南开大学2005年数学分析考研试题
南开大学2005年数学分析考研试题
1.计算二重积分2D
I x ydxdy =??，其中(){}2,:1D x y R x y =∈+≤.
2.设()u u x =为由方程组()()(),,,,0,,0
u f x y z g x y z h x y z =??=??
=?确定的隐函数，求du
dx .
3.
求极限lim n →∞
??
++
L . 4.求证()0
sin t
f x dt x t
+∞=+?
在()0,+∞上连续. 5.判断级数111111!2!!n e n ∞
=??
??-++++ ???????∑L 的敛散性.
6.设函数()f x 在[]1,1-上连续可导，且()00f =， （1）求证1
1n x f n n ∞
=??
???∑
在[]1,1-上一致收敛； （2）设()11n x S x f n
n ∞
=??
= ???∑
，求证()S x 在[]1,1-上连续可导. 7.设(),P x y ，(),Q x y 在全平面2R 上有连续的偏导数，并且对任何一个圆周C , 有()(),,0C
P x y dx Q x y dy +=?，求证
Q P
x y
??=??. 8.设()f x 在[]0,a 上两次可导，()()()000f f f a ''===，()1f a =，
并且对任何[]0,x a ∈，有()1f x ''≤.设(),02,2
a x x g x a a x x a ?
≤≤??=??-<≤??，
（1）求证()()f x g x '≤；
（2）求证存在()00,x a ∈,使得()()00f x g x '<；（3）求证2a >. 9.设()f x 和()g x 在区间(),a b 内有定义，对任何()0,,x x a b ∈， 有()()()()000f x f x g x x x -≥-， (1)求证()f x 在(),a b 内连续; (2) ()f x 在(),a b 内左导数、右导数存在。
南开大学2005年数学分析考研试题的解答
1、解 D 0x y 由于关于轴对称，被积函数关于成奇函数，所以该积分为.
2、解
x
z
f x y f f dx du z
y x ??+??+=， 其中x
z x y ????,由
=??+??+=??+??+x z h x y h h x z
g x y g g z y x z y
x 求出， ,x z z x y z z y h g h g y x g h g h -?=?- x y y x
y z z y
h g h g z x g h g h -?=?- 。 3、解 原式
.1
100
1lim arcsin
|26
n n k x n π→∞=====?
4、证明 设
(,)sin a x t t
=，1
(,)b x t x t
=
+， 显然对任意0M >，0
|(,)||sin |2M M a x t dt tdt =≤??一致有界，
对每),0(+∞∈x ，1(,)b x t x t =
+在上(0,)t ∈+∞单调，110(,)b x t x t t
<=<+， 且当t →+∞时，(,)b x t 一致趋于0，
根据狄利克雷判别法，得0
sin t
dt x t
+∞
+?
在),0(+∞∈x 上一致收敛， 又
t
x t
+sin 在(,)(0,)(0,)x t ∈+∞?+∞上连续， 故0sin ()t
f x dt x t +∞=+?在),0(+∞∈x 上连续。
5.解法1由泰勒公式)!1(!1!21!111+++++=n e n e ξ
Λ，
则1110(1)1!2!!(1)!(1)!
e e e n n n ξ<-+++=≤++L ，
而后者
1
(1)!n e
n ∞
=+∑收敛，则原级数收敛。 解法2 利用01!
k e k ∞
==
∑,得 原式11111
11!()!(1)!n k n n k j j k n k j ∞
∞
∞∞∞
==+======++∑∑∑∑∑
1
11(
)1!(1)!
j j j ∞
==-=+∑，所以原级数收敛。 6、证明 由于函数()f x 在[]1,1-上连续可导，且()00f =，()f x '在[]1,1-上连续，
且有界，设()||f x M '≤；
由拉格朗日中值定理，
22111|||
()||(()(0))||'()|,x x x M x M f f f f n n n n n n n n
ξ=-=≤≤ 而21n M n ∞
=∑收敛，由魏尔特拉斯定理，原级数11(())n x
f n n ∞
=∑一致收敛。
因为221|()|,x M
f n n n '≤所以21111(())()n n x x f f n n n
n ∞∞
==''=∑∑一致收敛,
于是可以逐项求导，且21
1()()n x s x f n n ∞
=''=
∑,它是连续的，故)(x s 连续可导. 7、证明 用反证法：假设存在),(00y x ，有0),)((
00≠??-??y x y
P
x Q ， 不妨设0),)((
00>??-??y x y
P
x Q ，由连续函数的局部保号性，知道存在),(00y x 的一个邻域U ， 当(,)x y U ∈时，有0),)((
>??-??y x y
P
x Q ， 则存在一个圆周0C U ?，(
)0D
Q P
Pdx Qdy dxdy x y
??+=->??????，这与已知条件矛盾。 所以结论得证。
8、证明 当2
0a
x ≤
≤时，()(()(0))()f x f x f f x x ξ'''''=-=≤， a x a
≤≤2
时，()()()()()f x f x f a f x a a x η'''''=-=-≤-， 综上，成立)()('x g x f ≤；
)2(用反证法，若对任意的),0(a x ∈，有()()f x g x '=，
则在2
a
x =
时，)(''x f 不存在，矛盾。所以在()00,x a ∈,使得()()00f x g x '<； )3(由（1）、（2）知， 在[0,]a 上，)()('x g x f ≤，但'()f x 与()g x 不恒等， 所以
()()a
a
f x dx
g x dx '
?，
11()(0)22
a
f a f a =-<
，故2a >。 9、证明 （1）对任意123123,,(,),x x x a b x x x ∈<<，由题设条件，得
32232()()()()f x f x g x x x -≥- ，12212()()()()f x f x g x x x -≥-，
从而得到
321221232
()()()()
()f x f x f x f x g x x x x x --≤≤--，
即
32212132
()()
()()f x f x f x f x x x x x --≤--，于是()f x 在),(b a 上是凸函数，
由此而来，成立
313221213132
()()()()
()()f x f x f x f x f x f x x x x x x x ---≤≤---，
进而0000
()()
(,),()f x f x F x x x x x x -=
≠-，关于x 是单调递增的，关于0x 是单调递增的。
（2）对任意固定0(,)x a b ∈，任取1244012,,(,),x x x a b x x x x ∈<<< 则有
401020401020
()()()()()()
f x f x f x f x f x f x x x x x x x ---≤≤---，
则 0000
()()
(,),()f x f x F x x x x x x -=
>-，关于x 单调递增，且有下界，于是存在右极限，
即)(0'x f +存在，同理可证)(0'
x f -存在，由极限的保不等式性，可得00()()f x f x -+''≤ 。
于是()f x 在),(b a 内右导数存在，()f x 在),(b a 内左导数存在，且()()f x f x -+''≤ 。
(3)对任意a b αβ<<< , 3124x x x x αβ<<<<<,
()()()()()()()()
3132142431321424()()f x f f x f x f x f x f x f x f f x x x x x x x x x αβαβ-----≤≤≤≤
-----， 从而有
()()
2121
()()f x f x f f x x αβ+--''≤≤-
于是有
()()2121||||
f x f x L x x -≤-，
即得()f x 在[,]αβ上是Lipschitz 连续的,从而()f x 在[,]αβ上是连续,
故可得知()f x 在I 内连续. 当I 有端点时，()f x 在断点处未必连续.
（注：()g x 在),(b a 上未必有界。
例如()ln ,(0,1)f x x x =-∈，1
()()g x f x x
'==-
，在(0,1)上是无界的。） 例1 设()21,0
,01
x f x x x =?=?<≤?，显然此函数在[]0,1上是凸函数,
但是()f x 在[]0,1上无最小值，()f x 在0x =处不连续. 例2 设()1
f x x
=
，()0,x ∈+∞， ()f x 在()0,x ∈+∞上是凸函数，且有下界， 但是()1
f x x
=
在()0,x ∈+∞上无最小值.
2020年考研数学一大纲：高等数学
2020年考研数学一大纲：高等数学 出国留学考研网为大家提供2018年考研数学一大纲：高等数学，更多考研资讯请关注我们网站的更新! 2018年考研数学一大纲：高等数学 一、函数、极限、连续 考试内容 函数的概念及表示法函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性复合函数、反函数、分段函数和隐函数基本初等函数的性质及其图形 初等函数函数关系的建立数列极限与函数极限的定义及其性质函数 的左极限和右极限无穷小量和无穷大量的概念及其关系无穷小量的 性质及无穷小量的比较极限的四则运算极限存在的两个准则：单调 有界准则和夹逼准则两个重要极限： 函数连续的概念函数间断点的类型初等函数的连续性闭区间上连续函数的性质 考试要求 1.理解函数的概念，掌握函数的表示法，会建立应用问题的函数关系. 2.了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性. 3.理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念. 4.掌握基本初等函数的性质及其图形，了解初等函数的概念. 5.理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念以及函数极限存在与左极限、右极限之间的关系. 6.掌握极限的性质及四则运算法则.
7.掌握极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法. 8.理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的比较方法，会用等价无穷小量求极限. 9.理解函数连续性的概念(含左连续与右连续)，会判别函数间断点的类型. 10.了解连续函数的性质和初等函数的连续性，理解闭区间上连 续函数的性质(有界性、最大值和最小值定理、介值定理)，并会应 用这些性质. 二、一元函数微分学 考试内容 导数和微分的概念导数的几何意义和物理意义函数的可导性与连续性之间的关系平面曲线的切线和法线导数和微分的四则运算基本 初等函数的导数复合函数、反函数、隐函数以及参数方程所确定的 函数的微分法高阶导数一阶微分形式的不变性微分中值定理洛必达(L’Hospital)法则函数单调性的判别函数的极值函数图形的凹凸性、拐点及渐近线函数图形的描绘函数的最大值与最小值弧微分曲率的 概念曲率圆与曲率半径 考试要求 1.理解导数和微分的概念，理解导数与微分的关系，理解导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程，了解导数的物理 意义，会用导数描述一些物理量，理解函数的可导性与连续性之间 的关系. 2.掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，掌握基本初等函数的导数公式.了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性，会求函数的微分. 3.了解高阶导数的概念，会求简单函数的高阶导数.
南开大学数学分析考研试卷答案
南开大学年数学分析考研试卷答案 一、 设),,(x y x y x f w -+= 其中),,(z y x f 有二阶连续偏导数，求xy w . 解：令u =x +y ，v =x -y ，z =x ，则z v u x f f f w ++=； )1()1()1(-++-++-+=zv zu vv vu uv uu xy f f f f f f w 二、 设数列}{n a 非负单增且a a n n =∞ →lim ，证明 a a a a n n n n n n =+++∞ →1 21][lim . 解：因为a n 非负单增，故有n n n n n n n n n na a a a a 11 21)(][≤+++≤ . 由a a n n =∞ →lim ；据两边夹定理有极限成立。 三、 设? ??≤>+=0 ,00),1ln()(2 x x x x x f α,试确定α的取值范围，使f (x )分别满足： （1） 极限)(lim 0x f x + →存在 （2） f (x )在x=0连续 （3） f (x )在x=0可导 解：（1）因为 )(lim 0x f x + →=)1ln(lim 2 0x x x ++ →α=)]()1(2[lim 221420n n n x x o n x x x x +-++- -→+ α极限存在，则 2+α0≥知α2-≥. (2)因为)(lim 0 x f x - →=0=f(0)所以要使f(x)在0连续则2->α . （3）0)0(='- f 所以要使f(x)在0可导则1->α. 四、设f (x )在R 连续，证明积分ydy xdx y x f l ++?)(22与积分路径无关. 解；令U =22 y x +，则ydy xdx y x f l ++?)(22=2 1du u f l )(?又f (x )在R 上连续，故存 在F （u ）使d F (u )=f (u )du=ydy xdx y x f ++)(22. 所以积分与路径无关。
2019考研数学一大纲原文(完整版)
2019考研数学一大纲原文(完整版) 来源：文都教育 九月即来，2019考研数学一大纲在九月中旬正式公布了，需要考此科目的同学快来收藏此页面，我们先了解今年大纲考哪些内容，考试限定范围有多大，然后在九月十五日，来和文都数学大咖一起，共同分析考研数学一新大纲有何不同！鉴于2019考研数学一大纲还没有出来，同学们可以借鉴2018考研数学一大纲进行复习。 2018考研数学一大纲原文(完整版) 考试科目：高等数学、线性代数、概率论与数理统计 考试形式和试卷结构 一、试卷满分及考试时间 试卷满分为150分，考试时间为180分钟. 二、答题方式 答题方式为闭卷、笔试. 三、试卷内容结构 高等数学约56%
线性代数约22% 概率论与数理统计约22% 四、试卷题型结构 单选题8小题，每小题4分，共32分 填空题6小题，每小题4分，共24分 解答题(包括证明题)9小题，共94分 高等数学 一、函数、极限、连续 考试内容 函数的概念及表示法函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性复合函数、反函数、分段函数和隐函数基本初等函数的性质及其图形初等函数函数关系的建立 数列极限与函数极限的定义及其性质函数的左极限和右极限无穷小量和无穷大量的概念及其关系无穷小量的性质及无穷小量的比较极限的四则运算极限存在的两个准则：单调有界准则和夹逼准则两个重要极限： 函数连续的概念函数间断点的类型初等函数的连续性闭区间上连续函数的性质
1.理解函数的概念，掌握函数的表示法，会建立应用问题的函数关系. 2.了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性. 3.理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念. 4.掌握基本初等函数的性质及其图形，了解初等函数的概念. 5.理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念以及函数极限存在与左极限、右极限之间的关系. 6.掌握极限的性质及四则运算法则. 7.掌握极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法. 8.理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的比较方法，会用等价无穷小量求极限. 9.理解函数连续性的概念(含左连续与右连续)，会判别函数间断点的类型. 10.了解连续函数的性质和初等函数的连续性，理解闭区间上连续函数的性质(有界性、最大值和最小值定理、介值定理)，并会应用这些性质. 二、一元函数微分学
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2012年考研数学一高等数学考试大纲 一、函数、极限、连续 考试内容 函数的概念及表示法函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性复合函数、反函数、分段函数和隐函数基本初等函数的性质及其图形初等函数函数关系的建立 数列极限与函数极限的定义及其性质函数的左极限与右极限无穷小量和无穷大量的概念及其关系无穷小量的性质及无穷小量的比较极限的四则运算极限存在的两个准则：单调有界准则和夹逼准则两个重要极限: 函数连续的概念函数间断点的类型初等函数的连续性闭区间上连续函数的性质 考试要求 1．理解函数的概念，掌握函数的表示法，会建立应用问题的函数关系. 2．了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性． 3．理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念．4．掌握基本初等函数的性质及其图形，了解初等函数的概念. 5．理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念以及函数极限存在与左、右极限之间的关系． 6．掌握极限的性质及四则运算法则.
7．掌握极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法． 8．理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的比较方法，会用等价无穷小量求极限． 9．理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型． 10．了解连续函数的性质和初等函数的连续性，理解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质． 二、一元函数微分学 考试内容 导数和微分的概念导数的几何意义和物理意义函数的可导性与连续性之间的关系平面曲线的切线和法线导数和微分的四则运算基本初等函数的导数复合函数、反函数、隐函数以及参数方程所确定的函数的微分法高阶导数一阶微分形式的不变性微分中值定理洛必达（L’Hospital）法则函数单调性的判别函数的极值函数图形的凹凸性、拐点及渐近线函数图形的描绘函数的最大值和最小值弧微分曲率的概念曲率圆与曲率半径 考试要求 1.理解导数和微分的概念，理解导数与微分的关系，理解导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程，了解导数的物理意义，会用导数描述一些物理量，理解函数的可导性与连续性之间的关系．
2015年数学考研数学分析各名校考研真题及答案
2015年考研数学分析真题集 目录 南开大学 北京大学 清华大学 浙江大学 华中科技大学
2014年浙江大学数学分析试题答案 一、,,0N ?>?ε当N n >时，ε<->>?m n a a N n N m ,, 证明：该数列一定是有界数列，有界数列必有收敛子列 }{k n a ，a a k n k =∞ →lim ， 所以， ε2<-+-≤-a a a a a a k k n n n n 二 、,,0N ?>?ε当N x >时，ε<-)()(x g x f ，,0,01>?>?δε当1'''δ<-x x 时， ε<-)''()'(x f x f 对上述,0>ε当N x x >'','时，且1'''δ<-x x ε3)''()'()''()''()'()'()''()'(<-+-+-≤-x f x f x f x g x g x f x g x g 当N x x <'','时，由闭区间上的连续函数一定一致收敛，所以,0,02>?>?δε2'''δ<-x x 时 ε<-)''()'(x g x g ，当'''x N x <<时，由闭区间上的连续函数一定一致收敛，在 ],['','22δδ+-∈N N x x 时，ε<-)''()'(x g x g ，取},min{21δδδ=即可。 三、由,0)('',0)('<>x f a f 得,0)('
2019考研管理类联考综合数学大纲解析
2019考研管理类联考综合数学大纲解析 考试重难点之函数 来源：文都教育2019考研管理类联考综合能力考试的大纲已于9月15正式发布了，没有悬念的，管理类联考综合能力针对整个数学部分的考试要求没有任何变化。 很多时候，如果某个知识点变化了，管综联考的小伙伴们会比较高兴，只要有变化，必定会对这个知识点展开或多或少的命题，并且不会太难，基本就是送给管联小伙伴的福利，但现在的实际是没有变化，这就需要我们认真比对下历年真题，挖掘下考点，看看哪些地方会为难管综小伙伴。 在这里，文都考研专硕的王燕老师特别想和大家深究下函数的出题点。2019考研大纲中对函数这个知识点，一元二次函数一定是重点考点，围绕着它展开的一元二次方程、一元二次不等式以及它们的性质和应用，每年固定都会考2-3题，对备考2019管理类专业学位联考的考生来说绝对是不容小觑的高频考点。 比照2009年到2017年的真题，能看到函数一直都是不出意外的一元二次函数，在2018的真题中，非常意外出现了最值函数，要知道这样的函数，在高考数学中都是较少出现的，而我们不太难的管理类联考数学里竟然出现了，虽然最终落地的函数依旧是一元二次函数没有偏离考纲大方向，但是真心难倒了不少管联小伙伴。这其实会给备考伙伴提个醒，毕竟管联综合的考试大纲中只是给出了知识点，但并没有对考查的深度和广度加以说明，大家还是不能掉以轻心。并且通过真题的比对，可以看出，今年函数应该不会再回归到2018年前那般容易了，题量依旧还是2-3个，甚至会稍多点，一元二次函数依旧是核心，但不知道会以什么形式呈现，个人认为：二次函数加绝对值或分式形式都有可能。 大致明确了函数的出题方向，如何复习拿分是现在到考前的第一要务，对于经过一段密集复习的文都考研鹰飞集训的小伙伴们来说，
2019考研数学知识点总结
2019考研数学三知识点总结 考研数学复习一定要打好基础，对于重要知识点一定要强化练习，深刻巩固。整合了考研数学三在高数、线性代数及概率各部分的核心知识点、考察题型及重要度。 2019考研数学三考前必看核心知识点 科目大纲章节知识点题型 高等数学函数、极限、 连续 等价无穷小代换、洛必达法则、泰勒展开式求函数的极限 函数连续的概念、函数间断点的类型判断函数连续性与间断点的类型 一元函数微 分学 导数的定义、可导与连续之间的关系 按定义求一点处的导数，可导与连 续的关系 函数的单调性、函数的极值讨论函数的单调性、极值 闭区间上连续函数的性质、罗尔定理、拉格 朗日中值定理、柯西中值定理和泰勒定理 微分中值定理及其应用 一元函数积 分学 积分上限的函数及其导数变限积分求导问题 定积分的应用用定积分计算几何量 多元函数微 积分学 隐函数、偏导数、全微分的存在性以及它们 之间的因果关系 函数在一点处极限的存在性，连续 性，偏导数的存在性，全微分存在 性与偏导数的连续性的讨论与它们 之间的因果关系 二重积分的概念、性质及计算二重积分的计算及应用 无穷级数 级数的基本性质及收敛的必要条件，正项级 数的比较判别法、比值判别法和根式判别 法，交错级数的莱布尼茨判别法 数项级数敛散性的判别 常微分方程 一阶线性微分方程、齐次方程，微分方程的 简单应用 用微分方程解决一些应用问题 线性行列式行列式的运算计算抽象矩阵的行列式
代数 矩阵 矩阵的运算求矩阵高次幂等 矩阵的初等变换、初等矩阵与初等变换有关的命题 向量向量组的线性相关及无关的有关性质及判 别法 向量组的线性相关性线性组合与线性表示判定向量能否由向量组线性表示 线性方程组齐次线性方程组的基础解系和通解的求法求齐次线性方程组的基础解系、通 解 矩阵的特征值和特征向 量实对称矩阵特征值和特征向量的性质，化为 相似对角阵的方法 有关实对称矩阵的问题相似变换、相似矩阵的概念及性质相似矩阵的判定及逆问题 二次型 二次型的概念求二次型的矩阵和秩合同变换与合同矩阵的概念判定合同矩阵 概率论与数理统计随机事件和 概率 概率的加、减、乘公式事件概率的计算 随机变量及 其分布 常见随机变量的分布及应用常见分布的逆问题 多维随机变 量及其分布 两个随机变量函数的分布二维随机变量函数的分布随机变量的独立性和不相关性随机变量的独立性 随机变量 的数字特征 随机变量的数学期望、方差、标准差及其性 质，常用分布的数字特征 有关数学期望与方差的计算 大数定律和 中心极限定 理 大数定理用大数定理估计、计算概率 数理统计的 基本概念 常用统计量的性质求统计量的数字特征 参数估计点估计、似然估计点估计与似然估计的应用
南开大学数学分析答案2005
2005年南开大学数学分析试题答案 0D .1为成奇函数，所以该积分轴对称，被积函数关于关于由于y x 2.x z f x y f f dx du z y x ??+??+=，其中x z x y ????,由 00=??+??+=??+??+x z h x y h h x z g x y g g z y x z y x 求出 =??--=??x z h g h g g h g h x y y z z y x z z x ,y z z y x y y x h g h g g h g h -- 3.?∑+=-=-=∞→1021 23234)(411lim πx dx n k n n k n 4.t x dt t M +≤?1,2sin 0在),0(+∞∈x 上单调一致趋于0，则)(x f 在),0(+∞∈x 上一致收敛，又t x t +sin 在),0(+∞∈x 上连续，则)(x f 在),0(+∞∈x 上连续。 5.由泰勒公式)!1(!1!21!111+++++=n e n e ξ ，则 )! 1()!1(!1!21!111+≤+=+++-n e n e n e ξ ，后者收敛，则原级数收敛。 6.由拉格朗日中值定理， ,)('1)(122n M n Mx n x f n n x f n ≤≤=ξ后者收敛，由魏尔特拉斯定理，原级数一致收敛。 由)(x s 一致收敛，则可以逐项求导，∑∞== 12)(')('n n n x f x s 也一致收敛且连续，故)(x s 连续可导 7.反证：设存在),(00y x 有0),)((00≠??-??y x y P x Q ，不妨设0),)((00>??-??y x y P x Q ，由连
2019考研管理类联考数学考试内容分析
2019考研管理类联考数学考试内容分析 针对考试内容方面，通过数学大纲可以看到，一共考查了算术、代数、几何、数据分析四个大部分的内功，今天针对第一部分算术这一章节，做简要的分析。大纲内容如下： （一）算术 1.整数：整数及其运算、整除、公倍数、公约数、奇数、偶数、质数、合数 2.分数、小数、百分数 3.比与比例 4.数轴与绝对值 对于第一章节来说,出题内容比较简单，重点理解概念，比如公约数、公倍数、质数、合数等等的概念要理解到位，绝对值是本章的难点，掌握绝对值的定义、非负性、自反性、三角不等式这些重要内容。 出题方式上，单纯的代数试题比较少，大多以应用题出现，比值问题和比与比例问题大多是以应用题中的增长率问题出现的，而不定方程的应用题则考查了考生对于奇偶数的运算性质、整除运算性质以及质数合数性质的理解和运用。 代数类试题则会从比例的合比分比定理、绝对值等方面以及质数合数进行考查，代数类试题出题较少，每年会有1道题至2道题，甚至没有，全部以应用题的方式来考查学生对于这部分的掌握情况。 而每年应用题的数量是在6题至8题之间，所以算术这一章节的内容重在应用，会解应用题这类题型。 （二）代数 1.整式：整式及其运算、整式的因式与因式分解 2.分式及其运算 3.函数：集合、一元二次函数及其图像、指数函数、对数函数 4.代数方程：一元一次方程、一元二次方程、二元一次方程组 5.不等式：不等式的性质、均值不等式、不等式求解 6.数列、等差数列、等比数列
对于这部分内容，一般会考查5至7题。整式与分式是基础，重在应用，比如在考察一元二次方程的韦达定理时，把所求的式子化为两个根和或者两根积的形式，需要用到整式的乘法公式，在求解一元二次方程或者不等式时，需要用到整式的因式分解，故整式是函数、方程、不等式的基础。单独以此命题的题目较少，每年至多会有1道题，大部分的考点是乘法公式以及余式定理。分式，主要在于进行通分，考查分式的分母不能为0，有时也会和比例问题结合进行考查。 函数每年必考查部分，主要考查一元二次函数及其图像，其次考查指数函数和对数函数的性质和综合应用，单独会有1至2题。 方程和不等式部分，为每年必考查部分，考查的重点是一元二次方程的韦达定理以及根的判别式。 数列部分，近几年的考查趋势是结合几何、应用题的增长率问题进行考查，考查重点为等差数列的求和公式，当然纯数列问题特别是等差数列的性质也是每年必考试题。 综合这一部分来看，整式的余式定理和乘法公式，一元二次函数，指对函数的单挑性，一元二次方程、一元二次不等式和等差数列是考试常考的内容，均值不等式是难点，要出题必是一道难题，也是高频考点，应加以关注。 综合来讲，这一章节内容较多，出题方式会比较灵活和综合，希望同学们认真学习，复习好本章节内容。 （三）几何 1．平面图形：三角形、四边形(矩形、平行四边形、梯形)、圆与扇形 2．空间几何体：长方体、柱体、球体 3．平面解析几何：平面直角坐标系、直线方程与圆的方程、两点间距离公式与点到直线的距离公式 平面图形的重点题型是求不规则图形（即求图中阴影部分的面积）以及规则图形的面积，不规则图形的求法一般是通过割补法化为求规则图形阴影部分的面积得出答案，规则图形的面积则是通过比例关系（相似三角形以及题目中所给的条件）求出面积，还要重点记一下几个重要的勾股数（例如3,4,5、5,12,13等等）、等边三角形的面积公式以及顶角为120的等腰三角形的面积公式。平面图形这部分内容每年会有2题。 立体图形部分主要考察考生们的空间想象力，重点考察这三种图形的表面积和体积、正方体与外接球的关系、正方体与内切球的关系，这些是每年备考内容，每年会出1至2题。 平面解析几何，需要记忆公式较多，点到直线距离公式、两点间距离公式、直线方程的几种形式、圆的方程的两种形式、判断两直线位置关系的系数关系式、判断直线与圆的位置关系的表达式等等，尤其重点考察直线与圆相切的情况，几乎每年必考。 2018年的解析几何试题真题和2016年真题都出了一题线性规划问题，只是这次是以充分性判断的方式出的。
数学分析各校考研试题与答案
2003南开大学年数学分析 一、设),,(x y x y x f w -+=其中),,(z y x f 有二阶连续偏导数，求xy w 解：令u=x+y,v=x-y,z=x 则z v u x f f f w ++=； )1()1()1(-++-++-+=zv zu vv vu uv uu xy f f f f f f w 二、设数列}{n a 非负单增且a a n n =∞ →lim ，证明a a a a n n n n n n =+++∞ →1 21 ] [lim 解：因为an 非负单增，故有n n n n n n n n n na a a a a 1 1 21)(][≤ +++≤ 由 a a n n =∞ →lim ；据两边夹定理有极限成立。 三、设? ? ?≤>+=0 ,00),1ln()(2 x x x x x f α试确定α的取值围，使f(x)分别满足： （1） 极限)(lim 0x f x + →存在 （2） f(x)在x=0连续 （3） f(x)在x=0可导 解：（1）因为 )(lim 0x f x + →=)1ln(lim 20x x x ++ →α=)]()1(2[lim 221420n n n x x o n x x x x +-++--→+ α极限存在则2+α0≥知α2-≥ (2)因为)(lim 0 x f x - →=0=f(0)所以要使f(x)在0连续则2->α （3）0)0(='- f 所以要使f(x)在0可导则1->α 四、设f(x)在R 连续，证明积分ydy xdx y x f l ++?)(22与积分路径无关 解；令U=22 y x +则ydy xdx y x f l ++?)(22=2 1du u f l )(?又f(x)在R 上连续故存在F （u ） 使dF(u)=f(u)du=ydy xdx y x f ++)(22 所以积分与路径无关。 （此题应感小毒物提供思路） 五、 设 f(x)在[a,b]上可导， 0)2 (=+b a f 且 M x f ≤')(,证明 2) (4)(a b M dx x f b a -≤?
2019考研数学(农)考试大纲-9页文档资料
微积分 一、函数、极限、连续 考试内容 函数的概念及表示法函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性复合函数、反函数、隐函数分段函数基本初等函数的性质及其图形初等函数函数关系的建立 数列极限与函数极限的定义及其性质函数的左极限与右极限无 穷小量和无穷大量的概念及其关系无穷小量的性质及无穷小量的比 较极限的四则运算极限存在的两个准则：单调有界准则和夹逼准 则两个重要极限函数连续的概念函数间断点的类型初等函数的 连续性闭区间上连续函数的性质 考试要求 1、理解函数的概念，掌握函数的表示法，会建立应用问题中的函数关系。 2、了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性。 3、理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念。 4、掌握基本初等函数的性质及其图形，了解初等函数的概念 5、了解数列极限和函数极限（包括坐极限和右极限）的概念。 6、了解极限的性质与极限存在的两个准则，掌握极限四则运算法则，掌握利用两个重要极限求极限的方法。 7、理解无穷小的概念和基本性质，掌握无穷小量的比较方法，了解无穷大量的概念及其与无穷小量的关系。 8、理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型。 9、了解连续函数的性质和初等函数的连续性，理解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理）并会应用这些性质。 二、一元函数微分学 考试内容 导数和微积分的概念导数的几何意义和经济意义函数的可导性 与连续性之间的关系平面曲线的切线和法线导数和微分的四则运 算基本初等函数的导数复合函数、反函数和隐函数的微分法高阶导数一阶微分形式的不变性微分中值定理洛必达（L’Hospital）法则函数单调性的判别函数的极值函数图形的凹凸性、拐点及渐近 线函数图形的描绘函数的最大值和最小值 考试要求 1、理解导数的概念及可导性与连续性之间的关系，了解导数的几何意义与经济意义（含边际与弹性的概念）,会求平面曲线的切线方程和法线方程。 2、掌握基本初等函数的导数公式、导数的四则运算法则及复合函数的求导法则，会求分段函数的导数，会求反函数与隐函数的导数”。
2020考研数学大纲变化分析
2020考研数学大纲变化分析 考研大纲频道为大家提供2019考研数学大纲变化分析，一起来 看看吧！更多考研资讯请关注我们网站的更新! 2019考研数学大纲变化分析 2019全国硕士研究生招生考试数学考试大纲已公布，与之前推 测的完全一样，大纲内容没有任何变动，故同学们可以完全按照之 前的复习规划完成后续的复习。老师针对考试大纲的“不变”进行 如下解读。 一、考试性质不变。 数学考试是为高等院校和科研院所招收工学、经济学、管理学硕士研究生而设置的具有选拔性质的全国招生考试科目，其目的是科 学公平有效地测试考生是否具备继续攻读硕士学位所需要的数学知 识和能力评价的标准是高等学校优秀本科生达到的及格或及格以上 水平，以利于各高等院校和科研院所择优选拔，确保硕士研究生的 招生质量。既然是选拔性的考试，那么就是优胜劣汰，希望同学们 在后期复习中注意把握考试的重难点，大量练题，切实提高自己的 解题能力以至于在考试中能突出重围，脱颖而出。 二、考查目标不变。 要求考生能够系统理解数学的基本概念和基本理论，掌握数学的基本方法，具备抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力、运 算能力和分析解决问题的能力。仍然重基础，所以老师建议考生不 要偏离主题切忌做偏难险怪的题，做题还是要以考研真题为参考标准。 三、试卷分类及使用专业不变。 根据工学、经济学、管理学各学科对数学知识和能力的不同要求，试卷种类仍然分为数学(一)、数学(二)、数学(三)。招生专业须使 用的试卷卷种见2018考试大纲，须注意的是考金融专业的考生要看
招生学校的招生简章是考数学三还是考经济类联考数学，以便做好 相应复习转变。 四、考试形式和试卷结构不变。 各种试卷满分均为150分，考试时间为180分钟。答题方式为闭卷、笔试。试卷内容结构仍然不变，即高等数学(或微积分)、线性 代数、概率论和数理统计三科，三科分值分配也就不会变化，高数 百分之五十六，线代百分之二十二，概率百分之二十二;考试题型结构也不变，仍为选择题、填空题、解答题。 五、考试内容和考试要求不变。 这是每位老师和学生最为关注的一点。考试内容和要求未有任何变动，悬在我们心里的一块大石头就落地了。所考知识点的范围没 有任何变动，知识点的考查程度也没有变动，同学们继续按照大纲 要求的重点进行复习即可。对于大纲中要求“理解”、“掌握”、“会”的知识点一定要着重复习，对于概念、性质和方法一定要掌 握到位，对大纲中提到每个知识点一定要做到复习全覆盖。 由于考试内容没变，故考研学子们仍按部就班的按照之前的复习计划进行即可。 复习时，高等数学部分还是重点复习极限，导数以及积分;线性代数还是点突破向量和线性方程组、特征值与特征向量和二次型;概率还是围绕着随机变量的分布以及常见的统计量分布来复习。那么 在接下来的三个月内怎么高效的复习至关重要，老师的复习建议如下： 一、冲刺阶段 这个阶段的复习时间一般为9月到11月中旬。冲刺阶段所用资料就是历年真题，此阶段为什么选真题?因为真题是最好的复习资料!真题从1987年到今年，历经32年的打磨，数学真题的出题模式和 题型已相当成熟，并且形成了一个庞大且完备的数据库。纵观近几 年真题，不难看出，每一年的真题都可以在往年真题中找到其原型
南开大学数学分析考研试题
南开大学2008年数学分析考研试题 一．计算题 1．求极限2 1lim[ln(1)]x x x x →∞ -+ 。 2．求和()() ∑∞ =-+-1121n n n n 。 3．已知()()() 1f x x f x ''-=-，求()x f ？ 4 ．设 2ln 2 6 x π = ? ，则x =？ 5．设区域()[][]{} 1,1,2,0,-∈∈=y x y x D ，求D 。 二．设61-≥x 61+= +n n x x ，(1,2,)n =，证明数列{}n x 收敛，并求其极限。 三．设()[]b a C x f ,∈，并且[]b a x ,∈?，[]b a y ,∈?，使()()x f y f 2 1 ≤， 证明[]b a ,∈?ξ，使得()0=ξf . 四．设()x f 在[)+∞,a 一致连续，且广义积分 ()a f x dx +∞ ? 收敛，求证()0lim =+∞ →x f x 。 五．设()x f 在(,)-∞+∞上可微，对任意(,)x ∈-∞+∞，()0f x >， ()()f x mf x '≤， 其中10< 南开大学2003年数学分析考研试题及解答 一．设(),,w f x y x y x =+-，其中(),,f u v s 有二阶连续偏导数，求xy w . 解：令u x y =+，v x y =-，s x =， 则x u v s w f f f =++； ()()()111xy uu uv vu vv su sv w f f f f f f =+-++-++-. 二．设数列{}n a 非负单增，且lim n n a a →∞ =，证明：() 1 12lim n n n n n n a a a a →∞+++=L . 证明：因为 {}n a 非负单增， 所以有()() 1111 2 n n n n n n n n n n n a a a a na n a ≤+++≤=L ， 由lim n n a a →∞ =，1lim n n n n a a →∞ =， 根据夹逼定理，得() 11 2 lim n n n n n n a a a a →∞ +++=L . 三．设 ()()2ln 1,00, 0x x x f x x α?+>?=?≤??，试确定α的取值范围，使()f x 分别满足： （1）极限()0 lim x f x + →存在； （2）()f x 在0x =处连续； （3） ()f x 在0x =处可导. 解（1）因为()()2 lim lim ln 1x x f x x x α+ + →→=+ ()2 2 2 ln 1lim x x x x α+ +→+=， ()22 0ln 1lim 1x x x + →+=， 极限存在的条件为20α+≥，即2α≥-， 所以当2α ≥-时，极限()0 lim x f x + →存在； （2）因为()()0 lim 00x f x f -→==， 所以要使()f x 在0x =处连续， 需要求20α+>，2α>-， 所以当2α >-时，()f x 在0x =处连续； （3）显然 ()00f -'=， ()()()12 000lim lim ln 1x x f x f x x x α++ -→→-=+ ()2 1 2 ln 1lim x x x x α+ +→+=， 要使其存在且为0，必须10α+>，1α>-， 所以当1α>-时，()f x 在0x =处可导. 四．设 ()f x 在(),-∞+∞上连续， 证明积分()()22 L f x y xdx ydy ++?与积分路径无关. 证明：设()()22 01,2 x y U x y f t dt +=?， 则有()()()22,dU x y f x y xdx ydy = ++， 即存在势函数， 所以 ()()22L L f x y xdx ydy dU ++=? ?与积分路径无关. 五．设 ()f x 在[],a b 上可导，02a b f +?? = ??? ，且()f x M '≤， 证明： ()()2 4 b a M f x dx b a ≤ -? . 证明：因为 ()f x 在[],a b 上可导， 则由拉格朗日中值定理，存在ξ在x 与2 a b +之间，使得 考研数学分析真题集 目录 南开大学 北京大学 清华大学 浙江大学 华中科技大学 一、,,0N ?>?ε当N n >时，ε<>?m a N m , 证明：该数列一定是有界数列，有界数列必有收敛子列 }{k n a ，a a k n k =∞ →lim ， 所以， ε 2<-+-≤-a a a a a a k k n n n n 二 、,,0N ?>?ε当N x >时，ε<-)()(x g x f ，,0,01>?>?δε当1'''δ<-x x 时， ε<-)''()'(x f x f 对上述,0>ε当N x x >'','时，且1'''δ<-x x ε3)''()'()''()''()'()'()''()'(<-+-+-≤-x f x f x f x g x g x f x g x g 当N x x <'','时，由闭区间上的连续函数一定一致收敛，所以,0,02>?>?δε2'''δ<-x x 时 ε<-)''()'(x g x g ，当'''x N x <<时，由闭区间上的连续函数一定一致收敛，在 ],['','22δδ+-∈N N x x 时，ε<-)''()'(x g x g ，取},m in{21δδδ=即可。 三、由,0)('',0)('<>x f a f 得,0)(' 又2))((''2 1 ))((')()(a x f a x a f a f x f -+ -+=ξ，所以-∞=+∞→)(lim x f x ，且0)(>a f ，所以 )(x f 必有零点，又)(x f 递减，所以有且仅有一个零点。 四、? ?==1 ,)(1)()(x dt t f x dt xt f x ?2 )()()('x dt t f x x f x x ? -=?， 2 2)(lim )(lim ) (lim )0('0 2 A x x f x dt t f x x x x x x ====→→→???， 2 )(lim ) (lim )() (lim )('lim 2 002 00A x dt t f x x f x dt t f x x f x x x x x x x = -=-=? ? →→→→?，)('x ?在0=x 连续。 五、当k m ≠时，不妨设k m <， ??--+--=1 111) (2)(2])1[(])1[(!!21)()(dx x x k m dx x P x P k k m m k m k m = --? -dx x x k k m m 1 1 )(2)(2])1[(])1[(dx x x x x m m k k k k m m ?-+--------1 1 )1(2)1(211 ) 1(2)(2])1[(])1[(])1[(])1[(= 0])1][()1[()1(])1[(])1[(11 )(221 1 )1(2)1(2=---==---??-+-+-dx x x dx x x k m m k k m m k k Λ 当k m =时， ?? ----= 1 11 1 )(2)(22 2])1[(])1[(!21)()(dx x x m dx x P x P m m m m m k m ?? -+---------=--1 1 )1(21211 1 221 1 )(2)(2])1[(])1[(])1[(])1[(])1[(])1[(dx x x x x dx x x m m m m m m m m m m m m =?-+----1 1)1(212])1[(])1[(dx x x m m m m =?----=1 1 )2(22])1][()1[()1(dx x x m m m m Λ= ? ---1 1 2])1[()!2()1(dx x m m m =?--1 2])1[()!2()1(2dx x m m m 六、J 是实数，,0,0>?>?δε当δ 2019年数学一考试大纲 考试科目：高等数学、线性代数、概率论与数理统计 考试形式和试卷结构 一、试卷满分及考试时间 试卷满分为150分，考试时间为180分钟． 二、答题方式 答题方式为闭卷、笔试． 三、试卷内容结构 高等数学约56% 线性代数约22% 概率论与数理统计约22% 四、试卷题型结构 单选题8小题，每小题4分，共32分 填空题6小题，每小题4分，共24分 解答题（包括证明题）9小题，共94分 高等数学 一、函数、极限、连续 考试内容 函数的概念及表示法函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性复合函数、反函数、分段函数和隐函数基本初等函数的性质及其图形初等函数函数关系的建立 数列极限与函数极限的定义及其性质函数的左极限和右极限无穷小量和无穷大量的概念及其关系无穷小量的性质及无穷小量的比较极限的四则运算极限存在的两个准则：单调有界准则和夹逼准则两个重要极限： 0sin lim 1x x x →=1lim 1x x e x →∞??+= ???函数连续的概念函数间断点的类型初等函数的连续性闭区间上连续函数的性质 考试要求 1．理解函数的概念，掌握函数的表示法，会建立应用问题的函数关系． 2．了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性． 3．理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念． 4．掌握基本初等函数的性质及其图形，了解初等函数的概念． 5．理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念以及函数极限存在与左极限、右极限之间的关系． 6．掌握极限的性质及四则运算法则． 7．掌握极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法． 8．理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的比较方法，会用等价无穷小量求极限． 2019考研管综199数学新大纲解析及考前备考策略 来源：文都教育 由教育部考试中心组织编写，高等教育出版社独家出版的199管理类联考考试大纲于今天正式发布。文都教育也在第一时间和大家一起分析和学习考研大纲。 今天对于无数考生来说，无疑都是非常有意义的日子，因为考试大纲规定了当年全国硕士研究生入学考试时相应科目的考试内容范围、考试要求、考试形式、试卷结构等相关要素，同时大纲是全国硕士研究生入学考试命题的唯一依据，所以考试大纲引导考生的复习方向、复习内容以及复习的侧重点。 经过仔细对比，今年的199管综数学部分的大纲与去年相比没有任何变化，其实也是从2013年以来199管综新大纲的数学部分没有发生任何变化。 今天，首先了解一下199管综数学的两个非常重要的方面——考试内容以及考试形式。 考生参加考试，必须得知道考的目的以及内容是什么，而考试大纲给了最权威的解答。管理类联考综合考试中的数学基础部分主要考查考生的运算能力、逻辑推理能力、空间想象能力和数据处理能力，分别主要以算术、代数、几何和数据分析四个数学知识范围来对这四种能力进行检验。有了考试内容，考生就应知道我们备考应该学什么、怎么学，才能在考试中从容应对。 考试形式为问题求解和条件充分性判断两种形式。共有25道题，其中问题求解题15题，条件充分性判断题共10题。问题求解题就是经典的单项选择题，只是从5个选项里选择1项。因为之前做过类似的题型，所以做题思路也是比较顺，有正规解析法、选项代入法、特值代入法等方法。正规解析法，一般是从题干出发得出正确结论；选项代入法，把选项中的结论代入题干部分，看能否成立，是否与条件相违背；特值代入法，把符合条件的特殊值代入结论，得到一个结果，那么与此结果不一样的选项均不对，也即为排除法。条件充分性判断题要求学生具有一定的逻辑分析能力，由于考生之前接触此类的题目较少，所以这部分题目也是考生较为薄弱的环节，一定在备考时下足了功夫才行，才不至于在考试中失分太多。一般条件充分性判断的做题步骤是先判断条件（1）、条件（2）单独是否成立，如果至少有一个成立，那么应该选择A/B/D中三项中的一项；如果条件（1）（2）单独都不成立，就联合起来看是否可以推出结论成立，如果可以推出则选择C，如果不可以就选择E。此类题目的做题方法有特值代入推翻条件法、正面逻辑论证法、结论分析法等等。 在距离考研还有90多天的时间里，同学们应该怎么复习和备考才能取得不错的成绩南开大学2003年数学分析考研试题及解答
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