2018届一轮复习人教A版第76题 椭圆、双曲线、抛物线与圆相结合的问题 学案
第76题 椭圆、双曲线、抛物线与圆相结合的问题
I ．题 探究·黄金母题
【例1】一动圆与圆0562
2
=+++x y x 外切，同时与圆09162
2
=--+x y x 内切，求动圆圆心的轨迹方程，并说明它是什么曲线．
【解析】设圆:1C 0562
2
=+++x y x ，即
4)3(22=++y x ，圆心)0,3(1-C ，半径21=r ；设圆:2C 09162
2
=--+x y x ，
即100)3(2
2
=+-y x ，圆心)0,3(2C ，半径102=r ，设动圆圆心为),(y x P ，半径为r ，由于动圆P 与圆1C 外切，
则21+=r PC ，由于动圆P 与圆2C 内切，则 r PC -=102，所以1221=+PC PC ，而
12621<=C C ，因此点P 的轨迹是以21C C 、为焦
点的椭圆．
设椭圆方程为：)0(122
22>>=+b a b
y a x ，
27936,3,6,122222=-=-====c a b c a a ，
动圆圆心的轨迹方程为127
362
2=+y x ，它表示一个焦点
在x 轴上的椭圆．
精彩解读
【试题 】人教版选修2-1第50页习题2．2B 组第2题
【母题评析】本题属于求轨迹问题，采用定义法求轨迹方程．求轨迹问题在近几年高考试题中很常见，采用命
题的形式往往是解答题的其中一步．
【思路方法】利用两圆外切、内切的条件要求列出式子，经过推到转化为
动点需要满足的条件要求，符合定义，最后求出轨迹方程，这是定义法求轨迹．
II ．考场精彩·真题回放
【例1】【2017新课标III 】已知双曲线C ：
()22
22
10,0x y a b a b -=>>的一条渐近线方程为
【命题意图】本类题通常主要轨迹方程及求轨迹，考查学生对求轨迹的基
本方法的掌握情况及对圆锥曲线的概念的掌握情况．
y x =
，
且与椭圆22
1123x y +=有公共焦点，则C 的方程为 （ ）
A ．22
1810x y -=
B ．22
145x y -=
C ．22154
x y -=
D ．22143
x y -=
【答案】B
【解析】双曲线C ：()22
2210,0x y a b a b
-=>>的渐
近线方程为b
y x a =±，椭圆中
：
2212,3,3a b c ==∴==，椭圆，即双曲线的焦点为()3,0±
，据此可得双曲线中的方程组
222
3
b a
c a b c ?=???=-?
?=?
??
，解得224,5a b ==，则双曲线C 的方程为
2
145
x y
2-=，故选B ． 【例2】【2017高考新课标II 】若双曲线
C :22
221x y a b -=（0a >，0b >）的一条渐近线被
圆()2
224x y -+=所截得的弦长为2，则C 的离心率为 （ ） A ．2 B
．
C
．
D
【答案】A
【考试方向】这类试题在考查题型上，通常基本以解答的形式出现，选填题较少，难度持中，一般会出现在解答
题中的一步．
【难点中心】
1．双曲线与椭圆共焦点问题；待定系数法求双曲线的方程．
【名师点睛】求双曲线的标准方程的基本方法是待定系数法．具体过程是先定形，再定量，即先确定双曲线标
准方程的形式，然后再根据,,,a b c e 及渐近线之间的关系，求出,a b 的值．如果已知双曲线的渐近线方程，求双曲线的标准方程，可利
用有公共渐近线的双曲线方程为
()2
220x y a b
λλ2-=≠，再由条件求出λ的值即可． 2．直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系；在解决直线与抛物线的位置关系时，要特别注意直线与抛物线的对称轴平行的特殊情
况．中点弦问题，可以利用“点差法”，
但不要忘记验证Δ＞0或说明中点在曲线内部．
【解析】由几何关系可得，双曲线
()22
2210,0x y a b a b
-=>>的渐近线为：0bx ay ±=，圆心()2,0到渐近线距离为
：
d ==，不妨考查点()2,0到直线
0bx ay +=
的距离：d =，即：()222
43c a c -=，整理可得224c a =，
双曲线的离心率
2e ===．故选A ．
【例3】【2017新课标I 】已知双曲线C ：22
221
x y a b -=（a>0，b>0）的右顶点为A ，以A 为圆心，b 为半径作圆A ，圆A 与双曲线C 的一条渐近线交于M 、N 两点．若∠MAN=60°，则C 的离心率为________．
【解析】如图所示，作AP MN ⊥，因为圆A 与双曲线
C 的
一条渐近线交于M 、N 两点，则MN 为双曲线的渐近线b
y x a
=
上的点，且(,0)A a ，AM AN b ==，而AP MN ⊥，30PAN ∴∠=?，点(,0)A a 到直线
b
y x a
=
的距离AP =Rt PAN ?中，
cos PA
PAN NA
=
，代入计算得223a b =，即
a =，由222c a
b =+得
2c b =，
c e a ∴=
==
【例4】【2017高考新课标III 】已知抛物线C ：y 2=2x ，过点（2，0）的直线l 交C 与A ，B 两点，圆M 是以线段AB 为直径的圆．
（1）证明：坐标原点O 在圆M 上；
（2）设圆M 过点()4,2P -，求直线l 与圆M 的方程．
【答案】(1)证明略；(2)直线l 的方程为20x y --=，圆M 的方程为()()2
2
3110x y -+-=，或直线l 的方程为240x y +-=，圆M 的方程为
22
91854216
x y ????-++= ? ?????．
【解析】
试题分析：(1)设出点的坐标，联立直线与圆的方程，由斜率之积为1- 可得OA OB ⊥，即得结论； (2)结合(1)的结论求得实数m 的值，分类讨论即可求得直线l 的方程和圆M 的方程．
试题解析：(1)设()()1122,,,A x y B x y ，
:2l x my =+ ．
由2
2,2x my y x
=+??
=? 可得2
240y my --= ，则124y y = ．
又221
2
12,22y y
x x == ，故()2
121244
y y x x == ．
因此OA 的斜率与OB 的斜率之积为
1212414
y y x x -?==- ，所以OA OB ⊥ ． 故坐标原点O 在圆M 上． (2)
由
(1)
可
得
()21212122,424y y m x x m y y m +=+=++=+
．
故圆心M 的坐标为()
22,m m + ，圆M 的半径
r =
．
由于圆M 过点()4,2P - ，因此0AP BP ?=
，
故()()()()121244220x x y y --+++= ， 即()()1212121242200x x x x y y y y ++++++= ． 由(1)可得12124,4y y x x =-= ．
所以2210m m --= ，解得1m = 或1
2
m =-
． 当1m = 时，直线l 的方程为20x y --= ，圆心M 的坐标为()3,1 ，
圆M
，圆M 的方程为()()2
2
3110x y -+-= ． 当1
2
m =-
时，直线l 的方程为240x y +-= ，圆心M 的坐标为91,42??
-
??? ，圆M
的半径为
，圆
M
的
方
程
为
2
2
91854216x y ????-++= ? ??
???．
【例5】【2017高考山东卷】在平面直角坐标系xOy