正十七边形尺规作法与证明
正十七边形尺规作法与证明证明
作法
解读高斯正十七边形的作法(下)
解读高斯正十七边形的作法 正十七边形的尺规作法： 步骤1：在平面直角坐标系xOy 中作单位圆O 步骤2：在x 轴负半轴上取点N ，使|ON|＝ 41，易知|NB|＝417，以N 为圆心，NB 为半径作弧，交x 轴于F 、F’，易知|OF|＝ 2a ，|OF’|＝2b 步骤3：此时|FB|＝122+?? ? ??a ＝242+a ，以F 为圆心，|FB|为半径作弧，交x 轴正半轴于G ，此时|OG|＝2 422++a a ＝c 步骤4：.类似地，|F’B|＝122 +?? ? ??b ＝242+b ，以F’为圆心，|F’B|为半径作弧，交x 轴正半轴于点G’，此时|OG’|＝2422++b b ＝e 步骤5：以|CG’|为直径作圆，交y 轴正半轴于点H ，易知OH 2＝1·e
步骤6：以H 为圆心， 21|OG|为半径作弧，交x 轴正半轴于点K ，则有|OK|＝222OH OG -??? ??＝222e c -?? ? ??＝242e c -步骤7：以K 为圆心，|KH|＝2 1|OG|为半径作弧，交x 轴正半轴于点L ，则|OL|＝2 42e c c -+步骤8：取OL 的中点M ，则|OM|＝4 42e c c -+＝cos 172π步骤9：过点M 作y 轴的并行线交单位圆O 于两点A 2和A 17，则Α为正十七边形的第一个顶点，A 2为第二个顶点，A 17为第十七个顶点，从而作出正十七边形。 正十七边形边长的表达式 在上面得到的一系列等式： a ＝2171+-， b ＝2171--， c ＝242++a a ，e ＝2 42++b b ，cos 172π＝4 42e c c -+中，依次求出c ＝4 17234171-++-，
二年级上册美术教案-17 剪花边｜浙美版
17 剪花边教学设计 1教学目标 1.学习简单的花边图案的基本知识和剪花边的方法。 2.寻找花边图案的组成元素,探究图案的组合方法,培养发散性思维和创造美的能力,养成刻苦、认真、细心的好习惯。 3.用剪好的花边美化生活,培养热爱生活的美好情感。 2学情分析 《剪花边》是三册教材中剪纸单元的一课内容,学习花边的剪法对学生来说并不难,稍加引导,学生都能将花边连起来。因此,我把本节课的重点放在图案的设计上。以前我在上这堂课时,图案的设计总是让学生画上自己喜欢的图案,小花、蝴蝶、树、鱼等,然后学生画得很复杂,而剪下来是却往往只有一个轮廓,因为学生对图案的意识很淡薄。我这堂课主要从寻找构成图案的造型元素,也就是学生比较熟悉的几何形、不规则形、动植物形等出发,运用简单的“组合法”和“切割法”两种表现手法,以达到一个简单的图案设计的目的。 3重点难点 寻找花边图案的组成元素,探究图案的组合方法。 4教学过程 活动1【导入】一、导入 1.今天老师给大家带来了个小礼物,想不想看,教师出示花的单个图案。 提问:小朋友们,看看老师手里拿的是什么? 生答:小花 2.师:请你们睁大眼睛看,老师要给你们变一个小戏法, (师迅速拉开这个图案) 看看老师把这朵小花变成了什么?(花边)板书 3.仔细观察,你发现了花边有什么特点? 预设:连在一起的,每个图案都是一样的。 师:是啊,花边就是由一个图案重复排列而成的。 4.知道老师这条花边是怎么做出来的? 预设:折一折,剪出一个图案就行了! 师,谁来还原一下?对折再对折!
其它小朋友你会吗?拿出一张小纸条动手折一折。 活动2【讲授】二、赏花边，尝试剪花边。 1.现在我们是不是只要在上面画上图案,剪下来就可以变成一条花边啦? 2.看,有三位小朋友画了三个小人的图案,他们是这样画的:出示剪小人的三张图片,仔细观察,你发现了什么? 第一个小人手没有拉起来,第二个小人只拉了一只手,只有两边都拉牢,花边才能像老师做的这条一样连起来。 3.想不想试试,我们在折好的纸上画上一个简单的图案,看看谁能最快做出一条连起来的花边!学生动手剪。 4.点评:小朋友真厉害,有的用小人作图案,有的用爱心做图案,并且能把它们连成一条花边,刚刚有小朋友把它戴在头上,是不是觉得特别漂亮。 活动3【活动】三、找元素，学方法。 1.这么漂亮的花边你在生活中有没有见过啊?哪里见过? 花边在我们生活中有什么用途? 花边具有装饰、美化的作用。 2.看看这些图片中也有很多美丽的花边,你喜欢哪一个,为什么?(根据学生回答板演图案元素) 看来花边的图案非常重要,图案设计得好,花边也就漂亮了! 3.我们来看这个栏杆上的图案都是由什么组成的呀?(板画)虽然我们的图案看起来有点复杂,其实它们都是由这一个个简单的造型元素组成的,你还能想到哪些图形可能作为造型元素呢?(几何形,不规则形,动植物形……) 4.是呀,我们的设计师就是用到了你们想到的这些造型元素,组成了花边的图案。 5.运用到我们的剪花边中,看,简单的几个长方形和椭圆形组合在一起,我就可以让它变成一条花边。(出示:组合法) 6.看看,我们第一次剪的花边,你能不能在这个基础上添加一些元素,让它变得更漂亮呢? 学生画图案,教师点评。(不连起来的,通过添加,连起来) 7.看图片,这里花边的图案跟我们刚刚做的有什么不一样?除了组合起来,我们还可以把这些造型元素直接挖去,看看老师的做法。 (出示:切割法) 8. 这样一条漂亮的花边就做成了,你们想不想动手做一做? 活动4【练习】四、展评拓展
高斯与正十七边形
高斯与正十七边形 数学就象一棵美丽的星球，他那博大精深、简明透彻的数学美就是他的引力场。许许多多人类的精英被他的引力所吸引，投入他的怀抱为他献出了自己毕生的精力。被誉为“数学王子”的伟大数学家高斯就是其中之一。 高斯是个数学天才，幼年时巧妙地计算1＋2＋3＋…＋100为101×50＝5050的故事几乎尽人皆知。其实，学生日期的高斯不仅数学成绩优异，而且各科成绩都名列前茅。小学毕业后，高斯考了文科学校。由于他古典文学成绩突出，入学后直接上了二年级。两年以后高斯又升入了高中哲学班。 15岁时，高斯在一位公爵的资助下上了大学－卡罗琳学院。在那里，他掌握了希腊文、拉丁文、法文、英文有丹麦文，又学会了代数、几何、微积分。语言学和数学是他最喜爱的两门课程。 18岁时，高斯进入了哥廷根大学深造。这时，高斯面临着一个非常痛苦的选择：是把语言学作为自己的终生事业？还是把数学作为自己的终生事业？两棵下不了决心进行最后的选择。 后来，一次数学研究上的突破改变了两个引力场的均衡。高斯终于下定决心，飞向了数学之星。 事情是这样的，尺规作图是几何学的重要内容之一，从古希腊开始，人们一直认为正多边形是最美的图形，因此，用尺规作图法能够作出哪些正多边形，历来就是一个极具魅力的问 题。到高斯的时代，人们已经解决了边数是n 23?、n 24?、n 25?、n 253??（=n 0,1， 2,3……）的正多边形的尺规作图问题。但是，还没有人能作出正7边形、正11边形、正17边形等等。很多人认为，当边数是大于5的素数时，那样的正多边形是不可以用尺规作图完成的。 高斯一直对正多边形尺规作图问题非常着迷。经过持久地，如醉如痴的思考与画图，于1796年3月30日，19岁的高斯出人意料地作出了正17边形。并且，他把正多边形作图问题与高次方程联系起来，彻底解决了哪些正多边形能作出，哪些正多边形不能作出。他证明 了一切边数形如122+t （=t 0,1，2,3，……）的正多边形都只可以作出，而边数为7、11、14，……的正多边形是作不出的。 正17边形作图问题不仅震撼了数学界，也震撼了高斯自己的心灵。他再也无法控制自己，在数学美的巨大引力的作用下，飞向了自己理想的星球－他选择了数学。 从此，高斯的数学成就象喷泉一样涌了出来。他在几乎所有的数学学科中留下了自己的光辉成就，成为伟大的数学家。 高斯直到晚年还十分欣赏使自己走上数学之路的正17边形，对数学美的赞叹与追求伴高斯渡过了他的一生。高斯逝世后，人们按照他的遗嘱，在他的雕像下面建立了一座正17边枎的底座，用他非常欣赏的《李尔王》中的诗句赞美道：“你，自然，我的女神，我要为你的规律而献身”。
二十四山各姓名地做法
二四山各姓名地做法 壬山 刘姓；易城祠堂，中坝良庄立壬山兼子危宿十一度丙水去，立水局胎向胎流，左水倒右。 刘姓；易城长子地坟，火大径三仙嶂，有人叫三仙出洞，立壬山兼子，危宿十二度，丙水去，内明堂有印星，合金水相涵胎向胎流，立水局巳丙有峰，此地三房大贵刘名载进士后碑大一尺三寸。 刘姓；易城父亲懿公地坟，地名下赖口，喝虎形，整体金星穴用破胎插入开金取水作法，壬山兼子危宿九度丙水去立水局，合金水相涵胎向胎流，坤申水来，巽午丁峰，当面水弯环有情，右水倒左，内明堂有印星，此地鸡公嶂来龙。 刘姓；易城母亲罗氏地坟；九和圩源喝船型今喝抄手望船流，土星侠木金星结穴成小五星归垣格，龙虎飞扬玉带砂拥，祖宗耸拔星体转变作法极妙，子山午向乙丑六十分金落脉，危宿三度，丙子分金，合金水相涵坤申水来，丙水去，立水局胎向胎流，巽巳丙午丁峰。此地与易城父亲懿公同。 黄姓；龙窝百官祠，壬山兼亥室宿一度，坤申甲卯水来，丙水走，天井放丙水，祠堂做退神。 杨姓；简头坑，壬山兼亥，室宿四度，水走丙午，地盘癸亥分金水局水线，彭姓；上耙地，壬山兼亥丁巳丁亥分金属土。 赖姓；鹤子含鳅，壬山兼亥室宿四度乙辰水去，坤申水来，立水局，丙丁峰出学宫，地盘癸亥。 何姓；开基地，壬山兼亥三度，水走巳丙，巽巳丙峰，坤申水来暗拱。 林姓；古井坑，开居祖喝蛇形地，壬山兼子，坤申癸丑水来，巳丙水走，水局胎向胎流，坐危宿十一度二八穿山，丙子分金，水旺线，向张宿十三度二八穿山，丙午分金，水旺线，地盘放丁水，即是迎养接生水。 张姓；中坝塔凹拗口，喝眠牛形地，壬山兼子危宿十五度，乙辰水去，坤申水来，立水局。 杨姓；简头坑，壬山兼亥，室宿四度，水走丙午，地盘癸亥分金水局水线，赖姓；鹤子含鳅，壬山兼亥室宿四度乙辰水去，坤申水来，立水局，丙丁峰出学宫，地盘癸亥。 何姓；开基地，壬山兼亥三度，水走巳丙，巽巳丙峰，坤申水来暗拱。 林姓；古井坑，开居祖喝蛇形地，壬山兼子，坤申癸丑水来，巳丙水走，水局胎向胎流，坐危宿十一度二八穿山，丙子分金，水旺线，向张宿十三度二八穿山，丙午分金，水旺线，地盘放丁水，即是迎养接生水。 温姓；四世祖亥若公之妻张氏地坟，清朝乾隆六年辛酉年季夏立，长布琴口大
初中尺规作图详细讲解含图)
初中数学尺规作图讲解初等平面几何研究的对象，仅限于直线、圆以及由它们（或一部分）所组成的图形，因此作图的工具，习 惯上使用没有刻度的直尺和圆规两种.限用直尺和圆规来完成的作图方法，叫做尺规作图法.最简单的尺规作图 有如下三条： ⑴经过两已知点可以画一条直线； ⑵已知圆心和半径可以作一圆； ⑶两已知直线；一已知直线和一已知圆；或两已知圆，如果相交，可以求出交点； 以上三条，叫做作图公法.用直尺可以画出第一条公法所说的直线；用圆规可以作出第二条公法所说的圆；用直尺和圆规可以求得第三条公法所说的交点.一个作图题，不管多么复杂，如果能反复应用上述三条作图公法，经过有限的次数，作出适合条件的图形，这样的作图题就叫做尺规作图可能问题；否则，就称为尺规作图不能问题. 历史上，最著名的尺规作图不能问题是： ⑴三等分角问题：三等分一个任意角； ⑵倍立方问题：作一个立方体，使它的体积是已知立方体的体积的两倍； ⑶化圆为方问题：作一个正方形，使它的面积等于已知圆的面积. 这三个问题后被称为“几何作图三大问题”.直至1837年，万芝尔（Pierre Laurent Wantzel）首先证明三等分角问题和立方倍积问题属尺规作图不能问题；1882年，德国数学家林德曼（Ferdinand Lindemann）证明π是一个超越数（即π是一个不满足任何整系数代数方程的实数），由此即可推得根号π(即当圆半径1 r=时所求正方形的边长）不可能用尺规作出，从而也就证明了化圆为方问题是一个尺规作图不能问题. 若干著名的尺规作图已知是不可能的，而当中很多不可能证明是利用了由19世纪出现的伽罗华理论.尽管如此，仍有很多业余爱好者尝试这些不可能的题目，当中以化圆为方及三等分任意角最受注意.数学家Underwood Dudley曾把一些宣告解决了这些不可能问题的错误作法结集成书. 还有另外两个著名问题： ⑴正多边形作法 ·只使用直尺和圆规，作正五边形. ·只使用直尺和圆规，作正六边形. ·只使用直尺和圆规，作正七边形——这个看上去非常简单的题目，曾经使许多著名数学家都束手无策，因为正七边形是不能由尺规作出的. ·只使用直尺和圆规，作正九边形，此图也不能作出来，因为单用直尺和圆规，是不足以把一个角分成三等份的. ·问题的解决：高斯，大学二年级时得出正十七边形的尺规作图法，并给出了可用尺规作图的正多边形的条件：尺规作图正多边形的边数目必须是2的非负整数次方和不同的费马素数的积，解 决了两千年来悬而未决的难题. ⑵四等分圆周 只准许使用圆规，将一个已知圆心的圆周4等分．这个问题传言是拿破仑·波拿巴出的，向全法国数学家的挑战. 尺规作图的相关延伸： 用生锈圆规(即半径固定的圆规)作图 1.只用直尺及生锈圆规作正五边形 2.生锈圆规作图，已知两点A、B，找出一点C使得AB BC CA ==. 3.已知两点A、B，只用半径固定的圆规，求作C使C是线段AB的中点. 4.尺规作图，是古希腊人按“尽可能简单”这个思想出发的，能更简洁的表达吗？顺着这思路就有了更简洁的表达.10世纪时，有数学家提出用直尺和半径固定的圆规作图. 1672年，有人证明：如果把“作直线”解释为“作出直线上的2点”，那么凡是尺规能作的，单用圆规也能作出！从已知点作出新点的几种情况：两弧交点、
17.2勾股定理的逆定理(优质课)优秀教学设计
《17.2勾股定理的逆定理》教学设计 Y qzx Bmm 【内容和教材分析】 内容教材第31-33页，17.2勾股定理的逆定理. 教材分析“勾股定理的逆定理”一节，是在上节“勾股定理”之后，继续学习的一个直角三角形的判断定理，它是前面只是的继续和深化.勾股定理的逆定理是初中几何学习中的重要内容之一，是今后判断某三角形是直角三角形的重要方法之一，在以后的解题中，将有十分广泛的应用，同时在应用中渗透了利用代数计算的方法证明几何问题的思想，为将来学习解析几何埋下了伏笔，所以本节也是本章的重要内容之一. 【教学目标】 知识与技能 1．理解勾股定理的逆定理的证明方法并能证明勾股定理的逆定理． 2．理解原命题、逆命题、逆定理的概念关系． 3．掌握勾股定理的逆定理，并能利用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形． 过程与方法 1．通过对勾股定理的逆定理的探索，经历知识的发生、发展与形成过程． 2．通过用三角形三边的数量关系来判断三角形的形状，体验数与形结合方法的应用．3．通过勾股定理的逆定理的证明，体会数与形结合方法在问题解决中的作用，并能运用勾股定理的逆定理解决相关问题． 情感、态度与价值观 1．通过用三角形三边的数量关系来判断三角形的形状，体验数与形的内在联系，感受定理与逆定理之间的和谐及辩证统一的关系． 2．在探究勾股定理的逆定理的活动中，通过一系列富有探究性的问题，渗透与他人交流、合作的意识和探究精神． 【教学重难点及突破】 重点 1．勾股定理的逆定理及运用. 2．灵活运用勾股定理的逆定理解决实际问题. 难点 1．勾股定理的逆定理的证明. 2．说出一个命题的逆命题及辨别其真假性. 【教学突破】 1.勾股定理的逆定理的题设实际上是给出了三条边的条件，其形式和勾股定理的结论形式一致.证明在此条件下的三角形是一个直角三角形，需要构造直角三角形才能完成，构造直角三角形是解决问题的关键.可以从特例推向一般，设置两个动手操作问题. 2.勾股定理的逆定理给出的是判定一个三角形是直角三角形的方法，和前面学过的一些判定方法不同，它通过计算来做判断. 3.几何中有许多互逆的命题、互逆的定理，它们从正反两个方面揭示了图形的特征性质，所以互逆命题和互逆定理是几何中的重要概念.对互逆命题、互逆定理的概念，理解它们通常困难不大.但对那些不是以“如果……那么……”形式给出的命题，叙述它们的逆命题有时就会有困难，可以尝试首先把命题变为“如果……那么……”. 4.勾股定理的逆定理可以解决生活中的许多问题.在解决实际问题时，常先画出图形，根
正十七边形做法及证明.
步骤一： 给一圆O，作两垂直的直径OA、OB， 作C点使OC＝1/4OB， 作D点使∠OCD＝1/4∠OCA 作AO延长线上E点使得∠DCE＝45度 步骤二： 作AE中点M，并以M为圆心作一圆过A点， 此圆交OB于F点，再以D为圆心，作一圆 过F点，此圆交直线OA于G4和G6两点。 步骤三： 过G4作OA垂直线交圆O于P4， 过G6作OA垂直线交圆O于P6， 则以圆O为基准圆，A为正十七边形之第一顶点P4为第四顶点，P6为第六顶点。以1/2弧P4P6为半径，即可在此圆上截出正十七边形的所有顶点。 正十七边形的尺规作图存在之证明:
设正17边形中心角为a,则17a=360度,即16a=360度-a 故sin16a=-sina,而 sin16a=2sin8acos8a=22sin4acos4acos8a=2 4 sinacosacos2acos4acos8a 因sina不等于0,两边除之有: 16cosacos2acos4acos8a=-1 又由2cosacos2a=cosa+cos3a等,有 2(cosa+cos2a+…+cos8a=-1 注意到 cos15a=cos2a,cos12a=cos5a,令 x=cosa+cos2a+cos4a+cos8№a y=cos3a+cos5a+cos6a+cos7a 有: x+y=-1/2 又xy=(cosa+cos2a+cos4a+cos8a(cos3a+cos5a+cos6a+cos7a =1/2(cos2a+cos4a+cos4a+cos6a+…+cosa+cos15a 经计算知xy=-1 又有 x=(-1+根号17/4,y=(-1-根号17/4 其次再设:x1=cosa+cos4a,x2=cos2a+cos8a y1=cos3a+cos5a,y2=cos6a+cos7a 故有x1+x2=(-1+根号17/4 y1+y2=(-1-根号17/4 最后,由cosa+cos4a=x1,cosacos4a=(y1/2 可求cosa之表达式,它是数的加减乘除平方根的组合, 故正17边形可用尺规作出
17边形画法
步骤一： 给一圆O，作两垂直的半径OA、OB， 作C点使OC＝1/4OB， 作D点使∠OCD＝1/4∠OCA， 作AO延长线上E点使得∠DCE＝45度。 步骤二： 作AE中点M，并以M为圆心作一圆过A点，此圆交OB于F点， 再以D为圆心，作一圆过F点，此圆交直线OA于G4和G6两点。 步骤三： 过G4作OA垂直线交圆O于P4， 过G6作OA垂直线交圆O于P6， 则以圆O为基准圆，A为正十七边形之第一顶点P4为第四顶点，P6为第六顶点。 连接P4P6，以1/2弧P4P6为半径，在圆上不断截取，即可在此圆上截出正十七边形的所有顶点。 正十七边形的尺规作图存在之证明: 设正17边形中心角为a,则17a=360度,即16a=360度-a
故sin16a=-sina,而 sin16a=2sin8acos8a=4sin4acos4acos8a=16sinacosacos2acos4acos8a 因sina不等于0,两边除之有: 16cosacos2acos4acos8a=-1 又由2cosacos2a=cosa+cos3a等,有 2(cosa+cos2a+…+cos8a)=-1 注意到cos15a=cos2a,cos12a=cos5a,令 x=cosa+cos2a+cos4a+cos8№a y=cos3a+cos5a+cos6a+cos7a 有: x+y=-1/2 又xy=(cosa+cos2a+cos4a+cos8a)(cos3a+cos5a+cos6a+cos7a) =1/2(cos2a+cos4a+cos4a+cos6a+…+cosa+cos15a) 经计算知xy=-1 又有 x=(-1+根号17)/4,y=(-1-根号17)/4 其次再设:x1=cosa+cos4a,x2=cos2a+cos8a y1=cos3a+cos5a,y2=cos6a+cos7a 故有x1+x2=(-1+根号17)/4 y1+y2=(-1-根号17)/4 最后,由cosa+cos4a=x1,cosacos4a=(y1)/2 可求cosa之表达式,它是数的加减乘除平方根的组合, 故正17边形可用尺规作出
初中尺规作图详细讲解(含图)
初中数学尺规作图讲解 初等平面几何研究的对象，仅限于直线、圆以及由它们（或一部分）所组成的图形，因此作图的工具，习惯上使用没有刻度的直尺和圆规两种.限用直尺和圆规来完成的作图方法，叫做尺规作图法.最简单的尺规作图有如下三条： ⑴ 经过两已知点可以画一条直线； ⑵ 已知圆心和半径可以作一圆； ⑶ 两已知直线；一已知直线和一已知圆；或两已知圆，如果相交，可以求出交点； 以上三条，叫做作图公法.用直尺可以画出第一条公法所说的直线；用圆规可以作出第二条公法所说的圆；用直尺和圆规可以求得第三条公法所说的交点.一个作图题，不管多么复杂，如果能反复应用上述三条作图公法，经过有限的次数，作出适合条件的图形，这样的作图题就叫做尺规作图可能问题；否则，就称为尺规作图不能问题. 历史上，最著名的尺规作图不能问题是： ⑴ 三等分角问题：三等分一个任意角； ⑵ 倍立方问题：作一个立方体，使它的体积是已知立方体的体积的两倍； ⑶ 化圆为方问题：作一个正方形，使它的面积等于已知圆的面积. 这三个问题后被称为“几何作图三大问题”.直至1837年，万芝尔（Pierre Laurent Wantzel）首先证明三等分角问题和立方倍积问题属尺规作图不能问题；1882年，德国数学家林德曼（Ferdinand Lindemann）证明π是一个超越数（即π是一个不满足任何整系数代数方程的实数），由此即可推得根号π(即当圆半径1 r=时所求正方形的边长）不可能用尺规作出，从而也就证明了化圆为方问题是一个尺规作图不能问题. 若干著名的尺规作图已知是不可能的，而当中很多不可能证明是利用了由19世纪出现的伽罗华理论.尽管如此，仍有很多业余爱好者尝试这些不可能的题目，当中以化圆为方及三等分任意角最受注意.数学家Underwood Dudley曾把一些宣告解决了这些不可能问题的错误作法结集成书. 还有另外两个著名问题： ⑴ 正多边形作法 ·只使用直尺和圆规，作正五边形. ·只使用直尺和圆规，作正六边形. ·只使用直尺和圆规，作正七边形——这个看上去非常简单的题目，曾经使许多著名数学家都束手无策，因为正七边形是不能由尺规作出的. ·只使用直尺和圆规，作正九边形，此图也不能作出来，因为单用直尺和圆规，是不足以把一个角分成三等份的. ·问题的解决：高斯，大学二年级时得出正十七边形的尺规作图法，并给出了可用尺规作图的正多边形的条件：尺规作图正多边形的边数目必须是2的非负整数次方和不同的费马素数的积，解 决了两千年来悬而未决的难题. ⑵ 四等分圆周 只准许使用圆规，将一个已知圆心的圆周4等分．这个问题传言是拿破仑·波拿巴出的，向全法国数学家的挑战. 尺规作图的相关延伸： 用生锈圆规(即半径固定的圆规)作图 1.只用直尺及生锈圆规作正五边形 2.生锈圆规作图，已知两点A、B，找出一点C使得AB BC CA ==. 3.已知两点A、B，只用半径固定的圆规，求作C使C是线段AB的中点. 4.尺规作图，是古希腊人按“尽可能简单”这个思想出发的，能更简洁的表达吗？顺着这思路就有了更简洁的 表达.10世纪时，有数学家提出用直尺和半径固定的圆规作图. 1672年，有人证明：如果把“作直线”解释
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尺规作图：正十七边形 2009-09-07 17:24:09 尺规作图是指使用圆规和没有刻度的直尺在有限步骤内的作图问题。看似几何问题，实则是一 个代数问题。比如要作一个角等于π/3，就是在给定的线段的垂直平分线上截取长度为√3/2的 线段，而作一条直线的垂线则是给定复平面上的一个点z=1，作出z'=√（-1）这个点。把这个 说法更一般化一点，尺规作图问题可以描述成：在复平面上给定那个点z_0,z_1,……,z_n（这 些点的共轭可以得到），求复平面上全体可有这些点出发经直尺和圆规在有限步骤内可作出的 点（数）的集合M。如果z∈M，即z可作，则z是F[x]中一个2^t次多项式的根， F=Q(z_0,z_1,……,z_n,\bar(z_0),\bar(z_1),……,\bar(z_n))，其中Q为有理数域，\bar(z_k)为 z_k的共轭，1≤k≤n。 现在来看一下所谓的尺规作图三大难题。 1，三等分角。给定一个角θ，要得到α=θ/3，即作出cos(α)。而我们有 cos(θ)=cos(3α)=4cos(α)^3-3cos(α), 令cos(α)=a,cos(3α)=b为已知，则有 (2a)^3-3(a)-2b=0, 在一般情况下，这个方程不一定是可约的（如取θ=π/3），在这时2a不可做，因为他不可能是一个2^t次多项式的根。除此之外尚有很多可以被三等分的角，如只要n不是3的倍数，则 α=π/3必可三等分。事实上n和3互素，因此存在证书u和v，是的3u+nv=1，1/3n=u/n+v/3,所以α/3=π/3n=uπ/n+vπ/3，π/n和π/3都可作，所以α/3也可作。 2，倍立方。即做一个正方体的体积是原正方体体积的2倍，相当于要作出x^3-2等于0的根，同1，这是不可能的。 3，化圆为方。即作一个正方形使其面积等于给定的原的面积。这相当于要作出x^2-π=0的根。但是π不是代数数，即不是任何多项式的根，所以√π也是不可作的。 尺规作图里面还有一个经典的问题，作正n边形。比如正三角形，正四边形，正五边形，正六 边形，正八边形，这些都是很容易就能做出来的，但是很长时间内人们找不到作正七变形和正 九边形的方法。这一领域的下一个进展是1796年，高斯给出了正十七边形的作法。1801年，高斯证明了如果k是费马素数，那么就可以用直尺和圆规作出正十七边形。事实上可进一步推 广为如下结论：正n边形可作当且仅当n=(2^e)p_1p_2...p_r，e为非负整数，p_k为费马素数 1≤k≤r。可以做如下简单的思考：要作正n边形，实际上就是要作n次本原单位根ω，使得 ω^n-1=0。又[Q(ω):Q]=φ(n)，根据前面的讨论知φ(n)必为2^t的形式。若n=(2^e)(p_1) ^a_1(p_2)^a_2...(p_r)^a_r，则φ(n)=(2^(e-1))(p_1-1)(p_1)^(a_1-1)(p_2-1)(p_2)^(a_2-1)...(p_r-1)(p_r)^(a_r-1)，要使其为为2^t的形式必有p_k为费马素数且a_k=1，1≤k≤r。 所谓费马素数是指形为F_n=2^(2^n)+1形式的素数。当初费马猜想所有这种形状的数都是素数，他验证了前五个3，5，17，257，65537，这些都是素数。但是1738年欧拉证明了当n=5时，F_5=4294967297=641*6700417，因此他不是素数。事实是此后人们再也没有发现其他的费马素数，甚至猜想费马素数只有费马当初验证的5个数。
17.2勾股定理的逆定理(优质课)优秀教学设计
《勾股定理的逆定理》教学设计 Yqzx Bmm 【内容和教材分析】 内容教材第31-33页，勾股定理的逆定理. 教材分析“勾股定理的逆定理”一节，是在上节“勾股定理”之后，继续学习的一个直角三角形的判断定理，它是前面只是的继续和深化.勾股定理的逆定理是初中几何学习中的重要内容之一，是今后判断某三角形是直角三角形的重要方法之一，在以后的解题中，将有十分广泛的应用，同时在应用中渗透了利用代数计算的方法证明几何问题的思想，为将来学习解析几何埋下了伏笔，所以本节也是本章的重要内容之一. 【教学目标】 知识与技能 1．理解勾股定理的逆定理的证明方法并能证明勾股定理的逆定理．' 2．理解原命题、逆命题、逆定理的概念关系． 3．掌握勾股定理的逆定理，并能利用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形． 过程与方法 1．通过对勾股定理的逆定理的探索，经历知识的发生、发展与形成过程． 2．通过用三角形三边的数量关系来判断三角形的形状，体验数与形结合方法的应用．3．通过勾股定理的逆定理的证明，体会数与形结合方法在问题解决中的作用，并能运用勾股定理的逆定理解决相关问题． 情感、态度与价值观 1．通过用三角形三边的数量关系来判断三角形的形状，体验数与形的内在联系，感受定理与逆定理之间的和谐及辩证统一的关系． ] 2．在探究勾股定理的逆定理的活动中，通过一系列富有探究性的问题，渗透与他人交流、合作的意识和探究精神． 【教学重难点及突破】 重点 1．勾股定理的逆定理及运用. 2．灵活运用勾股定理的逆定理解决实际问题. 难点 1．勾股定理的逆定理的证明. 2．说出一个命题的逆命题及辨别其真假性. / 【教学突破】 1.勾股定理的逆定理的题设实际上是给出了三条边的条件，其形式和勾股定理的结论形式一致.证明在此条件下的三角形是一个直角三角形，需要构造直角三角形才能完成，构造直角三角形是解决问题的关键.可以从特例推向一般，设置两个动手操作问题. 2.勾股定理的逆定理给出的是判定一个三角形是直角三角形的方法，和前面学过的一些判定方法不同，它通过计算来做判断. 3.几何中有许多互逆的命题、互逆的定理，它们从正反两个方面揭示了图形的特征性质，所以互逆命题和互逆定理是几何中的重要概念.对互逆命题、互逆定理的概念，理解它们通
正十七边形尺规作图和详解
解读“数学王子”高斯正十七边形的作法 一、高斯的传奇故事 高斯(Carl Friedrich Gauss 1777.4.30~1855.2.23），德国数学家、物理学家、天文学家。有一天，年幼的高斯在一旁看著作水泥工厂工头的父亲计算工人们的周薪。父亲算了好一会儿，终于将结果算出来了。可是万万没想到，他身边传来幼嫩的童音说：“爸爸，你算错了，总数应该是……”父亲感到很惊异，赶忙再算一遍，结果证实高斯的答案是对的。这时的高斯只有3岁！ 高斯上小学了，教他们数学的老师布特勒(Buttner)是一个态度恶劣的人，他讲课时从不考虑学生的接受能力，有时还用鞭子惩罚学生。有一天，布德勒让全班学生计算 1+2+3+4+5+……+98+99+100＝？的总和，并且威胁说：“谁算不出来，就不准回家吃饭！”布德勒说完，就坐在一旁独自看起小说来，因为他认为，做这样一道题目是需要些时间的。小朋友们开始计算：“1 + 2 ＝3，3+3＝6，6+4＝10，……”数越来越大，计算越来越困难。但是不久，高斯就拿着写着解答的小石板走到布德勒的身边。高斯说：“老师，我做完了，你看对不对？“做完了？这么快就做完了？肯定是乱做的！”布德勒连头都没抬，挥挥手说：“错了，错了！回去再算！”高斯站着不走，把小石板往前伸了伸说：“我这个答案是对的。” 布德勒抬头一看，大吃一惊。小石板上写着 5050，一点也没有错！高斯的算法是 1 ＋ 2 ＋3＋……＋98＋99＋100 100＋99＋98＋……＋3＋ 2＋1 101＋101＋101＋……＋101＋101＋101＝101×100＝10100 10100÷2＝5050 高斯并不知道，他用的这种方法，其实就是古代数学家经过长期努力才找出来的求等差数列和的方法，那时他才八岁！ 1796年的一天，德国哥廷根大学。高斯吃完晚饭，开始做导师给他单独布置的三道数学题。前两道题他不费吹灰之力就做了出来了。第三道题写在另一小纸条上：要求只用圆规和没有刻度的直尺，作出一个正十七边形。
正n边形的画法
正四边形的画法 正四边形:过任意两点AB作直线,在直线上截取AC,分别以A、C为圆心，AC、CA为半径作圆，作以A、C为顶点的两个平角的角平分线（作直角或垂直的方法），分别交⊙A于D、E，交⊙C于F、G，连接DF、EG，则四边形ABFD ABGE为所求作正四边形。 正五边形的画法 正五边形：作直线AB，截取线段AB，作BC⊥BA，且AB=2BC（作AB的垂直平分线），连接AC。以C为圆心，BC为半径作圆交AC于P，再以A为圆心，AP为半径作圆，交AB于M。以M为圆心，MB为半径作圆交AB的垂直平分线于D，以A、D为圆心，AD、AB为半径作圆交于一点E，以B、D为圆心，BD、AB为半径作圆交于一点F。连接AD、BD、AE、BF、EF。则五边形ADBFE 为正五边形。 一先画个圆 2 在画出这个圆的一对成直角的直径 3 随便选你画的直径上你任何一个半径，找到它的中点 4 用圆规以这个你找的中点为一点，量出与你找中点所在半径所垂直的半径与圆的边的交点的长度 5 保持这个长度 6 以你所找的中点为圆心，以你找的长度画圆 7 我们就可以看见中点所在的直径上有有了一个点 8 找到新的点，还是用圆规量出与你点所在半径垂直的半径与圆边的交点的距离 9 保持这个距离在圆的边上找一点，画个圆，得到3个点，在分别用其他两个点画园，又可以得到两个点 11 连接5个点 正六边形的画法 正六边形：作⊙O，及过O点作直线AB，交⊙O于A、B。分别以A、B为圆心，AO、BO 为半径作圆交⊙O于C、D、E、F（C、E在AB同侧），连接AC、AD、BE、BF、CD、EF，则六边形ACEBFD为所求作正六边形。
中考题型分类-第17题尺规作图
中考第17题 ——尺规作图 题型一：与相似三角形和全等三角形相关 1. (2019高新一模)如图,△ABC 中,AB =AC ,请你利用尺规在BC 边上求一点P ,使△ABC ∽△PAC (不写画法,保留作图痕迹) 2.（工大四模）如图，已知矩形 ABCD 中,连接 AC ，请利用尺规作图法在对角线 AC 上求作一点 E,使得 ~V V ABC CDE （保留作图痕迹不写做法） 3.（工大五模） 在△ A B C 4.(工大六模)如图， 将矩形纸片ABCD 沿对角线BD 向上折叠，请利用尺规作出 折叠后得到的图形.（保留作图痕迹，不写作法） 题型二：与中垂线、角平分线、平行线相关 1.（2019高新二模）已知：如图，∠ABC ，射线BC 上一点 D 。 求作：等腰△PBD ，使线段BD 为等腰△PBD 的底边，点P 在∠ABC 内部，且点P 到∠ABC 两边的距离相等。（要求尺规作图，保留作图痕迹） 2.（2019高新三模）如图，△ABC 中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，求作线段DE 、使DE ∥BC ，且DE ＝DB （保留作图痕迹，不写作法) 3.（2019高新四模）请利用尺规作图在△ABC 的AB 、AC 边上分别找点M 、点N ，连接MN ，使得S △AMN= 4 1 S △ABC(保留作图痕迹,不写作法). 4.(2019高新五模)如图，在四边形ABCD 中，AB=AD ，用尺规作图法在四边形ABCD 的边上找一点E ，并且连接AE 、DE ，使ABE ADE S S ??=（要求：保留作图痕迹，不写作法）
5.(工大九模)如图，点A在∠MON的边OM上，请在∠MON内部确定一点Q，使得AQ//ON，且点Q到射线OM，ON 的距离相等．（尺规作图，不写作法，必须保留作图痕迹） 6．（交大一模）如图，在四边形ABCD中，AB＝AD．在BC上求作一点P使△ABP≌△ADP．（要求：用尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） 7.（交大三模）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC> BC，利用尺规在线段AB上求作一点D，使直线CD把△ABC 分为两个等腰三角形（保留作图痕迹,不写作法）. 8.(交大四模)如图，已知?ABC（AB＞AC），过点C作直线交AB于点P，使得BP+CP=AB。（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）9.(交大五模)如图，请用尺规作图，在△ABC的AC边上找到点D，使得BD+AD=BC（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） 10.（铁一二模）如图，用尺规在平行四边形ABCD的边上AD上找一点M，使得MC平分∠BMD。（不写作法，但要保留作图痕迹） 11.(铁一五模)尺规作图，如图，已知▲ABC,D为BC上的一点，求作圆O，使得圆O同时与AB,BC相切，且与BC 相切于D点（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） 12.(铁一七模)如图,已知△ABC 中、AB=6,AC=4,点D为BC 边上一点,请用尺规过点A 作一条直线AD,使 S△ABD: S△ADC =3:2.(保留作痕迹,不写作法)
高斯的正十七边形
《高斯的正十七边形》 如果问你正十七边形的问题是哪位数学家最先解出来的？你一定会毫不犹豫地说出答案，但是你知道他是怎么做到的吗？这你就得猜了吧，而且，你猜的答案肯定是：像普通数学家一样，都希望自己能解出千古难题，然后再经过仔细的、不懈的努力研究，最终得出了答案。对不起，你答错了。 故事大概是这样的：1796年的一天，在德国哥延根大学，一位十九岁的学生刚吃完晚饭就开始做导师每天例行给他留的三道作业题，前两道题他不费吹灰之力就做了出来，第三道题是：要求只用圆规和一把没有刻度的直尺画出一个正十七边形。这道题把他难住了——他所学过的数学知识竟然对解出这道题没有任何帮助，困难激起了他的斗志，他试着用各种各样的思路去解题，经过一晚上的思考和琢磨，他终于在第二天清晨解出了这道难题。当他把作业交给导师时，他很惭愧，因为他觉得自己用的时间太长，辜负了老师的希望。但是当导师看完作业后，激动地问：“这是你用圆规和有刻度的直尺做的吗？”“是的，我太笨了，居然用了一个晚上才做出来。”高斯惭愧的说。导师顿时惊得目瞪口呆原来，第三道题导师留错了，这道题其实是一道连阿基米德、牛顿这些人一辈子也都没能解出来的千古难题，这位学生竟然只用一个晚上就做出来了，这位学生就是数学王子——高斯。在这件事情发生后，高斯回忆道，如果提前告诉他那是一道千古难题，那么他可能一辈子也解不出来那道题。高斯解出那道题的关键，其实就在于他并不知道他正在解答一道千古难题，而只是以为在做普普通通的作业。从这个故事中我们可以看出：在我们不清楚困难到底有多大的时候，我们反而更有力量去解决它！那么就是说，有时候真正阻碍我们成功的东西，并不是困难本身，而是我们对困难的恐惧，这种恐惧让我们不相信自己的能力，自然也就在困难面前投降了。阿基米德和牛顿也许就是因此没能解出这道题的。如果我们能够把这种恐惧感给克服掉、化解掉，那么我们会发现很多的难题会变得容易、很多的困难会迎刃而解。这个故事给我的启示是：一个人克服了对困难的恐惧，就意味着拥有了解决困难的信心，那么他的力量就会加倍发挥出来，有时候甚至能获得超能量。
《高斯的正17边形》读后感
《高斯的正17边形》读后感 《高斯的正17边形》读后感1 困难，似乎是一个仿佛永远也跨越不了的桥梁。每当你跨越一个的时候，你会发现，还有一个更大更长的桥梁在等着你。你越害怕困难、畏惧困难，它便会更加强大；但你如果相信自己、拥有坚定不移的信念，你便可以轻而易举地跨越困难。《高斯的正17边形》这篇文章，便告诉了我们这个道理。 1796年的'一天，德国哥廷根大学中，一个有数学天分的青年正在做导师单独布置给他的三道数学题。前两道很快就完成了。第三道在另一张纸上：只用圆规和一把没有刻度的直尺，画一个17边形。青年绞尽脑汁，可依旧是毫无进展。困难激起了他的斗志，当窗口露出曙光的时候，他终于完成了第三道题。再见到导师的时候，青年心里充满了内疚和自责。导师一接过青年的作业时却惊呆了，他让青年当着自己的面再做一个17边形。 青年很快做出了一个正17边形，导师激动地对青年说：“你知不知道？你解开了一桩有两千年多年历史的数学悬案！阿基米德没有解决，牛顿也没有解决，可你一个晚上就解出来了。你是个真正的天才！”原来，导师想解决它，却
因为失误才将这张纸条给了青年。每当这位青年回忆起这一幕时，总是说：“如果有人告诉我这是一道有两千多年历史的数学难题，我可能永远也没有信心将它解出来。” 这个青年就是数学王子高斯。 就算别人不曾成功，你也不能气馁；就算别人说“不行”，你也不能失去信心。有些事情，在不清楚它到底有多难时，我们往往能够做得更好！由此看来，真正的困难并不是困难本身，而是我们对困难的畏惧。做任何事的时候，都要充满信心。不管旁人的看法如何，我们都不能放弃。 有志者事竟成。只要你努力了就一定会有收获！ 《高斯的正17边形》读后感2 19岁的高斯有一位导师，每天都要给他出三道练习题。前两道练习题他在两个小时内就完成了，第三道练习题是只用圆规和一把没有刻度的尺子画一个正17边形，这道题他整整做了一个晚上才做出来。见到导师时他有点内疚，对导师说第三道题他做了一个晚上才做出来。导师大吃一惊，高斯解开了一桩两千多年来没有解开的数学悬案——阿基米德没有解开，牛顿也没有解开。 读了这篇文章之后，它让我知道了做什么事情都要动脑筋。有些事情在不清楚它有多难时，往往会做得更好。我觉得高斯要是知道这是一桩两千多年没有解开的数学难题，他可能也不会解开。因为，在没有做题之前，他的心里可能就会有一种我肯定不能解开的想法。由此看来，真正的困难并
正n边形的尺规作图方法
几何三大问题如果不限制作图工具，便很容易解决.从历史上看，好些数学结果是为解决三大问题而得出的副产品，特别是开创了对圆锥曲线的研究，发现了一批著名的曲线，等等.不仅如此，三大问题还和近代的方程论、群论等数学分支发生了关系. 正五边形的画法] (1)已知边长作正五边形的近似画法如下: ①作线段AB等于定长l,并分别以A,B为圆心,已知长l为半径画弧与AB的中垂线交于K. ②以K为圆心，取AB的2/3长度为半径向外侧取C点，使CK=2/3AB. ③以C为圆心,已知边长AB为半径画弧,分别与前两弧相交于M,N. ④顺次连接A,B,N,C,M各点即近似作得所要求的正五边形. (2) 圆内接正五边形的画法如下: ①以O为圆心,定长R为半径画圆,并作互相垂直的直径MN和AP. ②平分半径ON,得OK=KN. ③以K为圆心,KA为半径画弧与OM交于H, AH即为正五边形的边长. ④以AH为弦长,在圆周上截得A,B,C,D,E各点,顺次连接这些点即得正五边形. （3）.民间口诀画正五边形 口诀介绍:"九五顶五九,八五两边分." 作法: 画法: 1.画线段AB=20mm, 2.作线段AB的垂直平分线,垂足为G. 3.在l上连续截取GH,HD,使GH=5.9/5*10mm=19mm, HD=5.9/5*10mm=11.8mm 4.过H作EC⊥CG,在EC上截取HC=HE=8/5*10mm=16mm, 5.连结DE,EA,EC,BC,CD, 五边形ABCDE就是边长为20mm的近似正五边形. （4） 1.画一条水平线，通过此线上的任意点做一个圆。 2.将圆规的一腿放在圆与直线的其一交点上，通过上述圆的圆心画半圆，并 与之交两点。连接这两点做垂直线，与先前的水平线相交与(a)点.
17第二章--向量的加法
教学课题：向量的加法三维目标： 1．知识与技能： ⑴掌握向量加法的意义，并能运用三角形法则和平行四边形法则作几个向量的和向量； ⑵能表述向量加法的交换律和结合律，并运用它进行向量计算 2．过程与方法： 熟练掌握向量加法的平行四边形法则和三角形法则，会作已知两向量的和向量. 3．情感、态度与价值观： 让学生积极参与知识的形成过程，经历知识的“发展”过程，获得“发现” 的经验，培养合情猜测能力. 教学重点：向量加法运算（三角形法则、平行四边形法则）教学难点：对向量加法法则定义的理解. 教学课时：1 课时教学过程： ．引入 提出问题：数因为有了运算而使数的威力无穷，与数的运算类比，向量是否也能进行运算呢？ 情景1：如图1，飞机由广州飞往上海，再从上海飞往北京，这两次位移的结果与飞机直接飞往北京的位移是相同的. 这时，我们就把后面这样一次位移叫作前面两次位移的合位移. 情景2:如图2,在大型生产车间里，一重物被天车从 A处搬运到B处.它
的实际位移AB ，可以看作水平运动的分位移 AC 与竖直运动的分位移AD 按平行 四边形的法则合成的合位移. 引入：根据上面物理中两个位移的合成法则，我们可以类似地给出向量的 加法定义.（板书课题） 二. 新知 ㈠向量的加法 1向量加法的定义 已知向量a 、b ，如图，在平面内任取一点A ，作AB a , BC b ，再作向量 AC ,则向量AC 叫作向量a 与b 的和，记作a b . 说明: ⑴两个向量的和仍然是一个向量; 2.求两个向量和的作图方法 上海 图 1 图2
⑴三角形法则 用定义来求向量a、b的和向量的方法，称为向量加法的三角形法则 说明: ①三角形法则的特点是“首尾相接”，具体做法是：把用小写字母表示的向量，用两个大写字母表示（其中后面向量的起点与前一个向量的终点重合，即用同一字母来表示），则由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和.即：“首尾相连，起指终” a lb. ⑵平行四边形法则 如图，以同一点0为起点的两个已知向量a、b为邻边作平行四边形OACB，则以0为起点的对角线Oc就是a与b的和.这种求向量和的方法，称为向量加法 的平行四边形法则. 说明: 当两向量共线时, 平行四边形法则就不适用了 ⑶多边形法则 已知n个向量，依次把这n个向量首尾相连，以第一个向量的起点为起点, 第n个向量的终点为终点的向量叫作这n个向量的和向量. ㈡向量加法的运算律 交换律：abba ； 结合律： a b c a be.