江苏省淮安市2017高三上学期摸底考试

淮安市2017届高三年级摸底考试

数学Ⅰ

参考公式：锥体的体积公式：13

V Sh =，其中S 是锥体的底面面积，h 是高． 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．

． 1．已知全集{1,0,1,2}U =-，集合{1,2}A =-，则U A =e ▲ ． 2．已知复数z 满足(1i)2z -=，其中i 为虚数单位，则z 的实部为 ▲ ． 3．函数1πcos()26

y x =+的最小正周期为 ▲ ． 4．右图是一个算法的流程图，则输出x 的值为 ▲ ． 5．某校有足球、篮球、排球三个兴趣小组，共有成员120人， 其中足球、篮球、排球的成员分别有40人、60人、20人． 现用分层抽样的方法从这三个兴趣小组中抽取24人来调查 活动开展情况，则在足球兴趣小组中应抽取 ▲ 人．

6．若随机地从1，2，3，4，5五个数中选出两个数，则这两个数恰好为一奇一偶的概率为 ▲ ．

7．设实数x ，y 满足0,1,21,x y x y x y -??

+??+?

≥≤≥ 则32x y +的最大值为 ▲ ．

8．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，且23a =，416S =，则9S 的值为 ▲ ．

9．将斜边长为4的等腰直角三角形绕其斜边所在直线旋转一周，则所形成的几何体体积是 ▲ ．

10．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知A ，1B ，2B 分别为椭圆22

22:1(

x y C a b +=的右、下、上顶点，F 是椭圆C 的右焦点．若21B F AB ⊥，则椭圆C 11．若tan 2tan βα=，且2

cos sin 3

αβ=

，则sin()αβ-的值为 ▲ ． 12．已知正数a ，b 满足19

5a b

+=，则ab 的最小值为 ▲ ．

13．已知AB 为圆O 的直径，M 为圆O 的弦CD 上一动点，8AB =，

6CD =，则M AM B ?的取值范围是 ▲ ．

14．已知函数2()|4||2|f x x a x =-+-，[3,3]x ∈-．若()f x 的最大值是0，则实数a 的取值范围是 ▲ ． 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答．．．．．．．．．．，解答时应写出文字说明、证明过程或计算步骤．

15．（本小题满分14分）

在ABC △中，已知角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且tan 2B =，tan 3C =． （1）求角A 的大小； （2）若3c =，求b 的长．

（第4题）

（第10题）

16．（本小题满分14分）

如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，已知D ，E 分别为BC ，11B C 的中点，点F 在棱1CC 上，且

1EF C D ⊥．求证： （1）直线1A E ∥平面1ADC ；

（2）直线EF ⊥平面1ADC ．

17．（本小题满分14分）

如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知圆22:40C x y x +-=及点(1,0)A -，(1,2)B ． （1）若直线l 平行于AB ，与圆C 相交于M ，N 两点，MN AB =，求直线l 的方程；

（2）在圆C 上是否存在点P ，使得2212PA PB +=？若存在，求点P 的个数；若不存在，说明理由．

18．（本小题满分16分） 某城市有一直角梯形绿地ABCD ，其中90ABC BAD ∠=∠=?，2AD DC ==km ，1BC =km ．现过边界CD 上的点E 处铺设一条直的灌溉水管EF ，将绿地分成面积相等的两部分． （1）如图①，若E 为CD 的中点，F 在边界AB 上，求灌溉水管EF 的长度； （2）如图②，若F 在边界AD 上，求灌溉水管EF 的最短长度．

19．（本小题满分16分）

在数列{}n a 中，已知113a =，1112

33n n n a a ++=-，*n ∈N ，设n S 为{}n a 的前n 项和．

（1）求证：数列{3}n

n a 是等差数列； （2）求n S ；

（3）是否存在正整数p ，q ，r ()p q r <<，使,,p q r S S S 成等差数列？若存在，求出p ，q ，r 的值；

若不存在，说明理由．

20．（本小题满分16分）

设函数2()ln f x x ax ax =-+，a 为正实数．

（1）当2a =时，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程； （2）求证：1()0f a

≤；

（第18题图①）

（第18题图②）

A B C D E A 1 B 1

C 1 F （第16题）

（3）若函数()f x 有且只有1个零点，求a 的值．

21．[选做题]本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题．．．．．．．，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

A ．[选修4-1：几何证明选讲]（本小题满分10分）

如图，AB 是圆O 的直径，弦BD ，CA 的延长线相交于点E ， 过E 作BA 的延长线的垂线，垂足为F ． 求证：2AB BE BD AE AC =?-?．

B ．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）

求椭圆22

:194x y C +=在矩阵103102??

??=????

????

A 对应的变换作用下所得的曲线的方程．

C ．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）

已知曲线C 的极坐标方程为πsin()33

ρθ+=，以极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，求曲线C 的直角坐标方程．

D ．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）

设0c >，|1|3

c

x -<

，|1|3c y -<，求证：|23|x y c +-<．

【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）

如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，90ABC BAD ∠=∠=?

4AD AP ==，2AB BC ==，M 为PC 的中点． （1）求异面直线AP ，BM 所成角的余弦值；

（2）点N 在线段AD 上，且AN λ=，若直线MN 与

平面PBC 所成角的正弦值为

4

5

，求λ的值． 23．（本小题满分10分）

设*n ∈N ，()372n n f n =+-． （1）求(1)f ，(2)f ，(3)f 的值；

（2）证明：对任意正整数n ，()f n 是8的倍数．

(第21－A 题)

参考答案与评分标准

一、填空题

1．{0,1} 2．1 3．4π 4．23 5．8 6．3

5

7．3 8．81 9．

16π3 10

11．1

3

- 12．36 13．[9,0]- 14．(,5]-∞-

二、解答题 15．（1）因为tan 2B =，tan 3C =，πA B C ++=，

所以tan tan[π()]tan()A B C B C =-+=-+…………………………………2分

tan tan 1tan tan B C

B C +=-

- 231123

+=-=-?，………………………………4分 又(0,π)A ∈，所以π

4

A =．……………………………………………………6分

（2）因为sin tan 2cos B

B B

==，且22sin cos 1B B +=，

又(0,π)B ∈

，所以sin 5

B =，……………………………………………8分

同理可得，sin C = …………………………………………………10分

由正弦定理，得3sin sin c B b C ==14分 16．（1）连结ED ，因为D ，E 分别为BC ，11B C 的中点， 所以1B E BD ∥且1B E BD =， 所以四边形1B BDE 是平行四边形，…………………2分 所以1BB DE ∥且1BB DE =，又11BB AA ∥且11BB AA =， 所以1AA DE ∥且1AA DE =， 所以四边形1AA ED 是平行四边形，…………………4分

所以1A E AD ∥，又因为11A E ADC ?平面，1AD ADC ?平面， 所以直线1A E ∥平面1ADC ．…………………………………………………7分

（2）在正三棱柱111ABC A B C -中，1BB ⊥平面ABC ，

又AD ?平面ABC ，所以1AD BB ⊥，

又ABC △是正三角形，且D 为BC 的中点，所以AD BC ⊥，……………9分 又1,BB BC ?平面11B BCC ，1BB BC B =， 所以AD ⊥平面11B BCC ，

又EF ?平面11B BCC ，所以AD EF ⊥，……………………………………11分 又1EF C D ⊥，1,C D AD ?平面1ADC ，1C D AD D =，

所以直线EF ⊥平面1ADC ．…………………………………………………14分

17．（1）圆C 的标准方程为22(2)4x y -+=，所以圆心(2,0)C ，半径为2．

因为l AB ∥，(1,0)A -，(1,2)B ，所以直线l 的斜率为

20

11(1)

-=--，

A B

C

D E

A 1

B 1

C 1 F

（第

16题）

设直线l 的方程为0x y m -+=， ……………………………………………2分 则圆心C 到直线l

的距离为d =

=

4分

因为MN AB =

而222

()2

MN CM d =+，所以2

(2)422m +=

+， ……………………………6分 解得0m =或4m =-，

故直线l 的方程为0x y -=或40x y --=．…………………………………8分 （2）假设圆C 上存在点P ，设(,)P x y ，则22(2)4x y -+=，

222222(1)(0)(1)(2)12PA PB x y x y +=++-+-+-=，

即22230x y y +--=，即22(1)4x y +-=， ………………………………10分

因为|22|22-+，……………………………………12分 所以圆22(2)4x y -+=与圆22(1)4x y +-=相交，

所以点P 的个数为2．…………………………………………………………14分 18．（1）因为2AD DC ==，1BC =，90ABC BAD ∠=∠=?，

所以AB =2分

取AB 中点G ，

则四边形BCEF 的面积为1

EFG ABCD BCEG S S S =+梯形梯△形， 即11

2)22

?+1313)2

222GF =

++?，

解得GF =6分

所以EF ==(km)．

故灌溉水管

EF km ．……………………8分 （2）设DE a =，DF b =，在ABC △中，

2CA =

所以在ADC △中，2AD DC CA ===， 所以60ADC ∠=?， 所以DEF △的面积为1sin 602DEF S ab =?=△， 又ABCD

S =梯形=，即3ab =．……………………12分 在ADC △中，由余弦定理，得EF == 当且仅当a b =时，取“=”．

故灌溉水管EF km ．……………………………………16分

19．（1）证明：因为11

1233n n n a a ++=-

，所以11

332n n

n n a a ++-=-，…………………2分 又因为11

3

a =

，所以113=1a ?， 所以{3}n n a 是首项为1，公差为2-的等差数列． …………………………4分

（2）由（1）知31(1)(2)32n n a n n =+-?-=-，所以1

(32)()3

n n a n =-，………6分

（第18题图①） （第18题图②）

所以12311111()(1)()(3)()(32)()3

333

n n S n =?+-?+-?++-?…，

所以23+111111

1()(1)()(52)()+(32)()33333

n n n S n n =?+-?+???+-?-? ，

两式相减得231211111

2[()()()](32)()333333

n n n S n +=-++?+--?

1

111()11132[](23)()139313

n n n -+-=-?

+-?-112()3n n +=?， 所以3

n n n

S =．…………………………………………………………………10分

（3）假设存在正整数p ，q ，r ()p q r <<，使,,p q r S S S 成等差数列，

则2q p r S S S =+，即

2333q p r

q p r =+． 由于当2n ≥时，()1

32()03

n n a n =-<，所以数列{}n S 单调递减．

又p q <，所以1p q -≤且q 至少为2，所以11

33

p q p q --≥， ………………12分

1123

333

q q q q q q ----=．

①当3q ≥时，112333p q q p q q --≥≥，又03

r r

>，

所以2333

p r q p r q

+>，等式不成立．…………………………………………14分

②当2q =时，1p =，

所以41933r r =+，所以1

39

r r =，所以3r =({}n S 单调递减，解唯一确定)．

综上可知，p ，q ，r 的值为1，2，3． ………………………………16分

20．（1）当2a =时，2()ln 22f x x x x =-+，则1

'()42f x x x

=-+，……………2分

所以'(1)1f =-，又(1)0f =，

所以曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为10x y +-=．…………4分

（2）因为111

()ln 1f a a a =-+，设函数()ln 1g x x x =-+，

则11'()1x

g x x x

-=-=， …………………………………………………6分

令'()0g x =，得1x =，列表如下：

所以111

()ln 10f a a a =-+≤．………………………………………………8分

（3）2121

'()

2ax ax f x ax a x x

--=-+=-，0x >，

令'()0f x >x <0<，

所以()f x

在

上单调增，在)+∞上单调减．

所以()f x f ≤．………………………………………………10分

设0x =()f x 只有1个零点，而(1)0f =，

所以1是函数()f x 的唯一零点．

当01x =时，()(1)0f x f =≤，()f x 有且只有1个零点，

1=，解得1a =．…………………………………………12分 下证，当01x ≠时，()f x 的零点不唯一．

若01x >，则0()(1)0f x f >=

1>，即01a <<，则1

1a

>． 由（2）知，1

()0f a

<，又函数()f x 在以0x 和1a 为端点的闭区间上的图象不间断，

所以在0x 和1

a 之间存在()f x 的零点，则()f x 共有2个零点，不符合题意；

若01x <，则0()(1)0f x f >=

1<，即1a >，则1

01a

<<． 同理可得，在1

a

和0x 之间存在()f x 的零点，则()f x 共有2个零点，不符合题意．

因此01x =，所以a 的值为1．…………………………………………………16分

21．[选做题]本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题．．．．．．．，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

A ．证明：连结AD ，因为A

B 为圆O 的直径，

所以90ADB ∠=?，

又EF AB ⊥，90AFE ∠=?， 则,,,A D E F 四点共圆，

所以BD BE BA BF ?=?，…………………………5分 又ABC △∽AEF △，即AB AF AE AC ?=?，

所以BE BD AE AC BA BF AB AF ?-?=?-?()AB BF AF =?-2AB =．………… 10分 B ．设椭圆C 上的点11(,)x y 在矩阵A 对应的变换作用下得到点(,)x y ，

则1111

1103311022x x x y y y ????

????????==?

???????????????????????，………………………………………………5分 则113,2,

x x y y =??=? 代入椭圆方程22194x y +=，得221x y +=，

所以所求曲线的方程为221x y +=．……………………………………………10分

C ．由πsin()33ρθ+=

得

1sin cos 32ρθθ+=，…………………………………5分

(第21－A 题)

又cos x ρθ=，sin y ρθ=，

所以曲线C

60y +-=．…………………………………10分 D ．因为|1|3c x -<

，所以2|22|3

c x -<， 故|23||221|x y x y +-=-+-………………………………………………………5分

|22||1|x y -+-≤ 233

c c

c <+=， 故|23|x y c +-<．………………………………………………………………10分

22．（1）因为PA ⊥平面ABCD ，且,AB AD ?平面ABCD

所以PA AB ⊥，PA AD ⊥， 又因为90BAD ∠=?，所以,,PA AB AD 分别以,,AB AD AP 为,,x y z 则由224AD AB BC ===，4PA =可得

(0,0,0)A ，(2,0,0)B ，(2,2,0)C ，(0,4,0)D ，P 又因为M 为PC 的中点，所以(1,1,2)M ．

所以(1,1,2)BM =-，(0,0,4)AP =，…………2所以cos ,||||

AP BM

AP BM AP BM ???=

=

=， 所以异面直线AP ，BM ．…………………………5分 （2）因为AN λ=，所以(0,,0)N λ(04)λ≤≤，则(1,1,2)MN λ=---，

(0,2,0)BC =，(2,0,4)PB =-，

设平面PBC 的法向量为(,,)x y z =m ，

则0,0,

BC PD ??=???=??m m 即20,240.y x z =??-=? 令2x =，解得0y =，1z =，

所以(2,0,1)=m 是平面PBC 的一个法向量．……………………………7分

因为直线MN 与平面PBC 所成角的正弦值为45

， 所以||4

|cos ,|5

||||MN MN MN ???===m m m ，

解得[]10,4λ=∈，

所以λ的值为1．……………………………………………………………10分

23．（1）代入求出(1)8f =，(2)56f =，(3)368f =．……………………………3分 （2）①当1n =时，(1)8f =是8的倍数，命题成立．…………………………4分 ②假设当n k =时命题成立，即()372k k f k =+-是8的倍数，

那么当1n k =+时，11(1)3723(372)4(71)k k k k k f k +++=+-=+-++， 因为71k +是偶数，所以4(71)k +是8的倍数， 又由归纳假设知3(372)k k +-是8的倍数， 所以(1)f k +是8的倍数，

所以当1n k =+时，命题也成立．

根据①②知命题对任意*n ∈N 成立．…………………………………………10分