高中数学:指数函数、对数函数基本公式、基本结论全面总结

高中数学:指数函数、对数函数基本公式、基本结论全面总结
高中数学:指数函数、对数函数基本公式、基本结论全面总结

指数函数和对数函数

1、指数函数:

定义:函数()y a a a x =>≠01且叫指数函数。

定义域为R ,底数是常数,指数是自变量。

为什么要求函数y a x =中的a 必须a a >≠01且。

因为若a <0时,()y x =-4,当x =14时,函数值不存在。

a =0,y x =0,当x ≤0,函数值不存在。 a =1时,y x =1对一切x 虽有意义,函数值恒为1,但

y x =1的反函数不存在, 因为要求函数y a x =中的

a a >≠01且。

1、对三个指数函数y y y x x x ==?? ???=21210,,的图象的认识。

图象特征与函数性质:

对图象的进一步认识,(通过三个函数相互关系的比较):

①所有指数函数的图象交叉相交于点(0,1),如y x =2和y x =10相交于()01,,当x >0时,y x

=10

的图象在y x =2的图象的上方,当x <0,刚好相反,故有10222>及10222--<。

②y x =2与y x =?? ??

?12的图象关于y 轴对称。 ③通过y x =2,y x =10,y x =?? ??

?12三个函数图象,可以画出任意一个函数y a x =(a a >≠01且)的示意图,如y x =3的图象,一定位于y x =2和y x =10两个图象的中间,且过点()01,,从而y x =?? ??

?13也由关于y 轴的对称性,可得y x =?? ??

?13的示意图,即通过有限个函数的图象进一步认识无限个函数的图象。

2、对数: 定义:如果a N a a b =>≠()01且,那么数b 就叫做以a 为底的对数,记作b N a

=l o g (a 是底数,N 是真数,log a N 是对数式。)

由于N a b =>0故log a N 中N 必须大于0。

当N 为零的负数时对数不存在。

(1)对数式与指数式的互化。

由于对数是新学的,常常把不熟悉的对数式转化为指数式解决问题,如: 求lo g .032524?? ??

?

分析:对于初学者来说,对上述问题一般是束手无策,若将它写成log .032524?? ???=x ,再改写为指数式就比较好办。

解:设log .032524?? ??

?=x 则即∴即0325248258251

2

524121

2

032.log .x x x =

?? ??

?=?? ???=-?? ??

?=-- 评述:由对数式化为指数式可以解决问题,反之由指数式化为对数式也能解决问题,因此必须因题而异。

如求35x =中的x ,化为对数式x =log 35即成。

(2)对数恒等式:

由a N b N b a ==()l o g ()12

将(2)代入(1)得a N a N l o g = 运用对数恒等式时要注意此式的特点,不能乱用,特别是注意转化时必须幂的底数和对数的底数相同。 计算:()3132

-log

解:原式==?? ??

?-=31312222

1313

lo g lo g 。 (3)对数的性质:

①负数和零没有对数;

②1的对数是零;

③底数的对数等于1。

(4)对数的运算法则:

①()()l o g l o g l o g a a a M N M N M N R =+∈+,

②()l o g l o g l o g a a a M

N M N M N R =-∈+,

③()()l o g l o g a n a N n N N R =∈+

④()l o g l o g a n a N n N N R =∈+

1

3、对数函数:

定义:指数函数y a a a x =>≠()01且的反函数

y x a =l o g x ∈+∞(,)0叫做对数函数。

1、对三个对数函数y x y x ==l o g l o g 212

,,

y x =lg 的图象的认识。

图象特征与函数性质:

对数指数函数公式全集

C 咨询电话:4006-211-001 WWW r haOfangfa COm 1 指数函数和对数函数 重点、难点: 重点:指数函数和对数函数的概念、图象和性质。 难点:指数函数和对数函数的相互关系及性质的应用,以及逻辑划分思想讨论函数 a . 1及O ::: a ::: 1两种不同情况。 1、指数函数: 定义:函数y =a x a . 0且a --1叫指数函数。 定义域为R 底数是常数,指数是自变量。 认识。 图象特征 函数性质 (1)图象都位于X 轴上方; (1)X 取任何实数值时,都有 a X A0 ; (2)图象都经过点(0, 1); (2)无论a 取任何正数,X = 0时,y = 1 ; (3) y — 2 , y — 10在第一象限内的纵坐 \ > 0 ,贝U a X A 1 (3)当 a > 1 时,{ →, X 标都大于1,在第二象限内的纵坐标都小于 1, < < 0 ,贝U a <1 X A 0 ,贝U a x V 1 y = — [的图象正好相反; 当 0 ca c1 时,< X £ 0 ,贝U a x A 1 k (4) y =2X , y=10X 的图象自左到右逐渐 (4)当a >1时,y =a x 是增函数, 当0cac1时,y=a x 是减函数。 为什么要求函数 y = a 中的a 必须a . 0且a = 1。 X 因为若a ::;0 时, X 1、对三个指数函数 a = 0 , y = 0 a =1 时,y = 1 =1x 的反函数不存在, y =a x ,y =Iog a X 在

上升,y = f l]的图象逐渐下降。 k2 J ①所有指数函数的图象交叉相交于点(0,1),如y=2x和y=10x相交于(0,1), 的图象在y =2x的图象的上方,当X :::0 ,刚好相反,故有1 0 2. 22及10 ^ ::: 2 ^。 步认识无限个函数的图象。 2、对数: 定义:如果a tl = N(a . 0且a ■■ 1),那么数b就叫做以a为底的对数,记作b = Iog a N (a是底数,N是 真数,log a N是对数式。) 由于N ^a b . 0故log a N中N必须大于0。 当N为零的负数时对数不存在。 (1)对数式与指数式的互化。 由于对数是新学的,常常把不熟悉的对数式转化为指数式解决问题,如: 分析:对于初学者来说,对上述问题一般是束手无策,若将它写成 比较好办。 解:设Iog 0.32 X ■? 0 时,y = 10 % ②y =2x与y X 的图象关于y轴对称。 ③通过y = 2 X X 三个函数图象,可以画出任意一个函数y = a 示意图,如y =3x的图象,一定位于y =2x和y =IO x两个图象的中间,且过点(0, 1),从而y = X 也由关于y轴的对称性,可得的示意图,即通过有限个函数的图象进 再改写为指数式就

幂函数、指数函数和对数函数_对数及其运算法则_教案

幂函数、指数函数和对数函数·对数及其运算法则·教案 如果a(a>0,a≠1)的b次幂等于N,就是ab=N,那么数b就叫做以a为底N的对数,记作 logaN=b, 其中a叫做底数,N叫做真数,式子logaN叫做对数式. 练习1 把下列指数式写成对数形式: 练习2 把下列对数形式写成指数形式: 练习3 求下列各式的值: 因为22=4,所以以2为底4的对数等于2. 因为53=125,所以以5为底125的对数等于3. 师:由定义,我们还应注意到对数式logaN=b中字母的取值范围是什么? 生:a>0且a≠1;b∈R;N∈R. 师:N∈R?(这是学生最易出错的地方,应一开始让学生牢牢记住真数大于零.) 生:由于在实数范围内,正数的任何次幂都是正数,因而ab=N中N总是正数. 师:要特别强调的是:零和负数没有对数. 师:定义中为什么规定a>0,a≠1? 生:因为若a<0,则N取某些值时,b可能不存在,如b=log(-2)8不存在;若a=0,则当N不为0时,b不存在,如log02不存在;当N为0时,b可以为任何正数,是不唯一的,即log00有无数个值;若a=1,N 不为1时,b不存在,如log13不存在,N为1时,b可以为任何数,是不唯一的,即log11有无数多个值.因此,我们规定:a>0,a≠1. 师:(板书)对数logaN(a>0且a≠1)在底数a=10时,叫做常用对数,简记lgN;底数a=e时,叫做自然对数,记作lnN,其中e是个无理数,即e≈2.718 28……. 练习4 计算下列对数: lg10000,lg0.01,2log24,3log327,10lg105,5log51125. 师:请同学说出结果,并发现规律,大胆猜想. 生:2log24=4.这是因为log24=2,而22=4. 生:3log327=27.这是因为log327=3,而33=27. 生:10lg105=105. 生:我猜想alogaN=N,所以5log51125=1125. alogaN=N(a>0,a≠1,N>0).(用红笔在字母取值范围下画上曲线) 证明:设指数等式ab=N,则相应的对数等式为logaN=b,所以ab=alogaN=N. 师:你是根据什么证明对数恒等式的? 生:根据对数定义. 师:(分析小结)证明的关键是设指数等式ab=N.因为要证明这个对数恒等式,而现在我们有关对数的知

高中数学指数函数与对数函数

2020-2021学年高一数学单元知识梳理:指数函数与对数函数 1.指数式、对数式的运算、求值、化简、证明等问题主要依据指数式、对数的运算性质,在进行指数、对数的运算时还要注意相互间的转化. 2.指数函数和对数函数的性质及图象特点是这部分知识的重点,而底数a的不同取值对函数的图象及性质的影响则是重中之重,要熟知a在(0,1)和(1,+∞)两个区间取值时,

函数的单调性及图象特点. 3.比较几个数的大小是指数函数、对数函数性质的应用,在具体比较时,可以首先将它们与零比较,分出正数、负数;再将正数与1比较,分出大于1还是小于1;然后在各类中两两相比较. 4.求含有指数函数和对数函数的复合函数的最值或单调区间时,首先要考虑指数函数、对数函数的定义域,再由复合函数的单调性来确定其单调区间,要注意单调区间是函数定义域的子集.其次要结合函数的图象,观察确定其最值或单调区间. 5.函数图象是高考考查的重点内容,在历年高考中都有涉及.考查形式有知式选图、知图选式、图象变换以及用图象解题.函数图象形象地显示了函数的性质.在解方程或不等式时,特别是非常规的方程或不等式,画出图象,利用数形结合能快速解决问题. 6.方程的解与函数的零点:方程f(x)=0有实数解?函数y=f(x)有零点?函数y=f(x)的图象与x轴有交点. 7.零点判断法:如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是一条连续不断的曲线,且有f(a)f(b)<0,那么,函数y=f(x)在区间(a,b)内至少有一个零点,即存在c∈(a,b),使得f(c)=0,这个c也就是方程f(x)=0的解. 注意:由f(a)f(b)<0可判定在(a,b)内至少有一个变号零点c,除此之外,还可能有其他的变号零点或不变号零点.若f(a)f(b)>0,则f(x)在(a,b)内可能有零点,也可能无零点. 8.二分法只能求出其中某一个零点的近似值,另外应注意初始区间的选择. 9.用函数建立数学模型解决实际问题的基本过程如下: 一、指数、对数函数的典型问题及求解策略 指数函数、对数函数的性质主要是指函数的定义域、值域、单调性等,其中单调性是高考考查的重点,并且经常以复合函数的形式考查,求解此类问题时,要以已学函数的单

指数对数概念及运算公式

指数函数及对数函数重难点 根式的概念: ①定义:若一个数的n 次方等于),1(* ∈>N n n a 且,则这个数称a 的n 次方根.即,若 a x n =,则x 称a 的n 次方根)1*∈>N n n 且, 1)当n 为奇数时,n a 的次方根记作n a ; 2)当n 为偶数时,负数a 没有n 次方根,而正数a 有两个n 次方根且互为相反数,记作 )0(>±a a n . ②性质:1)a a n n =)(; 2)当n 为奇数时,a a n n =; 3)当n 为偶数时,???<-≥==) 0() 0(||a a a a a a n 幂的有关概念: ①规定:1)∈???=n a a a a n ( N * , 2))0(10 ≠=a a , n 个 3)∈=-p a a p p (1 Q ,4)m a a a n m n m ,0(>=、∈n N * 且)1>n ②性质:1)r a a a a s r s r ,0(>=?+、∈s Q ), 2)r a a a s r s r ,0()(>=?、∈s Q ), 3)∈>>?=?r b a b a b a r r r ,0,0()( Q ) (注)上述性质对r 、∈s R 均适用. 例 求值 (1) 3 28 (2)2 125 - (3)()5 21- (4)() 43 8116- 例.用分数指数幂表示下列分式(其中各式字母均为正数) (1)43a a ? (2)a a a (3)32 )(b a - (4)43 )(b a + (5)32 2b a ab + (6)42 33 )(b a + 例.化简求值

(1)0 121 32322510002.08 27)()()()(-+--+---- (2)2 11 5 3125.05 25 .231 1.0)32(256) 027.0(?? ????+-+-????? ?-- (3)=?÷ ?--3133 73 32 9a a a a (4)21 1511336622263a b a b a b ??????-÷- ??? ??????? = (5)6323 1.512??= 指数函数的定义: ①定义:函数)1,0(≠>=a a a y x 且称指数函数, 1)函数的定义域为R , 2)函数的值域为),0(+∞, 3)当10<a 时函数为增函数. 提问:在下列的关系式中,哪些不是指数函数,为什么? (1)2 2 x y += (2)(2)x y =- (3)2x y =- (4)x y π= (5)2y x = (6)2 4y x = (7)x y x = (8)(1)x y a =- (a >1,且2a ≠) 例:比较下列各题中的个值的大小 (1)1.72.5 与 1.7 3 ( 2 )0.1 0.8 -与0.2 0.8 - ( 3 ) 1.70.3 与 0.93.1 例:已知指数函数()x f x a =(a >0且a ≠1)的图象过点(3,π),求 (0),(1),(3)f f f -的值. 思考:已知0.7 0.9 0.8 0.8,0.8, 1.2,a b c ===按大小顺序排列,,a b c . 例 如图为指数函数x x x x d y c y b y a y ====)4(,)3(,)2(,)1(,则 d c b a ,,,与1的大小关系为 O x y a d c b

指数函数对数函数幂函数增长速度的比较教学设计

【教学设计中学数学】 区县雁塔区 学校西安市航天中学 姓名贾红云 联系方式 邮编710100 《指数函数、幂函数、对数函数增长的比较》教学设计 一、设计理念 《普通高中数学课程标准》明确指出:“学生的数学学习活动,不应该只限于接受、记忆、模仿和练习,高中数学课程还应该倡导自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学等信息数学的方式;课程内容的呈现,应注意反映数学发展的规律以及学生的认知规律,体现从具体到抽象,特殊到一般的原则;教学应注意创设情境,从具体实例出发,展现数学知识的发生、发展过程,使学生能够从中发现问题、提出问题,经历数学的发现和创造过程,了解知识的来龙去脉等”。本节课是北师大版高中数学必修Ⅰ第三章第6节内容,本节专门研究指数函数、幂函数、对数函数的增长的比较,目的是探讨不同类型的函数模型,在描述实际增长问题时的不同变化趋势,通过本节课的学习,可以引导学生积极地开展观察、思考和探究活动,利用几何画板这种信息技术工具,可以让学生从动态的角度直观观察指数函数、幂函数、对数函数增长情况的差异,使学生有机会接触一些过去难以接触到的数学知识和数学思想,并为学生提供了学数学、用数学的机会,体现了发展数学应用意识、提高实践能力的新课程理念。 二、教学目标 1.结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同增长的函数模型的意义,理解它们增长的差异性; 2.能借助信息技术,利用函数图像和表格,对几种常见增长类型的函数增长的情况进行比较,体会它们增长的差异; 3.体验指数函数、幂函数、对数函数与现实世界的密切联系及其在刻画实际问题中的作用,体会数学的价值. 三、教学重难点

教学重点:认识指数函数、幂函数、对数函数增长的差异,体会直线上升、指数爆炸、对数增长的含 义。 教学难点:比较指数函数、幂函数、对数函数增长的差异 四、教学准备 ⒈提醒学生带计算器; ⒉制作教学用幻灯片; ⒊安装软件:几何画板 ,准备多媒体演示设备 五、教学过程 ㈠基本环节 ⒈创设情景,引起悬念 杰米和韦伯的故事 一个叫杰米的百万富翁,一天,碰上一件奇怪的事,一个叫韦伯的人对他说,我想和你定个合同,我将在整整一个月中每天给你 10万元,而你第一天只需给我一分钱,而后每一天给我的钱是前一天的两倍。杰米说:“真的?!你说话算数?” 合同开始生效了,杰米欣喜若狂。第一天杰米支出一分钱,收入10万元;第二天,杰米支出2分钱,收入10万元;第三天,杰米支出4分钱,收入10万元;第四天,杰米支出8分钱,收入10万元…..到了第二十天,杰米共得到200万元,而韦伯才得到1048575分,共10000元多点。杰米想:要是合同定两个月、三个月多好! 你愿意自己是杰米还是韦伯? 【设计意图】创设情景,构造问题悬念,激发兴趣,明确学习目标 ⒉复习旧知,提出问题 图1-1 图1-2 图1-3 ⑴ 如图1-1,当a 时,指数函数x y a =是单调 函数,并且对于0x >,当底数a 越大时,其 函数值的增长就越 ; ⑵ 如图1-2当a 时,对数函数log a y x =是单调 函数,并且对1x >时,当底数a 越 时 其函数值的增长就越快; ⑶ 如图1-3当0x >,0n >时,幂函数n y x =是增函数,并且对于1x >,当n 越 时,其函数值

指数、对数函数公式

指数函数和对数函数 重点、难点: 重点:指数函数和对数函数的概念、图象和性质。 难点:指数函数和对数函数的相互关系及性质的应用,以及逻辑划分思想讨论函数 y a y x x a ==,log 在a >1及01<≠01且叫指数函数。 定义域为R ,底数是常数,指数是自变量。 为什么要求函数y a x =中的a 必须a a >≠01且。 因为若a <0时,()y x =-4,当x =1 4 时,函数值不存在。 a =0,y x =0,当x ≤0,函数值不存在。 a =1时,y x =1对一切x 虽有意义,函数值恒为1, 但y x =1的反函数不存在,因为要求函数y a x =中的a a >≠01且。 1、对三个指数函数y y y x x x ==?? ? ? ?=21210,,的图 象的认识。 对图象的进一步认识,(通过三个函数相互关系的比较): ①所有指数函数的图象交叉相交于点(0,1),如y x =2和y x =10相交于()01,,当x >0 时,y x =10的图象在y x =2的图象的上方,当x <0,刚好相反,故有10222>及 10222--<。

②y x =2与y x =?? ?? ?12的图象关于y 轴对称。 ③通过y x =2,y x =10,y x =?? ?? ?12三个函数图象,可以画出任意一个函数y a x =(a a >≠01且)的示意图,如y x =3的图象,一定位于y x =2和y x =10两个图象的中 间,且过点()01,,从而y x =?? ???13也由关于y 轴的对称性,可得y x =?? ? ? ?13的示意图,即 通过有限个函数的图象进一步认识无限个函数的图象。 2、对数: 定义:如果a N a a b =>≠()01且,那么数b 就叫做以a 为底的对数,记作b N a =log (a 是底数,N 是真数,log a N 是对数式。) 由于N a b =>0故log a N 中N 必须大于0。 当N 为零的负数时对数不存在。 (1)对数式与指数式的互化。 (2)对数恒等式: 由a N b N b a ==()log ()12 将(2)代入(1)得a N a N log = 运用对数恒等式时要注意此式的特点,不能乱用,特别是注意转化时必须幂的底数和对数的底数相同。 计算: () 313 2 -log 解:原式==?? ?? ?-=3 131 2 222 13 1 3 log log 。 (3)对数的性质: ①负数和零没有对数; ②1的对数是零; ③底数的对数等于1。 (4)对数的运算法则: ①()()log log log a a a MN M N M N R =+∈+ , ②()log log log a a a M N M N M N R =-∈+ , ③()()log log a n a N n N N R =∈+ ④()log log a n a N n N N R =∈+ 1

对数指数函数公式全集

指数函数和对数函数 重点、难点: 重点:指数函数和对数函数的概念、图象和性质。 难点:指数函数和对数函数的相互关系及性质的应用,以及逻辑划分思想讨论函数y a y x x a ==,l o g 在a >1及01<≠01且叫指数函数。 定义域为R ,底数是常数,指数是自变量。 为什么要求函数y a x =中的a 必须a a >≠01且。 因为若a <0时,()y x =-4,当x = 14 时,函数值不存在。 a =0,y x =0,当x ≤0,函数值不存在。 a =1时,y x =1对一切x 虽有意义,函数值恒为1,但 y x =1的反函数不存在, 因为要求函数y a x =中的 a a >≠01且。 1、对三个指数函数y y y x x x ==?? ?? ?=21210,,的图象的 认识。 图象特征与函数性质:

对图象的进一步认识,(通过三个函数相互关系的比较): ①所有指数函数的图象交叉相交于点(0,1),如y x =2和y x =10相交于()01,,当x >0时,y x =10的图象在y x =2的图象的上方,当x <0,刚好相反,故有10222>及10222--<。 ②y x =2与y x =?? ? ? ?12的图象关于y 轴对称。 ③通过y x =2,y x =10,y x =?? ? ? ?12三个函数图象,可以画出任意一个函数y a x =(a a >≠01且)的 示意图,如y x =3的图象,一定位于y x =2和y x =10两个图象的中间,且过点()01,,从而y x =?? ? ? ? 13也由 关于y 轴的对称性,可得y x =?? ? ? ?13的示意图,即通过有限个函数的图象进一步认识无限个函数的图象。 2、对数: 定义:如果a N a a b =>≠()01且,那么数b 就叫做以a 为底的对数,记作b N a =l o g (a 是底数,N 是真数,log a N 是对数式。) 由于N a b =>0 故log a N 中N 必须大于0。 当N 为零的负数时对数不存在。 (1)对数式与指数式的互化。 由于对数是新学的,常常把不熟悉的对数式转化为指数式解决问题,如: 求lo g .032524?? ? ? ? 分析:对于初学者来说,对上述问题一般是束手无策,若将它写成log .032524?? ? ? ?=x ,再改写为指数式就比较好办。 解:设log .032524?? ? ? ?=x

《指数函数和对数函数》知识点汇总及习题详解)

一、指数的性质 (一)整数指数幂 1.整数指数幂概念: a n n a a a a 个???= )(* ∈N n ()010a a =≠ ()1 0,n n a a n N a -*= ≠∈ 2.整数指数幂的运算性质:(1)(),m n m n a a a m n Z +?=∈ (2)()(),n m mn a a m n Z =∈ (3)()()n n n ab a b n Z =?∈ 其中m n m n m n a a a a a --÷=?=, ()1n n n n n n a a a b a b b b --??=?=?= ??? . 3.a 的n 次方根的概念 一般地,如果一个数的n 次方等于a ( )* ∈>N n n ,1,那么这个数叫做a 的n 次方根, 即: 若a x n =,则x 叫做a 的n 次方根, ()* ∈>N n n ,1 例如:27的3次方根3273=, 27-的3次方根3273-=-, 32的5次方根2325=, 32-的5次方根2325-=-. 说明:①若n 是奇数,则a 的n 次方根记作n a ; 若0>a 则0>n a ,若o a <则0a 则a 的正的n 次方根记作n a ,a 的负的n 次方根,记作: n a -;(例如:8的平方根228±=± 16的4次方根2164±=±) ③若n 是偶数,且0a <则n a 没意义,即负数没有偶次方根; ④( )* ∈>=N n n n ,100 0=;

⑤式子n a 叫根式,n 叫根指数,a 叫被开方数。 ∴ n a =. . 4.a 的n 次方根的性质 一般地,若n 是奇数,则a a n n =; 若n 是偶数,则?? ?<-≥==0 0a a a a a a n n . 5.例题分析: 例1.求下列各式的值: (1)() 338- (2) ()210- (3)()44 3π- (4) ()()b a b a >-2解:略。 例2.已知,0<N n n ,1, 化简:()()n n n n b a b a ++-. 解:当n 是奇数时,原式a b a b a 2)()(=++-= 当n 是偶数时,原式a b a a b b a b a 2)()(||||-=--+-=++-= 所以,()()n n n n b a b a ++-22a n a n ?=? -?为奇数 为偶数 . 例3.计算:407407-++ 解:407407-++52)25()25(22=-++= 例4.求值: 54 925-+. 解:549 25-+4 25254 5 49252 )(-+=-+= 452622525+=-+= 2 1 54152 += +=)( (二)分数指数幂 1.分数指数幂: ()10 2 5 0a a a ==> ()124 3 0a a a ==> 即当根式的被开方数能被根指数整除时,根式可以写成分数指数幂的形式; 如果幂的运算性质(2)() n k kn a a =对分数指数幂也适用, 例如:若0a >,则3 223233a a a ???== ??? ,4 554544a a a ???== ???, 23a = 4 5 a =. 即当根式的被开方数不能被根指数整除时,根式也可以写成分数指数幂的形式。 规定:(1)正数的正分数指数幂的意义是)0,,,1m n a a m n N n *=>∈>; (2)正数的负分数指数幂的意义是)10,,,1m n m n a a m n N n a -* == >∈>. 2.分数指数幂的运算性质:整数指数幂的运算性质对于分数指数幂也同样适用

指数函数与对数函数知识点总结

指数函数与对数函数知识点总结 (一)指数与指数幂的运算 1.根式的概念:一般地,如果a x n =,那么x 叫做a 的n 次 方根,其中n >1,且n ∈N * . 当n 是奇数时, a a n n =,当n 是偶数时, ?? ?<≥-==) 0() 0(||a a a a a a n n 2.分数指数幂 正数的分数指数幂的意义,规定: ) 1,,,0(*>∈>=n N n m a a a n m n m )1,,,0(1 1*>∈>= = - n N n m a a a a n m n m n m 3.实数指数幂的运算性质 (1)r a ·s r r a a += ),,0(R s r a ∈>; (2)rs s r a a =)( ),,0(R s r a ∈>; (3)s r r a a ab =)( ),,0(R s r a ∈>. (二)指数函数及其性质 1、指数函数的概念:一般地,函数)1,0(≠>=a a a y x 且叫做指数函数,其中x 是自变量,函数的定义域为R . 二、对数函数 (一)对数 1.对数的概念:一般地,如果N a x =)1,0(≠>a a ,那么数x 叫做以.a 为底..N 的对数, 记作:N x a log =(a — 底数,N — 真数,N a log — 对数式) 两个重要对数: ○ 1 常用对数:以10为底的对数N lg ; ○ 2 自然对数:以无理数 71828.2=e 为底的对数的对数N ln . 指数式与对数式的互化 幂值 真数 (二)对数的运算性质 如果0>a ,且1≠a ,0>M ,0>N ,那么: ○ 1 M a (log ·=)N M a log +N a log ; ○ 2 =N M a log M a log -N a log ; ○ 3 n a M log n =M a log )(R n ∈. 注意:换底公式 a b b c c a log log log = (0>a ,且1≠a ;0>c ,且1≠c ; 0>b ). 利用换底公式推导下面的结论 (1)b m n b a n a m log log =; (2)a b b a log 1log =. (二)对数函数

中职数学指数函数与对数函数试卷

精品资料 欢迎下载 第四章《指数函数与对数函数》测试卷 一、填空题 1. ( ) A 、118 4 23? B 、314 4 23? C 、213 4 23? D 、8 4 23? 2. =??4 36482( ) A 、4 B 、8152 C 、2 72 D 、8 3. 函数()f x = ( ) A.(1,3) B. [-∞,3] C. [3,+∞] D. R 4. 3log 81= ( ) A 、2 B 、4 C 、2- D 、-4 5. 指数函数的图象经过点)27,2 3(,则其解析式是 ( ) A 、x y 3= B 、x y )3 1(= C 、x y 9= D 、x y )9 1(= 6. 下列函数在区间(0,+∞)上是减函数的是 ( ) A 、12y x = B 、3 1x y = C 、2y x -= D 、2 y x = 7. 将25628 =写成对数式 ( ) A 、2256log 8= B 、28log 256= C 、8256log 2= D 、2562log 8= 8. 将ln a = b (a >0) 写成指数式 ( ) A 、10 b = a B 、e b = a C 、 a b = e D 、 e a = b 9. 求值2 2ln log 16lg 0.1e +-等于( ) A 、5 B 、6 C 、7 D 、8 10. 如果32log (log )1x =,那么x =( ) A 、8 B 、9 C 、2 D 、3 11. 函数x x f lg 21)(-= 的定义域为( ) A 、(,10) -∞ -(10,)+∞ B 、(-10,10) C 、(0,100) D 、(-100,100) 12. 3 0.7、3log 0.7、0.7 3 的大小关系是( ) A 、30.730.73log 0.7 << B 、30.730.7log 0.73<< C 、 30.7 3log 0.70.73<< D 、 0.73 3log 0.730.7<< 二、填空题: 1.用不等号连接: (1)5log 2 6l o g 2 ,(2)若n m 33>,则m n ;(3)35.0 36.0 2. 若43x =, 3 4 log 4=y ,则x y += ; 3. 方程x x 28 )3 1 (3 2--=的解集为______________; 4. 若x x f 2)2(=,则=)8(f ; 三、解答题 1.. 解下列不等式: (1)0)3(log 3<-x (2)14 3log

指数、对数函数公式及练习

高加索教育指数函数和对数函数总结练习典藏版 重点、难点: 重点:指数函数和对数函数的概念、图象和性质。 难点:指数函数和对数函数的相互关系及性质的应用,以及逻辑划分思想讨论函数y a y x x a ==,log 在a >1及 01<≠01且叫指数函数。 定义域为R ,底数是常数,指数是自变量。 为什么要求函数y a x =中的a 必须a a >≠01且。 因为若a <0时,()y x =-4,当x = 1 4 时,函数值不存在。 a =0,y x =0,当x ≤0,函数值不存在。 a =1时,y x =1对一切x 虽有意义,函数值恒为1,但y x =1的 反函数不存在,因为要求函数y a x =中的a a >≠01且。 1、对三个指数函数y y y x x x ==?? ?? ?=21210,,的图象的认识。 图象特征与函数性质: 对图象的进一步认识,(通过三个函数相互关系的比较): ①所有指数函数的图象交叉相交于点(0,1),如y x =2和y x =10相交于()01,,当x >0时,y x =10的图象在y x =2的图象的上方,当x <0,刚好相反,故有10222>及10 22 2--<。 ②y x =2与y x =?? ? ? ?12的图象关于y 轴对称。 ③通过y x =2,y x =10,y x =?? ?? ?12三个函数图象,可以画出任意一个函数y a x =(a a >≠01且)的示意图,

如y x =3的图象,一定位于y x =2和y x =10两个图象的中间,且过点()01,,从而y x =?? ? ? ?13也由关于y 轴的对 称性,可得y x =?? ? ? ?13的示意图,即通过有限个函数的图象进一步认识无限个函数的图象。 2、对数: 定义:如果a N a a b =>≠()01且,那么数b 就叫做以 a 为底N 的对数,记作 b N a =log (a 是底数,N 是真 数,log a N 是对数式。) 由于N a b =>0故log a N 中N 必须大于0。 当N 为零或负数时对数不存在。 (1)对数式与指数式的互化。 (2)对数恒等式: 由a N b N b a ==()log ()12 将(2)代入(1)得a N a N log = 运用对数恒等式时要注意此式的特点,不能乱用,特别是注意转化时必须幂的底数和对数的底数相同。 计算:() 3 13 2 -log 解:原式==?? ?? ?-=3 131 2 222 13 1 3 log log 。 (3)对数的性质: ①负数和零没有对数; ②1的对数是零; ③底数的对数等于1。 (4)对数的运算法则: ①()()log log log a a a MN M N M N R =+∈+, ②()log log log a a a M N M N M N R =-∈+ , ③()()log log a n a N n N N R =∈+ ④()log log a n a N n N N R =∈+ 1 3、对数函数: 定义:指数函数y a a a x =>≠()01且的反函数 y x a =log x ∈+∞(,)0叫做对数函数。 1、对三个对数函数y x y x ==log log 212 ,, y x =lg 的图象的认识。 图象特征与函数性质: (1)所有对数函数的图象都过点(1,0),但是y x =log 2与y x =lg 在点(1,0)曲线是交叉的,即当x >0时, y x =log 2的图象在y x =lg 的图象上方;而01<;log .lg .20101<。 (2)y x =log 2的图象与y x =log 12 的图象关于x 轴对称。

高中数学-指数函数对数函数知识点

指数函数、对数函数知识点 知识点内容典型题 整数和有理指数幂的运算 a 0=1(a≠0);a-n= 1 a n (a≠0, n∈N*) a m n=n a m(a>0 , m,n∈N*, 且n>1) (a>0 , m,n∈N*, 且n>1) 当n∈N*时,(n a)n=a 当为奇数时,n a n=a 当为偶数时,n a n=│a│= a (a≥0) -a (a<0) 运算律:a m a n=a m + n (a m)n=a m n (ab)n=a n b n 1.计算: 2-1×6423=. 2. 224282=; 333363= . 3343427=; 393 36 = . 3.? - - + +-45 sin 2 )1 2 ( )1 2 (0 1 4. 指数函数的概念、图象与性质1、解析式:y=a x(a>0,且a≠1) 2、图象: 3、函数y=a x(a>0,且a≠1)的性质: ①定义域:R ,即(-∞,+∞) 值域:R+ , 即(0,+∞) ②图象与y轴相交于点(0,1). ③单调性:在定义域R上 当a>1时,在R上是增函数 当0<a<1时,在R上是减函数 ④极值:在R上无极值(最大、最小值) 当a>1时,图象向左与x轴无限接近; 当0<a<1时,图象向右与x轴无限接 近. ⑤奇偶性:非奇非偶函数. 5.指数函数y=a x(a>0且a≠1)的图象过 点(3,π) , 求f (0)、f (1)、f (-3)的值. 6.求下列函数的定义域: ①2 2x y- =;② 2 4 1 5- = - x y. 7.比较下列各组数的大小: ①1.22.5 1.22.51 , 0.4-0.10.4-0.2 , ②0.30.40.40.3, 233322. ③(2 3 )- 1 2,( 2 3 )- 1 3,( 1 2 )- 1 2 8.求函数 17 6 2 2 1+ - ? ? ? ? ? = x x y的最大值. 9.函数x a y)2 (- =在(-∞,+∞)上是减函数, 则a的取值范围( ) A.a<3 B.c C.a>3 D.2<a<3 10.函数x a y)1 (2- =在(-∞,+∞)上是减函 数,则a适合的条件是( ) A.|a|>1 B.|a|>2 C.a>2 D.1<|a|<2

指数函数对数函数计算题30-1

指数函数对数函数计算题30-1 1、计算:lg 5·lg 8000+06.0lg 6 1lg )2 (lg 23++. 2、解方程:lg 2(x +10)-lg(x +10)3=4. 3、解方程:23log 1log 66-=x . 4、解方程:9-x -2×31-x =27. 5、解方程:x )8 1(=128. 6、解方程:5x+1=12 3-x . 7、计算:10log 5log )5(lg )2(lg 2233+ +·.10 log 18 8、计算:(1)lg 25+lg2·lg50; (2)(log 43+log 83)(log 32+log 92). 9、求函数121log 8.0--= x x y 的定义域. 10、已知log 1227=a,求log 616.

11、已知f(x)=1322+-x x a ,g(x)=522 -+x x a (a >0且a ≠1),确定x 的取值范围,使得f(x)>g(x). 12、已知函数f(x)=321121x x ?? ? ??+-. (1)求函数的定义域;(2)讨论f(x)的奇偶性;(3)求证f(x)>0. 13、求关于x 的方程a x +1=-x 2+2x +2a(a >0且a ≠1)的实数解的个数. 14、求log 927的值. 15、设3a =4b =36,求a 2+b 1的值. 16、解对数方程:log 2(x -1)+log 2x=1 17、解指数方程:4x +4-x -2x+2-2-x+2+6=0 18、解指数方程:24x+1-17×4x +8=0 19、解指数方程:22)223()223( =-++-x x ±2 20、解指数方程:014332 14111=+?------x x 21、解指数方程:042342222=-?--+-+x x x x

中职数学指数函数与对数函数

指数函数与对数函数 一、实数指数幂 1、实数指数幂:如果x n =a (n ∈N +且n >1),则称x 为a 的n 次方根。当n 为奇数时,正数a 的n 次方根是一个正数,负数的n 次方根是一个负数。这时,a 的n 次方根只有一个,记作n a 。当n 为偶数时,正数a 的n 次方根有两个,它们互为相反数,分别记作n a ,- n a 。它们可以写成±n a 的形式。负数没有 (填“奇”或“偶”)次方根。 例:填空: (1)、(38)3= ;(38-)3 = 。 (2)33 8= ;33)8(-= 。 (3)、44 5= ;44)5(-= 。 巩固练习: 1、将下列各分数指数幂写成根式的形式: (1)3 2a (2)5 3-b (b ≠0) 2、将下列各根式写成分数指数幂的形式: (1)52 a (2)3 5 1 a (a ≠0) 3、求下列幂的值: (1)、(-5)0; (2)、(a-b )0; (3)、2-1; (4)、(47)4 。 2、实数指数幂的运算法则 ①、β α a a ?=β α+a ②、βαa a =β α-a ③、β α)(a =αβ a ④、α )(ab =α α b a ? ⑤、α)(b a =αα b a 例1:求下列各式的值: ⑴、2 1100 ⑵、3 2 8- ⑶3 23 188? 例2:化简下列各式: ⑴、3a a ⑵、633333??

巩固练习:1、求下列各式的值: ⑴、4 33 162 ?- ⑵、4482? ⑶553 25.042 ??- 2、化简下列各式: ⑴2 )3(-x ⑵232)(-y x ⑶203 53 2a a a a ???-(a ≠0) 二、幂函数 1、幂函数:形如α x y =(α∈R,α≠0)的函数叫做幂函数,其中x 为自变量,α为常数。 例1、判断下列函数是否是幂函数: ⑴、y =4x ⑵、y =3 -x ⑶、y =2 1 x ⑷、y =x 2 ⑸、s =4t ⑹、y =x x ++2) 1( ⑺、y =2 x +2x+1 巩固练习:观察下列幂函数在同一坐标系中的图象,指出它们的定义域: ⑴、y =x ;⑵、y =2 1x ;⑶y =1 -x ; ⑷y =2 x ;⑸y =41 -x 。 o x 1 1 y y =x y=x -1 y=x 2

对数函数公式.pdf

指数函数和对数函数 y a a a x =>≠01且定义域为R ,底数是常数,指数是自变量。a 必须a a >≠01且。 如果 a N a a =>≠()01且,那么数 b 就叫做以a 为底的对数,记作b N a =log (a 是底数,N 是真数,log a N 是对 数式。)由于N a b =>0故log a N 中N 必须大于0。 当N 为零的负数时对数不存在 求35x =中的x ,化为对数式x =log 35即成。 对数恒等式:由a N b N b a ==()log ()12a N a N log =对数的性质:①负数和零没有对数; ②1的对数是 零; ③底数的对数等于1。对数的运算法则: ()() log log log a a a MN M N M N R =+∈+ , ()log log log a a a M N M N M N R =?∈+,()() log log a n a N n N N R =∈+ () log log a n a N n N N R =∈+1 3、对数函数:定义:指数函数y a a a x =>≠()01且的反函数y x a =log x ∈+∞(,)0叫做对数函数。 1、对三个对数函数y x y x ==log log 212 ,,y x =lg 的图象的认识。:

4、对数换底公式: log log log log (.)log b a a n e g N N b L N N e N L N N = ===其中…称为的自然对数称为常数对数 27182810 由换底公式可得: L N N e N N n = ==lg lg lg ..lg 04343 2303 由换底公式推出一些常用的结论: (1) log log log log a b a b b a b a = =11或· (2)log log a m a n b m n b = (3)log log a n a n b b = (4)

指数函数和对数函数复习有详细知识点和习题详解

一、指数的性质 (一)整数指数幂 1.整数指数幂概念: 43 421Λa n n a a a a 个???= )(*∈N n ()0 10a a =≠ 2.整数指数幂的运算性质:(1)(),m n m n a a a m n Z +?=∈ (2) ()(),n m mn a a m n Z =∈ (3)()()n n n ab a b n Z =?∈ 其中m n m n m n a a a a a --÷=?=, ()1n n n n n n a a a b a b b b --??=?=?= ??? . 3.a 的n 次方根的概念 一般地,如果一个数的n 次方等于a ( )* ∈>N n n ,1,那么这个数叫做a 的n 次方根, 即: 若a x n =,则x 叫做a 的n 次方根, ()* ∈>N n n ,1 例如:27的3次方根3273=, 27-的3次方根3273-=-, 32的5次方根2325=, 32-的5次方根2325-=-. 说明:①若n 是奇数,则a 的n 次方根记作n a ; 若0>a 则0>n a ,若o a <则0a 则a 的正的n 次方根记作n a ,a 的负的n 次方根,记作:n a -;(例如:8的平方根228±=± 16的4次方根2164±=±) ③若n 是偶数,且0a <则n a 没意义,即负数没有偶次方根; ④( )* ∈>=N n n n ,100Θ 0=; ⑤式子n a 叫根式,n 叫根指数,a 叫被开方数。 ∴ n a =. . 4.a 的n 次方根的性质 一般地,若n 是奇数,则a a n n =; 若n 是偶数,则???<-≥==0 0a a a a a a n n . 5.例题分析: 例1.求下列各式的值: (1)( )33 8 - (2)() 2 10- (3)()44 3π- (4) ()() b a b a >-2解:略。 例2.已知,0<N n n ,1, 化简:()()n n n n b a b a ++-. 解:当n 是奇数时,原式a b a b a 2)()(=++-= 当n 是偶数时,原式a b a a b b a b a 2)()(||||-=--+-=++-= 所以,()()n n n n b a b a ++-22a n a n ?=? -?为奇数 为偶数 . 例3.计算:407407-++ 解:407407-++52)25()25(22=-++=

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