解三角形学案

课题：解三角形单元复习

一、教学目标

1、掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题

2、能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法，解决一些测量几何计算等有关的实际问题．

3、经历归纳与总结等过程，培养学生分析、解决问题的能力

二、重点与难点

重点：掌握正弦定理、余弦定理的一些基本运用

难点：（1）用正弦定理解决“已知任意两边与其中一边的对角”这类问题时，对解的个数的判断问题。

突破难点的关键是：利用数形结合的思想， 分析边之间大小关系

（2）借助三角知识或向量运算解决测量物体高度、距离和角度等问题也是难点。 突破难点的关键：明确哪些元素可测，哪些元素不可测，探索如何构造三角形，构造使用正弦定理或余弦定理的条件，将实际问题转化成相应的数学模型。

三、教学手段 多媒体辅助教学

四、教学过程：

（一）基础回扣

1．（2010湖北高考）在ABC ?中，15,10,60a b A ===?，则cos B =（ ）

A －3

B 3

C －3

D 3

2．在ABC ?中，5,3,7,AB AC BC BAC ===∠则的大小为（ ） A 23π B 56π C 34π D 3

π （二）知识链接 正弦定理：______sin sin sin a b c A B C

===（其中R 是ABC ?外接圆的半径） 变形形式：::___________a b c = ，______,______,______a b c ===， sin ______A =

余弦定理：2222cos a b c bc A =+-，2______________,b =2

_______,c =

变形形式：cos __________,cos _________,cos _________A B C ===，

（三）典型例题

例1 在ABC ?中，已知3,30b c B ==?，解三角形

归纳：（1）解三角形的四种情况及解题思路

①已知三角形的两角及任意一边，用________定理

②已知三角形的任意两边与其中一边的对角，用________定理

③已知三角形的任意两边及它们的夹角，用________定理

④已知三角形的三条边，用________定理

（2）本题用了哪些数学思想与方法？

变式训练

已知下列各三角形中两边及其一边的对角，三角形是否有解？

（1）6,30a b A ===?

（2）2,45a b A ===? （3）3,4,60a b A ===?

（4）5,3,120a b B ===?

例2判断下列三角形的形状 （1） 在ABC ?中，

cos cos cos a b c A B C

== （2） 在ABC ?中，sin 2sin cos A C B = （3） 在ABC ?中，22,A C B b ac +==

（4） 在ABC ?中，22

tan :tan :A B a b =

归纳（1）判断三角形的形状基本思路是什么？

（2）一些基本结论：

在ABC ?中，sin ___sin cos _____cos A B a b A B A B >?>?? sin sin _____,sin 2sin 2________A B A B =?=?

例3 为了测量两山顶M ，N 间的距离，飞机沿水平方向在A ，B 两点进行测量，A ，B ，M ，N 在同一个铅垂平面内（如示意图），飞机能够测量的数据有俯角和A ，B 间的距离，请设计一个方案，包括：①指出需要测量的数据（用字母表示，并在图中标出）；②用文字和公式写出计算M ，N 间的距离的步骤。

归纳：实际问题的一般步骤：

①分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图

②建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型；

③求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解

④检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解

例4．（2010安徽理数） 设ABC ?是锐角三角形，,,a b c 分别是内角,,A B C 所对边长，并且22sin sin() sin() sin 33A B B B ππ

=+-+。 (Ⅰ)求角A 的值；

(Ⅱ)若12,AB AC a ==,b c （其中b c <）。

（四）小结提升

（1）本节课你学习了哪些知识？

（2）本节课如何解决问题的，运用了哪些数学思想与方法？

（3）本节课你发挥得怎么样，有什么感受？

（五）课堂练习

1．△ABC 为钝角三角形，a=3,b=4,c=x,C 为钝角，则x 的取值范围是( )

(A)x<5 (B)5

(C)1

2．在ABC ?中，7,5,6AB BC CA ===，则BA BC ?=（ ）

A 18

B 19

C 36

D 38

3．在ABC ?中，22720,8

b b

c c a A --===，则ABC ?的面积是（ ）

A B C 2 D 3

五、作业

1．D 、C 、B 在地面同一直线上，DC =100米，从D 、C 两地测得A 的仰角分别为30和45，则A 点离地面的高AB 等于（ ）米．

A ．100

B ．

C ．501)

D ．501)

2．在ABC ?中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，求证：222sin()sin a b A B c C

--=

3．（2011山东理）在ABC ?中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知c o s 2c o s 2c o s A C c a B b

--=． （I ）求sin sin C A

的值； （II ）若1cos ,2,4

B b ==求AB

C ?的面积S 。