高考数学复习知识点按难度与题型归纳

第I卷 160分部分

一、填空题

答卷提醒：重视填空题的解法与得分，尽可能减少失误，这是取得好成绩的基石!

A、1～4题，基础送分题，做到不失一题！ A1.集合性质与运算 1、性质：

①任何一个集合是它本身的子集，记为A A；②空集是任何集合的子集，记为 A；

③空集是任何非空集合的真子集；如果A B，同时B A，那么A = B．

如果A B，B C，那么A C．

【注意】：

①Z= {整数}（√） Z ={全体整数} （×）

②已知集合S 中A的补集是一个有限集，则集合A也是有限集．（×）③ 空集的补集是全集．

④若集合A=集合B，则CBA = ， CAB = CS（CAB）= D （注：CAB = ）．

2、若Ａ={a1,a2,a3 an}，则Ａ的子集有2n个，真子集有2n 1个，非空真子集有2n 2个.

3、A （B C）（ A B）（ A C）,A （B C）（ A B）

（ A C）；

（A B） C A （B C）,（A B） C A （B C）4、 De Morgan 公式:C

(A B) CUA CUB

；C

(A B) CUA CUB

【提醒】：数轴和韦恩图是进行交、并、补运算的有力工具.

在具体计算时不要忘了集合本身和空集这两种特殊情况，补集思想常运用于解决否定型或正面较复杂的有关问题。

A2.命题的否定与否命题

*1.命题p q的否定与它的否命题的区别：

命题p q的否定是p q,否命题是 p q.

命题“p或q”的否定是“ p且 q”,“p且q”的否定是“ p或

q”. *2.常考模式：

全称命题p： x M,p(x)；全称命题p的否定 p： x M, p(x). 特称命题p： x M,p(x)；特称命题p的否定 p： x M, p(x).

A3.复数运算

*1.运算律：?zm zn zm n；?(zm)n zmn；

?(z1 z2)m z1mz2m(m,n N).

【提示】注意复数、向量、导数、三角等运算率的适用范围. *2.模的性质：

?|z1z2| |z1||z2|；?|*3.重要结论：

2222

?|z1 z2| |z1 z2| 2(|z1| |z2|)；

z1z2

|z1||z2|

；?z

?z1 z2 z

z；? 1 i 2i；?4n 1

1 i1 i

i，

1 i1 i

i；

?i性质：T=4；i

i,i

4n 2

1, i

4n 3

i, i 1.

【拓展】： 1 1 1 0

1或

A4.幂函数的的性质及图像变化规律：

(1)所有的幂函数在(0, )都有定义，并且图像都过(2)a 0时，幂函数的图像通过原点，并且在区间函数．特别地，当a 1时，幂函数的图像下凸；当函数的图像上凸；

点(1,1)；

[0, )上是增

0 a 1时，幂

(3)a 0时，幂函数的图像在区间(0, )上是减函数．在第一象限内，当x从右边趋向原点时，图像在y轴右方无限地逼近y轴正半轴，当x 趋于时，图像在x轴上方无限地逼近x轴正半轴．【说明】：对于幂函数我们只要求掌握a 1,2,3,1,1的这5类，它们的图像都经过一个定点(0,0)和(0,1)，

并且x 1时图像都经过(1,1)，把握好幂函数在第一象限内的图像就可以了. A5.统计

1.抽样方法：

(1)简单随机抽样(抽签法、随机样数表法)常常用于总体个数较少时，它的主要特征是从总体中逐个抽取. (2)分层抽样，主要特征分层按比例抽样，主要使用于总体中有明显差异.共同点：每个个体被抽到的概

率都相等（

）.

2.总体分布的估计就是用总体中样本的频率作为总体的概率.

总体估计掌握：一“表”(频率分布表)；两“图”(频率分布直方图和茎叶图). ?频率分布直方图

用直方图反映样本的频率分布规律的直方图称为频率分布直方图。频率分布直方图就是以图形面积的形式反映了数据落在各个小组内的频率大小.

①频率=

频数样本容量

频率组距

②小长方形面积=组距×=频率.

③所有小长方形面积的和=各组频率和=1. 【提醒】：直方图的纵轴(小矩形的高)一般是频率除以组距的商(而不是频率)，横轴一般是数据的大小，小矩形的面积表示频率. ?茎叶图

当数据是两位有效数字时，用中间的数字表示十位数，即第一个有效数字，两边的数字表示个位数，即第二个有效数字，它的中间部分像植物的茎，两边像植物茎上长出来的叶子，这种表示数据的图叫做茎叶图。

3.用样本的算术平均数作为对总体期望值的估计；

样本平均数： x

(x1 x2 xn)

i 1

4.用样本方差的大小估计总体数据波动性的好差(方差大波动差). (1)一组数据x1,x2,x3, ,xn

①样本方差

[(x1 ) (x2 ) (xn )]

222

i 1

(xi )

( x) (

i 1

xi) ；

②样本标准差

(2)两组数据x1,x2,x3, ,xn与y1,y2,y3, ,yn,其中

y axi b,i 1,2,3, ,n.则 b,它们

的方差为Sy aSx,标准差为

222

|a| x

③若x1,x2, ,xn的平均数为x，方差为s，则

ax1 b,ax2 b, ,axn b的平均数为ax b，方差

为as.

'222

样本数据做如此变换：xi axi b，则x ax b，(S ) aS.

B、(5～9，中档题，易丢分，防漏/多解) B1.线性规划

1、二元一次不等式表示的平面区域：

（1）当A 0时，若Ax By C 0表示直线l的右边，若Ax （2）当B

By C 0By C 0

则表示直线l的左边. 则表示直线l的下方.

时，若Ax By C 0表示直线l的上方，若Ax

2、设曲线C:(A1x B1y C1)(A2x B2y C2) 0（A1A2B1B2 0），则

(A1x B1y C1)(A2x B2y C2) 0或 0所表示的平面区域：

两直线A1x B1y C1 0和A2x B2y C2 0所成的对顶角区域（上下或左右两部分）.

3、点P0(x0,y0)与曲线f(x,y)的位置关系：

若曲线f(x,y)为封闭曲线（圆、椭圆、曲线|x a| |y b| m等），则f(x0,y0) 0，称点在曲线外部；

若f(x,y)为开放曲线（抛物线、双曲线等），则f(x0,y0) 0，称点亦在曲线“外部”. 4、已知直线l:Ax By C 0，目标函数z

Ax By

①当B 0时，将直线l向上平移，则z的值越来越大；直线l向下平移，则z的值越来越小；②当B 0时，将直线l向上平移，则z的值越来越小；直线l向下平移，则z的值越来越大； 5、明确线性规划中的几个目标函数（方程）的几何意义：

（1）z ax by，若b 0，直线在y轴上的截距越大，z越大，若

b 0，直线在y轴上的截距越大，

z越小. （2）

y mx n

表示过两点 x,y , n,m 的直线的斜率，特别

表示过原点和 n,m 的直线的斜率.

（3）t x m y n 表示圆心固定，半径变化的动圆，也可以认为是二元方程的覆盖问题. （4）

x,y 到点 0,0 的距离.

（5）F(cos ,sin )；（6

）d

；

（7）a2 ab b2；【点拨】：通过构造距离函数、斜率函数、截距函数、单位圆x2+y2=1上的点(cos ,sin )及余弦

定理进行转化达到解题目的。 B 2.三角变换：

三角函数式的恒等变形或用三角式来代换代数式称为三角变换．

三角恒等变形是以同角三角公式，诱导公式，和、差、倍、半角公式，和差化积和积化和差公式，万能公式为基础．

三角代换是以三角函数的值域为根据，进行恰如其分的代换，使代数式转化为三角式，然后再使用上述诸公式进行恒等变形，使问题得以解决．

三角变换是指角(“配”与“凑”)、函数名(切割化弦)、次数(降与升) 、系数(常值“1”) 和运算结构(和与积)的变换，其核心是“角的变换”.

角的变换主要有：已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其和差角的变换.

变换化简技巧：角的拆变，公式变用，切割化弦，倍角降次，“1”的变幻，设元转化，引入辅角，平方消元等.

具体地：

（1）角的“配”与“凑”：掌握角的“和”、“差”、“倍”和“半”公式后，还应注意一些配凑变形

技巧，如下：

， 2 ；

，

；

( ) ( )

； 2

2 2[( ) ] 2[( ) ] ( ) ( ) ( ) ( )；

2 ( )

，2 ( ) ；

15 45 30 ,75 45 30 ；

数学应试笔记第2页

4 等.

（2）“降幂”与“升幂”（次的变化）

利用二倍角公式cos2 cos2 sin2 2cos2 1 1 2sin2 和二倍角公式的等价变形2cos2 ，cos2 sin2 ，可以进行“升”与“降”的变换，即“二次”与“一次”sin

的互化.

（3）切割化弦（名的变化）

利用同角三角函数的基本关系，将不同名的三角函数化成同名的三角函数，以便于解题.经常用

的手段是“切化弦”和“弦化切”.

（4）常值变换

.此外，对常值“1”可作如下代22222

换：

1 sinx cosx secx tanx tanx cotx 2sin30 tan sin cos 0 等.

常值42

（5）引入辅助角

一般的，asin bcos

cos

tan

) sin(

)，期中

sin

特别的，sinA cosA sinx

); )，

)等.

x 2sin(x

x cosx 2sin(x

（6）特殊结构的构造

构造对偶式，可以回避复杂三角代换，化繁为简.

举例：A sin220 cos250 sin20 cos50 ，

B cos220 sin250 cos20 sin50 可以通过

A B 2 sin70 ,A B

sin70 两式和，作进一步化简.

（7）整体代换

举例：sinx cosx m 2sinxcosx m 1

sin( ) m，sin( ) n，可求出sin cos ,cos sin 整体值，作为代换之用. B 3.三角形中的三角变换

三角形中的三角变换，除了应用公式和变换方法外，还要注意三角形自身的特点． (1)角的变换

因为在 ABC中，A B C （三内角和定理），所以

任意两角和：与第三个角总互补，任意两半角和与第三个角的半角总互余. 锐角三角形：①三内角都是锐角；②三内角的余弦值为正值；

③任两角和都是钝角；④任意两边的平方和大于第三边的平方.

即，sinA sin(B C)；cosA cos(B C)；tanA tan(B C)．

sin

cos

B C2

；cos

sin

B C2

；tan

cot

B C2

(2)三角形边、角关系定理及面积公式，正弦定理，余弦定理．

面积公式：S

12sha

absinC r p

A2tan

B2 tan

B2tan

C2 tan

C2tan

A2 1

其中r为三角形内切圆半径，p为周长之半．tan

(3)对任意 A BC，；

在非直角 ABC中，tanA tanB tanC tanAtanBtanC． (4)在 ABC 中，熟记并会证明：

*1. A, B, C成等差数列的充分必要条件是 B 60 ．

*2. ABC是正三角形的充分必要条件是 A, B, C成等差数列且a,b,c,成等比数列． *3.三边a,b,c成等差数列

2b a c 2sinA sinB sinC tan

*4.三边a,b,c,成等比数列 b2 ac sin2A sinBsinC,B≤ (5)锐角 ABC中,A B

tan

；B≤

sinA cosB,sinB cosC,sinC cosA ，a2 b2 c2；

sinA sinB sinC cosA cosB cosC.

【思考】：钝角 ABC中的类比结论 (6)两内角与其正弦值：

在 ABC中，a b A B sinA sinB cos2B cos2A，… (7)若

A B C ，则x y z≥2yzcosA 2xzcosB 2xycosC. B 4.三角恒等与不等式组一

sin3 3sin 4sin ,cos3 4cos 3cos

sin sin sin sin

222

cos2

)tan(

cos

tan3

3tan tan 1 3tan

tan tan(