∴PF →
=(a ,0,-2),
设平面PEF 的一个法向量为m =(x ,y ,z ).
由?????m 2PE →
=0,m 2PF →
=0.
得???3y -2z =0,ax -2z =0, 取x =2,则m =?
??
??2,
2a
3,a . 又向量AE →
=(0,3,0)是平面PAF 的一个法向量.
∴|cos 〈m ,AE →
〉|=|m 2AE →
||m |2|AE →|=2a
324+7a 23
因此
2a 32
4+
7a 23
=cos 45°=
2
2
,解之得a =2 3. 由于23?(0,2),
故不存在点F ,使得二面角
A -PF -E 为45°. 20.解 如图,以A 为原点建立空间直角坐标系,
依题意可得A (0,0,0),B (0,1,0),C (2,0,0),D (1,-2,0),A 1(0,0,2),B 1(0,1,2),C 1(2,0,2),D 1(1,-2,2). 又因为M ,N 分别为B 1C 和D 1D 的中点,
得M ? ??
??1,12,1,N (1,-2,1). (1)证明 依题意,可得n =(0,0,1)为平面ABCD 的一个法向量,MN →
=?
????0,-52,0,由此可得MN →
2n =0,
又因为直线MN ?平面ABCD ,所以MN ∥平面ABCD .
(2)AD 1→
=(1,-2,2),AC →
=(2,0,0),设n 1=(x 1,y 1,z 1)为平面ACD 1的法向量,则1110,0,
n AD n AC ?=??=??
即????
?x 1-2y 1+2z 1=0,2x 1
=0. 不妨设z 1=1,可得n 1=(0,1,1).
设n 2=(x 2,y 2,z 2)为平面ACB 1的法向量,则1220,
0,
n AB n AC ?=??=??
又AB
1
→
=(0,1,2),得?
????y 2+2z 2=0,
2x 2=0
不妨设z 2=1,可得n 2=(0,-2,1). 因此有cos 〈n 1,n 2〉=
n 12n 2|n 1|2|n 2|=-10
10
,
于是sin 〈n 1,n 2〉=
1-? ??
??-10102=31010. 所以,二面角D 1-AC -B 1的正弦值为310
10
.
(3)依题意,可设1A E =λ11A B
,其中λ∈[0,1],
则E (0,λ,2),
从而NE →
=(-1,λ+2,1),
又n =(0,0,1)是平面ABCD 的一个法向量,
故|cos 〈NE →
,n 〉|=
|NE →
2n |
|NE →
|2|n |
=1(-1)2+(λ+2)2+12
=1
3. 整理得λ2
+4λ-3=0,解得λ=-2±7, 又因为λ∈[0,1],所以λ=7-2, 所以,线段A 1E 的长为7-2.
空间向量和立体几何练习题及答案.
1.如图,在四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD为正方形,平面PAD⊥平面ABCD,点M在线段PB上,PD∥平面MAC,PA=PD=,AB=4. (1)求证:M为PB的中点; (2)求二面角B﹣PD﹣A的大小; (3)求直线MC与平面BDP所成角的正弦值. 【分析】(1)设AC∩BD=O,则O为BD的中点,连接OM,利用线面平行的性质证明OM∥PD,再由平行线截线段成比例可得M为PB的中点; (2)取AD中点G,可得PG⊥AD,再由面面垂直的性质可得PG⊥平面ABCD,则PG⊥AD,连接OG,则PG⊥OG,再证明OG⊥AD.以G为坐标原点,分别以GD、GO、GP所在直线为x、y、z轴距离空间直角坐标系,求出平面PBD与平面PAD的一个法向量,由两法向量所成角的大小可得二面角B﹣PD﹣A的大小;(3)求出的坐标,由与平面PBD的法向量所成角的余弦值的绝对值可得直线MC与平面BDP所成角的正弦值. 【解答】(1)证明:如图,设AC∩BD=O, ∵ABCD为正方形,∴O为BD的中点,连接OM, ∵PD∥平面MAC,PD?平面PBD,平面PBD∩平面AMC=OM, ∴PD∥OM,则,即M为PB的中点; (2)解:取AD中点G, ∵PA=PD,∴PG⊥AD, ∵平面PAD⊥平面ABCD,且平面PAD∩平面ABCD=AD, ∴PG⊥平面ABCD,则PG⊥AD,连接OG,则PG⊥OG, 由G是AD的中点,O是AC的中点,可得OG∥DC,则OG⊥AD. 以G为坐标原点,分别以GD、GO、GP所在直线为x、y、z轴距离空间直角坐标系, 由PA=PD=,AB=4,得D(2,0,0),A(﹣2,0,0),P(0,0,),C(2,
必修2立体几何+选修2-1空间向量专题复习学案:空间向量与立体几何(含答案-可直接打印)
必修2立体几何+选修2-1空间向量专题复习学案:空间向量与立体几何(含答案-可直接 打印) -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
2 专题复习:空间向量与立体几何 题型一:空间几何体的三视图、表面积和体积 1.将长方体截去一个四棱锥,得到的几何体如图所示,则该几何体的侧视 图为( ) 2.如图是某几何体的三视图,则该几何体的体积为( ) A .9π+42 B .36π+18 C.92π+12 D.92 π+18 3.如果圆锥的侧面展开图半圆,那么这个圆锥的顶角(圆锥轴截面中两条母 线的夹角)是( ) A.?30 B.?45 C.?60 D.?90 4.球的体积与其表面积的数值相等,则球的半径等于 . 5.如图是某几何体的三视图,其中正视图为正方形, 俯视图是腰长为2的等腰直角三角形,则该几何 体的体积是 . 6.一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为?45,腰和上底均为1的等腰梯形,则这个平面图形的面积等于 . 题型二:空间向量的运算及坐标表示 1.已知空间四边形OABC ,其对角线OB 、AC ,M 、N 分别是边OA 、CB 的中点,点G 在线段MN 上,且使MG=2GN ,用向量,,OA OB OC 表示向量OG 是 ( ) A.2233 OG OA OB OC =++; B.122233 OG OA OB OC =++; C.111633OG OA OB OC =++ D.112 633 OG OA OB OC =++ 2、给出下列命题 ①已知a b ⊥,则()() a b c c b a b c ?++?-=?; ②A 、B 、M 、N 为空间四点,若,,BA BM BN 不构成空间的一个基底,则A 、B 、M 、N 共面; ③已知a b ⊥,则,a b 与任何向量不构成空间的一个基底; ④已知{} ,,a b c 是空间的一个基底,则基向量,a b 可以与向量m a c =+构成空间另一个基底. 正确命题个数是( ) A .1 B .2 C .3 D .4 3、已知平行四边形ABCD 中,A (4,1,3)、B (2,-5,1)、C (3,7,-5),则D 的坐标为( ) A .)1,4,2 7 (- B .(2,3,1) C .(-3,1,5) D .(5,13,-3) 4、1,2,,a b c a b ===+且c a ⊥,则向量a b 与的夹角为( ) A .30? B .60? C .120? D .150? 5.若A )1,2,1(-,B )3,2,4(,C )4,1,6(-,则△ABC 的形状是( ) A .不等边锐角三角形 B .直角三角形 C .钝角三角形 D .等边三角形 6.若向量)2,1,2(),2,,1(-==b a λ,且a 与b 的夹角余弦为9 8 ,则λ等于( ) A .2 B .2- C .2-或552 D .2或552 - 7.空间四边形OABC 中,OB OC =,3 AOB AOC π ∠=∠=,则cos <,OA BC >的值 是( ) A . 21 B .22 C .-2 1 D .0 8.已知b a ,是空间二向量,若b a b a b a 与则,7||,2||,3||=-==的夹角 为 . 题型三:空间向量在立体几何中的应用 例1如图,在棱长为2的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,M 为BC 的中点,N 为AB 的中点,P 为BB 1的中点. (Ⅰ)求证:BD 1⊥B 1C ; (Ⅱ)求证:BD 1⊥平面MNP .
平面向量及空间向量高考数学专题训练
平面向量及空间向量高考数学专题训练(四) 一、选择题(本大题共12小题,每小题分6,共72分) 1.设-=1(a cos α,3), (=b sin )3,α,且a ∥b , 则锐角α为( ) A. 6π B. 4π C. 3 π D. 125π 2.已知点)0,2(-A 、)0,3(B ,动点2),(x y x P =?满足,则点P 的轨迹是( ) A. 圆 B. 椭圆 C. 双曲线 D. 抛物线 3.已知向量值是相互垂直,则与且k b a b a k b a -+-==2),2,0,1(),0,1,1(( ) A. 1 B. 51 C. 53 D. 5 7 4.已知b a ,是非零向量且满足的夹角是与则b a b a b a b a ,)2(,)2(⊥-⊥-( ) A. 6π B. 3 π C. 32π D. 65π 5.将函数y=sinx 的图像上各点按向量=a (2,3 π )平移,再将所得图像上各点的横坐标 变为原来的2倍,则所得图像的解析式可以写成( ) A.y=sin(2x+ 3π)+2 B.y=sin(2x -3 π )-2 C.y=(321π+x )-2 D.y=sin(321π-x )+2 6.若A,B 两点的坐标是A(3φcos ,3φsin ,1),B(2,cos θ2,sin θ1),||的取值范围是( ) A. [0,5] B. [1,5] C. (1,5) D. [1,25] 7.从点A(2,-1,7)沿向量)12,9,8(-=a 方向取线段长|AB|=34,则点B 的坐标为( ) A.(-9,-7,7) B. (-9,-7,7) 或(9,7,-7) C. (18,17,-17) D. (18,17,-17)或(-18,-17,17) 8.平面直角坐标系中,O 为坐标原点, 已知两点A(3, 1), B(-1, 3),若点C 满足 =OB OA βα+, 其中α、β∈R 且α+β=1, 则点C 的轨迹方程为 ( ) A.01123=-+y x B.5)2()1(2 2 =-+-y x C. 02=-y x D. 052=-+y x 9.已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线的长都等于m ,点E ,F 分别是BC ,AD 的中点,则?的值为 ( ) A.2 m B. 212m C. 4 1 2m D. 432m 10.O 为空间中一定点,动点P 在A,B,C 三点确定的平面内且满足)()(-?-=0,
立体几何与空间向量-浙江省台州市书生中学2020届高三数学复习专题练习(无答案)
立体几何 例1.在三棱锥P ABC -中,PA ⊥底面ABC ,,6,8AB AC AB AC ⊥==,D 是线段AC 上一点,且3AD DC =.三棱锥P ABC -的各个顶点都在球O 表面上,过点D 作球O 的截面,若所得截面圆的面积的最大值与最小值之差为16π,则球O 的表面积为( ) A .72π B .86π C .112π D .128π 2.三视图 例2.某简单组合体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( ) A .164+π B .484π+ C .4812π+ D .4816π+ 3.常见几何体的体积计算公式 例3.已知直角三角形 ABC 两直角边长之和为3,将ABC ?绕其中一条直角边旋转一周,所形成旋转体体积的最大值为__________,此时该旋转体外接球的表面积为___________. 例4.如图,三棱锥的顶点,,,都在同一球面上,过球心且,是边长为等边三角形,点、分别为线段,上的动点(不含端点),且 ,则三棱锥体积的最大值为__________. 例5.如图,在几何体中,平面底面ABC , 四边形是正方形,,Q 是的中点,且,. 求证:平面; 求二面角 的余弦值.
例6.如图几何体中,底面ABCD 为正方形,PD ⊥平面ABCD , //EC PD ,且22PD AD EC ===.(1)求证://BE 平面PDA ; (2)求PA 与平面PBD 所成角的大小. 例7.已知三棱锥A BCD -的棱长均为6,其内有n 个小球,球1O 与三棱锥A BCD -的四个面都 相切,球2O 与三棱锥A BCD -的三个面和球1O 都相切,如此类推,…,球n O 与三棱锥A BCD -的 三个面和球1n O -都相切(2n ≥,且n *∈N ),则球1O 的体积等于__________,球n O 的表面积等于__________. 例8.如图所示,在等腰梯形ABCD 中,,,E ,F 为AB 的三等分点,且将和分别沿DE 、CF 折起到A 、B 两点重合,记为点P . 证明:平面 平面PEF ; 若,求PD 与平面PFC 所成角的正弦值.
高中数学:空间向量
空间向量 一、向量的基本概念与运算 1.定义:在空间内,把具有大小和方向的量叫空间向量,可用有向线段来表示.用同向且 等长的有向线段表示同一向量或相等的向量. 2.零向量:起点与终点重合的向量叫做零向量,记为0或0. 3.书写:在手写向量时,在字母上方加上箭头,如a ,AB . 4.模:表示向量a 的有向线段的长度叫做向量的长度或模,记作||a 5.方向:有向线段的方向表示向量的方向. 6.基线:有向线段所在的直线叫做向量的基线. 7.平行向量:如果空间中一些向量的基线互相平行或重合,则这些向量叫做共线向量或平 行向量.a 平行于b 记为a b ∥. 8.向量运算:与平面向量类似; 二、空间向量的基本定理 1.共线向量定理:对空间两个向量a ,b (0b ≠),a b ∥的充要条件是存在实数x ,使a xb =. 2.共面向量:通常我们把平行于同一平面的向量,叫做共面向量. 3.共面向量定理:如果两个向量a ,b 不共线,则向量c 与向量a ,b 共面的充要条件是, 存在唯一的一对实数x ,y ,使c xa yb =+. 4.空间向量分解定理:如果三个向量a ,b ,c 不共面,那么对空间任一向量p ,存在一 个唯一的有序实数组x ,y ,z ,使p xa yb zc =++.表达式xa yb zc ++,叫做向量a ,b ,c 的线性表示式或线性组合.
注:上述定理中,a ,b ,c 叫做空间的一个基底,记作{}a b c , ,,其中a b c ,,都叫做基向量. 由此定理知,空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底. 三、向量的数量积 1.两个向量的夹角 已知两个非零向量a b ,,在空间任取一点O ,作OA a =,OB b =,则AOB ∠叫做向量a 与b 的夹角,记作a b ??, .通常规定0πa b ??≤,≤.在这个规定下,两个向量的夹角就被唯一确定了,并且a b b a ??=??, ,.如果90a b ??=,°,则称a 与b 互相垂直,记作a b ⊥. 2.两个向量的数量积 已知空间两个向量a ,b ,定义它们的数量积(或内积)为:||||cos a b a b a b ?=??, 空间两个向量的数量积具有如下性质: 1)||cos a e a a e ?=??,;(2)0a b a b ??=; (3)2||a a a =?;(4)a b a b ?||≤||||. 空间两个向量的数量积满足如下运算律: 1)()()a b a b λλ?=?;(2)a b b a ?=?;(3)()a b c a c b c +?=?+?. 四、空间向量的直角坐标运算 前提:建立空间直角坐标系Oxyz ,分别沿x 轴,y 轴,z 轴的正方向引单位向量i j k ,,,这三个互相垂直的单位向量构成空间向量的一个基底{}i j k ,,,这个基底叫做单位正交基底. 空间直角坐标系Oxyz ,也常说成空间直角坐标系[]O i j k ;, ,. 1.坐标 在空间直角坐标系中,已知任一向量a ,根据空间向量分解定理,存在唯一数组123()a a a ,,,使123a a i a j a k =++,1a i ,2a j ,3a k 分别叫做向量a 在i j k ,, 方向上的分量,有序实数组123()a a a ,,叫做向量a 在此直角坐标系中的坐标.上式可以简记作123()a a a a =,,. 若123()a a a a =, ,,123()b b b b =,,, 则:112233()a b a b a b a b +=+++, ,;112233()a b a b a b a b -=---,,;
专题7.6 利用空间向量证明平行与垂直-2020届高考数学一轮复习学霸提分秘籍(解析版)
第七篇立体几何与空间向量 专题7.06利用空间向量证明平行与垂直 【考试要求】 1.理解直线的方向向量及平面的法向量; 2.能用向量语言表述线线、线面、面面的平行和垂直关系; 3.能用向量方法证明立体几何中有关线面位置关系的一些简单定理; 4.能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题; 5.能用向量方法解决点到平面、相互平行的平面的距离问题; 6.并能描述解决夹角和距离的程序,体会向量方法在研究几何问题中的作用. 【知识梳理】 1.直线的方向向量和平面的法向量 (1)直线的方向向量:如果表示非零向量a的有向线段所在直线与直线l平行或重合,则称此向量a为直线l 的方向向量. (2)平面的法向量:直线l⊥α,取直线l的方向向量a,则向量a叫做平面α的法向量. 2.空间位置关系的向量表示 3.异面直线所成的角 设a,b分别是两异面直线l1,l2的方向向量,则
4.求直线与平面所成的角 设直线l 的方向向量为a ,平面α的法向量为n ,直线l 与平面α所成的角为θ,则sin θ=|cos 〈a ,n 〉|=|a ·n | |a ||n |. 5.求二面角的大小 (1)如图①,AB ,CD 是二面角α-l -β的两个面内与棱l 垂直的直线,则二面角的大小θ=〈AB →,CD → 〉. (2)如图②③,n 1,n 2 分别是二面角α-l -β的两个半平面α,β的法向量,则二面角的大小θ满足|cos θ|=|cos 〈n 1,n 2〉|,二面角的平面角大小是向量n 1与n 2的夹角(或其补角). 6.点到平面的距离 用向量方法求点B 到平面距离基本思路:确定平面法向量, 在平面内取一点A ,求向量AB → 到法向量的投影向量,投影向量的长度即为所要求的距离.如图平面α的法向量为n ,点B 到平面α的距离d =|AB →·n | |n |. 【微点提醒】 1.平面的法向量是非零向量且不唯一. 2.建立空间直角坐标系要建立右手直角坐标系. 3.线面角θ的正弦值等于直线的方向向量a 与平面的法向量n 所成角的余弦值的绝对值,即sin θ=|cos 〈a ,n 〉|,不要误记为cos θ=|cos 〈a ,n 〉|. 4.二面角与法向量的夹角:利用平面的法向量求二面角的大小时,当求出两半平面α,β的法向量n 1,n 2时,要根据向量坐标在图形中观察法向量的方向,来确定二面角与向量n 1,n 2的夹角是相等,还是互补. 【疑误辨析】 1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)直线的方向向量是唯一确定的.( ) (2)若直线a 的方向向量和平面α的法向量平行,则a ∥α.( )
空间向量专题讲解
空间向量的概念解析 例1、下列说法中正确的是( ) A.若|a |=|b |,则a,b 的长度相同,方向相同或相反 B.若向量a 是向量b 的相反向量,则|a |=|b | C.空间向量的减法满足结合律 D.在四边形ABCD 中,一定有AB AD AC += 练习 1、给出下列命题:①零向量没有方向;②若两个空间向量相等,则它们的起点相同,终点相同;③若空间向量a,b 满足|a |=|b |,则a=b ;④若空间向量m,n,p 满足m=n,n=p,则m=p ;⑤空间中任意两个单位向量必相等,其中正确命题的个数为( ) A.4 B.3 C.2 D.1 2、下列四个命题: (1)方向相反的两个向量是相反向量 (2)若a,b 满足|a |>|b |,且a,b 同向,则a >b (3)不相等的两个空间向量的模必不相等 (4)对于任何向量a,b ,必有|a+ b |≤|a |+|b | 其中正确命题的序号为( ) A.(1)(2)(3) B.(4) C.(3)(4) D.(1)(4) 空间向量的线性运算 例1、 已知长方体ABCD-A ’B ’C ’D ’,化简下列向量表达式,并标出化简结果的向量 (1)AA CB '-(2)AB B C C D '''''++(3) 111222 AD AB A A '+- 练习 1、如图所示,在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,下列各式中运算的结果为向量的共有( ) ①1()AB BC CC ++②11111()AA A D DC ++ ③111()AB BB BC ++④11111()AA A B BC ++ A.1个 B.2个 C.3个 D.4 个
(完整版)空间向量与立体几何题型归纳
空间向量与立体几何 1, 如图,在四棱锥V-ABCD中,底面ABCD是正方形,侧面VAD是正三角形,平面VADL底面ABC (1)证明AB丄平面VAD (2)求面VAD与面VDB所成的二面角的大小 2, 如图所示,在四棱锥P—ABCD中,底面ABCD为矩形,侧棱PA丄底面ABCD AB骑, BC=1 , PA=2, E为PD的中点. (1)求直线AC与PB所成角的余弦值; (2)在侧面PAB内找一点N使NE!平面PAC并求出N点到AB和AP的距 离.(易错点,建系后,关于N点的坐标的设法,也是自己的弱项)
3. 如图,在长方体 ABCD-ABCD 中,AD=AA=1, AB=2,点E 在棱 AB 上移动. 证明:DE 丄AD; 当E 为AB 的中点时,求点 A 到面ECD 的距离; 7T AE 等于何值时,二面角 D — EC- D 的大小为-(易错点:在找平面DEC 的法向量的时候,本 来法向量就己经存在了 ,就不必要再去找,但是我认为去找应该没有错吧 ,但法向量找出来了 , 和 那个己经存在的法向量有很大的差别 ,而且,计算结果很得杂,到底问题出在哪里?) 4. 如图,直四棱柱 ABCD — A I B I C I D I 中,底面ABCD 是等腰梯形,AB // CD , AB = 2DC =2, E 为BD i 的中点,F 为AB 的中点,/ DAB = 60° (1)求证:EF //平面 ADD 1A 1; ⑵若BB 1 ~2-,求A 1F 与平面DEF 所成角的正弦值. N : 5 题到 11 题都是运用基底思想解题 5. 空间四边形 ABCD 中, AB=BC=CD AB 丄BC, BC 丄CD , AB 与CD 成60度角,求AD 与BC 所 成角的大小。 (1) (2) (3) A B
空间向量及其运算练习题
空间向量及其运算 基础知识梳理 1.空间向量的有关概念 (1)空间向量:在空间中,具有________和________的量叫做空间向量. (2)相等向量:方向________且模________的向量. (3)共线向量:表示空间向量的有向线段所在的直线互相______________的向量. (4)共面向量:________________________________的向量. 2.共线向量、共面向量定理和空间向量基本定理 (1)共线向量定理 对空间任意两个向量a ,b (b ≠0),a ∥b 的充要条件是________________________. 推论 如图所示,点P 在l 上的充要条件是: OP →=OA →+t a ①其中a 叫直线l 的方向向量,t ∈R ,在l 上取AB →=a , 则①可化为OP →=________或OP →=(1-t )OA →+tOB →. (2)共面向量定理的向量表达式:p =____________,其中x ,y ∈R ,a , b 为不共线向量,推论的表达式为MP →=xMA →+yMB →或对空间任意一点 O ,有OP →=____________或OP →=xOM →+yOA →+zOB →,其中x +y +z = ______. (3)空间向量基本定理 如果三个向量a ,b ,c 不共面,那么对空间任一向量p ,存在有序实数组{x ,y ,z },使得p =____________,把{a ,b ,c }叫做空间的一个基底. 3.空间向量的数量积及运算律 (1)数量积及相关概念 ①两向量的夹角 已知两个非零向量a ,b ,在空间任取一点O ,作OA →=a ,OB →=b ,则∠AOB 叫做向 量a 与b 的夹角,记作____________,其范围是____________,若〈a ,b 〉=π2 ,则称a 与b __________,记作a ⊥b . ②两向量的数量积 已知空间两个非零向量a ,b ,则____________叫做向量a ,b 的数量积,记作__________,即__________________. (2)空间向量数量积的运算律 ①结合律:(λa )·b =____________;②交换律:a·b =__________; ③分配律:a·(b +c )=__________. 4.空间向量的坐标表示及应用 (1)数量积的坐标运算 设a =(a 1,a 2,a 3),b =(b 1,b 2,b 3),则a·b =________________. (2)共线与垂直的坐标表示 设a =(a 1,a 2,a 3),b =(b 1,b 2,b 3), 则a ∥b ?______________?____________,____________,______________, a ⊥b ?__________?________________________(a ,b 均为非零向量). (3)模、夹角和距离公式 设a =(a 1,a 2,a 3),b =(b 1,b 2,b 3), 则|a |=a·a =__________________,
高三数学专题复习:空间向量
一、知识梳理 【高考考情解读】 高考对本节知识的考查以解答题的形式为主:1.以多面体(特别是棱柱、棱锥或其组合体)为载体,考查空间中平行与垂直的证明、空间角(主要是线面角和二面角)的计算.2.以已知结论寻求成立的条件(或是否存在问题)的探索性问题,考查逻辑推理能力、空间想象能力以及探索能力,是近几年高考命题的新亮点,属中高档问题. 1. 直线与平面、平面与平面的平行与垂直的向量方法 设直线l 的方向向量为a =(a 1,b 1,c 1).平面α,β的法向量分别为μ=(a 2,b 2,c 2),v =(a 3,b 3,c 3)(以下相同). (1)线面平行:l ∥α?a ⊥μ?a ·μ=0?a 1a 2+b 1b 2+c 1c 2=0. (2)线面垂直:l ⊥α?a ∥μ?a =k μ?a 1=ka 2,b 1=kb 2,c 1=kc 2. (3)面面平行:α∥β?μ∥v ?μ=λv ?a 2=λa 3,b 2=λb 3,c 2=λc 3. (4)面面垂直:α⊥β?μ⊥v ?μ·v =0?a 3a 4+b 3b 4+c 3c 4=0. 2. 直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角计算 设直线l ,m 的方向向量分别为a =(a 1,b 1,c 1),b =(a 2,b 2,c 2).平面α,β的法向量分别为μ=(a 3,b 3,c 3),v =(a 4,b 4,c 4)(以下相同). (1)线线夹角:设l ,m 的夹角为θ(0≤θ≤π2),则cos θ=|a ·b ||a ||b |=|a 1a 2+b 1b 2+c 1c 2|a 21+b 21+c 21a 22+b 22+c 22 . (2)线面夹角:设直线l 与平面α的夹角为θ(0≤θ≤π2),则sin θ=|a ·μ||a ||μ| =|cos 〈a ,μ〉|. (3)面面夹角:设平面α、β的夹角为θ(0≤θ<π),则|cos θ|=|μ·v ||μ||v | =|cos 〈μ,v 〉|. 提醒 求二面角时,两法向量的夹角有可能是二面角的补角,要注意从图中分析. 3. 求空间距离 直线到平面的距离,两平行平面的距离均可转化为点到平面的距离,点P 到平面α的距 离:d =|PM →·n ||n | (其中n 为α的法向量,M 为α内任一点). 二、课前预习 1.平面α的法向量为m ,向量a 、b 是平面α之外的两条不同的直线的方向向量,给出三个论断:①a ⊥m ;②a ⊥b ;③m ∥b .以其中的两个论断作为条件,余下一个论断作为结论, 写出所有正确的命题______________________. 2.如图,直三棱柱ABC -A 1B 1C 1的底面△ABC 中,CA =CB =1, ∠BCA =90°,棱AA 1=2,则cos 〈BA 1→,CB 1→〉的值为________. 3.如图所示,在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC -A 1B 1C 1,
空间向量与立体几何教案(强烈推荐)
空间向量与立体几何 一、知识网络: 二.考纲要求: (1)空间向量及其运算 ① 经历向量及其运算由平面向空间推广的过程; ② 了解空间向量的概念,了解空间向量的基本定理及其意义,掌握空间向量的正交分解及其坐标表示; ③ 掌握空间向量的线性运算及其坐标表示; ④ 掌握空间向量的数量积及其坐标表示,能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直。 (2)空间向量的应用 ① 理解直线的方向向量与平面的法向量; ② 能用向量语言表述线线、线面、面面的垂直、平行关系; ③ 能用向量方法证明有关线、面位置关系的一些定理(包括三垂线定理); ④ 能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题,体会向量方法在研究几何问题中的作用。 三、命题走向 本章内容主要涉及空间向量的坐标及运算、空间向量的应用。本章是立体几何的核心内容,高考对本章的考查形式为:以客观题形式考查空间向量的概念和运算,结合主观题借助空间向量求夹角和距离。 预测10年高考对本章内容的考查将侧重于向量的应用,尤其是求夹角、求距离,教材上淡化了利用空间关系找角、找距离这方面的讲解,加大了向量的应用,因此作为立体几何解答题,用向量法处
理角和距离将是主要方法,在复习时应加大这方面的训练力度。 第一课时 空间向量及其运算 一、复习目标:1.理解空间向量的概念;掌握空间向量的加法、减法和数乘; 2.了解空间向量的基本定理; 3.掌握空间向量的数量积的定义及其性质;理解空间向量的夹角的概念;掌握空间向量的数量积的概念、性质和运算律;了解空间向量的数量积的几何意义;能用向量的数量积判断向量的共线与垂直。 二、重难点:理解空间向量的概念;掌握空间向量的运算方法 三、教学方法:探析类比归纳,讲练结合 四、教学过程 (一)、谈最新考纲要求及新课标高考命题考查情况,促使积极参与。 学生阅读复资P128页,教师点评,增强目标和参与意识。 (二)、知识梳理,方法定位。(学生完成复资P128页填空题,教师准对问题讲评)。 1.空间向量的概念 向量:在空间,我们把具有大小和方向的量叫做向量。如位移、速度、力等。 相等向量:长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。 表示方法:用有向线段表示,并且同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量。 说明:①由相等向量的概念可知,一个向量在空间平移到任何位置,仍与原来的向量相等,用同向且等长的有向线段表示;②平面向量仅限于研究同一平面内的平移,而空间向量研究的是空间的平移。 2.向量运算和运算率 说明:①引导学生利用右图验证加法交换率,然后推广到首尾相接的若干向量之和;②向量加法的平行四边形法则在空间仍成立。 3.平行向量(共线向量):如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合,则这些向量 叫做共线向量或平行向量。a 平行于b 记作a ∥b 。 注意:当我们说a 、b 共线时,对应的有向线段所在直线可能是同一直线,也可能是平行直线;当 我们说a 、b 平行时,也具有同样的意义。 共线向量定理:对空间任意两个向量a (a ≠)、b ,a ∥b 的充要条件是存在实数λ使b =λa (1)对于确定的λ和a ,b =λa 表示空间与a 平行或共线,长度为 |λa |,当λ>0时与a 同向, 当λ<0时与a 反向的所有向量。 (3)若直线l ∥a ,l A ∈,P 为l 上任一点,O 为空间任一点,下面根据上述定理来推导的表达式。
专题11.4 空间向量的应用(专题训练卷)(解析版)
专题11.4 空间向量的应用(专题训练卷) 一、单选题 1.(2020·江苏如东 高一期末)在长方体1111ABCD A B C D -中,2AB BC ==,11AA =,则直线1BC 与平面11BB DD 所成角的正弦值为( ) A . 6 B . 102 C . 155 D . 105 【答案】D 【解析】 以D 点为坐标原点,以1,,DA DC DD 所在的直线为x 轴、y 轴、z 轴,建立空间直角坐标系, 则1(2,0,0),(2,2,0),(0,2,0),A B C C (0,2,1), 1(2,0,1),(2,2,0),BC AC AC ∴=-=-为平面11BB D D 的一个法向量. 110 cos ,558 BC AC ∴<>= =?. ∴直线1BC 与平面11BB DD 10 故选:D . 2.(2020·河北新华 石家庄二中高一期末)在正方体1111ABCD A B C D -中,M N ,分别为AD ,11C D 的中点,O 为侧面11BCC B 的中心,则异面直线MN 与1OD 所成角的余弦值为( )
A.1 6 B. 1 4 C. 1 6 -D. 1 4 - 【答案】A 【解析】 如图,以D为坐标原点,分别以1 ,, DA DC DD所在直线为,, x y z轴建立空间直角坐标系.设正方体的棱长为2,则()( )()() 1 100,012,121,002 M N O D ,,,,,,,,,∴()() 1 1,1,2,1,2,1 MN OD =-=--.则 1 1 1 1 cos, 6 66 MN OD MN OD MN OD ? === ?.∴异面直线 MN与 1 OD所成角的余弦值为 1 6 ,故选A. 3.(2020·辽宁高三其他(文))如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=2,AA1=1,则BC1与平面BB1D1D 所成角的正弦值为() A 6 B 26 C 15 D 10 【答案】D 【解析】 以D点为坐标原点,以DA、DC、1 DD所在的直线为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系则A(2,0,
高三数学复习专题空间向量与立体几何考点系统复习
A B C A 1 B 1 C 1 M y z A B C D E F x y z M N A 1 x D 1 B 1 A D B C C 1 y z E F 高三数学复习专题 空间向量与立体几何考点系统复习 一、利用向量处理平行与垂直问题(特别是探索性问题) 例1、 在直三棱柱111C B A ABC -中,090=∠ACB , 030=∠BAC ,M A A BC ,6,11==是 1CC 得中点。求证:AM B A ⊥1 练习:棱长为a 的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中,在棱DD 1上是否存在点P 使B 1D ⊥面P AC ? 例 2 如图,已知矩形ABCD 和矩形ADEF 所在平面互相垂直,点N M ,分别在对角线 AE BD ,上,且AE AN BD BM 3 1 ,31==,求证://MN 平面CDE 练习1、在正方体1111D C B A ABCD -中,E,F 分别是BB 1,,CD 中点,求证:D 1F ⊥平面ADE A B C D A 1 B 1 C 1 D 1P x z y
A B C D E P x y z F A 1 x D 1 B 1 A D B C C 1 y z E 1 F 1 H G A 1 x D 1 B 1 A D B C C 1 y z E 1 F A 1 D 1 B 1 C 1 z 2、如图,在底面是菱形的四棱锥P —ABCD 中, ?=∠60ABC , ,2,a PD PB a AC PA ====点E 在PD 上,且PE :ED = 2: 1.在棱PC 上是否存在一点F, 使 BF ∥平面AEC?证明你的结论. 二、利用空间向量求空间的角的问题 例 1 在正方体1111D C B A ABCD -中,E 1,F 1分别在A 1B 1,,C 1D 1上,且E 1B 1=4 1 A 1 B 1,D 1F 1=4 1 D 1C 1,求B E 1与D F 1所成的角的大小。 例2 在正方体1111D C B A ABCD -中, F 分别是BC 的中点,点E 在D 1C 1上,且=11E D 4 1 D 1C 1,试求直线 E 1 F 与平面D 1AC 所成角的大小 例3 在正方体1111D C B A ABCD -中,求二面角11C BD A --的大小。
空间向量与立体几何知识点归纳总结
空间向量与立体几何知识点归纳总结 一.知识要点。 1. 空间向量的概念:在空间,我们把具有大小和方向的量叫做向量。 注:(1)向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等 的向量。 (2)向量具有平移不变性 2. 空间向量的运算。 定义:与平面向量运算一样,空间向量的加法、减法与数乘运算如下(如图)。 OB OA AB a b =+=+u u u r u u u r u u u r v r ;BA OA OB a b =-=-u u u r u u u r u u u r r r ;()OP a R λλ=∈u u u r r 运算律:⑴加法交换律:a b b a ? ??ρ+=+ ⑵加法结合律:)()(c b a c b a ? ???ρ?++=++ ⑶数乘分配律:b a b a ? ???λλλ+=+)( 运算法则:三角形法则、平行四边形法则、平行六面体法则 3. 共线向量。 (1)如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合,那么这些向 量也叫做共线向量或平行向量,a ρ 平行于b ρ,记作b a ρ?//。 (2)共线向量定理:空间任意两个向量a ρ、b ρ (b ρ≠0ρ), a ρ b ρa ρb ρλ=)1(=++=y x y x 其中 a ± 共面向量 (1)定义:一般地,能平移到同一平面内的向量叫做共面向量。 说明:空间任意的两向量都是共面的。
(2)共面向量定理:如果两个向量,a b r r 不共线,p r 与向量,a b r r 共面的条件 是存在实数,x y 使p xa yb =+r r r 。 (3)四点共面:若A 、B 、C 、P 四点共面<=>y x AP += <=>)1(=++++=z y x OC z OB y OA x OP 其中 5. 空间向量基本定理:如果三个向量,,a b c r r r 不共面,那么对空间任一向量 p r ,存在一个唯一的有序实数组,,x y z ,使p xa yb zc =++r r r r 。 若三向量,,a b c r r r 不共面,我们把{,,}a b c r r r 叫做空间的一个基底,,,a b c r r r 叫 做基向量,空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底。 推论:设,,,O A B C 是不共面的四点,则对空间任一点P ,都存在唯一的三 个有序实数,,x y z ,使OP xOA yOB zOC =++u u u r u u u r u u u r u u u r 。 6. 空间向量的直角坐标系: (1)空间直角坐标系中的坐标: 在空间直角坐标系O xyz -中,对空间任一点A ,存在唯一的有序实数组 (,,)x y z ,使++=,有序实数组(,,)x y z 叫作向量A 在空间直角坐 标系O xyz -中的坐标,记作(,,)A x y z ,x 叫横坐标,y 叫纵坐标,z 叫竖坐标。 注:①点A (x,y,z )关于x 轴的的对称点为(x,-y,-z),关于xoy 平面的对称点为(x,y,-z).即点关于什么轴/平面对称,什么坐标不变,其余的分坐标均相反。②在y 轴上的点设为(0,y,0),在平面yOz 中的点设为(0,y,z) (2)若空间的一个基底的三个基向量互相垂直,且长为1,这个基底叫单位 正交基底,用{,,}i j k r r r 表示。空间中任一向量k z j y i x a ++==(x,y,z ) (3)空间向量的直角坐标运算律: ①若123(,,)a a a a =r ,123(,,)b b b b =r ,则112233(,,)a b a b a b a b +=+++r r ,
高三数学空间向量一轮复习
第十三章空间向量 1.理解空间向量的概念;掌握空间向量的加法、减法和数乘. 2.了解空间向量的基本定理;理解空间向量坐标的概念;掌握空间向量的坐标运算. 3.掌握空间向量的数量积的定义及其性质;掌握用直角坐标计算空间向量数量积的公式;掌握空间两点间的距离公式. 理解空间向量的夹角的概念;掌握空间向量的数量积的概念、性质和运算律;了解空间向量的数量积的几何意义;掌握空间向量的数量积的坐标形式;能用向量的数量积判断向量的共线与垂直 第1课时 空间向量及其运算 空间向量是平面向量的推广.在空间,任意两个向量都可以通过平移转化为平面向量.因此,空间向量的加减、数乘向量运算也是平面向量对应运算的推广. 本节知识点是: 1.空间向量的概念,空间向量的加法、减法、数乘运算和数量积; (1) 向量:具有和的量. (2) 向量相等:方向且长度. (3) 向量加法法则:. (4) 向量减法法则:. (5) 数乘向量法则:. 2.线性运算律 (1) 加法交换律:a +b =. (2) 加法结合律:(a +b )+c =. (3) 数乘分配律:λ(a +b )=. 3.共线向量 (1)共线向量:表示空间向量的有向线段所在的直线互相或. (2) 共线向量定理:对空间任意两个向量a 、b (b ≠0),a ∥b 等价于存在实数λ,使. 基础过关 知识网络 考纲导读 高考导航 空间向量 定义、加法、减法、数乘运算 数量积 坐标表示:夹角和距离公式 求距离 求空间角 证明平行与垂直
(3) 直线的向量参数方程:设直线l 过定点A 且平行于非零向量a ,则对于空间中任意一点O ,点P 在l 上等价于存在R t ∈,使. 4.共面向量 (1) 共面向量:平行于的向量. (2) 共面向量定理:两个向量a 、b 不共线,则向量P 与向量a 、b 共面的充要条件是存在实数对(y x ,),使P . 共面向量定理的推论:. 5.空间向量基本定理 (1) 空间向量的基底:的三个向量. (2) 空间向量基本定理:如果a ,b ,c 三个向量不共面,那么对空间中任意一个向量p ,存在一个唯一的有序实数组z y x ,,,使. 空间向量基本定理的推论:设O ,A ,B ,C 是不共面的的四点,则对空间中任意一点P ,都存在唯一的有序实数组z y x ,,,使. 6.空间向量的数量积 (1) 空间向量的夹角:. (2) 空间向量的长度或模:. (3) 空间向量的数量积:已知空间中任意两个向量a 、b ,则a ·b =. 空间向量的数量积的常用结论: (a) cos 〈a 、b 〉=; (b) ?a ?2=; (c) a ⊥b ?. (4) 空间向量的数量积的运算律: (a ) 交换律a ·b =; (b ) 分配律a ·(b +c )=. ABCD —A 1B 1C 1D 1中,点F 是侧面CDD 1C 1的中心,若1AA y x ++=,求x -y 的值. 解:易求得0,2 1 =-∴==y x y x 变式训练1.在平行六面体1111D C B A ABCD -中,M 为AC 与BD 的交点,若=11B A a ,=11D A b , =A 1c ,则下列向量中与B 1相等的向量是 ( ) A .-2 1a +2 1b +c B .2 1a +2 1b +c C .2 1a -2 1b +c D .-2 1a -2 1b +c 解:A 例2.底面为正三角形的斜棱柱ABC -A 1B 1C 1中,D 为AC 的中点, 求证:AB 1∥平面C 1BD. 证明:记,,,1c AA b AC a AB ===则 A B C D A 1 B 1
2021年高考数学专题复习:空间向量及其运算
2021年高考数学专题复习:空间向量及其运算 一、单选题 1.若向量(2,0,1)a =-,向量(0,1,2)b =-,则2a b -=( ) A .(4,1,0)- B .(4,1,4)-- C .(4,1,0)- D .(4,1,4)-- 2.在平行六面体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,向量1D A -1D C -11AC 是( ) A .有相同起点的向量 B .等长向量 C .共面向量 D .不共面向量 3.已知空间直角坐标系O xyz -中, )3,2,1(=, )2,1,2(=, ) 2,1,1(=,点Q 在 直线OP 上运动,则当QA QB ?取得最小值时,点Q 的坐标为( ) A .131,,243?? ??? B .133,,224?? ??? C .448,,333?? ??? D .447,,333?? ??? 4.已知直三棱柱111ABC A B C -的侧棱长为6,且底面是边长为2的正三角形,用一平面截此棱柱,与侧棱1AA ,1BB ,1CC 分别交于三点M ,N ,Q ,若MNQ △为直角三角形,则该直角三角形斜边长的最小值为( ). A .2 B .4 C . D .5.在下列条件中,使M 与A ,B ,C 一定共面的是( ) A .OM OA OB OC =-- B .111 532 OM OA OB OC = ++ C .0MA MB MC ++= D .0OM OA OB OC +++= 6.对于空间向量()1,2,3a =,(),4,6b λ=,若//a b ,则实数λ=( )
A .2- B .1- C .1 D .2 7.如图,在平行六面体1111ABCD A B C D -中,已知 AB a =, AD b =, 1AA c =,则用向量a , b ,c 可表示向量 1BD 等于 A .a b c ++ B .a b c -+ C .a b c +- D .a b c -++ 8.在空间直角坐标系中,()()2,2,0,1,,1,OA a b OB c d O ==-为坐标原点,满足 22221,4a b c d +=+=,则下列结论中不正确的是( ) A .·OA O B 的最小值为-6 B .·OA OB 的最大值为10 C .AB D .AB 最小值为1 二、填空题 9.在正方体1111ABCD A B C D -中,给出以下向量表达式: ①111()A D A A AB --; ②111()BC BB DC +-; ③1()2AD AB DD --; ④1111 ()B D A A DD ++. 其中能够化简为向量1BD 的是______________(填序号). 10.已知向量()1,2,3a =,() 2 ,2,b x x y y =+-,并且a ?b 共线且方向相同,则x y +=