概率论与数理统计习题集及答案

《概率论与数理统计》作业集及答案

第1章 概率论的基本概念

§1 .1 随机试验及随机事件

1. (1) 一枚硬币连丢3次,观察正面H ﹑反面T 出现的情形. 样本空间是:S= ;

(2) 一枚硬币连丢3次,观察出现正面的次数. 样本空间是:S= ; 2.(1) 丢一颗骰子. A :出现奇数点,则A= ;B :数点大于2,则B= . (2) 一枚硬币连丢2次, A :第一次出现正面,则A= ;

B :两次出现同一面,则= ;

C :至少有一次出现正面,则C= .

§1 .2 随机事件的运算

1. 设A 、B 、C 为三事件,用A 、B 、C 的运算关系表示下列各事件:

(1)A 、B 、C 都不发生表示为: .(2)A 与B 都发生,而C 不发生表示为: . (3)A 与B 都不发生,而C 发生表示为: .(4)A 、B 、C 中最多二个发生表示为: . (5)A 、B 、C 中至少二个发生表示为: .(6)A 、B 、C 中不多于一个发生表示为: . 2. 设}42:{},31:{},50:{≤<=≤<=≤≤=x B x x A x x S :则

(1)=?B A ,(2)=AB ,(3)=B A , (4)B A ?= ,(5)B A = 。

§1 .3 概率的定义和性质

1. 已知6.0)(,5.0)(,8.0)(===?B P A P B A P ,则

(1) =)(AB P , (2)()(B A P )= , (3))(B A P ?= . 2. 已知,3.0)(,7.0)(==AB P A P 则)(B A P = .

§1 .4 古典概型

1. 某班有30个同学,其中8个女同学, 随机地选10个,求:(1)正好有2个女同学的概率,

(2)最多有2个女同学的概率,(3) 至少有2个女同学的概率.

2. 将3个不同的球随机地投入到4个盒子中,求有三个盒子各一球的概率.

§1 .5 条件概率与乘法公式

1.丢甲、乙两颗均匀的骰子,已知点数之和为7, 则其中一颗为1的概率是 。 2. 已知,2/1)|(,3/1)|(,4/1)(===B A P A B P A P 则=?)(B A P 。

§1 .6 全概率公式

1. 有10个签,其中2个“中”,第一人随机地抽一个签,不放回,第二人再随机地抽一个

签,说明两人抽“中‘的概率相同。

2. 第一盒中有4个红球6个白球,第二盒中有5个红球5个白球,随机地取一盒,从中

随机地取一个球,求取到红球的概率。

§1 .7 贝叶斯公式

1. 某厂产品有70%不需要调试即可出厂,另30%需经过调试,调试后有80%能出厂,求(1)

该厂产品能出厂的概率,(2)任取一出厂产品, 求未经调试的概率。

2. 将两信息分别编码为A 和B 传递出去,接收站收到时,A 被误收作B 的概率为0.02,

B 被误收作A 的概率为0.01,信息A 与信息B 传递的频繁程度为3 : 2,若接收站收到的信息是A ,问原发信息是A 的概率是多少?

§1 .8 随机事件的独立性

1. 电路如图,其中A,B,C,D 为开关。设各开关闭合与否相互独立,且每一开关闭合的概率均为p,求L 与R 为通路(用T 表示)的概率。

A B L R C D

3. 甲,乙,丙三人向同一目标各射击一次,命中率分别为0.4,0.5和0.6,是否命中,相

互独立, 求下列概率: (1) 恰好命中一次,(2) 至少命中一次。

第1章作业答案

§1 .1 1:(1)},,,,,,,{TTT TTH THT HTT THH HTH HHT HHH S =; (2)}3,2,

1,0{=S

2:(1)}6,5,4,3{}5,3,

1{==B A ;

(2){=A 正正,正反{},=B 正正,反反{},=C 正正,正反,反正}。 §1 .2 1: (1) ABC ;(2) C AB ;(3) C B A ;(4)C B A ??;(5) BC AC AB ??;

(6) C B C A B A ?? 或 C B A C B A C B A C B A +++;

2: (1)}41:{<<=?x x B A ;(2)}32:{≤≤=x x AB ;(3)}43:{<<=x x B A ;

(4)10:{≤≤=?x x B A 或}52≤≤x ;(5)}41:{<<=x x B A 。

§1 .3 1: (1) )(AB P =0.3, (2))(B A P = 0.2, (3) )(B A P ? = 0.7. 2:)(B A P )=0.4.

§1 .4 1:(1)103082228/C C C ,(2)(103082228922181022/C C C C C C )(++,(3)1-(10

30922181022/C C C C )+.

2: 3

344/P .

§1 .5 1:. 2/6; 2: 1/4。

§1 .6 1: 设A 表示第一人“中”,则 P(A) = 2/10

设B 表示第二人“中”,则 P(B) = P(A)P(B|A) + P(A )P(B|A ) =

10

2

9210891102=?+? 两人抽“中‘的概率相同, 与先后次序无关。

2: 随机地取一盒,则每一盒取到的概率都是0.5,所求概率为:

p = 0.5 × 0.4 + 0.5 × 0.5 = 0.45

§1 .7 1:(1)94% (2)70/94; 2: 0.993;

§1 .8. 1: 用A,B,C,D 表示开关闭合,于是 T = AB ∪CD, 从而,由概率的性质及A,B,C,D 的相互独立性

P(T) = P(AB) + P(CD) - P(ABCD)

= P(A)P(B) + P(C)P(D) – P(A)P(B)P(C)P(D)

424222p p p p p -=-+=

2: (1) 0.4(1-0.5)(1-0.6)+(1-0.4)0.5(1-0.6)+(1-0.4)(1-0.5)0.6=0.38; (2) 1-(1-0.4)(1-0.5)(1-0.6)=0.88.

第2章 随机变量及其分布

§2.1 随机变量的概念,离散型随机变量

1 一盒中有编号为1,2,3,4,5的五个球,从中随机地取3个,用X 表示取出的3个球 中的最大号码., 试写出X 的分布律.

2 某射手有5发子弹,每次命中率是0.4,一次接一次地射击,直到命中为止或子弹用尽为止,用X 表示射击的次数, 试写出X 的分布律。

§2.2 10-分布和泊松分布

1 某程控交换机在一分钟内接到用户的呼叫次数X 是服从λ=4的泊松分布,求

(1)每分钟恰有1次呼叫的概率;(2)每分钟只少有1次呼叫的概率; (3)每分钟最多有1次呼叫的概率;

2 设随机变量X 有分布律: X 2

3 , Y ~π(X), 试求: p 0.

4 0.6

(1)P(X=2,Y ≤2); (2)P(Y ≤2); (3) 已知 Y ≤2, 求X=2 的概率。

§2.3 贝努里分布

1 一办公室内有5台计算机,调查表明在任一时刻每台计算机被使用的概率为0.6,计算

机是否被使用相互独立,问在同一时刻 (1) 恰有2台计算机被使用的概率是多少? (2) 至少有3台计算机被使用的概率是多少? (3) 至多有3台计算机被使用的概率是多少? (4) 至少有1台计算机被使用的概率是多少?

2 设每次射击命中率为0.2,问至少必须进行多少次独立射击,才能使至少击中一次的概率不小于0.9 ?

§2.4 随机变量的分布函数

1设随机变量X 的分布函数是: F(x) = ??

?

??≥<≤--<11115.010

x x x

(1)求 P(X ≤0 ); P ()10≤

2 设随机变量X 的分布函数是:F(x) = ???

??≤>+0

01x x x

Ax , 求(1)常数A, (2) P ()21≤

§2.5 连续型随机变量

1 设连续型随机变量X 的密度函数为:??

?<<=他

其01

0)(x kx x f

(1)求常数k 的值;(2)求X 的分布函数F(x),画出F(x) 的图形, (3)用二种方法计算 P(- 0.5

2 设连续型随机变量0≥x 的分布函数为:F(x) = ??

?

??≥<≤

(1)求X 的密度函数)(x f ,画出)(x f 的图形,(2)并用二种方法计算 P(X>0.5).

§2.6 均匀分布和指数分布

1设随机变量K 在区间 (0, 5) 上服从均匀分布, 求方程 42

x + 4Kx + K + 2 = 0

有实根的概率。

2 假设打一次电话所用时间(单位:分)X 服从2.0=α的指数分布,如某人正好在你前面走进电话亭,试求你等待:(1)超过10分钟的概率;(2)10分钟 到20分钟的概率。

§2.7 正态分布

1 随机变量X ~N (3, 4), (1) 求 P(22), P(X>3); (2)确定c ,使得 P(X>c) = P(X

2 某产品的质量指标X 服从正态分布,μ=160,若要求P(120

§2.8 随机变量函数的分布

1设随机变量X 的分布律为; X 0 1 2

p 0.3 0.4 0.3

Y = 2X – 1, 求随机变量X 的分布律。

2设随机变量X 的密度函数为:??

?<<-=他其0

1

0)1(2)(x x x f ,

2X Y =;求随机变量Y 的密度函数。

3. 设随机变量X 服从(0, 1)上的均匀分布,X Y ln 2-= ,求随机变量Y 的密度函数。

第2章作业答案

§2.1 1: X 3 4 5

p 0.1 0.3 0.6

2: X 1 2 3 4 5 p 0.4 0.6×0.4 0.6×0.6×0.4 0.6×0.6×0.6×0.4 0.6×0.6×0.6×0.6×1 §2.2 1: (1) P(X = 1) = P(X ≥1) – P(X ≥2) = 0.981684 – 0.908422 = 0.073262, (2) P(X ≥1) = 0.981684,

(3) P(X ≤1) = 1 - P(X ≥2) = 1 – 0.908422 = 0.091578。

2:(1) 由乘法公式:

P(X=2,Y ≤2) = P(X=2) P(Y ≤2 | X=2)= 0.4× (222

22---++e e e

)= 22-e

(2)由全概率公式:P(Y ≤2) = P(X=2) P(Y ≤2 | X=2) + P(X=3) P(Y ≤2 | X=3)

= 0.4×52

-e + 0.6×

3

2

17-e = 0.27067 + 0.25391 = 0.52458 (3)由贝叶斯公式:P(X=2|Y ≤2)=

516.052458

.027067

.0)2()2,2(==≤≤=Y P Y X P

§2.3 1: 设X 表示在同一时刻被使用的台数,则 X ~B(5, 0.6),

(1) P( X = 2 ) = 32254.06.0C (2) P(X ≥3 ) = 5

44523356.04.06.04.06.0++C C (3) P(X ≤3 ) = 1 - 54456.04.06.0-C (4)P(X ≥1 ) = 1 - 5

4.0

2: 至少必须进行11次独立射击.

§2.4 1:(1)P(X ≤0 )=0.5; P ()10≤

(2) X 的分布律为: X -1 1 P 0.5 0.5

2: (1) A = 1, (2) P ()21≤

§2.5 1:(1)2=k ,(2)??

???≥<≤<=1

11000)(2

x x x

x x F ; (3)P(- 0.5

4

120)(5

.00

5

.05

.05

.0=

+=???

--xdx dx dx x f ; 或= F(0,5) – F(-0.5) =

4

1041=-。 2: (1)???<<=他其01/1)(e

x x x f (2)2ln 1)2(-=>X P

§2.6 1: 3/5 2: 422

)2()1(----e e e

§2.7 1:(1) 0.5328, 0.9996, 0.6977, 0.5;(2) c = 3, 2:σ≤31.25。

§2.8 1: Y - 1 1 3

p 0.3 0.4 0.3

2: ??

?

??<<-=他其010)1(1)(y y y y f Y , 3: ?????≤>=-0

002

1)(2

/y y e y f y Y ;

第3章 多维随机变量

§3.1 二维离散型随机变量

1. 设盒子中有2个红球,2个白球,1个黑球,从中随机地取3个,用X 表示取到的红球

个数,用Y 表示取到的白球个数,写出 (X, Y) 的联合分布律及边缘分布律。

2. 设二维随机变量),(Y X 的联合分布律为: X Y 0 1 2

试根椐下列条件分别求a 和b 的值; 0 0.1 0.2 a (1)6.0)1(==X P ; 1 0.1 b 0.2 (2)5.0)2|1(===Y X P ; (3)设)(x F 是Y 的分布函数,5.0)5.1(=F 。

§3.2 二维连续型随机变量

1. )(Y X 、的联合密度函数为:??

?<<<<+=他其0

1

0,10)(),(y x y x k y x f

求(1)常数k ;(2)P(X<1/2,Y<1/2);(3) P(X+Y<1);(4) P(X<1/2)。

2.)(Y X 、的联合密度函数为:??

?<<<<=他其0

0,10),(x

y x kxy y x f

求(1)常数k ;(2)P(X+Y<1);(3) P(X<1/2)。

§3.3 边缘密度函数

1. 设(X, Y) 的联合密度函数如下,分别求X 与Y 的边缘密度函数。

+∞<<∞-+∞<<∞-++=

y x y x y x f ,)

1)(1(1

),(222π

2. 设(X, Y) 的联合密度函数如下,分别求X 与Y 的边缘密度函数。

??

?<<=-他

其00),(x

y e y x f x

§3.4 随机变量的独立性

1. (X, Y) 的联合分布律如下, X Y 1 2 3 试根椐下列条件分别求a 和b 的值; 1 1/6 1/9 1/18

(1) 3/1)1(==Y P ; 2 a b 1/9 (2) 5.0)2|1(==>Y X P ; (3)已知X 与Y 相互独立。

2. (X,Y) 的联合密度函数如下,求常数c ,并讨论X 与Y 是否相互独立?

???<<<<=他其0

1

0,10),(2y x cxy y x f

第3章作业答案

§3.1 1: X Y 1 2 2: (1) a=0.1 b=0.3

1 0.4 0.3 0.7 (2) a=0.

2 b=0.2

2 0.

3 0. 0.3 (3) a=0.3 b=0.1

0.7 0.3 1

§3.2 1:(1) k = 1;(2) P(X<1/2, Y<1/2) = 1/8;(3) P(X+Y<1) = 1/3;(4) P(X<1/2) = 3/8。 2:(1) k = 8;(2) P(X+Y<1) = 1/6;(3) P(X<1/2) = 1/16。 §3.3 1: +∞<<∞-+=++=

?∞

+∞-x x dy y x x f X )

1(2

)1)(1(1)(2222ππ;

+∞<<∞-+=

++=?

∞+∞

-y y dx y x y f Y )

1(2)

1)(1(1

)(2222ππ;

2: ??

?≤>=-000

)(x x xe x f x

X ; ???≤>=-0

0)(y y e y f y

Y ;

§3.4 1: (1)a=1/6 b=7/18; (2) a=4/9 b=1/9;(3)a = 1/3, b = 2/9。

2: c = 6, X 与Y 相互独立。

第4章 随机变量的数字特征

§4.1 数学期望

1.盒中有5个球,其中2个红球,随机地取3个,用X 表示取到的红球的个数,则EX 是: (A )1; (B )1.2; (C )1.5; (D )2.

2. 设X 有密度函数:??

?

??=0

83)(2

x x f 他其42≤≤x , 求)1(),12(),(2X E X E X E -,并求X

大于数学期望)(X E 的概率。

3. 设二维随机变量),(Y X 的联合分布律为: X Y 0 1 2

已知65.0)(=XY E , 0 0.1 0.2 a 则a 和b 的值是: 1 0.1 b 0.2

(A )a=0.1, b=0.3; (B )a=0.3, b=0.1; (C )a=0.2, b=0.2; (D )a=0.15, b=0.25。

4.设随机变量 (X, Y) 的联合密度函数如下:求)1(,,+XY E EY EX 。

?

??<<<<=他其02

0,10),(y x xy y x f

§4.2 数学期望的性质

1.设X 有分布律: X 0 1 2 3 则)32(2

+-X X E 是: p 0.1 0.2 0.3 0.4

(A )1; (B )2; (C )3; (D )4.

2. 设),(Y X 有?????<<=他其0

1

45

),(2y x y y x f ,试验证 )()()(Y E X E XY E =,但X 与Y 不

相互独立。

§4.3 方差

1.丢一颗均匀的骰子,用X 表示点数,求DX EX ,.

2.X 有密度函数:?

??+=04

/)1()(x x f 他其20≤≤x ,求 D(X).

§4.4 常见的几种随机变量的期望与方差

1. 设)2(~πX ,)6.0,3(~B Y ,相互独立,则)2(),2(Y X D Y X E --的值分别是:

(A )-1.6和4.88; (B )-1和4; (C )1.6和4.88; (D )1.6和-4.88.

2. 设)3,4(~),

,(~N Y b a U X ,X 与Y 有相同的期望和方差,求b a ,的值。

(A ) 0和8; (B ) 1和7; (C ) 2和6; (D ) 3和5.

§4.6 独立性与不相关性 矩

1.下列结论不正确的是( )

(A )X 与Y 相互独立,则X 与Y 不相关; (B )X 与Y 相关,则X 与Y 不相互独立;

(C ))()()(Y E X E XY E =,则X 与Y 相互独立; (D ))()(),(y f x f y x f Y X =,则X 与Y 不相关;

2.若 0),(=Y X C O V

,则不正确的是( ) (A ))()()(Y E X E XY E =;(B ))()()(Y E X E Y X E +=+; (C ))()()(Y D X D XY D =;(D ))()()(Y D X D Y X D +=+; 3.(Y X ,)有联合分布律如下,试分析X 与Y 的相关性和独立性。 X Y -1 0 1 .

-1 1/8 1/8 1/8 0 1/8 0 1/8 1 1/8 1/8 1/8 4.)()()(Y E X E XY E =是X 与Y 不相关的( )

(A )必要条件;(B )充分条件:(C )充要条件;(D )既不必要,也不充分。 5. )()()(Y E X E XY E =是X 与Y 相互独立的( )

(A ) 必要条件;(B )充分条件:(C )充要条件;(D )既不必要,也不充分。 6. 设随机变量 (X, Y) 有联合密度函数如下:试验证X 与Y 不相关,但不独立。

???<<=他其0

1

4/21),(22y x y x y x f

第4章作业答案

§4.1 1: B ; 2:3/2, 2, 3/4, 37/64; 3: D ; 4: 2/3,4/3,17/9; §4.2 1: D ;

§4.3 1:7/2, 35/12; 2:11/36; §4.4 1:A ; 2: B ;

§4.5 1:0.2, 0.355; 2:-1/144, -1/11;

§4.6 1:C ; 2:C ; 3:X 与Y 不相关,但X 与Y 不相互独立;4:C ;5:A ;

第5章 极限定理

*§5.1 大数定理 §5.2 中心极限定理

1. 一批元件的寿命(以小时计)服从参数为0.004的指数分布,现有元件30只,一只在用,

其余29只备用,当使用的一只损坏时,立即换上备用件,利用中心极限定理求30只元件至少能使用一年(8760小时)的近似概率。

2. 某一随机试验,“成功”的概率为0.04,独立重复100次,由泊松定理和中心极限定理

分别求最多“成功”6次的概率的近似值。

第5章作业答案

§5.2 2:0.1788; 3:0.889, 0.841;

第6章 数理统计基础

§6.1 数理统计中的几个概念

1. 有n=10的样本;1.2, 1.4, 1.9, 2.0, 1.5, 1.5, 1.6, 1.4, 1.8, 1.4,则样本

均值X = ,样本均方差=S ,样本方差=2

S 。

2.设总体方差为2

b 有样本n X X X ,,,21 ,样本均值为X ,则=),(1X X Cov 。

§6.2 数理统计中常用的三个分布

1. 查有关的附表,下列分位点的值:9.0Z = ,)5(2

1.0χ= ,)10(9.0t = 。

2.设n X X X ,,,21 是总体)(2

m χ的样本,求)(),

(X D X E 。

§6.3 一个正态总体的三个统计量的分布

1.设总体),(~2

σμN X ,样本n X X X ,,,21 ,样本均值X ,样本方差2

S ,则

~/n

X σμ

- ,

~/n

S X μ

- ,

∑=-n

i i

X X

1

2

2

)(1

σ~ ,

∑=-n

i i

X

1

22

)(1

μσ~ ,

第6章作业答案

§6.1 1.0646.0,254.0,

57.12===s s x ; 2. n b X X Cov /),(21=;

§6.2 1.-1.29, 9.236, -1.3722; 2.n m X D m X E /2)(,)(==;

§6.3 1.)(),1(),

1(),

1,0(22n n n t N χχ--;

第7章 参数估计

§7.1 矩估计法和顺序统计量法

1.设总体X 的密度函数为:????

?≤≤=-他

10)(1

x x

x f θθ,有样本n X X X ,,,21 ,求未

知参数θ 的矩估计。

2.每分钟通过某桥量的汽车辆数)(~λπX ,为估计λ的值,在实地随机地调查了20次,每次1分钟,结果如下:次数: 2 3 4 5 6

量数: 9 5 3 7 4 试求λ的一阶矩估计和二阶矩估计。

§7.2 极大似然估计

1.设总体X 的密度函数为:????

?≤≤+=他

10)1()(x x

x f θ

θ,有样本n X X X ,,,21 ,求

未知参数θ 的极大似然估计。

§7.3 估计量的评价标准

1.设总体X 服从区间)1,(a 上的均匀分布,有样本n X X X ,,,21 ,证明=a

?12-X 是a 的无偏估计。

2.设总体X ~)(λπ,有样本n X X X ,,,21 ,证明2

)1(S a X a -+是参数λ的无偏估计

(10<

§7.4 参数的区间估计

1. 纤度是衡量纤维粗细程度的一个量,某厂化纤纤度),(~2σμN X ,抽取9根纤维,测

量其纤度为:1.36,1.49,1.43,1.41,1.27,1.40,1.32,1.42,1.47,试求μ的置信度为95.0的置信区间,(1)若22

048.0=σ

,(2)若2σ未知

2. 2. 为分析某自动设备加工的另件的精度,抽查16个另件,测量其长度,得075

.12=x

㎜,s = 0.0494㎜, 设另件长度),(~2

σμN X ,取置信度为95.0,(1)求2

σ的置信区

间,(2)求σ的置信区间。

第7章作业答案

§7.1 1:2

)1(

X

X -; 2: 5, 4.97; §7.2 1:21

)1ln (

+∑=n

i i

X

n

§7.3

§7.4 1:(1.377,1.439),(1.346,1.454); 2:(0.0013,0.0058);(0.036, 0.076)

第8章 假设检验

§8.1 假设检验的基本概念

1. 某种电子元件的阻值(欧姆))400,

1000(~N X ,随机抽取25个元件,测得平均电

阻值992=x ,试在1.0=α下检验电阻值的期望μ是否符合要求?

2. 在上题中若2

σ未知,而25个元件的均方差25=s ,则需如何检验,结论是什么?

§8.2 假设检验的说明

1. 设第一道工序后,半成品的某一质量指标)64,(~μN X ,品质管理部规定在进入下一工序前必需对该质量指标作假设检验00:μμ=H ,01:μμ≠H ;16=n ,当X 与0μ的绝对偏差不超过3.29时,许进入下一工序,试推算该检验的显著性水平。

§8.3 一个正态总体下参数的假设检验

1. 成年男子肺活量为3750=μ毫升的正态分布,选取20名成年男子参加某项体育锻练一

定时期后,测定他们的肺活量,得平均值为3808=x 毫升,设方差为2

2120=σ,试检

验肺活量均值的提高是否显著(取02.0=α)?

第8章作业答案

§8.1 1:拒绝1000:0=μH ; 2: 接受1000:0=μH ; §8.2 1:0.1; §8.3 1:拒绝0H ;

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