勾股定理全章导学案

第17章 勾股定理

17.1（第一节）探索勾股定理

【知识归纳】

1、直角△ABC 的主要性质是：∠C=90°（用几何语言表示）

（1）两锐角之间的关系：

（2）若∠B=30°，则∠B 的对边和斜边： 2、（1）、同学们画一个直角边为3cm 和4cm 的直角△ABC ，用刻度尺量出AB 的长。 （2）、再画一个两直角边为5和12的直角△ABC ，用刻度尺量AB 的长

问题：你是否发现2

3+2

4与25，25+212和213的关系，即23+24 25，25+212 2

13， 3、 （1）观察下面两幅图：

第①个图中，A S = ，B S = ，C S = 。 第②个图中，A S = ，B S = ，C S = 。

（2）你是怎样得到正方形C

学生通过分析数据，归纳出：

结论

以直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积的和，等于 的正方

形的面积．

4、（1）你能用直角三角形的边长a 、b 、c 来表示上图中正方形的面积吗？ （2）你能发现直角三角形三边长度之间存在什么关系吗？

勾股定理：如果直角三角形两直角边长分别为a 、b ，斜边长为c ，那么

即直角三角形 的平方和等于 的平方。

【典型例题】

1、如图（1），图中的数字代表正方形的面积，则正方形A 的面积为 。

（1） （2） 2、如图（2），三角形中未知边x 与y 的长度分别是x= ,y= 。 3、在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若AC ＝6，BC ＝8，则AB 的长为（ ）

A.6

B.8

C.10

D.12 4、在△ABC 中，∠C=90°，

（1）若a=3，b=4，则c=_____________； （2）若a=9，c=15，则b=______________；

5、如图,一根旗杆在离地面9米处折断倒下,旗杆顶部落在离旗杆底部12 米处,旗杆折断前有多高？

25

7

C

A

B D

【课堂练习】

1、在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若AB ＝13，BC ＝5，则AC 的长为（ ） A.5 B.12 C.13 D.18

2、直角三角形的两直角边的长分别是5和12，则其斜边上的高的长为 ．

3、若△ABC 中，∠C=90°，（1）若a =5，b =12，则c = ；（2）若a =6，c =10，则b = ；（3）若a ∶b =3∶4，c =10，则a = ，b = 。

4、如图，阴影部分是一个半圆，则阴影部分的面积为 。 （ 不取近似值）

5、一个直角三角形的斜边为20cm ,且两直角边长度比为3:4，求两直角边的长。

6、如图，为修通铁路凿通隧道AC ，量出∠A=40°∠B ＝50°，AB ＝5公里，BC ＝4公里，若每天凿隧道0.3公里，问几天才能把隧道AC 凿通？

7、如图所示,有一条小路穿过长方形的草地ABCD,若AB=60m,BC=84m,AE=100m,?则这条小路的面积是多少?

8、如图，已知在△ABC 中，CD ⊥AB 于D ，AC ＝20，BC ＝15，DB ＝9。 (1)求DC 的长。 (2)求AB 的长。

17.1．（第二节）勾股定理

【知识归纳】

一个门框尺寸如下图所示，若薄木板长3米，宽2.2米，问这薄木板能从门框通过吗？

为勾股定理的计算，采用多种方法。 在Rt △ABC 中，根据勾股定理

AC 2

= 2

+ 2

因为 AC=5≈2.236

因此 AC 木板宽，所以木板 从门框内通过

【典型例题】

如图，一个3米长的梯子AB ，斜着靠在竖直的墙AO 上，这时AO 的距离为2.5米． ①求梯子的底端B 距墙角O 多少米？

②如果梯子的顶端A 沿墙角下滑0.5米至C ，请同学们:

猜一猜，底端也将滑动0.5米吗？

算一算，底端滑动的距离近似值是多少? （结果保留两位小数）

【课堂练习】

1、一架25分米长的梯子，斜立在一竖直的墙上，这时梯足距离墙底端7分米.如果梯子的顶端沿墙下滑4分米，那么梯足将滑动

2、如图，学校有一块长方形花铺，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花铺内走出了一条“路”．他们仅仅少走了 步路（假设2步为1米），却踩伤了花草．

3、如图，已知一根长8m 的竹杆在离地3m 处断裂，竹杆顶部抵着地面， 此时，顶部距底部有 m ；

4、已知：如图，四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ⊥DC ， AB ⊥AC ，∠B=60°，CD=1cm ， 求

BC 的长。

第2题 第3题

B 第4题

5、“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过70 km/h.如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪正前方30 m 处，过了2s 后，测得小汽车与车速检测仪间距离为50 m ，这辆小汽车超速了吗？

6、将穿好彩旗的旗杆垂直插在操场上，旗杆从旗顶到地面的高度为320cm ， 在无风的天气里，彩旗自然下垂，如右图.求彩旗下垂时最低处离地面的最小高度h.彩旗完全展平时的尺寸如左图的长方形（单位：cm ）.

7、如图一个圆柱，底圆周长6cm ，高4cm ，一只蚂蚁沿外壁爬行，要从A 点爬到B 点，则最

少要爬行多少cm ？

17.1．（第三节）勾股定理

【知识归纳】

体会数轴上的点与 一一对应的理论。

【典型例题】

例1、 分析：利用尺规作图和勾股定理画出数轴上的无理数点，进一步体会数轴上的点与

实数一一对应的理论。如图，已知OA=OB ， (1)说出数轴上点A 所表示的数 （2）在数轴上作出

8对应的点

观测点

A

B

A

B

C

数轴上的点有的表示有理数，有的表示无理数，你能在数轴上画出表示 的点吗？

例2、已知：如图，∠B=∠D=90°，∠A=60°，AB=4，CD=2。求：四边形ABCD 的面积。

小结：不规则图形的面积，可转化为特殊图形求解，本题通过将图形转化为直角三角形的方法，把四边形面积转化为三角形面积之差。

【课堂练习】

1. 如图，正方形网格中，每个小正方形的边长为1，则网格上的三角形ABC 中，边长为无理数的边数是（ ）

A. 0

B. 1

C. 2

D. 3

2. 如图所示，在△ABC 中，三边a,b,c 的大小关系是（ ）

A.a ＜b ＜c

B. c ＜a ＜b

C. c ＜b ＜a

D. b ＜a ＜c 3．等边△ABC 的高为3cm ，以AB 为边的正方形面积为 .

4．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm ，则正方形A ，B ，C ，D 的面积之和为_______2

cm

17．2（第一节）勾股定理的逆定理

【知识归纳】

问题一：1、怎样判定一个三角形是直角三角形？

2、下面的三组数分别是一个三角形的三边长a.b.c 5、12、13 7、24、25 8、15、17 （1）这三组数满足2

2

2

c b a =+吗？

（2）分别以每组数为三边长作出三角形，用量角器量一量，它们都是直角三角形吗？

13B C

猜想命题2：如果三角形的三边长a 、b 、c ，满足2

22c b a =+，那么这个三角形是 三

角形

问题二：命题1： 命题2：

命题1和命题2的 和 正好相反，把像这样的两个命题叫做 命题，如果把其中一个叫做 ，那么另一个叫做 由此得到

勾股定理逆定理：

【典型例题】

1、一个零件的形状如下左图所示，按规定这个零件中∠A 和∠DBC 都是直角，工人师傅量

得某个零件各边尺寸如下右图所示，这个零件符合要求吗？

2、三角形的三边长分别为2

2

b a +，ab 2，2

2

b a -（b a ,都是正整数），试判断三角形的形状。

【课堂练习】

1．适合下列条件的△ABC 中, 直角三角形的个数为( ) ①;5

1

,41,31===

c b a ②,6=a ∠A=450;③∠A=320, ∠B=580;④;25,24,7===c b a ⑤.4,2,2===c b a A. 2个; B. 3个; C. 4个; D. 5个.

2．在△ABC 中，22a m n =-，b=2mn ，22

c m n =+，则△ABC 是 三角形。 3．若三角形的三边是 ⑴1、3、2； ⑵ ；⑶32

，42

，52

⑷9，40，41；

⑸（m ＋n ）2－1，2（m ＋n ），（m ＋n ）2

＋1；则构成的是直角三角形的有（ ）

A ．2个

B ．3个 Ｃ．4个 Ｄ．5个

4．已知：在△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别是a 、b 、c ，分别为下列长度，判断该三角形是否是直角三角形？并指出那一个角是直角？

⑴a=9，b=41，c=40； ⑵a=15，b=16，c=6；

⑶a=2，b=32，c=4； ⑷a=5k ，b=12k ，c=13k （k ＞0）。

5. 已知0)10(862

=-+-+-z y x ,则由此z y x ,,为三边的三角形是 三角形.

6. .阅读下列解题过程：已知a 、b 、c 为△ABC 的三边．且满足222244

a c

b

c a b -=，

试判断△ABC 的形状

解：∵222244a c b c a b -=， ① ∴2222222

()()()c a b a b a b -=+- ② ∴2

2

2

c a b =+ ③ ∴△ABC 为直角三角形.

问:(1)上述解题过程,从哪一步开始出现错误?请写出该步的代号 ； (2)错误的原因是 ； (3)本题正确的结论是 。

17．2（第二节） 勾股定理的逆定理

【知识归纳】

1．灵活应用勾股定理及逆定理解决实际问题。

2．进一步加深性质定理与判定定理之间关系的认识。

【典型例题】

1.两军舰同时从港口O 出发执行任务，甲舰以30海里/小时的速度向西北方向航行，乙舰以40海里/小时的速度向西南方向航行，问1小时后两舰相距多远？

2．某港口位于东西方向的海岸线上. “远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里。它们离开港口一个半小时后相距30海里。如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？

3．点A 是一个半径为 400 m 的圆形森林公园的中心,在森林公园附近有 B .C 两个村庄,现要在 B.C 两村庄之间修一条长为 1000 m 的笔直公路将两村连通,经测得 ∠B=60°, ∠C=30°,问此公路是否会穿过该森林公园?请通过计算说明.

【课堂练习】

1．若△ABC 的三边a 、b 、c ，满足（a －b ）（a 2＋b 2－c 2

）=0，则△ABC 是（ ） A ．等腰三角形； B ．直角三角形； C ．等腰三角形或直角三角形；D ．等腰直角三角形。

2. 如果下列各组数是三角形的三边，那么不能组成直角三角形的一组数是( ) A.7,24,25 B.3

21,421,521 C.3,4,5 D.4,721,82

1 3．在下列说法中是错误的（ ）

A ．在△ABC 中，∠C ＝∠A 一∠

B ，则△AB

C 为直角三角形.

B ．在△AB

C 中，若∠A ：∠B ：∠C ＝5：2：3，则△ABC 为直角三角形. C ．在△ABC 中，若a ＝5

3

c ，b ＝54c ，则△ABC 为直角三角形.

D ．在△ABC 中，若a ：b ：c ＝2：2：4，则△ABC 为直角三角形.

4. 有六根细木棒，它们的长度分别为2，4，6，8，10，12（单位：cm ），从中取出三根首尾顺次连接搭成一个直角三角形，则这根木棒的长度分别为（ ）

A ．2，4，8 B.4,8,10 C.6,8,10 D.8,10,12

5．24米绳子，折成三边为三个连续偶数的三角形，则三边长分别为 ，此三角形的形状为 。

6．在操场上向东走80m 后，又走了60m ，再走100m 回到原地。小强在操场上向东走了80m 后，又走60m 的方向是

7．ΔABC 中,若AB 2+BC 2=AC 2,则∠A+∠C= 0

.

8．在操场上竖直立着一根长为2米的测影竿，早晨测得它的影长为4米，中午测得它的影长为1米，则A 、B 、C 三点能否构成直角三角形？为什么？

B A

C D