第四讲因式分解
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2016年中考数学专题复习
第四讲 因式分解
【基础知识回顾】
一、因式分解的定义:
1、把一个 式化为几个整式 的形式,叫做把一个多项式因式分解。
2、因式分解与整式乘法是 运算,即:多项式 整式的积 【名师提醒:判断一个运算是否是因式分解或判断因式分解是否正确,关键看等号右边是否为 的形式。】
二、因式分解常用方法:
1、提公因式法:
公因式:一个多项式各项都有的因式叫做这个多项式各项的公因式。
提公因式法分解因式可表示为:ma+mb+mc= 。
【名师提醒:1、公因式的选择可以是单项式,也可以是 ,都遵循一个原则:取系数的 ,相同字母的 。2、提公因式时,若有一项被全部提出,则括号内该项为 ,不能漏掉。3、提公因式过程中仍然要注意符号问题,特别是一个多项式首项为负时,一般应先提取负号,注意括号内各项都要 。】
2、运用公式法:
将乘法公式反过来对某些具有特殊形式的多项式进行因式分解,这种方法叫做公式法。 ①平方差公式:a 2-b 2= ,
②完全平方公式:a 2±2ab+b 2= 。
【名师提醒:1、运用公式法进行因式分解要特别掌握两个公式的形式特点,找准里面的a
与b 。如:x 2-x+14符合完全平方公式形式,而x 2- x+12
就不符合该公式的形式。】 三、因式分解的一般步骤
1.一提:如果多项式的各项有公因式,那么要先 。
2.二用:如果各项没有公因式,那么可以尝试运用 法来分解。
3. 三查:分解因式必须进行到每一个因式都不能再分解为止。
【名师提醒:分解因式不彻底是因式分解常见错误之一,中考中的因式分解题目一般为两步,做题时要特别注意,另外分解因式的结果是否正确可以用整式乘法来检验】
【重点考点例析】
考点一:因式分解的概念
例1 (2015?临沂)多项式mx 2-m 与多项式x 2-2x+1的公因式是( )
A .x-1
B .x+1
C .x 2-1
D .(x-1)2
思路分析:分别将多项式mx 2-m 与多项式x 2-2x+1进行因式分解,再寻找它们的公因式.
解:mx 2-m=m (x-1)(x+1),
x 2-2x+1=(x-1)2,
多项式mx 2-m 与多项式x 2-2x+1的公因式是(x-1).
( ) ( )
故选:A.
点评:本题主要考查公因式的确定,先利用提公因式法和公式法分解因式,然后
再确定公共因式.
跟踪训练
1.(2015?海南)下列式子从左到右变形是因式分解的是()
A.a2+4a-21=a(a+4)-21 B.a2+4a-21=(a-3)(a+7)C.(a-3)(a+7)=a2+4a-21 D.a2+4a-21=(a+2)2-25
考点二:因式分解——提公因式法和公式法
例2 (2015?济南)分解因式:xy+x= .
思路分析:直接提取公因式x,进而分解因式得出即可.
解:xy+x=x(y+1).
故答案为:x(y+1).
点评:此题主要考查了提取公因式法分解因式,正确找出公因式是解题关键.例3 (2015?岳阳)分解因式:x2-9= .
思路分析:本题中两个平方项的符号相反,直接运用平方差公式分解因式.
解:x2-9=(x+3)(x-3).
故答案为:(x+3)(x-3).
点评:主要考查平方差公式分解因式,熟记能用平方差公式分解因式的多项式的特征,即“两项、异号、平方形式”是避免错用平方差公式的有效方法.
例4(2015?菏泽)把代数式ax2-4ax+4a分解因式,下列结果中正确的是()A.a(x-2)2B.a(x+2)2C.a(x-4)2D.a(x+2)(x-2)
思路分析:先提取公因式a,再利用完全平方公式分解即可.
解:ax2-4ax+4a
=a(x2-4x+4)
=a(x-2)2.
故选:A.
点评:本题先提取公因式,再利用完全平方公式分解,分解因式时一定要分解彻底.
例5 (2015?潍坊)因式分解:ax2-7ax+6a= .
思路分析:原式提取a,再利用十字相乘法分解即可.
解:原式=a(x2-7x+6)=a(x-1)(x-6),
故答案为:a(x-1)(x-6)
点评:此题考查了因式分解-十字相乘法,以及提取公因式法,熟练掌握因式分
解的方法是解本题的关键.
跟踪训练
2.(2015?龙岩)分解因式:a2+2a= .
3.(2015?新疆)分解因式:a2-4b2= .
4.(2015?贺州)把多项式4x2y-4xy2-x3分解因式的结果是()
A.4xy(x-y)-x3B.-x(x-2y)2
22)D.-x(-4xy+4y22)
考点三:因式分解的应用
A.140 B.70 C.35 D.24
【备考真题过关】
一、选择题
1.(2015?武汉)把a2-2a分解因式,正确的是()
A.a(a-2)B.a(a+2)C.a(a2-2)D.a(2-a)
2.(2015?海南)下列式子从左到右变形是因式分解的是()
A.a2+4a-21=a(a+4)-21 B.a2+4a-21=(a-3)(a+7)C.(a-3)(a+7)=a2+4a-21 D.a2+4a-21=(a+2)2-25 3.(2015?贵港)下列因式分解错误的是()
A.2a-2b=2(a-b)B.x2-9=(x+3)(x-3)
C.a2+4a-4=(a+2)2D.-x2-x+2=-(x-1)(x+2)
4.(2015?宜宾)把代数式3x3-12x2+12x分解因式,结果正确的是()A.3x(x2-4x+4)B.3x(x-4)2C.3x(x+2)(x-2)D.3x(x-2)2
二、填空题
2016年中考数学专题复习
第四讲因式分解参考答案
【重点考点例析】
考点一:因式分解的概念
跟踪训练
1.B.
考点二:因式分解——提公因式法和公式法
跟踪训练
2.a(a+2).
3.(a+2b)(a-2b).
4.B.
5.4.
考点三:因式分解的应用
一、选择题
1.A.
2.B.
3.C.
4.D.
二、填空题
5.a(a-2).
6.3a(a-2).
7.4900.
8.(a-1)2.
9.(a+b)(a-3b).
10.-2x(y+2)(y-2)
11.(3x-3y+2)2
12.(a-2b)2
13.x(x-3)2
14.xy(x-1)2
15.2015.
16.1
17.4
解:∵x2+x+m=(x-3)(x+n),∴x2+x+m=x2+(n-3)x-3n,
故n-3=1,
解得:n=4.
故答案为:4.