探索一元二次方程根与系数的关系(1)

解实系数一元二次方程

课题解实系数一元二次方程 教学目标: 1．掌握在复数集内解一元二次方程和解二项方程的方法；使学生掌握含有未知数 的解法． 2．教学过程中，渗透数学转化思想及方程的思想，提高学生灵活运用数学知识解题的能力；培养学生严谨的逻辑思维． 3．通过对实系数一元二次方程在实数范围内求解和在复数范围内求解的比较，认识到任何事物都是相对的，而不是绝对的这一辩证唯物主义的观点． 教学重点与难点: 个复数相等的充分必要条件的运用． 教学过程: 一、引入新课 问题一：方程x2+1=0在复数范围内有没有解，解集是什么？ 因为-1=i2，则原方程化为x2-i2=0，即（x+i）（x-i）=0．所以原方程解集为{i，-i}．问题二：方程ax2＋bx＋c=0（a，b，c是实数）在复数范围内解集是什么？ 当Δ=b2-4ac＞0时，方程有两个不相等的实根，解集为 二、讲授新课 引导思考：方程x2＋1=0中，Δ=-4＜0，上述结论对吗？ 解为： 无意义．此时方程的解集为 1、实系数一元二次方程ax2＋bx＋c=0在复数范围内解的情况为： 当Δ≥0时有实根； 当Δ＜0时，有一对共轭的虚根． 例1 、在复数集上解方程x2-4x+5=0

i i x ac b ±=±=<-=-2244,0442所以 解： 例2 已知实系数一元二次方程2x 2＋ax ＋b=0的一个根为2i-3，求a ，b 的值． 解：2x 2＋ax ＋b=0一根为2i-3，另一根为-3-2i ．由韦达定理知： b=（2i-3）（-2i-3）=9＋16=25， a=2i-3+（-2i-3）=-6． 我们上面解决了实系数一元二次方程求解问题．对于至少有一个系数是虚数的一元二次方程应该如何解？ 例3 求方程x 2-2ix-5=0的解． 解：将方程左端配方，得（x-i ）2-4=0，即（x-i ）2=4．解得x-i=±2，即x 1=2+i ，x 2=-2+i ． 练习P22 1、2、3 2、二项方程：形如),0,,,0(N n a C b a b ax n ∈≠∈=+的方程，任何一个二项方程都可以化为)(C c c x n ∈=的形式，都可以用复数的开方来求根. 例4、在复数集上解方程x 5=32. ??? ??+=+===+=+=54sin 54cos 2)5 2sin 52(cos 22 4,3,2,1,0),5 2sin 52(cos 2) 0sin 0(cos 323215ππππππi x i x x k k i k x i x 即：所以解：原方程就是 ??? ??+=+=58sin 58cos 2)56sin 56(cos 254ππππi x i x 这个方程的根的几何意义是复平面内的五个点，这些点均匀分布在以原点为圆心，以2为半径的圆上.

一元二次方程根与系数关系(附答案)

一元二次方程根与系数的关系（附答案） 评卷人得分 一．选择题（共6小题） 1．已知关于x的一元二次方程3x2+4x﹣5=0，下列说法正确的是（） A．方程有两个相等的实数根B．方程有两个不相等的实数根 C．没有实数根D．无法确定 · 2．关于x的一元二次方程x2+2x﹣m=0有实数根，则m的取值范围是（）A．m≥﹣1 B．m＞﹣1 C．m≤﹣1 D．m＜﹣1 3．关于x的一元二次方程x2+3x﹣1=0的根的情况是（） A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根 C．没有实数根D．不能确定 4．设x1、x2是一元二次方程2x2﹣4x﹣1=0的两实数根，则x12+x22的值是（）A．2 B．4 C．5 D．6 5．若α、β是一元二次方程x2﹣5x﹣2=0的两个实数根，则α+β的值为（）A．﹣5 B．5 C．﹣2 D． 6．已知关于x的方程x2﹣4x+c+1=0有两个相等的实数根，则常数c的值为（）》 A．﹣1 B．0 C．1 D．3 评卷人得分 二．填空题（共1小题） 7．若关于x的一元二次方程x2﹣3x+a=0（a≠0）的两个不等实数根分别为p，q，且p2﹣pq+q2=18，则的值为．

评卷人· 得分 三．解答题（共8小题） 8．已知关于x的方程x2﹣（2k+1）x+k2+1=0． （1）若方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围； （2）若方程的两根恰好是一个矩形两邻边的长，且k=2，求该矩形的对角线L 的长． 9．已知关于x的方程x2+ax+a﹣2=0． （1）若该方程的一个根为1，求a的值； （2）求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根． · 10．已知关于x的一元二次方程（x﹣m）2﹣2（x﹣m）=0（m为常数）． （1）求证：不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根； （2）若该方程一个根为3，求m的值． 11．已知关于x的一元二次方程x2﹣x+a﹣1=0． （1）当a=﹣11时，解这个方程； （2）若这个方程有两个实数根x1，x2，求a的取值范围； （3）若方程两个实数根x1，x2满足[2+x1（1﹣x1）][2+x2（1﹣x2）]=9，求a的值．12．已知x1，x2是关于x的一元二次方程4kx2﹣4kx+k+1=0的两个实数根．（1）是否存在实数k，使（2x1﹣x2）（x1﹣2x2）=﹣成立若存在，求出k的值；若不存在，说明理由； （2）求使+﹣2的值为整数的实数k的整数值； : （3）若k=﹣2，λ=，试求λ的值． 13．已知关于x的方程（k+1）x2﹣2（k﹣1）x+k=0有两个实数根x1，x2． （1）求k的取值范围；

一元二次方程根与系数之间的关系

中考数学辅导之—一元二次方程根与系数之间关系 从暑假开始,我们系统学习了一元二次方程解法及一元二次根判别式和一元二次方程根与系数之间关系.本次,我们全面复习前面所学内容,下次,我们将学习几何中第六章解直角三角形. 一、基本内容 1.一元二次方程含义:含有一个未知数,且未知数次数最高是2整式方程叫一元二次方程. 2.一般形式:ax 2+bx+c=0(a ≠0) 3.解法: ①直接开平方法:形如x 2=b(b ≥0)和(x+a)2=b(b ≥0)形式可直接开平方.如(3x-1)2=5两边开平方得: 513±=-x 513±=x 3 51,35121-=+=∴x x ②配方法:例:01232=--x x 解:1232=-x x 31322=- x x 9 13191322+=+-x x 94)31(2=-x 3 231±=-x 3231±=x 3 1,121-==∴x x 此类解法在解一元二次方程时,一般不用.但要掌握,因为很多公式推导用这种方法. ③公式法:)0(2)0(02≥??±-=≠=++a b x a c bx ax 的求根公式是 ④因式分解法:方程右边为零.左边分解成(ax+b)(cx+d)形式,将一元二次方程转化成ax+b=0,cx+d=0形式,变成两个一元一次方程来解. 4.根判别式:△=b 2-4ac b 2-4ac>0 方程有两个不相等实根. b 2-4ac=0 方程有两个相等实根. b 2-4ac<0 方程无实根. b 2-4a c ≥0 方程有实根. 有三种应用: ①不解方程确定方程根情况. ②利用方程根条件(如有两个不相等实根,无实根,有实根等) 利用Δ建立不等式求m 或k 取值范围. ③证明Δ必小于零,或Δ必大于零来证明方程无实根或一定有实根,将Δ化成完全平方式,叙述不论m(或k)无论取何值,一定有Δ>0或Δ<0来证.

复数范围内实系数一元二次方程(19题)答案

复数范围内实系数一元二次方程（19题）（答案） 1 、若实系数一元二次方程的一个根是13+，则这个方程可以是 228039 x x -+= ． 2、复数集内分解221x x ++= 2(x x - 3、已知1x 与2x 是方程: 20(0)ax bx c a ++=≠在复数集中的两根，则下列等式成立的是（ C ） (A) 1x 与2x 共轭 (B) 240b ac ?=-≥ (C)1212,b c x x x x a a +=-=, (D)12||x x -=212214)(x x x x -+ 4、判断下列命题的真假，并说明理由； (1)在复数范围内，方程20(,,ax bx c a b c ++=∈R ，且0)a ≠总 有两个根．（ √ ） ） (2)若12i +是方程20x px q ++=的一个根，则这个方程的另 一个根是12i -．（ ? ） (3)若方程20x px q ++=有两个共轭虚根，则p 、q 均为实数．（ √） 5、已知复数z ，解方程3i 13i z z -?=+． 解：设i()z x y x y =+∈R ，，则方程可化为(3)(3)i 13i x y y x -+-=+． 由复数相等，有3133x y y x -=??-=?，，解得543.4 x y ?=-????=-??，． ∴53i 44z =--． 6、适合方程20z z i --=的复数z 12 i 7、适合方程2560z z -+=的复数z ； | 若z R ∈，则25602,32,3z z z z z z -+=?==?=±=± 若z 为虚数， 设(,,0)z a bi a b R b =+∈≠ ，则2()60a bi +-= 222226026020a b a b abi ab ??--=-+-=??=?? 2222606056010a b b b b b a ??--=??--=?+-=?=±?=?? 所以，方程的解为2,2,3,3,,i i ---。 8、解方程210x ix i -+-= （1）x R ∈ （2）x C ∈ 解：（1）1x = （2）11x orx i ==-

一元二次方程(根与系数关系)

一元二次方程（根与系数关系专题测试） 一、单选题（共10题；共30分） 1.已知x1，x2是方程x2﹣3x﹣2＝0的两根，则x12+x22的值为（） A. 5 B. 10 C. 11 D. 13 2.已知关于x的一元二次方程x2+5x﹣m＝0的一个根是2，则另一个根是（） A. ﹣7 B. 7 C. 3 D. ﹣3 3.一元二次方程x2－5x＋6＝0的两根分别是x1、x2，则x1＋x2等于() A. 5 B. 6 C. －5 D. －6 4.是方程的两根， 的值是（） A. 2017 B. 2018 C. 2019 D. 2020 5.关于x的方程有两个实数根，，且，那么m的值为（） A. -1 B. -4 C. -4或1 D. -1或4 6.关于x的方程（为常数）根的情况下，下列结论中正确的是（） A. 两个正根 B. 两个负根 C. 一个正根，一个负根 D. 无实数根 7.已知一元二次方程x2﹣4x+m＝0有一个根为2，则另一根为（） A. ﹣4 B. ﹣2 C. 4 D. 2 8.已知，是一元二次方程的两个实数根且，则的值为（）. A. 0或1 B. 0 C. 1 D. -1 9.若α，β是方程x2﹣2x﹣3＝0的两个实数根，则α2+β2+αβ的值为（） A. 10 B. 9 C. 7 D. 5 10.若a≠b，且则的值为（） A. B. 1 C. .4 D. 3 二、填空题（共6题；共18分） 11.如果x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根，那么x1+x2=﹣， x1x2= ，这就是一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）．利用韦达定理解决下面问题：已知m与n是方程x2﹣5x﹣25=0的两根，则+ =________． 12.一元二次方程的两根为，则________

一元二次方程根与系数之间的关系

中考数学辅导之—一元二次方程根与系数之间的 关系 我们系统的学习了一元二次方程的解法及一元二次根的判别式和一元,从暑假开始我们将学习几何,二次方程根与系数之间的关系.本次,我们全面复习前面所学内容,下次. 中的第六章解直角三角形一、基本内容的整式方程叫一元且未知数的次数最高是1.一元二次方程含义:含有一个未知数,2. 二次方程20) +bx+c=0(a一般形式:ax≠2.: 3.解法22如=b(b≥0)0)和(x+a)的形式可直接开平方:①直接开平方法形如 x.=b(b≥2: 两边开平方得(3x-1)=551?51??,?x?x5?x53?13x?1??21332 :② 配方法:例03x??2x?11222解:1?2x3x??xx?3311212?xx??? 939321412??x?(x)??3393121?,xx????x?121333因 为很多公式的推导用这种方,.但要掌握此类解法在解一元二次方程时,一般不用. 法?b??2)??0(?0axbx??c?0(a?)的求根公式是x:③公式法a2将一元二次方程转,:方程右边为零.左边分解成(ax+b)(cx+d)的形式④因式分解法. 变成两个一元一次方程来解化成ax+b=0,cx+d=0的形式,2-4ac =b根的判别式:△4.2. 方程有两个不相等实根b-4ac>0 2-4ac=0 方程有两个相等实根. b2-4ac<0 方程无实根. b2-4ac≥0 b方程有实根. 有三种应用: ①不解方程确定方程的根的情况. ②利用方程的根的条件(如有两个不相等实根,无实根,有实根等) 利用Δ建立不等式求m或k的取值范围. ③证明Δ必小于零,或Δ必大于零来证明方程无实根或一定有实根,将Δ化成完 全平. 来证<0Δ或>0Δ一定有,无论取何值k)或m(叙述不论,方式 cb2. +bx+c=0(a≠0)的根,则5.根与系数间的关系,某x,x是ax?x,x?x?x??212121aa: 应用. 求方程中m或k的值或另一根①不解方程,. 求某些代数式的值②不解方程,. 的取值范围m或k③利用两根的关系,求方程中. 使它与原方程有某些关系④建立一个方程,. ⑤一些杂题 : 二、本次练习: 填空题(一)22mx??x3mx?2x?m m=____. 1.关于x是一元二次方程的方程,则2常数化成一元二次方程的形式是____.其一次项系数是 2.将方程4x____,-kx+k=2x-1____. 项是222x=____. 则代数式(x+2)+(x-2)的值相等的值与8(x,-2)3.522 +( )=(x- )4.x?x 22k=____.

数学：13.6《实系数一元二次方程》教案(1)(沪教版高二下)

13.6（1）实系数一元二次方程 上海市新中高级中学 陶志诚 一、教学内容分析 本节内容是在前面学习了复数的运算后，对初中已学过的一元二次方程的求根公式和韦达定理的推广和完善. 为了实际应用和数学自身发展的需要，数的概念需要再一次扩充——由实数扩充到了复数，解决了负数开平方的问题。那么实系数一元二次方程20a x b x c ++=，当240b ac ?=-<时方程在复数集中解的情况同样需要进一步研究.因此，本节课主要是探讨实系数一元二次方程在复数集中解的情况和在复数范围内如何对二次三项式进行因式分解等问题. 二、教学目标设计 理解实系数一元二次方程在复数集中解的情况；会在复数集中解实系数一元二次方程；会在复数范围内对二次三项式进行因式分解；理解实系数一元二次方程有虚数根时根与系数的关系，并会进行简单应用. 三、教学重点及难点 在复数集中解实系数一元二次方程；在复数范围内对二次三项式进行因式分解. 四、教学用具准备 电脑、实物投影仪 五、教学流程设计

六、教学过程设计 （一）复习引入 1.初中学习了一元二次方程20ax bx c ++=(a b c R ∈、、且0)a ≠的求根公式，我 们回顾一下： 当240b ac ?=-≥ 时，方程有两个实数根：2b x a =-± 2.上一节课学习了“复数的平方根与立方根”，大家知道-1的平方根是:i ±. 设问①：一元二次方程210x +=在复数范围内有没有解？ 设问②：在复数范围内如何解一元二次方程210x x ++=？ [说明] 设问①学生可以根据“复数的平方根”知，x 即为-1的平方根：i ±；设问②是为了引出本节课的课题：实系数一元二次方程. （二）讲授新课 1、实系数一元二次方程在复数集C 中解的情况： 设一元二次方程20(0)ax bx c a b c R a ++=∈≠、、且. 因为0a ≠，所以原方程可变形为2b c x x a a +=-， 配方得

一元二次方程根与系数的关系各种类型题及训练

一元二次方程根与系数的关系应用例析及训练 一、根据判别式，讨论一元二次方程的根。 例1：已知关于的方程（1）有两个不相等的实数根，且关于的方程（2）没有实数根，问取什么整数时，方程（1）有整数解？ 分析：在同时满足方程（1），（2）条件的的取值范围中筛选符合条件的的整数值。 解：∵方程（1）有两个不相等的实数根， ∴ 解得； ∵方程（2）没有实数根， ∴ 解得； 于是，同时满足方程（1），（2）条件的的取值范围是 其中，的整数值有或 当时，方程（1）为，无整数根； 当时，方程（1）为，有整数根。 解得： 所以，使方程（1）有整数根的的整数值是。 总结：熟悉一元二次方程实数根存在条件是解答此题的基础，正确确定的取值范围，并依靠熟练的解不等式的基本技能和一定的逻辑推理，从而筛选出 ，这也正是解答本题的基本技巧。 二、判别一元二次方程两根的符号。 例1：不解方程，判别方程两根的符号。

分析：对于来说，往往二次项系数，一次项系数，常数项皆为已知，可据此求出根的判别式△，但△只能用于判定根的存在与否，若 判定根的正负，则需要确定或的正负情况。因此解答此题的关键是：既要求出判别式的值，又要确定或的正负情况。 解：∵，∴△＝—4×2×(—7)＝65＞0 ∴方程有两个不相等的实数根。 设方程的两个根为， ∵＜0 ∴原方程有两个异号的实数根。 总结：判别根的符号，需要把“根的判别式”和“根与系数的关系”结合起来进行确定，另外由于本题中＜0，所以可判定方程的根为一正一负；倘若＞0，仍需考虑的正负，方可判别方程是两个正根还是两个负根。 三、已知一元二次方程的一个根，求出另一个根以及字母系数的值。 例2：已知方程的一个根为2，求另一个根及的值。 分析：此题通常有两种解法：一是根据方程根的定义，把代入原方程，先求出的值，再通过解方程办法求出另一个根；二是利用一元二次方程的根与系数的关系求出另一个根及的值。 解法一：把代入原方程，得： 即 解得 当时，原方程均可化为： ，

一元二次方程根与系数的关系习题(配答案) - 副本

一元二次方程根与系数的关系习题 一、单项选择题： 1．关于x 的方程0122 =+-x ax 中，如果0

一元二次方程的根与系数的关系

一元二次方程的根与系数的关系 教材分析:中学阶段涉及的一元二次内容有函数的二次函数,研究几何图形中的有二次曲线，一元二次方程的求根公式向我们揭示了两根与系数间的的密切关系，而韦达定理介绍的根与系数的关系是在求根公式的基础上,根与系数的进一步发现，这一发现在数学学科中具有较强的实用价值,学生在处理有关一元二次方程的问题时,就会多一些思想和方法,同时,也为今后进一步学习方程理论打下基础． 学情分析:１．学生已学习用求根公式法解一元二次方程，自主探究根与系数的关系是完全可能的。２.学生对事物的认识多是直观、形象的，他们所注意的多是事物外部的、直接的、具体形象的特征，3.向学生渗透认识事物的规律是由特殊到一般,再由一般到特殊,培养学生勇于探索、积极思维的精神. 教学目标 知识目标: 1．经历一元二次方程根与系数关系的探究过程培养学生的观察思考,归纳概括能力２.掌握一元二次方程的根与系数的关系. 能力目标： 通过韦达定理的教学过程,使学生经历观察、实验、猜想、证明等数学活动过程，发展推理能力，能有条理地、清晰地阐述自己的观点,进一步培养学生的创新意识和创新精神。 情感目标: １．渗透由特殊到一般，再由一般到特殊的认识事物的规律; 2.经历观察、探索、猜想、证明的过程，得出一元二次方程根与系数的关系，让学生经历合情推理到演绎推理的认识事物的模式,培养学生用辨证思想认识事物. 教学重点和难点 重点:一元二次方程根与系数的关系； 难点：如何通过求根公式发现韦达定理,正确理解根与系数的关系. 教学关键:1．激发学生对根与系数关系的求知欲望; 2.引导启发学生来发现如何推导根与系数的关系 教学过程 一、课前游戏环节：你知道陈老师今年多大吗？猜猜，。。。，对于我来说年龄绝对是个秘密，我不能直接告诉你,我们现在在学习一元二次方程，我的

一元二次方程根与系数的关系(韦达定理)

一元二次方程根与系数的关系（韦达定理） 【学习目标】 1、学会用韦达定理求代数式的值。 2、理解并掌握应用韦达定理求待定系数。 3、理解并掌握应用韦达定理构造方程，解方程组。 4、能应用韦达定理分解二次三项式。 知识框图 求代数式的值 求待定系数 一元二次 韦达定理 应用 构造方程 方程的求 解特殊的二元二次方程组 根公式 二次三项式的因式分解 【内容分析】 韦达定理：对于一元二次方程2 0(0)ax bx c a ++=≠，如果方程有两个实数根12,x x ，那么 1212,b c x x x x a a +=-= 说明：（1）定理成立的条件0?≥ （2）注意公式重12b x x a +=-的负号与b 的符号的区别 根系关系的三大用处 （1）计算对称式的值 例 若12,x x 是方程2 220070x x +-=的两个根，试求下列各式的值： (1) 2212x x +； (2) 12 11x x +； (3) 12(5)(5)x x --； (4) 12||x x -． 解：由题意，根据根与系数的关系得：12122,2007x x x x +=-=- (1) 2222121212()2(2)2(2007)4018x x x x x x +=+-=---= (2) 1212121122 20072007 x x x x x x +-+=== - (3) 121212(5)(5)5()2520075(2)251972x x x x x x --=-++=---+=- (4) 12||x x -= ===说明：利用根与系数的关系求值，要熟练掌握以下等式变形： 222121212()2x x x x x x +=+-， 121212 11x x x x x x ++= ，22 121212()()4x x x x x x -=+-，

24一元二次方程与系数的关系

铜仁市川硐农业中学九年级上册数学导学案 班 组 姓名 2.4一元二次方程根与系数的关系 一、 我们的学习目标 知道根与系数的关系：a b x x -=+21，a c x x =21；会用根的判别式及根 与系数关系解题。 二、 我们的学习重难点 重点：理解并掌握根的判别式及根与系数关系。 难点：会用根的判别式及根与系数关系解题。 三、我们的学习过程 （一）预习新知（努力，努力，加油，加油！） 预习课本P46～P47，并探究下列问. 知识准备 ( 1 ) 一元二次方程的一般式： （2）一元二次方程的解法： （3）一元二次方程的求根公式： （二）探究新知 探究 问题：你发现什么规律？ ①用语言叙述你发现的规律； ②x 2+px +q =0的两根1x ,2x 用式子表示你发现的规律。 探究 问题：上面发现的结论在这里成立吗？ 请完善规律； ①用语言叙述发现的规律；

② a x 2 +bx +c =0的两根1x ,2x 用式子表示你发现的规律。 3、利用求根公式推到根与系数的关系（韦达定理） a x 2+bx +c =0的两根1x = , 2x = 12x x + 12.x x = = = = = = = = 四、当堂检测 1．根据一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程的两根和与两根积： （1）2310x x --= （2）22350x x +-= （3）21 203 x x -= 2.方程22310x x --= 则12x x += ，12.x x = _ _。 3.若方程220x px ++=的一个根2，则它的另一个根为__ __ p=__ __ 4.若0和-3是方程的20x px q ++=两根，则p+q= _ ___ 三、不解方程，求下列方程的两根和与两根积： （1）x 2-5x -10=0 （2）2x 2+7x+1=0 （3）3x 2-1=2x+5 （4）x （x-1）=3x+7 五、学习总结：我的收获： 我的疑惑： 六、作业： 习题2.4A 组，1、2、3

2.4一元二次方程系数与根的关系(教师版)

2．4 一元二次方程根与系数的关系(选学) 一元二次方程的根与系数的关系(韦达定理) 如果)0(02≠=++a c bx ax 的两个根是1x 、2x ,那么a c x x a b x x =?- =+2121, 注： （1）注意理解公式中的a 、b 、c 分别是什么。 （2）注意a 、b 、c 的符号是什么。 （3）利用公式a c x x a b x x =?-=+2121,解题时，注意符号问题，不要丢符号。 一、一元二次方程根与系数的关系 1．一元二次方程x 2＋2x －3＝0的两根为x 1，x 2，则下列四个式子中正确的是( B ) A ．x 1＋x 2＝2，x 1·x 2＝－3 B ．x 1＋x 2＝－2，x 1·x 2＝－3 C ．x 1＋x 2＝2，x 1·x 2＝3 D ．x 1＋x 2＝－2，x 1·x 2＝3 【解析】 已知一元二次方程的各项系数，直接利用根与系数关系求解．∵x 1，x 2是一元二次方程x 2 ＋2x －3＝0的两根．∴x 1＋x 2＝－21－2，x 1·x 2＝－3 1 －3. 2.若关于x 的一元二次方程的两个根为x 1=1，x 2=2，则这个方程是（ B ） A 、x 2+3x ﹣2=0 B 、x 2﹣3x+2=0 C 、x 2﹣2x+3=0 D 、x 2+3x+2=0 3．根据一元二次方程根与系数的关系，求下列方程两根的和与积： (1)x 2－3x ＋5＝0； (2)3x 2 ＋2x －4＝0； (3)2x －1＝－6x 2. 解：(1)x 1＋x 2＝3，x 1x 2＝5； (2)x 1＋x 2＝－23，x 1x 2＝－4 3； (3)x 1＋x 2＝－13，x 1x 2＝－1 6 . 二、利用根与系数的关系求与方程两根有关的代数式的值

高二数学下：13.6《实系数一元二次方程》教案(1)(沪教版)

13.6（1）实系数一元二次方程 一、教学内容分析 本节内容是在前面学习了复数的运算后，对初中已学过的一元二次方程的求根公式和韦达定理的推广和完善. 为了实际应用和数学自身发展的需要，数的概念需要再一次扩充——由实数扩充到了复数，解决了负数开平方的问题。那么实系数一元二次方程，当时方程在复数集中解的情况同样需要进一步研究.因此，本节课主要是探讨实系数一元二次方程在复数集中解的情况和在复数范围内如何对二次三项式进行因式分解等问题. 二、教学目标设计 理解实系数一元二次方程在复数集中解的情况；会在复数集中解实系数一元二次方程；会在复数范围内对二次三项式进行因式分解；理解实系数一元二次方程有虚数根时根与系数的关系，并会进行简单应用. 三、教学重点及难点 在复数集中解实系数一元二次方程；在复数范围内对二次三项式进行因式分解. 四、教学用具准备 电脑、实物投影仪 五、教学流程设计 六、教学过程设计 （一）复习引入 1.初中学习了一元二次方程且的求根公式，我们回顾一下： 当时，方程有两个实数根： 2.上一节课学习了“复数的平方根与立方根”，大家知道-1的平方根是:. 设问①：一元二次方程在复数范围内有没有解？ 设问②：在复数范围内如何解一元二次方程？ [说明]设问①学生可以根据“复数的平方根”知，x即为-1的平方根：；设问②是为了引出本节课的课题：实系数一元二次方程. （二）讲授新课

1、实系数一元二次方程在复数集C中解的情况： 设一元二次方程. 因为，所以原方程可变形为， 配方得 ， 即 . （1）当时，原方程有两个不相等的实数根 ； （2）当时，原方程有两个相等的实数根 ； （3）当时，， 由上一堂课的教学内容知，的平方根为， 即， 此时原方程有两个不相等的虚数根 . （为一对共轭虚数根） [说明]实系数一元二次方程在复数范围内必有两个解：当时，有两个实根；当时，有一对共轭虚根. 设问③：若是一个实系数一元二次方程的一个根，你能直接写出该方程的另一个根吗？为什么？ 回到引入部分设问②：在复数范围内解一元二次方程. （，即为上节课学习过的） 例1（1）在复数集中解方程：； （2）在复数集中解关于的方程： . 解：（1）因为△=，所以方程的解为 ，. （2）因为△=16-a2， 所以当△>0，即时，原方程的解为

实系数一元二次方程 教案

实系数一元二次方程 一、教学目标： 1、理解实系数一元二次方程在复数集中解的情况；会在复数集中解实系数一元二次方程。 2、掌握当0?<时，实系数一元二次方程根与系数的关系 3、培养类比推理的思想方法及探索精神。 二、教学重点：在复数集内解实系数一元二次方程。 三、教学难点：共轭虚根的应用 四、教学过程： （一）复习旧知： 1、师问：我们初中学习了解一元二次方程2 0ax bx c ++=(a b c R ∈、、且0)a ≠，对这个方程，我们有哪些认识？ 生答：①当2 40b ac ?=->时，方程有两个不相等的实根：22b x a a =-± ； ②当2 40b ac ?=-=时，方程有两个相等的实根； ③当240b ac ?=-<时，方程无实根。 根与系数的关系：设方程的两个根为12,x x ，则有12b x x a +=- ，12c x x a = 2、上一节课学习了“复数的平方根与立方根”，大家知道-1的平方根是:i ±. 师问：一元二次方程2 10x +=在复数范围内有没有解？ 师问：在复数范围内如何解一元二次方程2 10x x ++=？ 引出本节课的课题：实系数一元二次方程 （二）讲授新课 1、实系数一元二次方程在复数集C 中解的情况： （1）回忆求解实数范围内一元二次方程的过程 设一元二次方程2 0(0)ax bx c a b c R a ++=∈≠、、且.

因为0a ≠，所以原方程可变形为 2 b c x x a a + =- ， 配方得 2 2 ()( )22b b c x a a a + =- ， 即 2 2 2 4()24b b ac x a a -+ = . （1）当2 40b ac ?=->时，原方程有两个不相等的实数根22b x a a =- ± ； （2）当2 40b ac ?=-=时，原方程有两个相等的实数根2b x a =- ； 2、师问：当2 40b ac ?=-<时，你能有上述过程及上节课的知识推倒出方程的根的情况吗？ 生：当 2 2 404b ac a -<，由上一堂课的教学内容知， 2 2 44b ac a -的平方根为 2i a ± ， 即i a b a c a b x 2422 -± =+ ， 此时原方程有两个不相等的虚数根：22b x i a a =- ± 为一对共轭虚数根 3、师问：2 40b ac ?=-<根与系数的关系成立吗？（类比，猜想） 带领学生证明根与系数的关系：12b x x a +=- ，12c x x a = （证明） 结论：（1）实系数一元二次方程在复数范围内必有两个解：当0?≥时，有两个实根；当 0?<时，有一对共轭虚根. （2）韦达定理仍然适用。 例1：在复数集中解方程：（1）210x x ++= （2） 2 2450x x -+= 学生练习：（1）2 50x += （2）2 230x x ++=

复系数的一元二次方程的解法

2.复系数的一元二次方程 一元二次方程)0(02≠=++a c bz az 的系数为虚数时,仍然可以用求根公式a ac b －b z 242－±=求出方程的根,但是不能用“根的判别式”判别方程有无实根,也可以设方程的根为yi x z +=代入原方程,利用复数相等的充要条件,得出关于y x ,的方程（组）,从而求出y x ,的值,进而得出方程的根. 例1 设k R ∈,关于x 的方程2(2)20x k i x ki ++++=有实数解,求k 的值. 分析：设出方程的实数根,代入方程,利用复数相等的充要条件建立方程组求解. 解：设0x 是方程的实数根,代入方程并整理得.0)2()2(002 0=++++i k x kx x 由复数相等的充要条件得???=+=++02020020k x kx x . 解得???-==2220k x 或? ??=-=2220k x . 所以k 的值为22-或22. 点评：求解本题易出现如下错误：因为方程有实数根,所以 0)2(4)2(2≥+-+=?ki i k ,解得32≥k 或32-≤k .事实上,由于虚数单位的特殊性,所以不能用判别式判别复系数的一元二次方程有无实数根. 例2 已知关于t 的一元二次方程),(0)(2)2(2R y x i y x xy t i t ∈=-++++. （1）当方程有实根时,求点),(y x 的轨迹方程； （2）若方程有实根,求实根的取值范围. 解：（1）设实根为t ,则 0)(2)2(2=-++++i y x xy t i t ， 即0)()22(2=-++++i y x t xy t t ， 根据复数相等的充要条件得???=-+=++0 0222y x t xy t t )2()1(, 由)2(得x y t -=, 代入)1(得02)(2)(2=+-+-xy x y x y , 即2)1()1(22=++-y x )3(. ∴所求点的轨迹方程为2)1()1(22=++-y x ,

一元二次方程根与系数的关系

12.4 一元二次方程的根与系数的关系 中考考点 1．理解一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）。 2．会运用根与系数的关系，由已知的一元二次方程的一个根求出另一个根与未知系数3．会求一元二次方程两个根的倒数和与平方和。 考点讲解 1．若一元二次方程ax2+bx+c=0（a ≠0）的两根为x1,x 2，则x 1+x2=- ，x1·x2= 。 2．以x1,x 2为根的一元二次方程是（x-x 1）（x-x 2）=0 ，展开代入两根和与两根积，仍得到方程ax2+bx+c=0 （a ≠0）。 3．对二次项系数为1 的方程x2+px+q=0 的两根为x1,x 2时，那么x1+x2=-p ，x1·x2=q。反之，以x1,x 2 为根的一元二次方程是：（x-x 1）（x-x 2）=0 ，展开代入两根和与两根积，仍得到方程：x2+px+q=0。 4．一元二次方程的根与系数关系的应用主要有以下几方面： （1）已知一元二次方程的一个根，求另一个根，可用两根和或两根积的关系求另一个根。 （2）已知含有字母系数的一元二次方程的一个根，求另一个根及字母系数的值。可用根与系数关系式，一个关系式求得另一个根，再用另一个关系式求得字母系数的值。 （3）已知一元二次方程，不解方程，可求与所给方程两根和、两根积的某些代数式的值。 如，方程2x2-3x+1=0 的两根为x 1,x 2，不解方程，求x 12+x22的值。 [∵x1+x2= ，x1·x2= ，∴ x12+x22=（x 1+x2）2-2x 1x2=（）2-2 × = ] （4）验根、求根、确定根的符号。 （5）已知两根，求作一元二次方程（注意最后结果要化为整系数方程）。 （6）已知两数和与积，求这两个数。 （7）解特殊的方程或方程组。 考题评析 1．（北京市东城区）如果一元二次方程x2+3x-2=0 的两个根为x1，x2，那么x1+x2与x1·x2的值分别为（） （A）3，2 （B）-3 ，-2 （C）3，-2 （D）-3 ，2 考点：一元二次方程的根与系数关系。 评析：由一元二次方程ax +bx+c=0（a ≠0）的两根x1,x 2, 满足x1+x2= ，x 1x2= 可直接计

13.6.2 实系数一元二次方程(含答案)

【课堂例题】 例1.已知32i -+是关于x 的方程220x px q ++=的一个根,求实数,p q 的值. 例2.已知方程210,x px p -+=∈R 的两根12,x x 满足12||2x x -=,求实数p 的值. 课堂练习 1.已知123x i =+是实系数一元二次方程20x px q ++=的一个根,求另一个根及,p q 的值. 2.若,αβ是方程2230x x ++=的两个根,求1 1 αβ+的值. 3.已知关于x 的方程240()x x m m ++=∈R 的两根为,αβ,且||2αβ-=,求m 的值. 4.若关于x 的方程22 230x kx k k ++-=有一个模为1的根,求实数k 的值.

【知识再现】 实系数一元二次方程20,(,,,0)ax bx c a b c a ++=∈≠R 的两根为12,x x ,则 =+21x x __________；=?21x x _____________. 【基础训练】 1.已知12122,4x x x x +=-=-,则12,x x 满足方程( ) A.2240x x -+= B.2240x x +-= C.2240x x -+= D.2240x x --= 2.判断题: (真命题填写“√”,假命题填写“×”) (1)在复数范围内,方程20,(,,,0)ax bx c a b c a ++=∈≠R 总有两个根.( ) (2)若12i +是关于x 的方程20,(,)x px q p q ++=∈C 的一个根, 则这个方程的另一个根是12i -.( ) (3)若关于x 的方程20x px q ++=有两个共轭虚根,则,p q 均为实数.( ) 3.已知两数之和为4,它们的积等于6,则这两个数为 . 4.已知关于x 的实系数一元二次方程20,(,,,0)ax bx c a b c a ++=∈≠R 在复数集中的两个根是,αβ,下列结论中恒成立的是( ) A. ,αβ互为共轭复数 B. ,b c a a αβαβ+=- = C. 240b ac -≥ D. ||αβ-= 5.已知方程2360x x ++=的两根为,αβ,利用根与系数的关系计算: (1)22αβ+;(2)33αβ+. 6.已知关于x 的方程2 30,()x kx k ++=∈R 有两个虚根,αβ,且||αβ-=求实数k 的值. 7.关于x 的方程22 10,()x x t t +++=∈R 有一个模为3的根，求实数t 的值.

实系数的一元二次方程习题

实系数的一元二次方程 关于x 的方程a x 2 + b x + c = 0 ( a≠0 , a , b , c∈R), 若△= b 2– 4 a c≥0 , 则方程有两个实数根; 若△= b 2– 4 a c < 0 , 则方程没有实数根; a x 2 + b x + c = 0 ( x + b 2 a) 2 = b 2 - 4 a c 2 a (1) 若△= b 2– 4 a c > 0 , x 1 = - b 2 a+ b 2- 4 a c 2 a, x 2 = - b 2 a- b 2- 4 a c 2 a (2) 若△= b 2– 4 a c = 0 , x 1 = x 2 = - b 2 a (3) 若△= b 2– 4 a c < 0 , x 1 = - b 2 a+ 4 a c - b 2i 2 a, x 2 = - b 2 a- 4 a c - b 2i 2 a 实系数一元二次方程a x 2 + b x + c = 0 (a≠0) 在复数集中恒有解, 当△= b 2– 4 a c < 0 时, 方程在复数集中有一对共轭的虚数根, x 1 = - b 2 a+ - △i 2 a, x 2 = - b 2 a- - △i 2 a, 且x 1 + x 2 = - b a, x 1 x 2 = c a(韦达定理) 例1、在复数集中解关于x 的方程 (1) 2 x 2– 4 x + 5 = 0 (2) 2 x 2– 4 x + a = 0

例2、在复数范围内分解因式： (1)x 4– 4 = __________ ; 2 x 2– 4 x + 5 = __________ (2) 例3、(1) 若α , β是方程 2 x 2 + x + 3 = 0 的两个根, 则 1 α+ 1 β= ______; (2)2 x 2 + p x + q = 0 ( p , q∈R) 的一个根为3 i - 2 , 则p – q = ______ 例4、(1) 若方程x 2 + 5 x + 3 = 0 ( p∈R) 的两个根为x 1 , x 2 , 则| x 1– x 2 | = ______ ; (2) 若方程x 2 - 5 x + 9 = 0 ( p∈R) 的两个根为x 1 , x 2 , 则 | x 1– x 2 | = ______ ; (3) 已知方程x 2– p x + 1 = 0 ( p∈R) 的两个根为x 1 , x 2 , 且 | x 1– x 2 | = 1 , 则p = ________ ; 例5、(1) 构造一个以 2 + i 为一个根的实系数一元二次方程_____ (2) 实系数一元二次方程方程有两个虚数根z 1 , z 2 , 且z 12 = z 2 , 求z 1 , z 2 ; 例6、(1) 关于x 的方程 2 x 2– ( 2 i – 1 ) x + m – i = 0 ( m∈R) 有实数根, 则m = _____ , x 1 = _____ , x 2 = ______ ;