圆切线练习题(含答案)

圆切线练习题(含答案)
圆切线练习题(含答案)

圆切线问题典型问题

例1. 已知半径为3的⊙O上一点P和圆外一点Q,如果OQ=5,PQ=4,则PQ 和圆的位置关系是()

A. 相交

B. 相切

C. 相离

D. 位置不定

例2. 在△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,O为AB上一点,AO=m,⊙O

的半径,问m在什么范围内取值时,AC与圆:

(1)相离;(2)相切;(3)相交。

例3. 已知:在△ABC中,AD为∠BAC的平分线,以C为圆心,CD为半径的半圆交BC的延长线于点E,交AD于点F,交AE于点M,且∠B=∠CAE,FE:FD=4:3。

求证:AF=DF;

例4. 已知⊙O中,AB是直径,过B点作⊙O的切线,连结CO,若AD∥OC 交⊙O于D,求证:CD是⊙O的切线。

例5. 如图所示,△ABC为等腰三角形,O是底边BC的中点,⊙O与腰AB 相切于点D。

求证:AC与⊙O相切。

点悟:显然AC与⊙O的公共点没有确定,故用“d=r”证之。而AB与⊙O 切于D点,可连结OD,则OD⊥AB。

例6. 已知⊙O的半径OA⊥OB,点P在OB的延长线上,连结AP交⊙O于D,过D作⊙O的切线CE交OP于C,求证:PC=CD。

例7. 在△ABC中,∠A=70°,点O是内心,求∠BOC的度数。

圆切线问题典型问题答案

例1 解:∵OP=3,PQ=4,OQ=5,

∴,

∴△OPQ是直角三角形,且∠OPQ=90°,∴PQ⊥OP。

即圆心O到PQ的距离等于圆的半径。

∴PQ和圆的位置关系相切,故选B。

点拨:在没有明确知道圆心到直线的距离和半径的关系时,通过已有的知识进行推证。本题也可以通过切线的判定定理求解,即通过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。

例2.点悟:要判定直线与圆的位置关系,只要比较圆心到直线的距离与半径的大小。

解:如图所示,过O作OD⊥AC垂足为D,

,∴

(1)当,即,也即时,则AC与⊙O相离;

(2)当,即,也即时,AC与⊙O相切;

(3)当,即,也即时,AC与⊙O相交。

例3.证明:∵AD平分∠BAC,

∴∠BAD=∠DAC。

∵∠B=∠CAE,∴∠BAD+∠B=∠DAC+∠CAE

∵∠ADE=∠BAD+∠B,∴∠ADE=∠DAE,∴EA=ED

∵DE是半圆C的直径∴∠DFE=90°∴AF=DF

例4. 点悟:要证CD是⊙O的切线,须证CD垂直于过切点D的半径,由此想到连结OD。

证明:连结OD。

∵AD∥OC,

∴∠COB=∠A及∠COD=∠ODA

∵OA=OD,∴∠ODA=∠OAD ∴∠COB=∠COD

∵CO为公用边,OD=OB

∴△COB≌△COD,即∠B=∠ODC∵BC是切线,AB是直径,

∴∠B=90°,∠ODC=90°,∴CD是⊙O的切线。

点拨:辅助线OD构造于“切线的判定定理”与“全等三角形”两个基本图形,先用切线的性质定理,后用判定定理。

例5.点悟:显然AC与⊙O的公共点没有确定,故用“d=r”证之。而AB与⊙O切于D点,可连结OD,则OD⊥AB。

证明:连结OD、OA。过O作OE⊥AC,垂足为E。

∵AB=AC,O为BC的中点,∴∠BAO=∠CAO

又∵AB切⊙O于D点,∴OD⊥AB,又OE⊥AC,∴OE=OD,

∴AC与⊙O相切。

点拨:此题用了切线的性质定理,同时又用了切线的判定方法“d=r”。

例6. 点悟:要证PC=CD,可证它们所对的角等,即证∠P=∠CDP,又OA ⊥OB,故可利用同角(或等角)的余角相等证题。

证明:连结OD,则OD⊥CE。

∴∠EDA+∠ODA=90°∵OA⊥OB

∴∠A+∠P=90°,又∵OA=OD,

∴∠ODA=∠A,∠P=∠EDA∵∠EDA=∠CDP,

∴∠P=∠CDP,∴PC=CD

点拨:在证题时,有切线可连结切点的半径,利用切线性质定理得到垂直关系。

例7. 点悟:已知O是内心,由内心的概念可知OB、OC分别是∠ABC、∠ACB 的平分线。

解:在△ABC中,∠A=70°,

∵O是△ABC的内心∴

最新圆切线练习题(含答案)

圆切线问题典型问题 例1. 已知半径为3的⊙O上一点P和圆外一点Q,如果OQ=5,PQ=4,则PQ 和圆的位置关系是() A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 位置不定 例2. 在△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,O为AB上一点,AO=m,⊙O 的半径,问m在什么范围内取值时,AC与圆: (1)相离;(2)相切;(3)相交。 例3. 已知:在△ABC中,AD为∠BAC的平分线,以C为圆心,CD为半径的半圆交BC的延长线于点E,交AD于点F,交AE于点M,且∠B=∠CAE,FE:FD=4:3。 求证:AF=DF; 例4. 已知⊙O中,AB是直径,过B点作⊙O的切线,连结CO,若AD∥OC 交⊙O于D,求证:CD是⊙O的切线。

例5. 如图所示,△ABC为等腰三角形,O是底边BC的中点,⊙O与腰AB 相切于点D。 求证:AC与⊙O相切。 点悟:显然AC与⊙O的公共点没有确定,故用“d=r”证之。而AB与⊙O 切于D点,可连结OD,则OD⊥AB。 例6. 已知⊙O的半径OA⊥OB,点P在OB的延长线上,连结AP交⊙O于D,过D作⊙O的切线CE交OP于C,求证:PC=CD。 例7. 在△ABC中,∠A=70°,点O是内心,求∠BOC的度数。

圆切线问题典型问题答案 例1 解:∵OP=3,PQ=4,OQ=5, ∴, ∴△OPQ是直角三角形,且∠OPQ=90°,∴PQ⊥OP。 即圆心O到PQ的距离等于圆的半径。 ∴PQ和圆的位置关系相切,故选B。 点拨:在没有明确知道圆心到直线的距离和半径的关系时,通过已有的知识进行推证。本题也可以通过切线的判定定理求解,即通过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。 例2.点悟:要判定直线与圆的位置关系,只要比较圆心到直线的距离与半径的大小。 解:如图所示,过O作OD⊥AC垂足为D, ,∴ (1)当,即,也即时,则AC与⊙O相离; (2)当,即,也即时,AC与⊙O相切; (3)当,即,也即时,AC与⊙O相交。 例3.证明:∵AD平分∠BAC, ∴∠BAD=∠DAC。 ∵∠B=∠CAE,∴∠BAD+∠B=∠DAC+∠CAE ∵∠ADE=∠BAD+∠B,∴∠ADE=∠DAE,∴EA=ED

圆的切线专题证明题

1、.已知:如图,CB 是⊙O 的直径,BP 是和⊙O 相切于点B 的切线,⊙O 的弦AC 平行于OP . (1)求证:AP 是⊙O 的切线.(2)若∠P=60°,PB=2cm ,求AC . 2、⊿ABC 中,AB=AC ,以AB 为直径作⊙O 交BC 于D ,D E ⊥AC 于E.求证:DE 为⊙O 的切线 3、、如图,AB=BC ,以AB 为直径的⊙O 交AC 于D ,作D E ⊥BC 于E 。(1)求证:DE 为⊙O 的切线(2)作DG ⊥AB 交⊙O 于G ,垂足为F ,∠A=30°.AB=8,求DG 的长 4、如图,AB 为⊙O 的直径,BC 切⊙O 于B ,AC 交⊙O 于P ,CE=BE ,E 在BC 上. 求证:PE 是⊙O 的切线. 5、如图,D 是⊙O 的直径CA 延长线上一点,点 B 在⊙O 上, 且AB =AD =AO .求证:BD 是⊙O 的切线; 6 .如图,在中, ,以 为直径的分别交、于点、,点在的延长 线上,且 求证:直线 是⊙0的切线; O A B P E C

7、如图 9,直线n切⊙O于A,点P为直线n上的一点,直线PO交⊙O于C、B,D在线段AP上, 连接DB,且AD=DB。(1)判断DB与⊙O的位置关系,并说明理由。(2)若AD=1,PB=BO,求弦AC的长 8、如图10,⊙O直径AB=4,P在AB的延长线上,过P作⊙O切线,切点为C,连接AC。(1)若∠CPA=30°,求PC的长(2)若P在AB的延长线上运动,∠CPA的平分线交AC于点M,你认为∠CMP的大小是否发生变化?若变化,请说明理由;若不变化,求出∠CMP的值。 9.如图,MN为⊙O的切线,A为切点,过点A作AP⊥MN,交⊙O的弦BC于点P. 若PA=2cm,PB=5cm,PC=3cm,求⊙O的直径. 10.已知:如图,同心圆O,大圆的弦AB=CD,且AB是小圆的切线,切点为E.求证:CD是小圆的切线. 11、如图,AB为⊙O的直径,AD平分∠BAC交⊙O于点D,DE⊥AC交AC的延长线于点E,FB是⊙O 的切线交AD的延长线于点F. (1)求证:DE是⊙O的切线; (2)若DE=3,⊙O的半径为5,求BF的长. F E D A C O B P M B D C O N

(完整版)证明圆的切线经典例题

证明圆的切线方法及例题 证明圆的切线常用的方法有: 一、若直线I过O O上某一点A,证明I是O O的切线,只需连OA,证明OA丄I 就行了,简称“连半径,证垂直”,难点在于如何证明两线垂直? 例1 如图,在厶ABC中,AB=AC ,以AB为直径的O O交BC于D ,交AC于E, B为切点的切线交0D延长线于F. 求证:EF与O 0相切. 证明:连结OE, AD. ?/ AB是O 0的直径, ??? AD 丄BC. 又??? AB=BC , ???/ 3= / 4. —— ? BD=DE,/ 1 = / 2. 又??? OB=OE , OF=OF , ???△ BOF ◎△ EOF ( SAS) ???/ OBF= / OEF. ??? BF与O O相切, ?OB 丄BF. ???/ OEF=9O°. ?EF与O O相切. 说明:此题是通过证明三角形全等证明垂直的

例2 如图,AD 是/ BAC 的平分线, 求证:PA 与O O 相切. 证明一:作直径AE ,连结EC. ?/ AD 是/ BAC 的平分线, ???/ DAB= / DAC. ?/ PA=PD , ???/ 2= / 1+ / DAC. ???/ 2= / B+ / DAB , ???/ 1 = / B. ?/ AE 是O O 的直径, ? AC 丄 EC ,/ E+ / EAC=90°. ???/ 1 + / EAC=90°. 即OA 丄PA. ? PA 与O O 相切. ?/ PA=PD , ???/ PAD= / PDA. 又???/ PDA= / BDE, 证明二:延长AD 交O O 于E ,连结 ?/ AD 是/ BAC 的平分线, ? BE=CE , ? OE 丄 BC. ???/ E+/ BDE=90 0. ?/ OA=OE , ???/ E=/ 1. P P 为BC 延长线上一点,且 PA=PD.

证明题之圆的切线证明题学生版

中考题型训练之圆的切线证明题(有切点,连半径,正垂直;无切点,做垂直,证半径 ) 1.如图,△ABC 内接于半圆,AB 是直径,过A 作直线MN ,若∠MAC=∠ABC . (1)求证:MN 是半圆的切线; (2)设D 是弧AC 的中点,连结BD 交AC 于G ,过D 作DE⊥AB 于E ,交AC 于F . 求证:FD =FG . (3)若△DFG 的面积为4.5,且DG=3,GC=4,试求△BCG 的面积. 2.如图所示,AB 是O ⊙直径,OD ⊥弦BC 于点F ,且交O ⊙于点E ,若AEC ODB ∠=∠. (1)判断直线BD 和O ⊙的位置关系,并给出证明; (2)当108AB BC ==,时,求BD 的长. 3.如图,已知AB 是O ⊙的直径,点C 在O ⊙上,过点C 的直线与AB 的延长线交于点P ,AC PC =,2COB PCB ∠=∠. (1)求证:PC 是O ⊙的切线;(2)求证:1 2 BC AB = ; (3)点M 是AB 的中点,CM 交AB 于点N ,若4AB =,求MN MC 的值. 4.如图, AB 是⊙O 的直径,∠BAC =30°,M 是OA 上一点,过M 作AB 的垂线交AC 于点N ,交BC 的延长线于点E ,直线CF 交EN 于点F ,且∠ECF =∠E . (1)证明CF 是⊙O 的切线; (2)设⊙O 的半径为1,且AC =CE ,求MO 的长. 5. 如图,已知的直径

点作 交的延长线于点

,且 .

(2)的中点; (3)若,求的长. 6、如图,在平面直角坐标系xOy中,⊙O交x轴于A、B两点,直线FA⊥x轴于点A,点D在FA上,且DO平行⊙O的弦 MB,连DM并延长交x轴于点C.

圆证明切线的练习题

圆证明切线的练习题 1. 如图,AB是⊙O的直径,⊙O交BC的中点 于D,DE⊥AC,E是垂足. 求证:DE是⊙O的切线;如果AB=5,tan∠B=的长. 2.如图,△ABC中,AB=AE,以AB为直径作⊙O交BE 于C,过C作CD⊥AE于D, 1C ,求CE B DC的延长线与AB的延长线交于点P . 求证:PD是⊙O的切线;若AE=5,BE=6,求DC的长. 3.在Rt△ABC 中,∠C=90 ? , BC=9, CA=12,∠ABC的平分线 BD交AC于点D, DE⊥DB交AB于点E,⊙O是△BDE的外接圆, 交BC于点F 求证:AC是⊙O的切线; 联结EF,求 4.已知:如图,△ABC中,AB=AC=5,BC=6,以AB为直径作⊙O交AC于点D,交BC于点E,EF⊥AC于F交AB的延长线于G. 求证:FG是⊙O的切线;求AD的长.

证明: 1 A EF 的值. AC 5.如图,点A、B、F在?O上,?AFB?30?,OB的延长线交直线AD于点D,过点 B作BC?AD于C,?CBD?60?,连接AB. 求证:AD是?O 的切线; 若AB?6,求阴影部分的面积. 6.已知:如图,AB是⊙O的直径,E是AB延长线上的一点,D是⊙O上的一点,且AD平分∠FAE,ED⊥AF交AF 的延长线于点C.判断直线CE与⊙O的位置关系,并证明你的结论; A 若AF∶FC=5∶3,AE=16,求⊙O的直径AB的长. 7.如图,以等腰?ABC中的腰AB为直径作⊙O,交底边BC于点D.过点D作DE?AC,垂足为E.求证:DE为⊙O的切线; 8.如图,已知R t△ABC,∠ABC=90°,以直角边 AB为直径作O,交斜边AC于点D,连结BD.

高中数学圆的方程典型例题

高中数学圆的方程典型例题 类型一:圆的方程 例1 求过两点)4,1(A 、)2,3(B 且圆心在直线0=y 上的圆的标准方程并判断点)4,2(P 与圆的关系. 分析:欲求圆的标准方程,需求出圆心坐标的圆的半径的大小,而要判断点P 与圆的位置关系,只须看点P 与圆心的距离和圆的半径的大小关系,若距离大于半径,则点在圆外;若距离等于半径,则点在圆上;若距离小于半径,则点在圆内. 解法一:(待定系数法) 设圆的标准方程为222)()(r b y a x =-+-. ∵圆心在0=y 上,故0=b . ∴圆的方程为2 22)(r y a x =+-. 又∵该圆过)4,1(A 、)2,3(B 两点. ∴?????=+-=+-2 22 24)3(16)1(r a r a 解之得:1-=a ,202 =r . 所以所求圆的方程为20)1(2 2 =++y x . 解法二:(直接求出圆心坐标和半径) 因为圆过)4,1(A 、)2,3(B 两点,所以圆心C 必在线段AB 的垂直平分线l 上,又因为 13 12 4-=--= AB k ,故l 的斜率为1,又AB 的中点为)3,2(,故AB 的垂直平分线l 的方程为:23-=-x y 即01=+-y x . 又知圆心在直线0=y 上,故圆心坐标为)0,1(-C ∴半径204)11(22=++= =AC r . 故所求圆的方程为20)1(2 2 =++y x . 又点)4,2(P 到圆心)0,1(-C 的距离为 r PC d >=++==254)12(22. ∴点P 在圆外. 说明:本题利用两种方法求解了圆的方程,都围绕着求圆的圆心和半径这两个关键的量,然后根据圆心与定点之间的距离和半径的大小关系来判定点与圆的位置关系,若将点换成直线又该如何来判定直线与圆的位置关系呢?

圆切线练习题(题型全面)

弦 E 圆切线练习题(1) 1、 已知:直线 AB 经过⊙O 上的点 C ,并且 OA=OB ,CA=CB . 求证:直线 AB 是⊙O 的切线. 6、已知:如图,AB 是⊙O 的直径,P 是⊙O 外一点,PA ⊥AB ,? BC ∥OP ,求证:PC 为⊙ O 的切线 2、如图 7-51,AB 是⊙O 的直径,∠ABT=45°,AT=AB . 7、 已知:如图,在 △R t ABC 中,∠ABC=900,以 AB 为直径的⊙O 交 AC 于 E 点,D 为 BC 的中点。 求证:DE 与⊙O 相切。 求证:AT 是⊙O 的切线. E C 3.如右图,AB 是⊙O 的直径,点 D 在 AB 的延长线上,BD=OB ,点 C 在圆上,∠CAB=30°,求证: DC 是⊙O 的切线. D A O B 8、 已知:AB 为⊙O 的直径,AC 为弦,D 为 AB 上一点,过 D 点作 AB 的垂线 DE 交 AC 于 F ,EF=EC 。 求证:EC 与⊙O 相切。 E C F 4、如图 7-53,AB 为⊙O 的直径,C 为⊙O 上一点,AD 和过 C 点切线互相垂直,垂足为 D . 求证:AC 平分∠DAB . A D O B 9、 已知:△ABC 中 AB=AC ,O 为 BC 的中点,以 O 为圆心的圆与 A AC 相切于点 E , E 求证:AB 与⊙O 也相切。 B O C 5、如图,AN 是⊙O 的直径,⊙O 过 BC 的中点 D .DE ⊥AC . 求证:DE 是⊙O 的切线. 10.已知:在以 O 为圆心的两个同心圆中,大圆的弦 AB 和 CD 相等, A 且 AB 与小圆相切于点 E , 求证:CD 与小圆相切。 C O B D

直线与圆知识点及经典例题

圆的方程、直线和圆的位置关系 【知识要点】 一、圆的定义:平面内与一定点距离等于定长的点的轨迹称为圆 (一)圆的标准方程这个方程叫做圆的标准方程。 说明: 1 、若圆心在坐标原点上,这时,则圆的方程就是。 2、圆的标准方程的两个基本要素:圆心坐标和半径;圆心和半径分别确定了圆的位置和大小,从而确定了 圆,所以,只要三个量确定了且〉0,圆的方程就给定了。 就是说要确定圆的方程,必须具备三个独立的条件确定,可以根据条件,利用待定系数法来解决。 (二)圆的一般方程 将圆的标准方程, 展开可得。可见,任何一个圆的方程都可以写成: 问题:形如的方程的曲线是不是圆 将方程左边配方得: (1)当〉0时,方程(1 )与标准方程比较,方程表示以为圆心,以为半径的圆。, (3)当v 0时,方程没有实数解,因而它不表示任何图形。 圆的一般方程的定义: 当〉0时,方程称为圆的一般方程? 圆的一般方程的特点: ( 1 )和的系数相同,不等于零; ( 2)没有xy 这样的二次项。 (三)直线与圆的位置关系 1、直线与圆位置关系的种类 ( 1 )相离--- 求距离;(2) 相切--- 求切线;( 3)相交--- 求焦点弦长。 2、直线与圆的位置关系判断方法: 几何方法主要步骤: ( 1)把直线方程化为一般式,利用圆的方程求出圆心和半径 ( 2)利用点到直线的距离公式求圆心到直线的距离 (3)作判断:当d>r时,直线与圆相离;当 d = r时,直线与圆相切;当d0时,直线与圆相交。 【典型例题】 类型一:圆的方程 例 1 求过两点、且圆心在直线上的圆的标准方程并判断点与圆的关系. 变式1:求过两点、且被直线平分的圆的标准方程. 变式2:求过两点、且圆上所有的点均关于直线对称的圆的标准方程. 分析:欲求圆的标准方程,需求出圆心坐标的圆的半径的大小,而要判断点与圆的位置关系,只须看点与圆心的距离和圆的半径的大小关系,若距离大于半径,则点在圆外;若距离等于半径,则点在圆上;若距离小于半径,则点在圆内. 解法一:(待定系数法) 设圆的标准方程为????圆心在上,故????圆的方程为. 又???该圆过、两点.??? 解之得:, 所以所求圆的方程为.解法二:(直接求出圆心坐标和半径) 因为圆过、两点,所以圆心必在线段的垂直平分线上,又因为,故的斜率为1,又的中点为,故的垂直平分线 的方程为:即. 又知圆心在直线上,故圆心坐标为.??半径. 故所求圆的方程为.又点到圆心的距离为

中考数学专题圆的切线精华习题

中考数学专题圆的位置关系 第一部分真题精讲 【例1】已知:如图,AB为⊙O的直径,⊙O过AC的中点D,DE⊥BC于点E.(1)求证:DE为⊙O的切线; (2)若DE=2,tan C=1 2 ,求⊙O的直径. A 【思路分析】本题和大兴的那道圆题如出一辙,只不过这两个题的三角形一个是躺着一个是立着,让人怀疑他们是不是串通好了…近年来此类问题特别爱将中点问题放进去一并考察,考生一定要对中点以及中位线所引发的平行等关系非常敏感,尤其不要忘记圆心也是直径的中点这一性质。对于此题来说,自然连接OD,在△ABC中OD就是中位线,平行于BC。所以利用垂直传递关系可证OD⊥DE。至于第二问则重点考察直径所对圆周角是90°这一知识点。利用垂直平分关系得出△ABC是等腰三角形,从而将求AB转化为求BD,从而将圆问题转化成解直角三角形的问题就可以轻松得解。 【解析】(1)证明:联结OD.∵ D为AC中点, O为AB中点, A ∴ OD为△ABC的中位线.∴OD∥BC. ∵ DE⊥BC,∴∠DEC=90°. ∴∠ODE=∠DEC=90°. ∴OD⊥DE于点D. ∴ DE为⊙O的切线. (2)解:联结DB.∵AB为⊙O的直径, ∴∠ADB=90°.∴DB⊥AC.∴∠CDB=90°. ∵ D为AC中点,∴AB=AC. 在Rt△DEC中,∵DE=2 ,tanC=1 2 ,∴EC=4 tan DE C =. (三角函数的意义要记牢) 由勾股定理得:DC= 在Rt △DCB 中, BD=tan DC C ?= BC=5. ∴AB=BC=5. ∴⊙O的直径为5. 【例2】已知:如图,⊙O为ABC ?的外接圆,BC为⊙O的直径,作射线BF,使得BA平分CBF ∠,过点A作AD BF ⊥ 于点D.(1)求证:DA为⊙O的切线;(2)若1 BD=, 1 tan 2 BAD ∠=,求⊙O的半径.

圆的切线判定证明题电子教案

圆的切线判定证明题

仅供学习与交流,如有侵权请联系网站删除 谢谢2 1.如图,在平面直角坐标系xOy 中,⊙O 交x 轴于A 、B 两点,直线FA ⊥x 轴于点A ,点D 在 FA 上,且DO 平行于⊙O 的弦MB ,连DM 并延长交x 轴于点C . (1)判断直线DC 与⊙O 的位置关系,并给出证明; (2)设点D 的坐标为(-2,4),试求MC 的长及直线DC 的解析式. 2.在Rt △ABC 中,BC =9, CA =12,∠ABC 的平分线BD 交AC 与点D , DE ⊥DB 交AB 于点E . (1)设⊙O 是△BDE 的外接圆,求证:AC 是⊙O 的切线; (2)设⊙O 交BC 于点F ,连结EF ,求EF AC 的值. (1)证明: (2)解: 3.如图,AB 是⊙O 的直径,AD 是弦,∠DAB =22.5o,延长AB 到点C ,使得∠ACD =45o. (1)求证:CD 是⊙O 的切线; (2)若AB =22,求BC 的长. 4.如图,四边形ABCD 内接于⊙O ,BD 是O 的直径,AE CD ⊥,垂足为E ,DA 平分 BDE ∠.

仅供学习与交流,如有侵权请联系网站删除 谢谢3 5. 如图,⊙O 是△ABC 的外接圆,且AB =AC ,点D 在弧BC 上运动,过点D DE 交AB 的延长线于点E ,连结AD 、BD . (1)求证:∠ADB =∠E ; (2)当点D 运动到什么位置时,DE 是⊙O 的切线?请说明理由. (3)当AB =5,BC =6时,求⊙O 的半径. 6. 如图,已知AB 为⊙O 的直径,CD 是弦,且AB ⊥CD 于点E .连接AC 、OC 、BC . (1)求证:∠ACO =∠BCD . (2)若E B =8cm ,CD =24cm ,求⊙O 的直径. 7. 如图,AB 是⊙O 的直径,BD 是⊙O 的弦,延长BD 到点C ,使DC =BD ,连结AC ,过点D 作DE ⊥ AC ,垂足为E . (1)求证:AB =AC ; (2)求证:DE 为⊙O 的切线; (3)若⊙O 的半径为5,∠BAC =60°,求DE 的长. E C A

直线和圆基础习题附答案(经典题)

【熟悉知识网络】 综合复习和应用直线和圆的基础知识,解决对称问题、轨迹问题、最值问题,以及直线与圆和其他数学知识的综合问题,提高分析问题和解决问题能力. 【典型例题】 [例1](1)直线x +y=1与圆x 2+y 2-2ay=0(a >0)没有公共点,则a 的取值范围是 ( ) A .(0, 2 -1) B .( 2 -1, 2 +1) C .(- 2 -1, 2 -1) D .(0, 2 +1 (2)圆(x -1)2+(y + 3 )2=1的切线方程中有一个是 ( ) A .x -y=0 B .x +y=0 C .x=0 D .y=0 (3)“a =b ”是“直线22 2()()2y x x a y b =+-++=与圆相切”的 ( ) A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充分必要条件 D .既不充分又不必要条件 (4)已知直线5x +12y +a=0与圆x 2+y 2-2x=0相切,则a 的值为. (5)过点(1, 2 )的直线l 将圆(x -2)2+y 2=4分成两段弧,当弧所对的圆心角最小时,直线l 的斜率k=. [例2] 设圆上点A (2,3)关于直线x +2y=0的对称点仍在圆上,且圆与直线x -y +1=0相交的弦长为2 2 ,求圆的方程. [例3] 已知直角坐标平面上点Q (2,0)和圆C :x 2+y 2=1,动点M 到圆C 的切线长与|MQ|的比等于λ(λ>0).求动点M 的轨迹方程,并说明它表示什么曲线. [例4] 已知与曲线C :x 2+y 2-2x -2y +1=0相切的直线l 叫x 轴,y 轴于A ,B 两点,|OA|=a,|OB|=b(a >2,b >2). (1)求证:(a -2)(b -2)=2; (2)求线段AB 中点的轨迹方程; (3)求△AOB 面积的最小值. 【课内练习】 1.过坐标原点且与圆x 2+y 2-4x +2y +52 =0相切的直线的方程为 ( ) A .y=-3x 或y=13 x B .y=3x 或y=-13 x C .y=-3x 或y=-13 x D .y=3x 或y=13 x 2.圆(x -2)2+y 2=5关于原点(0,0)对称的圆的方程为 ( ) A .(x +2)2+y 2=5 B .x 2+(y -2)2=5 C . (x -2)2+(y -2)2=5 D .x 2+(y +2)2=5 3.对曲线|x|-|y|=1围成的图形,下列叙述不正确的是 ( ) A .关于x 轴对称 B .关于y 轴对称 C .关于原点轴对称 D .关于y=x 轴对称 4.直线l 1:y=kx +1与圆x 2+y 2+kx -y -4=0的两个交点关于直线l 2:y +x=0对称,那么这两个交点中有一个是 ( ) A .(1,2) B .(-1,2) C .(-3,2) D .(2,-3) 5.若直线y=kx +2与圆(x -2)2+(y -3)2=1有两个不同的交点,则k 的取值范围是. 6.已知直线ax +by +c =0与圆O :x 2+y 2=1相交于A 、B 两点,且|AB|=3,则? =.

中考复习专题_圆切线证明

中考复习专题 --------圆的切线的判定与性质 知识考点: 1、掌握切线的判定及其性质的综合运用,在涉及切线问题时,常连结过切点的半径,切线的判定常用以下两种方法:一是连半径证垂直,二是作垂线证半径。

2、掌握切线长定理的灵活运用,掌握三角形和多边形的内切圆,三角形的内心。 精典例题: 一、若直线l过⊙O上某一点A,证明l是⊙O的切线,只需连OA,证明OA⊥l就行了,简称“连半径,证垂直”,难点在于如何证明两线垂直. 例1如图,在△ABC中,AB=AC,以AB为直径的⊙O交BC于D,交AC于E,B为切点的切线交OD延长线于F. 求证:EF与⊙O相切. 例2 如图,AD是∠BAC的平分线,P为BC延长线上一点,且PA=PD. 求证:PA与⊙O相切. 例3 如图,AB=AC,AB是⊙O的直径,⊙O交BC于D,DM⊥AC于M 求证:DM与⊙O相切.

例4 如图,已知:AB是⊙O的直径,点C在⊙O上,且∠CAB=300,BD=OB,D在AB的延长线上.求证:DC是⊙O的切线 例5 如图,AB是⊙O的直径,CD⊥AB,且OA2=OD·OP. 求证:PC是⊙O的切线. 例6 如图,ABCD是正方形,G是BC延长线上一点,AG交BD于E,交CD于F. 求证:CE与△CFG的外接圆相切.

二、若直线l 与⊙O 没有已知的公共点,又要证明l 是⊙O 的切线,只需作OA ⊥l ,A 为垂足,证明OA 是⊙O 的半径就行了,简称:“作垂直;证半径” 例7 如图,AB=AC ,D 为BC 中点,⊙D 与AB 切于E 点. 求证:AC 与⊙D 相切. 例8 已知:如图,AC ,BD 与⊙O 切于A 、B ,且AC ∥BD ,若∠COD=900 . 求证:CD 是⊙O 的切线. [习题练习] 例1如图,AB 是⊙O 的弦(非直径),C 、D 是AB 上两点,并且OC=OD ,求证:AC=BD . 例2已知:如图,在△ABC 中,AB=AC ,以AB 为直径的⊙O 与BC 交于点D ,与AC?交于点E ,求证:△ DEC

圆切线证明的方法

切线证明法 切线的性质定理: 圆的切线垂直于经过切点的半径 切线的性质定理的推论1: 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点. 切线的性质定理的推论2: 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心 切线的判定定理: 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 切线长定理: 从圆外一点可以引圆的两条切线,它们的切线长相等,这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。 一、要证明某直线是圆的切线,如果已知直线过圆上的某一个点,那么作出过这一点的半径,证明直线垂直于半径. 【例1】如图1,已知AB 为⊙O 的直径,点D 在AB 的延长线上,BD = OB ,点C 在圆上,∠CAB =30o.求证:DC 是⊙O 的切线. 思路:要想证明DC 是⊙O 的切线,只要我们连接OC ,证明∠OCD =90o即可. 证明:连接OC ,BC . ∵AB 为⊙O 的直径,∴∠ACB =90o. ∵∠CAB =30o,∴BC =21 AB =OB . ∵BD =OB ,∴BC =2 1 OD .∴∠OCD =90o. ∴DC 是⊙O 的切线. 【评析】一定要分清圆的切线的判定定理的条件与结论,特别要注意“经过半径的外端”和“垂直于这条半径”这两个条件缺一不可,否则就不是圆的切线. 【例2】如图2,已知AB 为⊙O 的直径,过点B 作⊙O 的切线BC ,连接 OC ,弦AD ∥OC .求证:CD 是⊙O 的切线. 图1 图2

思路:本题中既有圆的切线是已知条件,又证明另一条直线是圆的切线.也就是既要注意运用圆的切线的性质定理,又要运用圆的切线的判定定理.欲证明 CD 是⊙O 的切线,只要证明∠ODC =90o即可. 证明:连接OD . ∵OC ∥AD ,∴∠1=∠3,∠2=∠4. ∵OA =OD ,∴∠1=∠2.∴∠3=∠4. 又∵OB =OD ,OC =OC , ∴△OBC ≌△ODC .∴∠OBC =∠ODC . ∵BC 是⊙O 的切线,∴∠OBC =90o.∴∠ODC =90o. ∴DC 是⊙O 的切线. 【例3】如图2,已知AB 为⊙O 的直径,C 为⊙O 上一点,AD 和过C 点的切线互相垂直,垂足为D .求证:AC 平分∠DAB . 思路:利用圆的切线的性质——与圆的切线垂直于过切点的半径. 证明:连接OC . ∵CD 是⊙O 的切线,∴OC ⊥CD . ∵AD ⊥CD ,∴OC ∥AD .∴∠1=∠2. ∵OC =OA ,∴∠1=∠3.∴∠2=∠3. ∴AC 平分∠DAB . 【评析】已知一条直线是某圆的切线时,切线的位置一般是确定的.在解决有关圆的切线问题时,辅助线常常是连接圆心与切点,得到半径,那么半径垂直 图3

圆的切线综合练习题与答案完整版

圆的切线综合练习题与 答案 HEN system office room 【HEN16H-HENS2AHENS8Q8-HENH1688】

切线的判定与性质练习题 一、选择题(答案唯一,每小题3分) 1.下列说法中,正确的是( ) A.与圆有公共点的直线是圆的切线 B.经过半径外端的直线是圆的切线 C.经过切点的直线是圆的切线 D.圆心到直线的距离等于半径的直线是圆的切线 2. 如图,AB是⊙O的直径,AC切⊙O于A,BC交⊙O于点D,若∠C=70°,则∠AOD的 度数为( ) A.70° B.35° C.20° D.40° 第2题第3题第4题第5题 3. 如图,线段AB是⊙O的直径,点C,D为⊙O上的点,过点C作⊙O的切线交AB的延长线 于点E,若∠E=50°,则∠CDB等于( ) A.20° B.25° C.30° D.40° 4.如图,等腰直角三角形ABC中,AB=AC=8,O为BC的中点,以O为圆心作半圆,使它与 AB,AC都相切,切点分别为D,E,则⊙O的半径为( ) A.8 B.6 C.5 D.4 5.如图,CD是⊙O的直径,弦AB⊥CD于点G,直线EF与⊙O相切于点D,则下列结论中不 一定正确的是( ) A.AG=BG B.AB∥EF C.AD∥BC D.∠ABC=∠ADC 二.填空题(每小题3分) 6.如图,在⊙O中,弦AB=OA,P是半径OB的延长线上一点,且PB=OB,则PA与⊙O的位置关系是_________. 第6题第7题第8题 7.如图,△ABC的一边AB是⊙O的直径,请你添加一个条件,使BC是⊙O的切线,你所 添加的条件为________________. 8.如图,AB是⊙O的直径,O是圆心,BC与⊙O切于点B,CO交⊙O于点D,且BC=8, CD=4,那么⊙O的半径是______. 9. 如图,若以平行四边形一边AB为直径的圆恰好与对边CD相切于点D,则∠C=_______度. 第9题第10题第11题 10. 如图,AB为⊙O的直径,直线l与⊙O相切于点C,AD⊥l,垂足为D,AD交⊙O于点E, 连接OC,BE.若AE=6,OA=5,则线段DC的长为______. 11.如图,已知△ABC内接于⊙O,BC是⊙O的直径,MN与⊙O相切,切点为A,若∠MAB=30°,则∠B=________度. 三、解答题(写出详细解答或论证过程) 12.(7分)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,BD是角平分线,点O在AB上,以点O为圆 心,OB为半径的圆经过点D,交BC于点E.求证:AC是⊙O的切线. 第12题第13题第14题 13.(7分)如图,AB是⊙O的直径,点C在AB的延长线上,CD与⊙O相切于点D, CE⊥AD,交AD的延长线于点E.求证:∠BDC=∠A. 14.(7分)如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,∠BAC的平分线交BC于D,以D为圆心,DB 长为半径作⊙D,求证:AC与⊙D相切. 15.(10分)如图,AB为⊙O的直径,PD切⊙O于点C,交AB的延长线于点D,且

圆切线证明题

圆切线证明题 1.如图,PA为O O的切线,A为切点,过A作OP的垂线AB,垂足为点C,交O O于点B,延长B0与O O交于点D,与PA的延长线交于点E, 求证:PB为O 0的切线; 2如图,AB=AC AB是O 0的直径,O O交BC于D, DML AC于M 求证:DM与O O相切.

3如图,已知:AB是O 0的直径,点C在O O上,且/ CAB=30, BD=OB D在AB的延长线上 求证:DC是O 0的切线 3.已知:如图,A是LI 0上一点,半径0C的延长线与过点A的直线交于B点,OC=BC , 1 AC OB ? 2 (1)求证:AB是L O的切线;一一 (2 )若丄ACD=45°OC=2,求弦CD 的长. / \ 4.知:如图,在Rt A ABC中,? C=90〃,点O在AB上,以O为圆心,OA长为半径的

圆与AC, AB 分别交于点D, E ,且.CBD A . (1 )判断直线BD 与LI O 的位置关系,并证明你的结论; 已知:如图,在 △ ABC 中, D 是AB 边上一点,圆 0过D B C 三点,.DOC2. ACD 90。 (1) 求证:直线AC 是圆0的切线; ,如图,AB=AC D 为BC 中点,O D 与AB 切于E 点. 求证:AC 与O D 相切. 如图,等腰三角形 ABC 中,AC= BC= 10,AB= 12。以BC 为直径作O O 交AB 于点D,交AC C B

于点G DF 丄AC 垂足为F ,交CB 的延长线于点 E 。 ⑴求证:直线EF 是O O 的切线; 如图,Rt △ ABC 中,N ABC = 90°以AB 为直径作O O 交AC 边于点D ,E 是边BC 的中点,连接DE . (1)求证:直线DE 是O O 的切线; 如图,点 O 在/ APB 的平分线上,O O 与PA 相切于点 C. (1) 求证:直线 PB 与O O 相切; 23.(2008年南充市)如图,已知]的直径』垂直于弦二 于点二,过」点作’ 交;的延长线于点 」,连接并延长交J U 于点;,且_[「__[」 . E B

圆的切线之经典练习题

圆的切线之----- A 班经典练习题 班级 姓名 一、选择题: 1、“圆的切线垂直于经过切点的半径”的逆命题是( ) A 、经过半径外端点的直线是圆的切线; B 、垂直于经过切点的半径的直线是圆的切线; C 、垂直于半径的直线是圆的切线; D 、经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。 2、如图,在Rt △ABC 中,∠A =900,点O 在BC 上,以O 为圆心的⊙O 分别与AB 、AC 相切于E 、F , 若AB =a ,AC =b ,则⊙O 的半径为( ) A 、ab B 、 ab b a + C 、b a ab + D 、2 b a + 3、如图,正方形ABCD 中,AE 切以BC 为直径的半圆于E ,交CD 于F ,则CF ∶FD =( ) A 、1∶2 B 、1∶3 C 、1∶4 D 、2∶5 4、如图,过⊙O 外一点P 作⊙O 的两条切线PA 、PB ,切点分别为A 、B ,连结AB ,在AB 、PB 、PA 上分别取一点D 、E 、F ,使AD =BE ,BD =AF ,连结DE 、DF 、EF ,则∠EDF =( ) A 、900-∠P B 、900- 21∠P C 、1800-∠P D 、450-2 1 ∠P ? 第3题图 O F E D C B A ? 第4题图 P O F E D B A ?第6题图 C O E D B A 二、填空题: 5、已知PA 、PB 是⊙O 的切线,A 、B 是切点,∠APB =780,点C 是⊙O 上异于A 、B 的任一点,则∠ACB = 。 6、如图,AB ⊥BC ,DC ⊥BC ,BC 与以AD 为直径的⊙O 相切于点E ,AB =9,CD =4,则四边形ABCD 的面积为 。 7、如图,⊙O 为Rt △ABC 的内切圆,点D 、E 、F 为切点,若AD =6,BD =4,则△ABC 的面积为 。 8、如图,已知AB 是⊙O 的直径,BC 是和⊙O 相切于点B 的切线,过⊙O 上A 点的直线AD ∥OC , 若OA =2,且AD +OC =6,则CD = 。

关于圆的切线的练习题经典

圆的切线 1、直线和圆的位置关系有三种:相交、相切、相离 用数量关系表示是:如果O 0的半径为r,圆心0到直线I的距离为d,那么: (1)直线I和O O相交1 dr. 2、切线的判定定理经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 3、切线的性质定理及其推论切线的性质定理圆的切线垂直于经过切点的半径 推论1 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点 推论2 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心 、1、直线和圆的位置关系 2、切线的判定定理 例1、已知如图所示,AB为O O的直径,C D是直径AB同侧圆周上两点,且「_一二」,过D作DEL AC于点E,求证:DE是O 0的切线. 例2、( 1)如图所示,△ ABC内接于O 0,如果过点A的直线AE和AC所成的角/ EACN B, 那么EA是O 0的切线. 3、切线的性质及其推论 例3如图,已知AB是O 0的直径,AC是弦,CD BO 0于点C,交AB ?的延长线于点D, / ACD=120 ° , BD=10 . ( 1)求证:CA=CD ;(2)求O 0的半径.

例4、已知:如图所示,AB为半圆0的直径,直线 MN于点E, BE交半圆于点F, AD=3cm BE=7cm (1 )求0 0的半径; (2)求线段DE的长. 例5、如图所示,AB为O 0的直径,BC CD为O 0的切线, 求证:AD// 0C 例6、已知如图所示,在梯形ABCD中, AD// BC, / D=90°, AD+ BC=AB以AB为直径作O 0, 求证:O 0和CD相切. 例7如图,AB是半圆0的直径,AD为弦, (1)求证:BC是半圆0的切线; (2)若0C // AD , 0C 交BD 于E, BD=6 , 例8、如图,AB为O 0的直径,弦CD丄AB于点M,过点B作BE // CD,交AC?的延长线于点E,连结BC. (1) 求证:BE为O 0的切线; 1 (2) 如果CD=6 , tan/ BCD= ,求O 0 的直径. 2 例9如图,AB为O 0的直径,BC切O 0于B, AC交O 0于P, CE=BE , E在BC上.求证:PE是O 0的切线. B E

初中数学-证明圆的切线经典例题

初中数学-证明圆的切线方法及例题 证明圆的切线常用的方法有: 一、若直线l过⊙O上某一点A,证明l是⊙O的切线,只需连OA,证明OA⊥l 就行了,简称“连半径,证垂直”,难点在于如何证明两线垂直. 例1如图,在△ABC中,AB=AC,以AB为直径的⊙O交BC于D,交AC于E,B为切点的切线交OD延长线于F. 求证:EF与⊙O相切. 证明:连结OE,AD. ∵AB是⊙O的直径, ∴AD⊥BC. 又∵AB=BC, ∴∠3=∠4. ⌒⌒ ∴BD=DE,∠1=∠2. 又∵OB=OE,OF=OF, ∴△BOF≌△EOF(SAS). ∴∠OBF=∠OEF. ∵BF与⊙O相切, ∴OB⊥BF. ∴∠OEF=900. ∴EF与⊙O相切. 说明:此题是通过证明三角形全等证明垂直的

例2 如图,AD是∠BAC的平分线,P为BC延长线上一点,且PA=PD. 求证:PA与⊙O相切. 证明一:作直径AE,连结EC. ∵AD是∠BAC的平分线, ∴∠DAB=∠DAC. ∵PA=PD, ∴∠2=∠1+∠DAC. ∵∠2=∠B+∠DAB, ∴∠1=∠B. 又∵∠B=∠E, ∴∠1=∠E ∵AE是⊙O的直径, ∴AC⊥EC,∠E+∠EAC=900. ∴∠1+∠EAC=900. 即OA⊥PA. ∴PA与⊙O相切. 证明二:延长AD交⊙O于E,连结OA,OE. ∵AD是∠BAC的平分线, ⌒⌒ ∴BE=CE, ∴OE⊥BC. ∴∠E+∠BDE=900. ∵OA=OE, ∴∠E=∠1. ∵PA=PD, ∴∠PAD=∠PDA. 又∵∠PDA=∠BDE,

∴∠1+∠PAD=900 即OA⊥PA. ∴PA与⊙O相切 说明:此题是通过证明两角互余,证明垂直的,解题中要注意知识的综合运用. 例3 如图,AB=AC,AB是⊙O的直径,⊙O交BC于D,DM⊥AC于M 求证:DM与⊙O相切. 证明一:连结OD. ∵AB=AC, ∴∠B=∠C. ∵OB=OD, ∴∠1=∠B. ∴∠1=∠C. ∴OD∥AC. ∵DM⊥AC, ∴DM⊥OD. ∴DM与⊙O相切 证明二:连结OD,AD. ∵AB是⊙O的直径, ∴AD⊥BC. 又∵AB=AC, ∴∠1=∠2. ∵DM⊥AC, ∴∠2+∠4=900 ∵OA=OD, ∴∠1=∠3. ∴∠3+∠4=900. D C

2019届中考数学圆的切线证明综合试题新人教版.docx

2019 届中考数学圆的切线证明综合试题新人教版我们学习了直线和圆的位置关系,就出现了新的一类习题,就是证明一直线是圆的切线. 在我们所学的知识范围内,证明圆的切线常用的方法有: 一、若直线l 过⊙ O上某一点 A,证明 l 是⊙ O的切线,只需连OA,证明 OA⊥ l 就行了,简称“连 半径,证垂直”,难点在于如何证明两线垂直. 例 1 如图,在△ ABC中, AB=AC,以 AB为直径的⊙ O交 BC于 D,交 AC于 E,B 为切点的切线交 OD 延长线于 F. 求证: EF与⊙ O相切 . 证明:连结 OE, AD. ∵AB是⊙O的直径, ∴ AD⊥ BC. 又∵ AB=BC, ∴∠ 3=∠ 4. ⌒ ⌒ ∴ BD=DE,∠ 1=∠ 2. 又∵ OB=OE, OF=OF, ∴△ BOF≌△ EOF( SAS) . ∴∠ OBF=∠ OEF. ∵ BF与⊙ O相切, ∴OB⊥ BF. ∴∠ OEF=90. ∴EF与⊙ O相切 . 说明:此题是通过证明三角形全等证明垂直的 例 2如图,AD是∠ BAC的平分线,P为BC延长线上一点,且PA=PD. 求证: PA与⊙ O相切 . 证明一:作直径 AE,连结 EC. ∵AD是∠BAC的平分线, ∴∠ DAB=∠ DAC.

∵PA=PD, ∴∠ 2=∠ 1+ ∠ DAC. ∵∠ 2=∠ B+∠ DAB, ∴∠ 1=∠ B. 又∵∠ B=∠ E, ∴∠ 1=∠ E ∵ AE是⊙ O的直径, ∴ AC⊥ EC,∠ E+∠EAC=90. ∴∠ 1+∠ EAC=90. 即 OA⊥ PA. ∴PA 与⊙ O相切 . 证明二:延长 AD交⊙ O于 E,连结 OA, OE. ∵AD是∠ BAC的平分线, ⌒⌒ ∴BE=CE, ∴OE⊥ BC. ∴∠ E+∠ BDE=90. ∵OA=OE, ∴∠ E=∠ 1. ∵PA=PD,∴∠ PAD=∠ PDA. 又∵∠ PDA=∠ BDE, ∴∠ 1+∠ PAD=90 即 OA⊥ PA. ∴ PA与⊙ O相切 说明:此题是通过证明两角互余,证明垂直的,解题中要注意知识的综合运用.例 3 如图, AB=AC,AB 是⊙ O的直径,⊙ O交 BC于 D, DM⊥ AC于 M 求证: DM与⊙ O相切 . 证明一:连结 OD. ∵A B=AC, ∴∠ B=∠ C.

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