浙江省温州市十校联合体2016届高三数学上学期期初联考试题 文

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2015学年第一学期十校联合体高三期初联考

文科数 学试卷

一、选择题：本大题有8小题，每小题5分，共40分.

1．已知全集U =R ，集合{}012A =，，，{}234B =，，，则阴影部分所表示集合为（ ▲ ）

A ．{}2

B ．{}01，

C ．{}34，

D ．{}0,1,2,3,4

2．已知βα,角的终边均在第一象限，则“βα>”是“βαsin sin >”的（ ▲ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件

3．若三棱锥的三视图如右图所示，则该三棱锥的体积为（ ▲ ）

A ．80

B ．40

C ．803

D ．403

4．设n m ,为两条不同的直线，βα,为两个不同的平面，下列命题中为真命题的是（ ▲ ） A.若//,n//m αα，则m//n B.若,m ααβ⊥⊥，则//m β C. 若βα//,m m ⊥，则βα⊥ D. 若//,m αα

β⊥，则m β⊥ 5．函数()2sin 1

x

f x x =

+的图象大致为（ ▲ ）

6.已知ABC ?的面积为2，E,F 是AB,AC 的中点，P 为直线

EF 上任意一点，则2

PB PC BC ?+ 的最

小值为（ ▲ ）

A.2

B.3

C.

7.已知函数222

(1)0()4(3)0x k a x f x x x a x ?+-≥=?-+-

（）

，其中a R ∈,若对任意的非零实数1x ，存在唯一的非零实数212()x x x ≠，使得12()()f x f x =成立，则k 的取值范围为（ ▲ ）

.08808A k k k k k ≤≥≤≤≤≥ B. C.0 D.或

8.如图,已知双曲线22

221(0,0)x y a b a b

-=>>上有一点A,它关于原点的对称点为B ，点F 为双曲线

的右焦点，且满足AF BF ⊥，设ABF α∠=，且,126ππα??

∈????

，则该双曲线离心率e 的取值范围为（ ▲ ）

.A ++ B. C. D.

二、填空题（本大题共7小题，前四题每题6分,每空格3分,后

三题,每题4分，共36分） 9．设函数31,1,()2,

1.

x

x x f x x -

10．已知

,255

lg =x

则x= ▲ ；设 m 52b

a ==，且2b

1a 1=+，则m= ▲ 11.设圆C ：22

()(21)1x k y k -+-+=，则圆C 的圆心轨迹方程为 ▲ ,若0k =时，则

直线:310l x y +-=截圆C 所得的弦长= ▲

12．“斐波那契数列”是数学史上一个著名数列，在斐波那契数列{}n a 中，11=a ，12=a …

)(12*++∈+=N n a a a n n n 则=7a ▲ ；若2017a m =，则数列{}n a 的前2015项和是 ▲ （用m 表示）．

13．若实数y x ,满足不等式组330101x y x y y +-≤??

-+≥??≥-?

，

，，则

2||z x y =+的取值范围是 ▲

14.如图，水平地面ABC 与墙面BCD 垂直，E,F 两点在线段BC 上，且满足4EF =，某人在地面ABC 上移动，为了保证观察效果，要求他到E,F 两点的距离和恰好为6，把人的位置记为P ，点R 在线段EF 上，满足RF=1，点Q

在墙面上，且QR BC ⊥,2QR =,由点P 观察点Q 的仰角为θ，当PE 垂直面DBC 时，则tan θ= ▲

15.已知,x y 为正数，且13

310x y x y

+

++=，则3x y +的最大值为 ▲ 三、解答题：本大题有5小题，共 74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

16．（本题满分14分）

已知(2sin ,sin cos )m x x x =- ，,sin cos )n x x x =+ ，记函数()f x m n =? ．

（1）求函数()f x 的最大以及取最大值时x 的取值集合；

（2）设ABC ?的角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若()2f C =，c =ABC ?面积的最大值． 17．（本题满分15分）

已知等差数列{}n a 满足：37a =，5726a a +=，{}n a 的前n 项和为n S ． （Ⅰ）求n a 及n S ； （Ⅱ）令b n =

2

11

n a -（n ∈N *

），求数列{}n b 的前n 项和n T ． \ 18．（本题满分15分）如图，在三棱锥P ABC -中，△PAB 和△CAB 都是以AB 为斜边的等腰直角三

角形， 若2AB PC ==D 是PC 的中点

（1）证明：AB ⊥PC ；

（2）求AD 与平面AB C 所成角的正弦值．

19．（本题满分15分）已知抛物线C:22(0)x py p =>的焦点为F ，直线220x y -+= 交抛物线C 于A 、B 两点,P 是线段AB 的中点,过P 作x 轴的垂线交抛物线C 于点Q ． （1）若直线AB 过焦点F ，求AF BF ?的值；

（2）是否存在实数p ，使ABQ ?是以Q 为直角顶点的直角三角形？若存在，求出p 的值；若不存在，说明理由．

20．（本题满分15分）

已知函数2()1,()||f x x g x x a =-=-．

（1）当1a =时，求()()()F x f x g x =-的零点；

（2）若方程|()|()f x g x =有三个不同的实数解，求a 的值； （3）求()()()G x f x g x =+在[2,2]-上的最小值()h a .

2015学年第一学期十校联合体高三期初联考

文科数学参考答案

命题人:龙港高级中学 审核人: 温州八高

一、选择题：(本大题有8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项

二、填空题（本大题共7小题，前四题每题6分,每空格3分,后三题,每题4分，共36分）

9. 2 、

23

10. 100

11． 210x y --= 、5

12．13 、1m - 13．[]1,11-

14． 15． 8

三、解答题：本大题有5小题，共 74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16．（本题满分14分） 解（1）由题意，得

22()cos sin cos f x m n x x x x =?=+-

（1分）

1cos 21cos 2

22cos 222

x x

x x x -+=+

-=- （3分） 2sin(2)6

x π

=-

（4分）

max 2y ∴= （5分）

当()f x 取最大值时，即sin(2)16

x π

-

=，此时22()6

2

x k k Z π

π

π-

=+

∈，

()3

x k k Z π

π=+

∈解得 （6分）

所以x 的取值集合为,3x x k k Z π

π?

?

=+

∈???

?

． （7分）

（2）因()2f C =，由（1）得sin(2)16

C π

-=，又0C π<<，即1126

6

6

C π

π

π

-

<-

<

， 所以26

2

C π

π

-

=

，解得3

C π

=

， （10分）

在ABC ?中，由余弦定理2222cos c a b ab C =+-， （11分） 得223a b ab ab =+-≥，即3ab ≤， （13分） 所以1

sin 2

ABC S ab C ?=

（14分）

44

ab =

≤

（15分） 所以ABC ?

17 （本题满分15分）

解：（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d ，因为37a =，5726a a +=，所以有

1127

21026

a d a d +=??

+=?，解得13,2a d ==， （4分） 所以321)=2n+1n a n =+-（； （5分）

n S =n(n-1)

3n+

22

?=2n +2n ． （7分） （Ⅱ）由（Ⅰ）知2n+1n a =， 所以b n =

21

1n a -=21=2n+1)1-（114n(n+1)?=111(-)4n n+1

?，（12分）

所以n T =

111111(1-+++-)4223n n+1?- =11

(1-)=4n+1?n 4(n+1)

，（15分）

即数列{}n b 的前n 项和n T =

n

4(n+1)

．

18．（本题满分15分） 解：（1）取AB 中点E ，连接PE,EC, 由于,PAB CAB ??为等腰直角三角形，

则CE AB ⊥,PE AB ⊥, (4分) 则AB ⊥平面PEC ， (6分)

所以PC AB ⊥ (7分)

（2）取CE 中点O,再取OC 中点F ，连接PO,DF,AF ， 由于,PAB CAB ??为等腰直角三角形，

又2

2

,2===CE PE AB 所以，(8分)

又PC =

PEC ∴?为正三角形 ( 9分)

,CE PO ⊥∴则⊥PO 平面ABC ， (10分) ,//DF PO ,ABC DF 面⊥∴ (11分)

所以DAF ∠为所求角． (12分)

46=

PO 可求，8

6=DH (13分) 又在PAC ?中可求,4

14

=

AD (14分) .14

21

sin ==

∠AD DH DAH 15分

19. （本题满分15分）

解：（1）∵ ()0,2F ，4p =， (2分) ∴ 抛物线方程为y x 82

=，

与直线22y x =+联立消去y 得： 016162

=--x x ， （4分）

设),(),,(2211y x B y x A ，则16,162121-==+x x x x ， （5分） ∴ =++=++=)42)(42()2)(2(||||2121x x y y BF AF 80； （7分）

（2）假设存在，由抛物线py x 22

=与直线22y x =+联立消去y 得：0442

=--p px x 设),(),,(2211y x B y x A ，则p x x p x x 4,42121-==+，（10分） 可得),2,2(p p Q （12分）

由0=?得：0)2)(2()2)(2(2121=--+--p y p y p x p x ，

即0)22)(222()2)(2(2121=-+-++--p x p x p x p x ， ∴ 0488))(64(522121=+-++-+p p x x p x x ，（13分） 代入得01342=-+p p ，)(14

1

舍或-==p p ．（15分） 20．（本题满分15分）

解：（1）当1a =时，2

2

2,1,

()1|1|2, 1.

x x x F x x x x x x ?- ≥?=---=?+-

令()0F x =得，当1x ≥时，2

0x x -=，1x =（0x =舍去）

当1x <时，220x x +-=，2x =-（1x =舍去）

所以当1a =时，()F x 的零点为1，2- 3分 （2）方法一:方程|()|()f x g x =，即2|1|||x x a -=-，

变形得22(1)(1)0x x a x x a +---+-=， 5分

从而欲使原方程有三个不同的解，即要求方程2

10x x a +--= (1)

与2

10x x a -+-= (2)

满足下列情形之一：

（Ⅰ）一个有等根，另一个有两不等根，且三根不等 （Ⅱ）方程（1）、（2）均有两不等根且由一根相同； 对情形（I ）：若方程(1)有等根，则

14(1)0a ?=++= 解得 5

4

a =-代入方程（2）检验符合；

若方程(2)有等根，则14(1)0a ?=--=解得5

4

a =代入方程（1）检验符合； 7分

对情形（Ⅱ）：设0x 是公共根，则22000011x x a x x a +--=-+-， 解得0x a =代入（1）得1a =±，

1a =代入|()|()f x g x =检验得三个解为-2、0、1符合 1a =-代入|()|()f x g x =检验得三个解为2、0、-1符合

故|()|()f x g x =有三个不同的解的值为5

4

a =±

或1a =±． 9分 方法二: 方程|()|()f x g x =，即2|1|||x x a -=-，

变形得22(1)(1)0x x a x x a +---+-=， 5分 则2

2

11a x x a x x =+-=-++或，

再结合221,1y x x y x x =+-=-++，找出两个二次函数的公共点及顶点，

y a =用直线去截，得到三个交点的情况即可。适当给分，少一种情况扣1分

方法三：直接画2|1|,||y x y x a =-=-及的图像，分类讨论，适当给分，少一种情况扣1分。

（3）因为2

()()()1||G x f x g x x x a =+=-+-=221()

1()

x x a x a x x a x a ?+--≥?-+-

当2a ≤-时2()1G x x x a =+--，在1[2,]2--上递减，在1

[,2]2-

上递增，

故()G x 在[2,2]-上最小值为min 15

()()24G x G a =-=-- 10分

当2a ≥时2()1G x x x a =--+，在1[2,]2-上递减，在1

[,2]2上递增，

故()G x 在[2,2]-上最小值为min 15

()()24

G x G a ==-+ 11分

当22a -<<时，221(2)

()1(2)x x a a x G x x x a x a ?+--≤

=??-+--≤

（i ）当122a -<≤-时，结合图形可知当1[2,]2

x ∈--时递减，在1

[,2]2-上递增

故此时()G x 在上的最小值为min 15

()()24

G x G a =-=-- 12分

（ⅱ）当11

22

a -<≤时，结合图形可知当[2,]x a ∈-时递减，当[,2]x a ∈时递增，

故此时()G x 在上的最小值为2min ()()1G x G a a ==- 13分 （ⅲ）当

122a <<时，结合图形可知当1[2,]2x ∈-时递减，当1

[,2]2

x ∈时递增， ()G x 在[2,2]-上最小值为min 15

()()24

G x G a ==-+ 14分

综上所述： 2

51,()4211()1,()225

1,()42a a h a a a a a ?-+≥??

?=--<

?--≤-??

15分

解法二：因为2

()()()1||G x f x g x x x a =+=-+-=221()

1()

x x a x a x x a x a ?+--≥?-+-

当12a ≤-

时，()G x 在1[2,]2--上递减，在1

[,2]2

-上递增， 故()G x 在[2,2]-上最小值为min 15

()()24

G x G a =-=-- 11分

当12a ≥时2()1G x x x a =--+，在1[2,]2-上递减，在1

[,2]2

上递增，

故()G x 在[2,2]-上最小值为min 15

()()24

G x G a ==-+ 13分

当11

22

a -<<时，()G x 在[2,]a -上递减，当[,2]x a ∈时递增，故此时()G x 在上的最小值为

2min ()()1G x G a a ==-

综上所述： 2

51,()4211()1,()225

1,()42a a h a a a a a ?

-+≥??

?=--<

?--≤-??

15分