解三角形专题
三角函数第4节 解三角形
1.（2015广东文）设ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若2a =
，c =
，
cos 2
A =
，且b c <，则b =________. 2.（2015重庆文）设ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，
且2a =，1cos 4
C =-，3sin 2sin A B =，则c =________.
3.（优质试题全国乙文4）ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .
已知a =2c =，2
cos 3
A =，则b =（ ）.
2 D.3
4.(2015北京文)在ABC △中，3a =
，b =2π
3
A ∠=，
B ∠= .
5.（优质试题山东文7）ABC △的内角A ，B ，C 所对的边分别为,,a b c ，若2B A =，1a =，
b =
c =（ ）.
A. 2
1 6.（优质试题北京文13）在ABC △中，2π3A ∠=
，a =，则b
c
=________. 7.（2017全国3文15）ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知60C =
，
b =3
c =，则A =_________.
8.（优质试题北京文12）在ABC △中1a =，2b =，1
cos 4
C =
，则c = ，sin A = 9.（2015福建文）若在ABC △
中，AC =45A ∠=，75C ∠=，则BC =______． 10.（优质试题山东文8）在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知b c =，
222(1sin )a b A =-，则A =（ ）.
A.
3π4 B.π3 C.π4 D.π
6
11.（2017全国2文16）ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若
2c o s c o s c o s b B a C c A =+，则B = .
12.（优质试题上海文10）已知ABC △的三边长分别为3，5，7，则该三角形的外接圆半径等于 .
13. (优质试题陕西文9）设ABC △的内角A
B C ，，所对的边分别为a b c ，，，若cos cos sin b C c B a A +=，则ABC △的形状为（ ）.
A. 锐角三角形
B. 直角三角形
C. 钝角三角形
D. 不确定 14.（优质试题全国甲文15）ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若4cos 5
A =
，5
cos 13
C =
，1a =，则b =_______. 15.（优质试题全国丙文9）在ABC △中，
π4B =，BC 边上的高等于1
3
BC ，则s i n A =（ ）.
A.
3
10
16.（2015全国1文）已知,,a b c 分别为ABC △内角,,A B C 的对边，2sin 2sin sin B A C =. （1）若a b =，求cos B ； （2）设90B ∠=
，且a =
ABC △的面积.
17. (优质试题浙江文18）在锐角ABC △中，内角A
B C ，，的对边分别为a b c ，，
，且2sin a B =.
（1）求角A 的大小；（2）若6a =，8b c +=，求ABC △的面积.
18.（优质试题湖北文18）在ABC △中，角A ，B ，C 对应的边分别是a ，b ，c . 已知
cos 23cos()1A B C -+=．
（1）求角A 的大小；
（2）若ABC △
的面积S =5b =，求sin sin B C 的值．
19.（优质试题浙江文16）在ABC △中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知
2cos b c a B +=.
（1）求证：2A B =；（2）若2
cos 3
B =，求cos
C 的值.
20.（2015湖南）设ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，tan a b A =. （1）证明：sin cos B A =； （2）若3
sin sin cos 4
C A B -=，且B 为钝角，求A ，B ，C .
21.（2017山东文17）在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知3b =，
6AB AC ?=-，3ABC S =△，求A 和a .
22. （优质试题四川文17）在ABC △中，角A
B C ，，的对边分别为a b c ，，，且 ()()()3
cos cos sin sin 5
A B B A B A c ---+=-.
（1）求sin A 的值；（2
）若5a b ==，求向量BA 在BC 方向上的投影.
23.（2015陕西文）ABC △的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c
，向量()
a =m 与()cos sin A
B =，n 平行. （1）求A ；（2
）若a =2b =，求ABC △的面积.
24.（2015四川文）已知,,A B C 为ABC △的内角，tan A ，tan B
是关于方程
()210x p p -+=∈R 的两个实根.
（1）求C 的大小；（2）若3AB =
，AC ，求p 的值.
三角函数第4节 解三角形答案
1.解析 由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-，
所以(
2
2
2
22b b =+-?? 即2680b b -+=，解得2b =或4b =.因为b c <，所以2b =.故选C ． 2.解析 因为3sin 2sin A B =，所以根据正弦定理得32a b =．又因为2a =， 所以3b =．因为1cos 4C =-
，所以222
1=24
a b c ab +--，代入解得4c =． 3. D 解析 由余弦定理得，即
， 整理得，解得.故选D. 4.解析 在ABC △中，由正弦定理知
sin sin a b A B =
sin B
=
，sin 2B =， 又π0,
3B ??
∈ ??
?
，得π4B =. 5.解析 由正弦定理得：
sin sin a b
A B =，
因为2,1,B A a b ===
所示1sin A =.因为A 为三角形的内角，所以sin 0A ≠.
所以cos 2
A =.又0A π<<，所以A π
=6，
所以2B A π==
3.所以C A B π
=π--=2
，所以ABC △为直角三角形. 由勾股定理得
2c ==.故选B.
6.解析
， 所以，则.由，得，，，.
7.解析 由正弦定理有
3sin 60=
，所以，又
c
，所以45B =，
所以()18075A B C =-+=.
评注 考查用正、余弦定理解三角形问题以及三角形的内角和定理，难度偏低.
8. 解析 由余弦定理知22222
1
2cos 1221244
c a b ab C =+-=+-???
=，故2c =；由22sin cos 1C C +=，1cos 4C =
，sin 0C >知sin C ==sin sin a c A C =知1sin 4sin 2a C
A c
=
==9.解析 由题意得18060B A C ∠=-∠-∠=．
由正弦定理得
sin sin AC BC
B A =，则sin sin A
C A BC B
===.
10. C 解析 由余弦定理，得.
因为，所以. 由已知得，所以，
222cos 2b c a A bc +-=2452
43
b b +-=()28
11303
3b b b b ??
--=-+
= ??
?
3b =12π
sin
sin π30sin sin 3a A C c C C ??===<< ???
1sin 2C =
π6C =πA B C ++=π
6
B =B
C =b c =1b c =()2
2
2
2
2
2
2cos 22cos 21cos a b c bc A b b A b A =+-=-=-()2
2
21sin a b A =-cos sin A A =sin 1A ≠cos 0A ≠
所以.因为，所以.故选C. 评注 考试的时候得到，若寻找不到因式分解可考虑代入选项检验.
11.解析 解法一:由正弦定理可得
2sin cos sin cos sin cos sin()sin B B A C C A A C B =+=+=?
1π
cos 23
B B =
?=. 解法二：如图所示，由射影定理知，cos cos a C c A b +=，所以2cos b B b =，所以
()1c o s 0π2B B =
<<，所以.π3
B =.
不妨设，，，则，
故，因此. 13.解析 因为cos cos b C c B +ac b a c c ab c a b b
222
22222-+?
+
-+?= a
b a
c c a b 2222222-++-+=
A a a a a sin 222
===,所以sin 1A =. 因为()0,πA ∈，所以π
2
A =
，即ABC △是直角三角形．故选B. 14.解析 解法一：由题可知，.
由正弦定理可得.由射影定理可得. 解法二：同解法一，可得.又
，由余弦定理可得.
解法三：因为，，，， .
由正弦定理得，，解得. 15. D 解析 解法一：，
， 由正弦定理得，即，所以
，所以，.故选D. 解法二：如图所示，由，知.由，则，.
由正弦定理知
，则.故选D. 16.解析 （1由正弦定理得，22b ac =.又a b =，所以22a ac =，即2a c =.
则2
2
2222
12cos 2422
a a a a c
b B a a
c a ??+- ?+-??=
==. （2）解法一：因为90B ∠=，所以()
2
sin 12sin sin 2sin sin 90B A C A A ===-， 即2sin cos 1A A =，亦即sin 21A =.
又因为在ABC △中，90B ∠=，所以090A <∠<， 则290A ∠=，得45A ∠=.所以ABC △为等腰直角三角形， 得a c ==
112
ABC S ==△.
tan 1A =()0,πA ∈π
4
A =2
8
103b b --=3a =5b =7c =2221cos 22a b c C ab +-==-sin C =2sin c R C =
=
3sin 5A =12
sin 13
C =sin sin a c A C =2013c =21
cos cos 13
b a C
c A =+=20
13c =()cos cos B A C =-+=sin cos cos cos A C A C -=1665
2113b ==4cos 5A =5cos 13C =3sin 5A =12
sin 13
C =()sin sin B A C =+=sin cos +A C 63
cos sin 65
A C =sin sin b a
B A =21
13
b =111sin 232ABC S a a a
c B =
?=△c =sin C A =3sin π4A A ??
-= ???
223A A A +=tan 3A =-sin A =
π4B =
tan 1B =13AH BC =23HC BC =AC =sin sin A B BC AC =sin A =H
C
B
A
解法二：由（1）可知22b ac =，① 因为90B ∠=，所以2
22a c b -=，②
将②代入①得()
2
0a c -=
，则a c ==
1
12
ABC
S ==△. 17.解析 （1
）由2sin a B 及正弦定理sin sin a b
A B =
，得sin A =.因为A 是锐角， 所以3
A π
=
. （2）由余弦定理2
2
2
2cos a b c bc A =+-，得2
2
36b c bc +-=. 又8b c +=，所以28
3
bc =
. 由三角形面积公式1
sin 2S bc A =
，得ABC △
的面积为12823?=. 18.解析 （1）由()cos23cos 1A B C -+=，得2
2cos 3cos 20A A +-=，即
()()2cos 1cos 20A A -+=，解得()1
cos cos 22A A ==-或舍去.因为0πA <<，所以
π3
A =
. （2
）由11sin 2224
S bc A bc =
=?==20bc =，又5b =，所以4c =. 由余弦定理得2222cos 25162021a b c bc A =+-=+-=
，所以a =从而由正弦定理得222035sin sin sin sin sin 2147
b c bc B C A A A a a a =
?==?=. 19.解析 （1）由正弦定理得，
故， 于是.又，故，
所以或，因此（舍去）或，所以
（2）由，得，， 故，.. 20.解析 （1）由tan a b A =及正弦定理，得
sin sin cos sin A a A
A b B
==，所以sin cos B A =. （2）因为()sin sin cos sin 180sin cos C A B A B A B -=?-+-=
????
()sin sin cos sin cos cos sin sin cos cos sin A B A B A B A B A B A B
+-=+-=
所以 3cos sin 4
A B =
. 由（1）知sin cos B A =，因此23sin 4B =
，所以sin B =， 又B 为钝角，故120B =?
，由cos sin 2
A B ==知30A =?， 从而()18030C A B =?-+=?.
综上所述，30A =?，120B =?，30C =?.
21.解析 因为6AB AC ?=-，所以cos 6bc A =-，又 3ABC S =△，所以sin 6bc A =， 因此tan 1A =-， 且0A <<π，所以34
A π
=
.又3b =
，所以c =由余弦定理2
2
2
2cos a b c bc A =+-
，得2
9823292a ?=+-??-= ??
，
所以a =22.
解
析
（1）
由
()()()3
c o s c o s s i n s i n
5
A B B A B A C ---
+=-，得()()3c o s c o s
s i n s i n 5A B B A B B ---
=-.则()3cos 5A B B -+=-，即3
cos 5
A =-. sin +sin 2sin cos
B
C A B =2sin cos sin sin()sin sin cos cos sin A B B A B B A B A B =++=++sin sin()B A B =-(),0,πA B ∈0πA B <-<π()B A B =--B A B =-πA =2A B =2.A B =2cos 3B
=
sin B =21cos22cos 19B B =-=-1cos 9A =
-
sin A =()22cos cos cos cos sin sin 27C A B A B A B =-+=-+=
又0A π<<，则4sin 5
A =
. （2）由正弦定理，有
sin sin a b
A B =
，所以sin sin 2
b A B a ==. 故题意知a b >，则A B >，故4
B π
=.
根据余弦定理，有(2
2235255c c ??
=+-??- ???
.解得1c =或7c =-（负值舍去）.
故向量BA 在BC
方向上的投影为cos 2
BA B =
23.解析 (1)因为//m
n ，所以sin cos 0a B A = ① 由正弦定理得，sin sin b
B A a
=
② 将式②代入式①，又sin 0B
≠，得到tan A =0πA <<，所以π3A =. (2)解法一：由余弦定理得，2222cos a b c bc A =+
-，而a =2b =，π
3
A =，
得2742c c =+-，即2230c c --=.因为0c >，所以3c =， 故ABC △
的面积为
1sin 2bc A =. 解法二
2sin sin 3
B =
，从而sin 7B =. 又由a b >知A B >
，所以cos B =
. 故(
)πππsin sin sin sin cos cos sin 33314
C A B B B B ??=+=+
=+= ?
?
?， 所以ABC △
面积为1sin 2ab C =.
24.解析 （
1）由题意可得方程2
10x p -+
=的判别式)
()2
410p ?=
--+…，
所以2p -…或23
p …
.
由韦达定理，得tan tan A B +=，tan tan 1A B p ?=-， 所以()1tan tan 110A B p p -?=--=≠， 可得(
)tan tan tan 1tan tan A B A B A B ++=
==-?所以(
)tan tan C A B =-+=60C ∠=.
（2）由正弦定理，可得sin 602
sin AC C B AB ?=
==
， 解得45B ∠=或135B ∠=（舍去）.所以18075A B C ∠=-∠-∠=.
则()tan 45tan 30tan tan 75tan 45
301tan 45tan 30A +
==+=
=
-1
2+
=所以(1tan tan 121p A B =-?=-=-
(完整版)解三角形专题题型归纳
《解三角形》知识点、题型与方法归纳 一、知识点归纳（★☆注重细节，熟记考点☆★） 1．正弦定理及其变形 2(sin sin sin a b c R R A B C ===为三角形外接圆半径） 变式：12sin ,2sin ,2sin a R A b R B c R C ===（）(边化角公式） 2sin ,sin ,sin 222a b c A B C R R R ===（）(角化边公式） 3::sin :sin :sin a b c A B C =（） sin sin sin (4),,sin sin sin a A a A b B b B c C c C === 2．正弦定理适用情况： （1）已知两角及任一边； （2）已知两边和一边的对角（需要判断三角形解的情况）. 3．余弦定理及其推论 2222222222cos 2cos 2cos a b c bc A b a c ac B c a b ab C =+-=+-=+- 222 222 222 cos 2cos 2cos 2b c a A bc a c b B ac a b c C ab +-= +-=+-= 4．余弦定理适用情况： （1）已知两边及夹角； （2）已知三边. 注．解三角形或判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化(这也是正余弦定理的作用)，统一成边的形式或角的形式. 5．常用的三角形面积公式 （1）高底??= ?2 1ABC S ； （2）()111=sin sin sin 2224abc S ab C ac B bc A R ABC R ===?为外接圆半径 （两边夹一角）； 6．三角形中常用结论 （1）,,(a b c b c a a c b +>+>+>即两边之和大于第三边，两边之差小于第三边） （2）sin sin (ABC A B a b A B ?>?>?>在中，即大边对大角，大角对大边） （3）在ABC ?中，A B C π++=，所以 ①()sin sin A B C +=；②()cos cos A B C +=-； ③()tan tan A B C +=-；④sin cos ,22A B C +=⑤cos sin 22 A B C += 7．实际问题中的常用角 （1）仰角和俯角
解答题专题复习---解三角形
解答题专题复习---解三角形 一、考情分析 解三角形是每年高考的热点，大题主要考查以一个三角形或四边形为背景的利用正弦、余弦定理及三角形面积公式求解三角形的边长、角以及面积问题，或考查将两个定理与三角恒等变换相结合的解三角形问题。试题难度多为中等。 二、题型归类 类型一：三角形基本量的求解问题 【典例分析】（2017北京理数）在△ABC 中，A =60°，c = 3 7 a . （1）求sin C 的值；（2）若a =7，求△ABC 的面积．
【归类巩固】（2018北京理数）在△ABC中，a=7，b=8， 1 cos 7 B=-． （1）求∠A；（2）求AC边上的高． 类型二：已知一边一对角求范围问题 【典例分析】(2018·广州模拟)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足a＝2， a cos B＝(2c－b)cos A. (1)求角A的大小；(2)求△ABC的周长的最大值． 【归类巩固】△ABC的内角,, A B C的对边分别为,, a b c，已知cos sin a b C c B =+. （1）求B；（2）若2 b=，求△ABC面积的最大值．
类型三：以平面几何为载体的解三角形问题 此类问题的本质还是考查利用正、余弦定理求解三角形的边长或角度问题. 【典例分析】如图，在△ABC 中，3 B π ∠=，8AB =，点D 在BC 边上，且2CD =，1 cos 7 ADC ∠= ． （1）求sin BAD ∠； （2）求BD ，AC 的长.． 【归类巩固】如图，在平面四边形ABCD 中，1AD =，2CD =，AC =（1）求cos CAD ∠的值； （2）若cos sin BAD CBA ∠=∠=，求BC 的值． 三、专题总结
中考专题复习解三角形
1．（10分） 我市某乡镇学校教学楼后面靠近一座山坡，坡面上是一块平地，如图所示，BC ∥AD ，斜坡AB=40米，坡角∠BAD=600 ，为防夏季因瀑雨引发山体滑坡，保障安全，学校决 定对山坡进行改造，经地质人员勘测，当坡角不超过450 时，可确保山体不滑坡，改造时保持坡脚A 不动，从坡顶B 沿BC 削进到E 处，问BE 至少是多少米(结果保留根号)？ 2. 如图，山顶建有一座铁塔，塔高CD ＝20m ，某人在点A 处，测得塔底C 的仰角为45o ，塔顶D 的仰角为60o ，求山高BC （精确到1m ，参考数据：2 1.41,3 1.73≈≈） 3．(10分)如图,水坝的横断面是梯形,背水坡AB 的坡角∠BAD= 60,坡长AB=m 320,为加强水 坝强度,将坝底从A 处向后水平延伸到F 处,使新的背水坡的坡角∠F= 45,求AF 的长度(结果精确到1米,参考数据: 414.12≈,732.13≈). D A B C E F G (22题图)
4．(８分)某市为缓解城市交通压力，决定修建人行天桥，原设计天桥的楼梯长AB=6m , ∠ABC=45o ，后考虑到安全因素，将楼梯脚B 移到CB 延长线上点D 处，使0 30=∠ADC （如图所示）． （1）求调整后楼梯AD 的长； （2）求BD 的长． （结果保留根号） 5．(８分)为促进我市经济快速发展，加快道路建设，某高速公路建设工程中，需修建隧道AB. 如图,在山外一点C 测得BC 距离为20m ，∠,540=CAB ∠,300=CBA 求隧道AB 的长.(参考 数据: ,73.13,38.154tan ,59.054cos ,81.054sin 000≈≈≈≈精确到个位） 6．（8分）（2013?恩施州）“一炷香”是闻名中外的恩施大峡谷著名的景点．某校综合实践活动小组先在峡谷对面的广场上的A 处测得“香顶”N 的仰角为45°，此时，他们刚好与“香底”D 在同一水平线上．然后沿着坡度为30°的斜坡正对着“一炷香”前行110米，到达B 处，测得“香顶”N 的仰角为60°．根据以上条件求出“一炷香”的高度．（测角器的高度忽略不计，结果精确到1米，参考数据：， ）．
解三角形专题复习-师
解 三 角 形 ◆知识点梳理 （一）正弦定理： R C c B b A a 2sin sin sin ===（其中R 表示三角形的外接圆半径） 适用情况：（1）已知两角和一边，求其他边或其他角； （2）已知两边和对角，求其他边或其他角。 变形：① 2sin a R A =，2sin b R B =，2sin c R C = ②sin 2a A R = ，sin 2b B R =，sin 2c C R = ③ sin sin sin a b c A B C ++++=2R ④::sin :sin :sin a b c A B C = （二）余弦定理：2 b =B a c c a cos 22 2 -+（求边），cosB=ac b c a 22 22-+（求角） 适用情况：（1）已知三边，求角；（2）已知两边和一角，求其他边或其他角。 （三）三角形的面积：①Λ=?= a h a S 21；②Λ==A bc S sin 2 1 ； ③C B A R S sin sin sin 22 =； ④R abc S 4=； ⑤))()((c p b p a p p S ---=；⑥pr S =（其中2 a b c p ++=，r 为内切圆半径） （四）三角形内切圆的半径：2S r a b c ? =++，特别地，2a b c r +-=斜直 （五）△ABC 射影定理：A c C a b cos cos ?+?=，… （六）三角边角关系： （1）在ABC ?中，A B C ++=π；sin()A B +=sin C ；cos()A B +=cos C - cos 2A B +=sin 2C ； 2 cos 2sin C B A =+ （2）边关系：a + b > c ，b + c > a ，c + a > b ，a －b < c ，b －c < a ，c －a > b ； （3）大边对大角：B A b a >?> ◆考点剖析 （一）考查正弦定理与余弦定理的混合使用 例1、在△ABC 中，已知Ａ＞Ｂ＞Ｃ,且Ａ=2Ｃ, 8,4=+=c a b ,求c a 、的长. 例1、解：由正弦定理，得 C c A a sin sin = ∵Ａ＝２Ｃ ∴C c C a sin 2sin = ∴C c a cos 2= 又8=+c a ∴ c c cocC 28-= ①
高考解三角形专题(一)及答案
解三角形专题 1．在ABC ?中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，若1,3 a b B π ===，则A = ( ) A. 12π B. 6π C. 3π D. 2 π 2．在ABC ?中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，S 表示ABC ?的面积，若 () 2 2214 S b c a = +-，则A ∠=（ ） A. 90? B. 60? C. 45? D. 30? 3．在ABC ?中，若sin 2sin cos A B C =,且 ()()3b c a b c a bc +-++=，则该三角形的形状是（ ） A. 直角三角形 B. 钝角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等边三角形 4. 在 中，内角为钝角， ， ， ，则 （ ） A. B. C. D. 5.在中，若，，则的周长为（ ）C A ． B ． C. D ． 6. 在锐角中，角、、所对的边分别为，且、、成等差数列， 则面积的取值范围是 7.已知锐角的内角 的对边分别为 ,且 ,则 的最大值为 __________． 8.在中，角，，所对的边分别为，，，且，，则的最小值为 ． 9.在 中，内角，，所对的边分别为，，，已知 . （1）求角的大小； （2）若的面积，为边的中点，，求. ABC △23 C π = 3AB =ABC △6sin 33A π?? + + ?? ?6sin 36A π??++ ???33A π??++ ???36A π? ?++ ?? ?ABC ?A B C ,,a b c A B C b =ABC ?ABC ?A B C a b c 2sin cos 2sin sin C B A B =+3c ab =ab
解三角形专题题型归纳
解三角形专题题型归纳
《解三角形》知识点、题型与方法归纳 一、知识点归纳（★☆注重细节，熟记考点☆★） 1．正弦定理及其变形 2(sin sin sin a b c R R A B C ===为三角形外接圆半径） 变式：12sin ,2sin ,2sin a R A b R B c R C ===（）(边化角公式） 2sin ,sin ,sin 222a b c A B C R R R ===（）(角化边公式） 3::sin :sin :sin a b c A B C =（） sin sin sin (4),,sin sin sin a A a A b B b B c C c C === 2．正弦定理适用情况： （1）已知两角及任一边； （2）已知两边和一边的对角（需要判断三角形解的情况）. 3．余弦定理及其推论 2222222222cos 2cos 2cos a b c bc A b a c ac B c a b ab C =+-=+-=+- 222 222222 cos 2cos 2cos 2b c a A bc a c b B ac a b c C ab +-=+-=+-= 4．余弦定理适用情况： （1）已知两边及夹角； （2）已知三边. 注．解三角形或判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化(这也是正余弦定理的作用)，统一成边的形式或角的形式. 5．常用的三角形面积公式 （1）高底??=?2 1ABC S ； （2）()111=sin sin sin 2224abc S ab C ac B bc A R ABC R ===?为外接圆半径 （两边夹一角）； 6．三角形中常用结论 （1）,,(a b c b c a a c b +>+>+>即两边之和大于第三边，两边之差小于第三边） （2）sin sin (ABC A B a b A B ?>?>?>在中，即大边对大角，大角对大边） （3）在ABC ?中，A B C π++=，所以 ①()sin sin A B C +=；②()cos cos A B C +=-； ③()tan tan A B C +=-；④sin cos ,22A B C +=⑤cos sin 22 A B C += 7．实际问题中的常用角 （1）仰角和俯角
三角函数与解三角形-专题复习
专题一 三角函数与解三角形 一、任意角、弧度制及任意角的三角函数 1、弧度制的定义与公式： 定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角. 弧度记作rad. 公式 角的弧度数公式 r =α 角度与弧度的换算 ①rad 180 1π=? ② 弧长公式 扇形面积公式 2、任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义 第一定义：设是任意角，它的终边与单位圆交于点P(x,y)，则 第二定义：设 是任意角，它的终边上的任意一点 P(x,y)，则 . 考点1 三角函数定义的应用 例1 .已知角α的终边在直线043=+y x 上，则=++αααtan 4cos 5sin 5 . 变式：（1）已知角α的终边过点)30sin 6,8(? --m P ，且5 4 cos - =α，则m 的值为 . （2）在直角坐标系中，O 是原点，A (3，1)，将点A 绕O 逆时针旋转90°到B 点，则B 点坐标为__________． （3）4tan 3cos 2sin 的值（ ） A ．小于0 B ．大于0 C ．等于0 D ．不存在 考点2 扇形弧长、面积公式的应用 例 2.已知扇形的半径为10cm,圆心角为? 120，则扇形的弧长为 面积为 . 变式：已知在半径为10的圆O 中，弦AB 的长为10，则弦AB 所对的圆心角α的大小 为 ，α所在的扇形弧长 为 ，弧所在的弓形的面积S 为 .
二、同角三角函数的基本关系及诱导公式 1、1cos sin 2 2=+αα α αcos tan = 2、三角函数的诱导公式 例1.已知α是三角形的内角，且.5 cos sin =+αα (1)求αtan 的值； (2)把α α22sin cos 1 +用αtan 表示出来，并求其值. 变式：1、已知α是三角函数的内角，且3 1 tan -=α，求ααcos sin +的值. 2、已知.34tan -=α（1）求α αααcos 2sin 5cos 4sin +-的值；（2）求αααcos sin 2sin 2 +的值. 3.若cos α＋2sin α＝－5，则tan α＝________.
解三角形专题题型归纳
《解三角形》知识点、题型与方法归纳 1．正弦定理及其变形 2(sin sin sin a b c R R A B C ===为三角形外接圆半径） 变式：12sin ,2sin ,2sin a R A b R B c R C ===（）(边化角公式） 2sin ,sin ,sin 222a b c A B C R R R ===（）(角化边公式） 3::sin :sin :sin a b c A B C =（） sin sin sin (4),,sin sin sin a A a A b B b B c C c C === 2．正弦定理适用情况： （1）已知两角及任一边； （2）已知两边和一边的对角（需要判断三角形解的情况）. 3．余弦定理及其推论 2222222222cos 2cos 2cos a b c bc A b a c ac B c a b ab C =+-=+-=+- 222 222 222 cos 2cos 2cos 2b c a A bc a c b B ac a b c C ab +-= +-=+-= 4．余弦定理适用情况： （1）已知两边及夹角； （2）已知三边. 注．解三角形或判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化(这也是正余弦定理的作用)，统一成边的形式或角的形式. 5．常用的三角形面积公式 （1）高底??= ?2 1ABC S ； （2）()111=sin sin sin 2224abc S ab C ac B bc A R ABC R ===?为外接圆半径 （两边夹一角）； 6．三角形中常用结论 （1）,,(a b c b c a a c b +>+>+>即两边之和大于第三边，两边之差小于第三边） （2）sin sin (ABC A B a b A B ?>?>?>在中，即大边对大角，大角对大边） （3）在ABC ?中，A B C π++=，所以 ①()sin sin A B C +=；②()cos cos A B C +=-； ③()tan tan A B C +=-；④sin cos ,22A B C +=⑤cos sin 22A B C += 解三角形有用的结论
高中数学复习提升-解三角形复习专题(教师)
平远中学高一数学自主探究学案 第一章 解三角形 第 6 课时 内容： 正、余弦定理的复习 班级 姓名 小组 【学习目标】 1．复习和巩固正、余弦定理求任意三角形的边、角、判断三角形的形状的方法 2．通过正、余定理变形技巧实现三角形中的边角转换，解题过程中做到正余弦定理的优化选择． 【自主学习】 1．正弦定理：a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝2R ，其中R 是三角形外接圆的半径． 由正弦定理可以变形为： (1)a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ；(2)a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ； (3)sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c 2R 等形式，以解决不同的三角形问题． 2．余弦定理：a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ． 余弦定理可以变形为：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，cos C ＝a 2＋b 2－c 2 2ab . 3．三角形面积公式：S △ABC ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B 4.（1）关于ABC ?：设ABC ?中角,,A B C 的对边分别为,,a b c . ①A B C π++=； ②a b A B . 5.根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种途径： (1)化边为角；(2)化角为边，并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换． 【合作探究】 探究一：求边
2017高考真题专题解三角形
2017高考解三角形汇总 1. （2017全国│文，11）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知sin B+sin A （sin C ―cosC ）=0, a =2, c=√2, 则C= A.π12 B. π6 C. π4 D. π3 2. （2017全国Ⅱ文，16）△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,若2b cosB=a cosC+c cosA,则B= 3. （2017全国Ⅲ文，15）△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,，已知3,6,600===c b C ，则=A ________ 4. （2017山东文，17）△ABC 中，角A,B,C 的对边分别为a,b,c,已知b=3，AB ????? ·AC ????? =?6,S △ABC =3,求A 和a 。 5. （2017山东理，9）锐角△ABC 中，角A,B,C 的对边分别为a,b,c,且sinB(1+2cosC)=2sinAcosC+cosAsinC,则下列成立的是（） A.a=2b B.b=2a C.A=2B D.B=2A 6. （2017浙江文（理），14）已知△ABC ，AB =AC =4，BC =2． 点D 为AB 延长线上一点，BD =2，连结CD ，则△BDC 的面积是______，cos ∠BDC =_______． 7. （2017全国│理，17）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知△ABC 的面积为2 3sin a A （1）求sin B sin C ; （2）若6cos B cos C =1,a =3,求△ABC 的周长 8. （2017全国Ⅱ理，17）ABC ?的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,已知2 sin()8sin 2 B A C +=． (1)求cos B (2)若6a c += , ABC ?面积为2,求.b 9. （2017全国Ⅲ理，17）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin A cos A =0，a ,b =2. （1）求c ；
北京高三理科解三角形大题专题带答案
实用文档 解三角形大题专题 20141513 分）（．（本小题满分石景山一模）B，Ca，b，cA，ABCca?b?Asin2b3a?中， 角．，的对边分别为，且在△B的大小；（Ⅰ）求角c ABC2a?7?b的面积．，求边的长和△（Ⅱ）若， 13201415分）（．（本小题满分西城一模）222 aBACbcABC bca?b?c?．在△中，角，，所对的边分别为．已知，，A的大小；（Ⅰ）求6b?2?Bcos ABC 的面积．，（Ⅱ）如果，求△3 标准文案． 实用文档 （2014海淀二模）15.（本小题满分13分）
A7sina?2ABC?b?21. 且在锐角中，B的大小；（Ⅰ）求c c3a?的值（Ⅱ）若. ，求 20151513 分）西城二模）（．（本小题满分 b 3 a C ABC AB ab c 7，，＝，所对的边分别为＝在锐角△中，角，，，，已知 ．A 的大小；（Ⅰ）求角ABC 的面积．（Ⅱ）求△ 标准文案． 实用文档 （2013丰台二模）15．（13分） 2(B?C)?32sinsin2A.的三个内角分别为已知A,B,C,且ABC?（Ⅰ）求A的度数； BC?7,AC?5,求（Ⅱ）若的面积S. ABC?
20141513 分）（．（本小题满分延庆一模）?3c,a,b,AB,C?C?Bcos2ABCa?．在三角形中，角，且所对的边分别为，，45Asin的值；（Ⅰ）求ABC?的面积．（Ⅱ）求 标准文案． 实用文档 （2015顺义一模）15.（本小题满分13分） ?6ABC??32,sinBb?B?A?c,a,bA,B,C. 在已知,中角,所对的边分别为, 32a; (I)求的值Ccos. 的值(II)求
解三角形(复习课)教学设计
解三角形（专题课）教学设计 一、教材分析 本节课是高中数学课本必修5第一章《解三角形》，而在本章中，学生应该在已有的知识基础上，通过对任意三角形的边角关系的探究，发现并掌握三角形中的边长与角度之间的关系数量关系，并认识到运用它们可以解决一些与测量和几何计算有关的实际问题。本章知识是初中解直角三角形的继续，通过本章内容的学习，学生能够系统地掌握解任意三角形的完整实施。可以从数量的角度认识三角形，使三角形成为研究几何问题的重要工具。是中学许多数学知识的交汇点，如向量、平面几何、三角函数、解析几何、立体几何等。 二、学情分析 学生已经学习并掌握了任意角及任意角的三角函数，诱导公式、三角恒等变换、正余弦定理等相关的知识。学习本节内容是对以上知识内容的综合应用，尤其是对正弦定理与余弦定理的熟练运用。通过解三角形的方法解决有关的实际问题，可以培养学生的数学应用意识，提高学生运用数学知识解决实际问题的能力，使学生逐渐形成数学的思维方式去解决问题、认识世界的意识。 三、教学目标 知识与技能：引导学生准确理解正弦定理、余弦定理、三角形面积公式，会对正余弦定理会进行简单的变形；引导学生通过观察，推导，比较等出一些结论，如射影定理，三角形边角之间的关系；会运用所学知识解三角形以及与三角形有关的实际问题。 过程与方法：引导学生通过观察，推导，比较，由特殊到一半归纳出正余弦定理以及三角形面积公式等结论。培养学生的创新意识，观察能力，总结归纳的逻辑思维能力。让学生通过学习能体会用向量作为数形结合的工具，将几何问题转化为代数问题的数学思想方法。 情感态度与价值观：面向全体学生，创造平等的教学氛围，进行高效课堂教学，激情教育，通过学生之间，师生之间的交流与讨论、合作与评价，调动学生的主动性和积极性，让学生体验学习数学的的乐趣，感受成功的喜悦，增强学生学好数学的信心，激发学生学习的兴趣。 四、教学重难点 重点：正弦定理、余弦定理的内容及基本应用。 难点：正弦定理、余弦定理的内容及基本应用；正余弦定理的变形应用；用所学知识解决解三角形问题的题型归纳总结。 五、课堂结构设计 根据教材的内容和编排的特点，为更好有效地突出重点，攻破难点，以学生的发展为本，遵照学生的认知规律，本节主要以教师为主导，学生为主体，交流讨论，互助学习为主线的指导思想，采用“6+1”高效课堂教学模式，在教师的启发引导下，学生通过独立自主思考探究、同学之间相互交流讨论合作学习为前提，以“熟练运用正余弦定理解三角形”为基本
解三角形大题专项训练
标准文档 1.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． （Ⅰ）求cosA的值； （Ⅱ）的值． 2.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知．（1）求的值； （2）若cosB=，△ABC的周长为5，求b的长． 3.△ABC的三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，asinAsinB+bcos2A=a．（Ⅰ）求； （Ⅱ）若C2=b2+a2，求B．
4.在△ABC中，角A，B，C的对边是a，b，c，已知3acosA=ccosB+bcosC （1）求cosA的值 （2）若a=1，，求边c的值． 5.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c （1）若，求A的值； （2）若，求sinC的值． 6.△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知a=1，b=2，cosC= （I）求△ABC的周长； （II）求cos（A﹣C）的值．
7.在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，已知cos2C=． （I）求sinC的值； （Ⅱ）当a=2，2sinA=sinC时，求b及c的长． 8.设△ABC的内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，且3b2+3c2﹣3a2=4bc． （Ⅰ）求sinA的值； （Ⅱ）求的值． 9.在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asinA=（2b+c）sinB+（2c+b）sinC．（Ⅰ）求A的大小； （Ⅱ）求sinB+sinC的最大值．
10.在锐角△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，且．（1）确定角C的大小； （2）若，且△ABC的面积为，求a+b的值． 11.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为，． （Ⅰ）求sinC的值； （Ⅱ）求△ABC的面积． 12.设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且A=60°，c=3b．求：（Ⅰ）的值； （Ⅱ）cotB+cot C的值．
专题24解三角形中的最值、范围问题(解析版)
专题24 解三角形中的最值、范围问题 解三角形问题是高考高频考点，命题大多放在解答题的第一题，主要利用三角形的内角和定理，正、余弦定理、三角形面积公式等知识解题，解题时要灵活利用三角形的边角关系进行“边转角”“角转边”，另外要注意2 2 ,,a c ac a c ++三者的关系. 高考中经常将三角变换与解三角形知识综合起来命题，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理实现边角互化；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．而三角变换中主要是“变角、变函数名和变运算形式”，其中的核心是“变角”，即注意角之间的结构差异，弥补这种结构差异的依据就是三角公式. 1、正弦定理： 2sin sin sin a b c R A B C ===，其中为ABC V 外接圆的半径 正弦定理的主要作用是方程和分式中的边角互化.其原则为关于边，或是角的正弦值是否具备齐次的特征.如果齐次则可直接进行边化角或是角化边，否则不可行 学/科-+网 例如：（1）2 2 2 2 2 2 sin sin sin sin sin A B A B C a b ab c +-=?+-= （2）cos cos sin cos sin cos sin b C c B a B C C B A +=?+=（恒等式） （3） 22sin sin sin bc B C a A = 2、余弦定理：2 2 2 2cos a b c bc A =+- 变式：()()2 2 21cos a b c bc A =+-+ 此公式在已知的情况下，配合均值不等式可得到和的最值 4、三角形中的不等关系 （1）任意两边之和大于第三边：在判定是否构成三角形时，只需验证较小的两边之和是否比第三边大即可.由于不存在等号成立的条件，在求最值时使用较少 （2）在三角形中，边角以及角的三角函数值存在等价关系： sin sin cos cos a b A B A B A B >?>?>?<
专题 三角函数及解三角形(解析版)
专题 三角函数及解三角形 1．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】函数f (x )= 在[,]-ππ的图像大致为 A ． B ． C ． D ． 2．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】关于函数()sin |||sin |f x x x =+有下述四个结论： ①f (x )是偶函数 ②f (x )在区间（ 2 π，π）单调递增 ③f (x )在[,]-ππ有4个零点 ④f (x )的最大值为2 其中所有正确结论的编号是 A ．①②④ B ．②④ C ．①④ D ．①③ 3．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】下列函数中，以2 π为周期且在区间( 4 π， 2 π)单调递增的是 A ．f (x )=|cos2x | B ．f (x )=|sin2x | C ．f (x )=cos|x | D ．f (x )=sin|x | 4．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】已知α∈(0， 2 π)，2sin2α=cos2α+1，则sin α= A ． 15 B ． 5 C 3 D 5 5．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】设函数()f x =sin （5 x ωπ + ）(ω＞0)，已知()f x 在[]0,2π有且仅有5个零点，下述四个结论： ①()f x 在（0,2π）有且仅有3个极大值点 ②()f x 在（0,2π）有且仅有2个极小值点 2 sin cos ++x x x x
③()f x 在（0, 10 π ）单调递增 ④ω的取值范围是[1229 510 ，) 其中所有正确结论的编号是 A ．①④ B ．②③ C ．①②③ D ．①③④ 6．【2019年高考天津卷理数】已知函数()sin()(0,0,||)f x A x A ω?ω?=+>><π是奇函数，将()y f x =的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为()g x ．若()g x 的最小正周期为2π ，且4g π?? = ???38f π??= ??? A ．2- B ． C D ．2 7．【2019年高考北京卷理数】函数f （x ）=sin 22x 的最小正周期是__________． 8．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .若π 6,2,3 b a c B === ，则ABC △的面积为_________． 9．【2019年高考江苏卷】已知 tan 2π3tan 4αα=-??+ ?? ?，则πsin 24α? ?+ ???的值是 ▲ . 10．【2019年高考浙江卷】在ABC △中，90ABC ∠=?，4AB =，3BC =，点D 在线段AC 上，若 45BDC ∠=?，则BD =___________，cos ABD ∠=___________． 11．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，设 22(sin sin )sin sin sin B C A B C -=-． （1）求A ； （2 2b c +=，求sin C ． 12．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin sin 2 A C a b A +=． （1）求B ；
解三角形专题练习【附答案】
解三角形专题（高考题）练习【附答案】 1、在ABC ?中，已知内角3 A π = ，边BC =设内角B x =,面积为y . (1)求函数()y f x =的解析式和定义域； (2)求y 的最大值. 8、△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且有sin2C+3cos （A+B ）=0，.当 13,4==c a ，求△ABC 的面积。 2、已知ABC ?中，1||=AC ，0120=∠ABC ， θ=∠BAC ， 记→ → ?=BC AB f )(θ， （1）求)(θf 关于θ的表达式； （2）（2）求)(θf 的值域； 3、在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别是a ，b ，c ，且.2 1 222ac b c a =-+ （1）求B C A 2cos 2 sin 2 ++的值； （2）若b =2，求△ABC 面积的最大值． 4、在ABC ?中，已知内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，向量(2sin ,m B =， 2cos 2,2cos 12B n B ? ?=- ?? ?，且//m n 。 （I ）求锐角B 的大小； （II ）如果2b =，求ABC ?的面积ABC S ?的最大值。 5、在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且.cos cos 3cos B c B a C b -= （I ）求cos B 的值； （II ）若2=?，且22=b ，求c a 和b 的值. 6、在ABC ?中，cos 5A = ，cos 10 B =. （Ⅰ）求角 C ； （Ⅱ）设AB =，求ABC ?的面积. 7、在△ABC 中，A 、B 、C 所对边的长分别为a 、b 、c ，已知向量(1,2sin )m A =u r ，(sin ,1cos ),//,.n A A m n b c =++=r u r r 满足 （I ）求A 的大小；（II ）求)sin(6π+B 的值. 8、△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且有sin2C+3cos （A+B ）=0，.当 Ａ Ｂ Ｃ 120° θ
高考数学热点难点专题12+解三角形的方法(理)
【学习目标】 掌握正、余弦定理，能利用这两个定理及面积计算公式解斜三角形，培养运算求解能力． 【方法总结】 1.利用正弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题： (1)已知两角和任一边，求其他两边和一角； (2)已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角(从而进一步求出其他的边和角). 2.由正弦定理容易得到：在三角形中，大角对大边，大边对大角；大角的正弦值也较大，正弦值较大的角也较大，即A＞B?a＞b?sin A＞sin B. 3.已知三角形两边及其一边的对角解三角形时，利用正弦定理求解时，要注意判断三角形解的情况(存在两解、一解和无解三种可能).而解的情况确定的一般方法是“大边对大角且三角形钝角至多一个”. 4.利用余弦定理，可以解决以下三类有关三角形的问题： (1)已知三边，求三个角； (2)已知两边和它们的夹角，求第三边和其余角； (3)已知两边和其中一边的对角，求其他边和角. (4)由余弦值确定角的大小时，一定要依据角的范围及函数值的正负确定. 【三角形解题方法类型】 （一）正余弦定理的灵活应用 例1．在中，. （1）求角的大小； （2）求的取值范围. 【答案】（1）；（2） 【解析】（Ⅰ）由正弦定理，求得，再由余弦定理，求得，即可求解的大小； （Ⅱ）由（Ⅰ）知，得，化简，根据三角函数的图象与性质，即可求解. 【详解】（1）因为, 由正弦定理，得，
由余弦定理， 又因为，所以 （Ⅱ）设. 在中，由余弦定理得 即 解得. ∴. ∴的面积. 练习1．在△ABC中，角A，BC的对边分别为a，b，c，已知a＝2，b＝，2sinC＝5sinA． （1）求B； （2）求BC边上的中线长． 【答案】（1）60°；（2）. 【解析】（1）又2sin C＝5sin A，利用正弦定理可得：2c＝5a，又a＝2，解得c．利用余弦定理即可得出B；（2）利用余弦定理求出BC边上的中线即可． 练习2．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且. （1）求角C的大小；
解三角形专题高考题练习附答案
解三角形专题 1、在ABC ?中，已知内角3 A π = ，边BC =设内角B x =,面积为y . (1)求函数()y f x =的解析式和定义域； (2)求y 的最大值. 3、在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别是a ，b ，c ，且.2 1 222ac b c a =-+ （1）求B C A 2cos 2 sin 2++的值； （2）若b =2，求△ABC 面积的最大值． 4、在ABC ?中，已知内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，向量(2sin ,m B =， 2cos 2,2cos 12B n B ? ?=- ?? ?，且//m n 。 （I ）求锐角B 的大小； （II ）如果2b =，求ABC ?的面积ABC S ?的最大值。 5、在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且.cos cos 3cos B c B a C b -= （I ）求cos B 的值； （II ）若2=?，且22=b ，求c a 和b 的值.
6、在ABC ?中，cos A = ，cos B =. （Ⅰ）求角C ； （Ⅱ）设AB =，求ABC ?的面积. 7、在△ABC 中，A 、B 、C 所对边的长分别为a 、b 、c ，已知向量(1,2sin )m A =u r ， (sin ,1cos ),//,.n A A m n b c =++=r u r r 满足 （I ）求A 的大小；（II ）求)sin(6π+B 的值. 8、△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且有sin2C+3cos （A+B ）=0，.当13,4==c a ，求△ABC 的面积。 9、在△ABC 中，角A 、B 、C 所对边分别为a ，b ，c ，已知1 1tan ,tan 2 3 A B ==，且最长边的边长为l.求： （I ）角C 的大小； （II ）△ABC 最短边的长.
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【最新整理，下载后即可编辑】 【最新整理，下载后即可编辑】 解三角形专题 一、基础知识： 1、正弦定理：2sin sin sin a b c R A B C ===，其中R 为ABC 外接圆的半径 正弦定理的主要作用是方程和分式中的边角互化。其原则为关于边，或是角的正弦值是否具备齐次的特征。如果齐次则可直接进行边化角或是角化边，否则不可行 例如：（1）222222sin sin sin sin sin A B A B C a b ab c +-=?+-= （2）cos cos sin cos sin cos sin b C c B a B C C B A +=?+=（恒等式） （3） 22sin sin sin bc B C a A = 2、余弦定理：2222cos a b c bc A =+- 变式：（1）222 cos 2b c a A bc +-= ① 此公式通过边的大小（角两边与对边）可以判断出A 是钝角还是锐角 当222b c a +>时，cos 0A >，即A 为锐角； 当222b c a +=（勾股定理）时，cos 0A =，即A 为直角； 当222b c a +<时，cos 0A <，即A 为钝角 ② 观察到分式为齐二次分式，所以已知,,a b c 的值或者::a b c 均可求出cos A （2）()()2221cos a b c bc A =+-+ 此公式在已知b c +和bc 时不需要计算出,b c 的值，进行整体代入即可 3、三角形面积公式： （1）1 2S a h = ? （a 为三角形的底，h 为对应的高） （2）111 sin sin sin 222S ab C bc A ac B === （3）()1 2 S a b c r =++? （r 为三角形内切圆半径，此公式也可用于求 内切圆半径） （4）海伦公式：()()()()1,2 S p p a p b p c p a b c =---=++
(word完整版)高中数学解三角形练习题
解三角形卷一 一．选择题 1．在△ABC 中，sin A :sin B :sin C =3:2:4，则cos C 的值为 A ．23 B ．－23 C ．14 D ．－14 2、在ABC △中，已知4,6a b ==，60B =o ，则sin A 的值为 A 、3 B 、2 C 、3 D 、2 3、在ABC △中，::1:2:3A B C =，则sin :sin :sin A B C = A 、1:2:3 B 、 C 、 D 、2 4、在ABC △中，sin :sin :sin 4:3:2A B C =，那么cos C 的值为 A 、14 B 、14- C 、78 D 、1116 5、在ABC △中，13,34,7===c b a ，则最小角为 A 、3π B 、6π C 、4 π D 、12π 6、在ABC △中，60,16,A b ==o 面积3220=S ，则c = A 、610 B 、75 C 、55 D 、49 7、在ABC △中，()()()a c a c b b c +-=+，则A = A 、30o B 、60o C 、120o D 、150o 8、在ABC △中，根据下列条件解三角形，则其中有二个解的是 A 、10,45,70b A C ===o o B 、60,48,60a c B ===o C 、7,5,80a b A ===o D 、14,16,45a b A ===o 二、填空题。 9．在△ABC 中，a ，b 分别是∠A 和∠B 所对的边，若a ＝3，b ＝1，∠B ＝30°，则∠A 的值是 ． 10．在△ABC 中，已知sin B sin C ＝cos 22 A ，则此三角形是__________三角形． 11. 在△ABC 中，∠A 最大，∠C 最小，且∠A ＝2∠C ，a ＋c ＝2b ，求此三角形三边之比为 ．