为标准方程为x 2＋(y －a )2＝a 2＋2，所以圆心C (0，a )，半径r ＝a 2＋2，因为|AB |＝23，点C 到直线y ＝x ＋2a ，即x －y ＋2a ＝0的距离d ＝|0－a ＋2a |2＝|a |2，由勾股定理得????2322＋????|a |22＝a 2＋2，解得a 2＝2，所以r ＝2，所以圆C 的面积为π×22＝4π.

答案：4π

3．若圆(x －2a )2＋(y －a －3)2＝4上总存在两个点到原点的距离为1，则实数a 的取值范围是________．

解析：由题意，两圆(x －2a )2＋(y －a －3)2＝4与x 2＋y 2＝1相交于相异两点，所以

1<4a 2＋(a ＋3)2<3，即?????

5a 2＋6a ＋8>0，5a 2＋6a <0，解得－65

?－65，0 4．(2017·扬州考前调研)已知圆C ：x 2＋y 2－2ax －2y ＋2＝0(a 为常数)与直线y ＝x 相交

于A ，B 两点，若∠ACB ＝π3

，则实数a ＝________.

圆C 与直线y ＝x 相交于A ，B 两点，且∠ACB ＝π3，所以32r ＝|a －1|2

，且a 2－1>0，解得a ＝－5.

答案：－5

5．(2017·江苏高考)在平面直角坐标系xOy 中，A (－12，0)，B (0,6)，点P 在圆O ：x 2