【高考必备】高三数学总复习:数列知识点及题型归纳总结

【高考必备】高三数学总复习:数列知识点及题型归纳总结
【高考必备】高三数学总复习:数列知识点及题型归纳总结

高三总复习----数列

一、数列的概念

(1)数列定义:按一定次序排列的一列数叫做数列;

数列中的每个数都叫这个数列的项。记作n a ,在数列第一个位置的项叫第1项(或首项),在第二个位

置的叫第2项,……,序号为n 的项叫第n 项(也叫通项)记作n a ; 数列的一般形式:1a ,2a ,3a ,……,n a ,……,简记作 {}n a 。

例:判断下列各组元素能否构成数列 (1)a, -3, -1, 1, b, 5, 7, 9;

(2)2010年各省参加高考的考生人数。

(2)通项公式的定义:如果数列}{n a 的第n 项与n 之间的关系可以用一个公式表示,那么这个公式就

叫这个数列的通项公式。

例如:①:1 ,2 ,3 ,4, 5 ,…

②:5

1

4131211,,,,…

数列①的通项公式是n a = n (n ≤7,n N +∈), 数列②的通项公式是n a = 1

n

(n N +∈)。 说明:

①{}n a 表示数列,n a 表示数列中的第n 项,n a = ()f n 表示数列的通项公式;

② 同一个数列的通项公式的形式不一定唯一。例如,n a = (1)n

-=1,21

()1,2n k k Z n k -=-?∈?+=?

③不是每个数列都有通项公式。例如,1,1.4,1.41,1.414,……

(3)数列的函数特征与图象表示: 序号:1 2 3 4 5 6 项 :4 5 6 7 8 9

上面每一项序号与这一项的对应关系可看成是一个序号集合到另一个数集的映射。从函数观点看,数列

实质上是定义域为正整数集N +(或它的有限子集)的函数()f n 当自变量n 从1开始依次取值时对应的一系列函数值(1),(2),(3),f f f ……,()f n ,…….通常用n a 来代替()f n ,其图象是一群孤立点。

例:画出数列12+=n a n 的图像.

(4)数列分类:①按数列项数是有限还是无限分:有穷数列和无穷数列;②按数列项与项之间的大小关系分:单调数列(递增数列、递减数列)、常数列和摆动数列。

例:下列的数列,哪些是递增数列、递减数列、常数列、摆动数列? (1)1,2,3,4,5,6,… (2)10, 9, 8, 7, 6, 5, … (3) 1, 0, 1, 0, 1, 0, … (4)a, a, a, a, a,…

(5)数列{n a }的前n 项和n S 与通项n a 的关系:1

1(1)(2)

n n n S n a S S n -=?=?-?≥

例:已知数列}{n a 的前n 项和322

+=n s n ,求数列}{n a 的通项公式

练习:

1.根据数列前4项,写出它的通项公式:

(1)1,3,5,7……;

(2)2212-,2313-,2414-,2515-;

(3)11*2-,12*3,13*4-,1

4*5

(4)9,99,999,9999…

(5)7,77,777,7777,…

(6)8, 88, 888, 8888…

2.数列{}n a 中,已知21

()3

n n n a n N ++-=

∈ (1)写出,1a ,2a ,3a ,1n a +,2n a ; (2)2

79

3

是否是数列中的项?若是,是第几项? 3.(2003京春理14,文15)在某报《自测健康状况》的报道中,自测血压结果与相应年龄的统计数据如下表.观察表中数据的特点,用适当的数填入表中空白(_____)内。

4、由前几项猜想通项:

根据下面的图形及相应的点数,在空格及括号中分别填上适当的图形和数,写出点数的通项公式.

5.观察下列各图,并阅读下面的文字,像这样,10条直线相交,交点的个数最多是( ),其通项公式为. A .40个 B .45个 C .50个 D .55个

二、等差数列

2条直线相交,最多有1个交点 3条直线相交,最多有3个交点

4

条直

线相

交,最多有6

个交点

(1) (4)

(7)

( )

( )

题型一、等差数列定义:一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用字母d 表示。用递推公式表示为1(2)n n a a d n --=≥或1(1)n n a a d n +-=≥。 例:等差数列12-=n a n ,=--1n n a a

题型二、等差数列的通项公式:1(1)n a a n d =+-;

说明:等差数列(通常可称为A P 数列)的单调性:d 0>为递增数列,0d =为常数列,0d < 为递减数列。 例:1.已知等差数列{}n a 中,12497116a a a a ,则,==+等于( )

A .15

B .30

C .31

D .64

2.{}n a 是首项11a =,公差3d =的等差数列,如果2005n a =,则序号n 等于 (A )667 (B )668 (C )669 (D )670

3.等差数列12,12+-=-=n b n a n n ,则n a 为n b 为(填“递增数列”或“递减数列”) 题型三、等差中项的概念:

定义:如果a ,A ,b 成等差数列,那么A 叫做a 与b 的等差中项。其中2

a b

A +=

a ,A ,

b 成等差数列?2

a b

A +=

即:212+++=n n n a a a (m n m n n a a a +-+=2) 例:1.(14全国I )设{}n a 是公差为正数的等差数列,若12315a a a ++=,12380a a a =,则111213a a a ++=

( ) A .120 B .105 C .90 D .75

2.设数列{}n a 是单调递增的等差数列,前三项的和为12,前三项的积为48,则它的首项是( ) A .1 B.2 C.4 D.8

题型四、等差数列的性质:

(1)在等差数列{}n a 中,从第2项起,每一项是它相邻二项的等差中项; (2)在等差数列{}n a 中,相隔等距离的项组成的数列是等差数列; (3)在等差数列{}n a 中,对任意m ,n N +∈,()n m a a n m d =+-,n m

a a d n m

-=

-()m n ≠;

(4)在等差数列{}n a 中,若m ,n ,p ,q N +∈且m n p q +=+,则m n p q a a a a +=+; 题型五、等差数列的前n 和的求和公式:11()(1)

22

n n n a a n n S na d +-==+n d a )(2n 2112-+=。(),(2为常数B A Bn

An S n +=?{}n a 是等差数列 )

递推公式:2

)(2)()1(1n

a a n a a S m n m n n --+=+=

例:1.如果等差数列{}n a 中,34512a a a ++=,那么127...a a a +++= (A )14 (B )21 (C )28 (D )35

2.(2015湖南卷文)设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和,已知23a =,611a =,则7S 等于( ) A .13 B .35 C .49 D . 63

3.(2015全国卷Ⅰ理) 设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若972S =,则249a a a ++=

4.(2015重庆文)(2)在等差数列{}n a 中,1910a a +=,则5a 的值为( )

(A )5 (B )6 (C )8 (D )10

5.若一个等差数列前3项的和为34,最后3项的和为146,且所有项的和为390,则这个数列有( )

A.13项

B.12项

C.11项

D.10项 6.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若=+++=118521221a a a a S ,则 7.(2014全国卷Ⅱ理)设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若535a a =则9

5

S S = 8.(2014全国)已知数列{b n }是等差数列,b 1=1,b 1+b 2+…+b 10=100. (Ⅰ)求数列{b n }的通项b n ;

9.已知{}n a 数列是等差数列,1010=a ,其前10项的和7010=S ,则其公差d 等于( )

3

13

2

-

-

..B A C.31 D.32

10.(2015陕西卷文)设等差数列{}n a 的前n 项和为n s ,若6312a s ==,则n a =

11.(2013全国)设{a n }为等差数列,S n 为数列{a n }的前n 项和,已知S 7=7,S 15=75,T n 为数列{n

S n

}的前n 项和,求T n 。

12.等差数列{}n a 的前n 项和记为n S ,已知5030

2010==a a , ①求通项n a ;②若n S =242,求n

13.在等差数列{}n a 中,(1)已知812148,168,S S a d ==求和;(2)已知658810,5,a S a S ==求和;(3)已知3151740,a a S +=求

题型六.对于一个等差数列:

(1)若项数为偶数,设共有2n 项,则①S 偶-S 奇nd =; ②

1

n n S a

S a +=奇偶;

(2)若项数为奇数,设共有21n -项,则①S 奇-S 偶n a a ==中;②1

S n

S n =

-奇偶。

题型七.对与一个等差数列,n n n n n S S S S S 232,,--仍成等差数列。

例:1.等差数列{a n }的前m 项和为30,前2m 项和为100,则它的前3m 项和为( )

A.130

B.170

C.210

D.260 2.一个等差数列前n 项的和为48,前2n 项的和为60,则前3n 项的和为。

3.已知等差数列{}n a 的前10项和为100,前100项和为10,则前110项和为 4.设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和,971043014S S S S ,则,=-== 5.(2015全国II )设S n 是等差数列{a n }的前n 项和,若

36S S =13,则612

S

S = A .

310 B .13C .18 D .1

9

题型八.判断或证明一个数列是等差数列的方法: ①定义法:

)常数)(*+∈=-N n d a a n n (1?{}n a 是等差数列

②中项法:

)22

1*++∈+=N n a a a n n n (?{}n a 是等差数列

③通项公式法:

),(为常数b k b

kn a n +=?{}n a 是等差数列

④前n 项和公式法:

),(2为常数B A Bn

An S n +=?{}n a 是等差数列

例:1.已知数列}{n a 满足21=--n n a a ,则数列}{n a 为 ( )

A.等差数列

B.等比数列

C.既不是等差数列也不是等比数列

D.无法判断

2.已知数列}{n a 的通项为52+=n a n ,则数列}{n a 为 ( )

A.等差数列

B.等比数列

C.既不是等差数列也不是等比数列

D.无法判断 3.已知一个数列}{n a 的前n 项和422

+=n s n ,则数列}{n a 为( )

A.等差数列

B.等比数列

C.既不是等差数列也不是等比数列

D.无法判断 4.已知一个数列}{n a 的前n 项和2

2n s n =,则数列}{n a 为( )

A.等差数列

B.等比数列

C.既不是等差数列也不是等比数列

D.无法判断 5.已知一个数列}{n a 满足0212=+-++n n n a a a ,则数列}{n a 为( )

A.等差数列

B.等比数列

C.既不是等差数列也不是等比数列

D.无法判断 6.数列{}n a 满足1a =8,022124=+-=++n n n a a a a ,且 (*

∈N n )

①求数列{}n a 的通项公式;

7.(14天津理,2)设S n 是数列{a n }的前n 项和,且S n =n 2

,则{a n }是( ) A.等比数列,但不是等差数列 B.等差数列,但不是等比数列 C.等差数列,而且也是等比数列 D.既非等比数列又非等差数列

题型九.数列最值

(1)10a >,0d <时,n S 有最大值;10a <,0d >时,n S 有最小值;

(2)n S 最值的求法:①若已知n S ,n S 的最值可求二次函数2n S an bn =+的最值;

可用二次函数最值的求法(n N +∈);②或者求出{}n a 中的正、负分界项,即:

若已知n a ,则n S 最值时n 的值(n N +∈)可如下确定100n n a a +≥??≤?或1

00n n a a +≤??≥?。

例:1.等差数列{}n a 中,12910S S a =>,,则前项的和最大。

2.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,已知001213123<>=S S a ,, ①求出公差d 的范围,

②指出1221S S S ,,, 中哪一个值最大,并说明理由。

3.(12上海)设{a n }(n ∈N *

)是等差数列,S n 是其前n 项的和,且S 5<S 6,S 6=S 7>S 8,则下列结论错误..的是( )

A.d <0

B.a 7=0

C.S 9>S 5

D.S 6与S 7均为S n 的最大值

4.已知数列{}n a 的通项

99

98--n n (*

∈N n ),则数列{}n a 的前30项中最大项和最小项分别是

5.已知}{n a 是等差数列,其中131a =,公差8d =-。

(1)数列}{n a 从哪一项开始小于0?

(2)求数列}{n a 前n 项和的最大值,并求出对应n 的值.

6.已知}{n a 是各项不为零的等差数列,其中10a >,公差0d <,若100S =,求数列}{n a 前n 项和的最大值.

7.在等差数列}{n a 中,125a =,179S S =,求n S 的最大值.

题型十.利用1

1(1)(2)

n n n S n a S S n -=?=?

-≥?求通项.

1.数列{}n a 的前n 项和21n S n =+.(1)试写出数列的前5项;(2)数列{}n a 是等差数列吗?(3)你能写出数列{}n a 的通项公式吗?

2.已知数列{}n a 的前n 项和,

142

+-=n n S n 则 3.设数列}{n a 的前n 项和为S n =2n 2

,求数列}{n a 的通项公式;

4.已知数列{}n a 中,,31=a 前n 和1)1)(1(2

1

-++=n n a n S ①求证:数列{}n a 是等差数列 ②求数列{}n a 的通项公式

5.(2015安徽文)设数列{}n a 的前n 项和2n S n =,则8a 的值为( ) (A ) 15 (B) 16 (C) 49 (D )64

等比数列

等比数列定义

一般地,如果一个数列从第二项起....,每一项与它的前一项的比等于同一个常数..,那么这个数列就叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的公比;公比通常用字母q 表示(0)q ≠,即:1n a +:(0)n a q q =≠。

一、递推关系与通项公式

m

n m n n n n n q a a q a a a a --+?=?==推广:通项公式:递推关系:111q 1. 在等比数列{}n a 中,2,41==q a ,则=n a

2. 在等比数列{}n a 中

,712,a q =则19_____.a =

3.(2014重庆文)在等比数列{a n }中,a 2=8,a 1=64,,则公比q 为( ) (A )2 (B )3 (C )4 (D )8

4.在等比数列{}n a 中,22-=a ,545=a ,则8a =

5.在各项都为正数的等比数列{}n a 中,首项13a =,前三项和为21,则345a a a ++=( )

A 33

B 72

C 84

D 189

二、等比中项:若三个数c b a ,,成等比数列,则称b 为c a 与的等比中项,且为ac b ac b =±=2

,注:是成等

比数列的必要而不充分条件.

例:1.22( )

()1A ()1B -()1C ±()2D

2.(2013重庆卷文)设{}n a 是公差不为0的等差数列,12a =且136,,a a a 成等比数列,则{}n a 的前n 项和n S =( )

A .2744n n +

B .2533n n +

C .2324

n n + D .2

n n +

三、等比数列的基本性质,

1.(1)q p n m a a a a q p n m ?=?+=+,则若),,,(*∈N q p n m 其中 (2))(2

*+--∈?==

N n a a a a a q

m n m n n m

n m

n , (3){}n a 为等比数列,则下标成等差数列的对应项成等比数列. (4){}n a 既是等差数列又是等比数列?{}n a 是各项不为零的常数列.

例:1.在等比数列{}n a 中,1a 和10a 是方程2

2510x x ++=的两个根,则47a a ?=( )

5()2A -

(B 1()2C -1()2D 2. 在等比数列{}n a ,已知51=a ,100109=a a ,则18a = 3.在等比数列{}n a 中,143613233+>==+n n a a a a a a ,, ①求n a

②若n n n T a a a T 求,lg lg lg 21+++=

4.等比数列{}n a 的各项为正数,且5647313231018,log log log a a a a a a a +=+++= 则( ) A .12 B .10 C .8 D .2+3log 5

5.(2014广东卷理)已知等比数列{}n a 满足0,1,2,n a n >= ,且

25252(3)n

n a a n -?=≥,则当1n ≥时,

2123221log log log n a a a -+++= ( )

A. (21)n n -

B. 2(1)n +

C. 2n

D. 2(1)n -

2.前n 项和公式

)1(11)1()1(111

≠??

?

??--=

--==q q q

a a q q a q na S n n n

例:1.已知等比数列}{n a 的首相51=a ,公比2=q ,则其前n 项和=n S

2.已知等比数列}{n a 的首相51=a ,公比2

1

=q ,当项数n 趋近与无穷大时,其前n 项 和=n S

3.设等比数列}{n a 的前n 项和为n S ,已,62=a 30631=+a a ,求n a 和n S

4.(2015年北京卷)设4710310()22222()n f n n N +=+++++∈ ,则()f n 等于( )

A .

2(81)7

n

- B .

12(81)7n +-C .32(81)7n +- D .42

(81)7

n +- 5.(2014全国文,21)设等比数列{a n }的前n 项和为S n ,若S 3+S 6=2S 9,求数列的公比q ;

6.设等比数列}{n a 的公比为q ,前n 项和为S n ,若S n+1,S n ,S n+2成等差数列,则q 的值为.

3.若数列{}n a 是等比数列,n S 是其前n 项的和,*N k ∈,那么k S ,k k S S -2,k k S S 23-成等比数列.

例:1.(2014辽宁卷理)设等比数列{ n a }的前n 项和为n S ,若 6

3S S =3 ,则 69S S =

A. 2

B. 73

C. 8

3 D.3

2.一个等比数列前n 项的和为48,前2n 项的和为60,则前3n 项的和为( ) A .83 B .108 C .75 D .63

3.已知数列{}n a 是等比数列,且===m m m S S S 323010,则,

4.等比数列的判定法

求数列通项专题高三数学复习教学设计

假如单以金钱来算,我在香港第六、七名还排不上,我这样说是有事实根据的.但我认为,富有的人要看他是怎么做.照我现在的做法我为自己内心感到富足,这是肯定的. 求数列通项专题高三数学复习教学设计 海南华侨中学邓建书 课题名称 求数列通项(高三数学第二阶段复习总第1课时) 科目 高三数学 年级 高三(5)班 教学时间 2009年4月10日 学习者分析 数列通项是高考的重点内容 必须调动学生的积极让他们掌握! 教学目标 一、情感态度与价值观 1. 培养化归思想、应用意识. 2.通过对数列通项公式的研究 体会从特殊到一般 又到特殊的认识事物规律 培养学生主动探索 勇于发现的求知精神 二、过程与方法 1. 问题教学法------用递推关系法求数列通项公式 2. 讲练结合-----从函数、方程的观点看通项公式 三、知识与技能 1. 培养学生观察分析、猜想归纳、应用公式的能力; 2. 在领会函数与数列关系的前提下 渗透函数、方程的思想 教学重点、难点 1.重点:用递推关系法求数列通项公式 2.难点:(1)递推关系法求数列通项公式(2)由前n项和求数列通项公式时注意检验第一项(首项)是否满足 若不满足必须写成分段函数形式;若满足

则应统一成一个式子. 教学资源 多媒体幻灯 教学过程 教学活动1 复习导入 第一组问题: 数列满足下列条件 求数列的通项公式 (1);(2) 由递推关系知道已知数列是等差或等比数列即可用公式求出通项 第二组问题:[学生讨论变式] 数列满足下列条件 求数列的通项公式 (1);(2); 解题方法:观察递推关系的结构特征 可以利用"累加法"或"累乘法"求出通项 (3) 解题方法:观察递推关系的结构特征 联想到"?=?)" 可以构造一个新的等比数列 从而间接求出通项 教学活动2 变式探究 变式1:数列中 求 思路:设 由待定系数法解出常数

2020年高考理科数学《数列》题型归纳与训练及参考答案

2020年高考理科数学《数列》题型归纳与训练 【题型归纳】 等差数列、等比数列的基本运算 题组一 等差数列基本量的计算 例1 设S n 为等差数列{a n }的前n 项和,若a 1=1,公差d =2,S n +2?S n =36,则n = A .5 B .6 C .7 D .8 【答案】D 【解析】解法一:由题知()21(1) 2 1n S na d n n n n n n ==+-=-+,S n +2=(n +2)2,由S n +2?S n =36得,(n +2)2?n 2=4n +4=36,所以n =8. 解法二:S n +2?S n =a n +1+a n +2=2a 1+(2n +1)d =2+2(2n +1)=36,解得n =8.所以选D . 【易错点】对S n +2?S n =36,解析为a n +2,发生错误。 题组二 等比数列基本量的计算 例2 在各项均为正数的等比数列{a n }中,若28641,2a a a a ==+,则a 6的值是________. 【答案】4 【解析】设公比为q (q ≠0),∵a 2=1,则由8642a a a =+得6422q q q =+,即42 20q q --=,解得q 2=2, ∴4 624a a q ==. 【易错点】忘了条件中的正数的等比数列. 【思维点拨】 等差(比)数列基本量的计算是解决等差(比)数列题型时的基础方法,在高考中常有所体现,多以选择题或填空题的形式呈现,有时也会出现在解答题的第一问中,属基础题.等差(比)数列基本运算的解题思路: (1)设基本量a 1和公差d (公比q ). (2)列、解方程组:把条件转化为关于a 1和d (q )的方程(组),然后求解,注意整体计算,以减少运算量.

数列知识点归纳及例题分析

《数列》知识点归纳及例题分析 一、数列的概念: 1.归纳通项公式:注重经验的积累 例1.归纳下列数列的通项公式: (1)0,-3,8,-15,24,....... (2)21,211,2111,21111,...... (3), (17) 9 ,107,1,23 2.n a 与n S 的关系:???≥-==-) 2(,) 1(,11n S S n a a n n n 注意:强调2,1≥=n n 分开,注意下标;n a 与n S 之间的互化(求通 项) 例2:已知数列}{n a 的前n 项和???≥+==2,11 ,32n n n S n ,求n a . 3.数列的函数性质: (1)单调性的判定与证明:定义法;函数单调性法 (2)最大(小)项问题: 单调性法;图像法 (3)数列的周期性:(注意与函数周期性的联系)

例3:已知数列}{n a 满足????? <<-≤≤=+121,12210,21n n n n n a a a a a ,531 =a ,求2017a . 二、等差数列与等比数列 1.等比数列与等差数列基本性质对比(类比的思想,比较相同之处和不同之处)

例题: 例4(等差数列的判定或证明):已知数列{a n }中,a 1=35,a n =2-1 a n -1 (n ≥2,n ∈N * ),数列{b n }满足b n =1a n -1 (n ∈N *). (1)求证:数列{b n }是等差数列; (2)求数列{a n }中的最大项和最小项,并说明理由. (1)证明 ∵a n =2-1 a n -1 (n ≥2,n ∈N * ),b n =1 a n -1 . ∴n ≥2时,b n -b n -1=1a n -1-1 a n -1-1 = 1? ?? ??2-1a n -1-1 -1 a n -1-1 =a n -1 a n -1-1-1a n -1-1 =1. ∴数列{b n }是以-5 2 为首项,1为公差的等差数列.

高三数学数列专题复习题含答案

高三数学数列专题复习题含答案 一、选择题 1.等比数列{}n a 中,12a =,8a =4,函数 ()128()()()f x x x a x a x a =---L ,则()'0f =( ) A .62 B. 92 C. 122 D. 152 【答案】C 【解析】考查多项式函数的导数公式,重点考查学生创新意识,综合与灵活地应用所学的数学知识、思想和方法。考虑到求导中,含有x 项均取0,则()' 0f 只与函数()f x 的一次项 有关;得:412 123818()2a a a a a a ??==L 。 2、在等比数列{}n a 中,11a =,公比1q ≠.若12345m a a a a a a =,则m= (A )9 (B )10 (C )11 (D )12 【答案】C 3、已知{}n a 是首项为1的等比数列,n s 是{}n a 的前n 项和,且369s s =,则数列1n a ?? ???? 的前5项和为 (A ) 158或5 (B )3116或5 (C )3116 (D )15 8 【答案】C 【解析】本题主要考查等比数列前n 项和公式及等比数列的性质,属于中等题。 显然q ≠1,所以3639(1q )1-=121-q 1q q q q -?+?=-,所以1{}n a 是首项为1,公比为1 2 的等比数列, 前5项和5 51 1()31211612 T -= =-. 4、已知各项均为正数的等比数列{n a },123a a a =5,789a a a =10,则456a a a = (A) 【答案】A

【解析】由等比数列的性质知31231322()5a a a a a a a ===g ,3 7897988()a a a a a a a ===g 10,所以 13 2850a a =, 所以13 3 3 64564655 28()()(50)52a a a a a a a a a =====g 5.已知等比数列{m a }中,各项都是正数,且1a , 321 ,22 a a 成等差数列,则91078a a a a +=+ A.12+ B. 12- C. 322+ D 322- 6、设{}n a 是任意等比数列,它的前n 项和,前2n 项和与前3n 项和分别为,,X Y Z ,则下列等式中恒成立的是 A 、2X Z Y += B 、()()Y Y X Z Z X -=- C 、2 Y XZ = D 、()()Y Y X X Z X -=- 【答案】 D 【分析】取等比数列1,2,4,令1n =得1,3,7X Y Z ===代入验算,只有选项D 满足。 8、设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若111a =-,466a a +=-,则当n S 取最小值时,n 等于 A .6 B .7 C .8 D .9 【答案】A 【解析】设该数列的公差为d ,则461282(11)86a a a d d +=+=?-+=-,解得2d =, 所以22(1) 11212(6)362 n n n S n n n n -=-+ ?=-=--,所以当6n =时,n S 取最小值。 9、已知等比数列{}n a 满足0,1,2,n a n >=L ,且25252(3)n n a a n -?=≥,则当1n ≥时, 2123221log log log n a a a -+++=L A. (21)n n - B. 2 (1)n + C. 2n D. 2 (1)n -

高考理科数学《数列》题型归纳与训练

高考理科数学《数列》题型归纳与训练 【题型归纳】 等差数列、等比数列的基本运算 题组一 等差数列基本量的计算 例1 设S n 为等差数列{a n }的前n 项和,若a 1=1,公差d =2,S n +2?S n =36,则n = A .5 B .6 C .7 D .8 【答案】D 【解析】解法一:由题知()21(1) 2 1n S na d n n n n n n ==+-=-+,S n +2=(n +2)2,由S n +2?S n =36得,(n +2)2?n 2=4n +4=36,所以n =8. 解法二:S n +2?S n =a n +1+a n +2=2a 1+(2n +1)d =2+2(2n +1)=36,解得n =8.所以选D . 【易错点】对S n +2?S n =36,解析为a n +2,发生错误。 题组二 等比数列基本量的计算 例2 在各项均为正数的等比数列{a n }中,若28641,2a a a a ==+,则a 6的值是________. 【答案】4 【解析】设公比为q (q ≠0),∵a 2=1,则由8642a a a =+得6422q q q =+,即42 20q q --=,解得q 2=2, ∴4 624a a q ==. 【易错点】忘了条件中的正数的等比数列. 【思维点拨】 等差(比)数列基本量的计算是解决等差(比)数列题型时的基础方法,在高考中常有所体现,多以选择题或填空题的形式呈现,有时也会出现在解答题的第一问中,属基础题.等差(比)数列基本运算的解题思路: (1)设基本量a 1和公差d (公比q ). (2)列、解方程组:把条件转化为关于a 1和d (q )的方程(组),然后求解,注意整体计算,以减少运算量.

高考数学第2讲数列求和及综合问题

第2讲数列求和及综合问题 高考定位 1.高考对数列求和的考查主要以解答题的形式出现,通过分组转化、错位相减、裂项相消等方法求数列的和,难度中档偏下;2.在考查数列运算的同时,将数列与不等式、函数交汇渗透. 真题感悟 1.(2020·全国Ⅰ卷)数列{a n}满足a n+2+(-1)n a n=3n-1,前16项和为540,则a1=________. 解析法一因为a n+2+(-1)n a n=3n-1, 所以当n为偶数时,a n+2+a n=3n-1, 所以a4+a2=5,a8+a6=17,a12+a10=29,a16+a14=41, 所以a2+a4+a6+a8+a10+a12+a14+a16=92. 因为数列{a n}的前16项和为540, 所以a1+a3+a5+a7+a9+a11+a13+a15=540-92=448.① 因为当n为奇数时,a n+2-a n=3n-1, 所以a3-a1=2,a7-a5=14,a11-a9=26,a15-a13=38, 所以(a3+a7+a11+a15)-(a1+a5+a9+a13)=80.② 由①②得a1+a5+a9+a13=184. 又a3=a1+2,a5=a3+8=a1+10,a7=a5+14=a1+24,a9=a7+20=a1+44,a11=a9+26=a1+70,a13=a11+32=a1+102,

所以a 1+a 1+10+a 1+44+a 1+102=184,所以a 1=7. 法二 同法一得a 1+a 3+a 5+a 7+a 9+a 11+a 13+a 15=448. 当n 为奇数时,有a n +2-a n =3n -1, 由累加法得a n +2-a 1=3(1+3+5+…+n )-n +1 2 =32(1+n )·n +12-n +12=34n 2+n +1 4, 所以a n +2=34n 2+n +1 4+a 1. 所以a 1+a 3+a 5+a 7+a 9+a 11+a 13+a 15 =a 1+? ????34×12+1+14+a 1+? ????34×32+3+14+a 1+? ?? ?? 34×52+5+14+a 1+ ? ????34×72+7+14+a 1+? ????34×92+9+14+a 1+? ?? ??34×112 +11+14+a 1+ ? ???? 34×132+13+14+a 1=8a 1+392=448,解得a 1=7. 答案 7 2.(2018·全国Ⅰ卷)记S n 为数列{a n }的前n 项和.若S n =2a n +1,则S 6=________. 解析 法一 因为S n =2a n +1,所以当n =1时,a 1=2a 1+1,解得a 1=-1. 当n ≥2时,a n =S n -S n -1=2a n +1-(2a n -1+1), 所以a n =2a n -1,所以数列{a n }是以-1为首项,2为公比的等比数列, 所以a n =-2n -1. 所以S 6=-1×(1-26)1-2 =-63. 法二 由S n =2a n +1,得S 1=2S 1+1,所以S 1=-1,当n ≥2时,由S n =2a n +1得S n =2(S n -S n -1)+1,即S n =2S n -1-1,∴S n -1=2(S n -1-1),又S 1-1=-2,∴{S n -1}是首项为-2,公比为2的等比数列,所以S n -1=-2×2n -1=-2n ,所以S n =1-2n ,∴S 6=1-26=-63.

高中数列知识点总结

数列知识点总结 第一部分 等差数列 一 定义式: 1n n a a d --= 二 通项公式:n a 1()(1)m a n m d a n d =+-??=+-? 一个数列是等差数列的等价条件:b an a n +=(a ,b 为常数),即n a 是关于n 的一次函数,因为n Z ∈,所以n a 关于n 的图像是一次函数图像的分点表示形式。 三 前n 项和公式: 1()2n n n a a S +=na =中间项 1(1)2 n n na d -=+ 一个数列是等差数列的另一个充要条件:bn an S n +=2(a ,b 为常数,a ≠0),即n S 是关于n 的二次函数,因为n Z ∈,所以n S 关于n 的图像是二次函数图像的分点表示形式。 四 性质结论 1.3或4个数成等差数列求数值时应按对称性原则设置, 如:3个数a-d,a,a+d ; 4个数a-3d,a-d,a+d,a+3d 2.a 与b 的等差中项2 a b A +=; 在等差数列{}n a 中,若m n p q +=+,则 m n p q a a a a +=+;若2m n p +=,则2m n p a a a +=; 3.若等差数列的项数为2() +∈N n n ,则,奇偶nd S S =- 1 +=n n a a S S 偶奇 ; 若等差数列的项数为()+∈-N n n 12,则()n n a n S 1212-=-,且n a S S =-偶奇,1 -=n n S S 偶奇 4.凡按一定规律和次序选出的一组一组的和仍然成等差数列。设12,n A a a a =++?+,122n n n B a a a ++=++?+, 21223n n n C a a a ++=++?+,则有C A B +=2; 5.10a >,m n S S =,则前2m n S +(m+n 为偶数)或12 m n S +±(m+n 为奇 数)最大 第二部分 等比数列 一 定义:1 (2,0,0){}n n n n a q n a q a a -=≥≠≠?成等比数列。 二 通项公式:11-=n n q a a ,n m n m a a q -= 数列{a n }是等比数列的一个等价条件是: (1),(0,01n n S a b a b =-≠≠,) 当0q >且0q ≠时,n a 关于n 的图像是指数函数图像的分点表示形式。

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高三文科数学数列专题 高三文科数学复习资料 ——《数列》专题 1. 等差数列{ a n}的前n项和记为S n,已知a1030, a2050 . ( 1)求通项a n; ( 2)若S n242 ,求 n ; ( 3)若b n a n20 ,求数列 { b n } 的前 n 项和 T n的最小值. 2. 等差数列{ a n}中,S n为前n项和,已知S77, S1575 . ( 1)求数列{ a n}的通项公式; ( 2)若b n S n,求数列 {b n } 的前 n 项和 T n. n 3. 已知数列{ a n}满足a1 1 a n 1 ( n 1) ,记 b n 1 , a n . 1 2a n 1 a n (1)求证 : 数列{ b n}为等差数列; (2)求数列{ a n}的通项公式 . 4. 在数列a n 中, a n 0 , a1 1 ,且当 n 2 时,a n 2S n S n 1 0 . 2 ( 1)求证数列1 为等差数列;S n ( 2)求数列a n的通项 a n; ( 3)当n 2时,设b n n 1 a n,求证: 1 2 (b2 b3 b n ) 1 . n 2(n 1) n 1 n 5. 等差数列{ a n}中,a18, a4 2 . ( 1)求数列{ a n}的通项公式; ( 2)设S n| a1 | | a2 || a n |,求 S n;

1 (n N *) , T n b1 b2 b n (n N *) ,是否存在最大的整数m 使得对任( 3)设b n n(12 a n ) 意 n N * ,均有T n m m 的值,若不存在,请说明理由. 成立,若存在,求出 32 6. 已知数列{log2(a n1)} 为等差数列,且a13, a39 . ( 1)求{ a n}的通项公式; ( 2)证明: 1 1 ... 1 1. a2 a1 a3 a2 a n 1 a n 7. 数列{ a n}满足a129, a n a n 12n 1(n 2, n N * ) . ( 1)求数列{ a n}的通项公式; ( 2)设b n a n,则 n 为何值时, { b n } 的项取得最小值,最小值为多少?n 8. 已知等差数列{ a n}的公差d大于0 , 且a2,a5是方程x2 12 x 27 0 的两根,数列 { b n } 的前 n 项和 为 T n,且 T n 1 1 b n. 2 ( 1)求数列{ a n} , { b n}的通项公式; ( 2)记c n a n b n,求证:对一切 n N 2 , 有c n. 3 9. 数列{ a n}的前n项和S n满足S n2a n 3n . (1)求数列{ a n}的通项公式a n; (2)数列{ a n}中是否存在三项,它们可以构成等差数列?若存在,请求出一组适合条件的项;若不存在,请说明理由 . 10. 已知数列{ a n}的前n项和为S n,设a n是S n与 2 的等差中项,数列{ b n} 中, b1 1,点 P(b n , b n 1 ) 在 直线 y x 2 上. ( 1)求数列{ a n} , { b n}的通项公式

数列题型及解题方法归纳总结

累加累积 归纳猜想证明 掌握了数列的基本知识,特别是等差、等比数列的定义、通项公式、求和公式及性质,掌握了 典型 题型的解法和数学思想法的应用,就有可能在高考中顺利地解决数列问题。 一、典型题的技巧解法 1、求通项公式 (1)观察法。(2)由递推公式求通项。 对于由递推公式所确定的数列的求解,通常可通过对递推公式的变换转化成等差数列或等比数列问题。 ⑴递推式为a n+i =3+d 及a n+i =qa n (d ,q 为常数) 例1、 已知{a n }满足a n+i =a n +2,而且a i =1。求a n 。 例1、解 ■/ a n+i -a n =2为常数 ??? {a n }是首项为1,公差为2的等差数列 /? a n =1+2 (n-1 ) 即 a n =2n-1 1 例2、已知{a n }满足a n 1 a n ,而a 1 2,求a n =? 佥 1 2 解■/^ = +是常数 .■-傀}是以2为首顶,公比为扌的等比数 把n-1个等式累加得: .' ? an=2 ? 3n-1-1 ji i ? / ] — 3 ⑷ 递推式为a n+1=p a n +q n (p ,q 为常数) s 1 1 【例即己知何沖.衍二右札+ 吧求% 略解在如十冷)*的两边乘以丹得 2 严‘ *珞1 = ~〔2怙血)+1.令亠=2n 召 则也€%乜于是可得 2 2 n b n 1 n 1 n b n 1 b n (b n b n 1)由上题的解法,得:b n 3 2(—) ? a . n 3(—) 2(—) 3 3 2 2 3 ★说明对于递推式辺曲=+屮,可两边除以中叫得蹲= Q 計/斗引辅助财如(%=芒.徼十氣+护用 (5) 递推式为 a n 2 pa n 1 qa n 知识框架 数列 的概念 数列的分类 数列的通项公式 数列的递推关系 函数角度理解 (2)递推式为 a n+1=a n +f (n ) 1 2 例3、已知{a n }中 a 1 a n 1 a n 1 ,求 a n . 4n 2 1 等差数列的疋义 a n a n 1 d(n 2) 等差数列的通项公式 a n a 1 (n 1)d 等差数列 等差数列的求和公式 S n (a 1 a n ) na 1 n(n 1)d 2 2 等差数列的性质 a n a m a p a q (m n p q) 两个基 本数列 等比数列的定义 a n 1 q(n 2) 等比数列的通项公式 a n n 1 a 1q 数列 等比数列 a 1 a n q 3(1 q ) (q 1) 等比数列的求和公式 S n 1 q 1 q / n a 1(q 1) 等比数列的性质 S n S m a p a q (m n p q) 公式法 分组求和 错位相减求和 裂项求和 倒序相加求和 解:由已知可知a n 1 a n (2n 1)(2n 1)夕2n 1 2n 令n=1,2,…,(n-1 ),代入得(n-1 )个等式累加,即(a 2-a 1) + 1广 K z 1】、 =-[(1-" + J J 5 _■ 冷(一 Jr ★ 说明 只要和f ( 1) +f (2) 入,可得n-1个等式累加而求a n 。 ⑶ 递推式为a n+1=ps n +q (p , q 为常数) 1 a n a 1 (1 2 +?…+f 例 4、{a n }中,ai 1,对于 n > 1 (n € N) 有a n (a 3-a 2) + ? + (a n -a n-1) L )也 2n 1 4n 2 (n-1 )是可求的,就可以由 a n+1=a n +f (n )以n=1,2,…, 3a n 1 2 ,求 a n ? 数列 求和 解法一: 由已知递推式得 a n+1=3a n +2,a n =3a n-1+2。两式相减:a n+1-a n =3 (a n -a n-1) 因此数列{a n+1-a n }是公比为3的等比数列,其首项为 a 2-a 1= (3X 1+2) -1=4 --a n+1 -a n =4 ? 3 - a n+1 =3a n +2 - - 3a n +2-a n =4 ? 3 即 a n =2 ? 3 -1 解法_ : 上法得{a n+1-a n }是公比为 3 的等比数列,于是有: a 2-a 1=4, a 3-a 2=4 ? 3, a 4-a 3=4 ? 3 ? 3 , 数列的应用 分期付款 其他

高三 数学 科 数列的综合应用

高三 数学 科 数列的综合应用 (复习)学案 考纲要求:综合利用等差数列与等比数列的有关知识,解决数列综合问题和实际问题。 课前预习 一、 知识梳理 1. 解答数列应用题的步骤: 2. 数列应用题常见模型:(1)等差模型 (2)等比模型 (3)递推数列模型 二、 自我检测 1.等比数列{a n }的前 n 项和为 s n ,且 12344a 2a a a 1s ==1,,成等差数列,若,则 ( )A 7 B 8 C 15 D 16 2.△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ,若a 、b 、c 成等比 数列,且c=2a ,则cosB= ( )A 1 4 B 34 3.有一种细菌和一种病毒,每个细菌在每秒末能在杀死一个病毒的同时将自身分裂为2个,现在有1个这样的细菌和100个这样的病毒,问细菌将将病毒全部杀死至少需要( ) A 6秒 B 7秒 C 8秒 D 9秒 4.等差数列{n a }中,n a ≠0,n ∈N +,有2 3711220,a a a -+=数列{b n }是等 比数列,且7768,b a b a ==则 ( )A 2 B 4 C 8 D 16 5.已知三个数a 、b 、c 成等比数列,则函数f (x )=ax 2+bx+c 的图像与x 轴公共点的个数为 6.在数列{n a }中,对任意自然数n ∈N +,1221,n a a a ++=-n …则

122 2a a ++=2n …+a 课内探究 典例讲解 题型一:性质的综合应用 例1 设{n a }为等差数列,{n b }为等比数列,112432431,,,a b a a b b b a ==+==分别求出{n a }及{n b }的前10项和1010,.S T 题型二:求通项公式 例2 在数列{n a }中,111,22.n n n a a a +==+(1)设1 ,2n n n a b -=证明数列{n b }是等差数列; (2)求n a 数列{n a }前n 项和s n 。 例3 (2009全国1,理20)在数列{n a }中,1n+1n n 1 n 1 a 1a 1a .n 2 +== ++,() (1)设b n = n a n ,求数列{b n }的通项公式; (2)求数列{a n }的前n 项和s n .

高中数学必修5数列知识点总结

数列 1. 等差数列 通项公式:1(1),n a a n d n *=+-∈N 等差中项:如果2 a b A += ,那么A 是a 与b 的等差中项 前n 项和:11()(1)22n n n a a n n S na d +-==+ 若n a 是等差数列,且k l m n +=+,则k l m n a a a a +=+ ? 等差数列的通项求法应该围绕条件结合1,a d ,或是利用特殊项。 ? 等差数列的最值问题求使0(0)n n a a ≥≤成立的最大n 值即可得n S 的最值。 例1.{}n a 是等差数列,538,6a S ==,则9a =_________ 解析:513113248,33362 a a d S a d a d ?=+==+ =+=,解得10,2a d ==,916a = 例2.{}n a 是等差数列,13110,a S S >=,则当n 为多少时,n S 最大? 解析:由311S S =得1213 d a =- ,从而 21111(1)249()(7)2131313n a n n S na a n a -=+?-=--+,又10a >所以1013 a -< 故7n = 2. 等比数列 通项公式:11(0)n n a a q q -=≠ 等比中项:2G ab = 前n 项和:111(1)(1)(1)11n n n na q S a a q a q q q q =??=--?=≠?--? 若{}n a 是等比数列,且m n p q +=+,则m n p q a a a a ?=? 例.{}n a 是由正数组成的等比数列,2431,7a a S ==,则5S =__________

高考数学压轴专题最新备战高考《数列》难题汇编附答案

新数学《数列》期末复习知识要点 一、选择题 1.在数列{}n a 中,若10a =,12n n a a n +-=,则23111 n a a a +++L 的值 A . 1 n n - B . 1 n n + C . 1 1n n -+ D . 1 n n + 【答案】A 【解析】 分析:由叠加法求得数列的通项公式(1)n a n n =-,进而即可求解23111 n a a a +++L 的和. 详解:由题意,数列{}n a 中,110,2n n a a a n +=-=, 则112211()()()2[12(1)](1)n n n n n a a a a a a a a n n n ---=-+-++-+=+++-=-L L , 所以 1111 (1)1n a n n n n ==--- 所以 231111111111(1)()()12231n n a a a n n n n -+++=-+-++-=-=-L L ,故选A. 点睛:本题主要考查了数列的综合问题,其中解答中涉及到利用叠加法求解数列的通项公式和利用裂项法求解数列的和,正确选择方法和准确运算是解答的关键,着重考查了分析问题和解答问题的能力,以及推理与运算能力. 2.已知等比数列{}n a 满足13a =,13521a a a ++=,则357a a a ++=( ) A .21 B .42 C .63 D .84 【答案】B 【解析】 由a 1+a 3+a 5=21得24242 1(1)21172a q q q q q ++=∴++=∴=∴ a 3+a 5+a 7=2 135()22142q a a a ++=?=,选B. 3.设数列{}n a 是等差数列,1356a a a ++=,76a =.则这个数列的前7项和等于( ) A .12 B .21 C .24 D .36 【答案】B 【解析】 【分析】 根据等差数列的性质可得3a ,由等差数列求和公式可得结果. 【详解】 因为数列{}n a 是等差数列,1356a a a ++=,

高中数学数列复习题型归纳解题方法整理

数列 一、等差数列与等比数列 1.基本量的思想: 常设首项、(公差)比为基本量,借助于消元思想及解方程组思想等。转化为“基本量”是解决问题的基本方法。 2.等差数列与等比数列的联系 1)若数列{}n a 是等差数列,则数列}{n a a 是等比数列,公比为d a ,其中a 是常数,d 是{}n a 的公差。 (a>0且a ≠1); 2)若数列{}n a 是等比数列,且0n a >,则数列{}log a n a 是等差数列,公差为log a q ,其中a 是常数且 0,1a a >≠,q 是{}n a 的公比。 3)若{}n a 既是等差数列又是等比数列,则{}n a 是非零常数数列。 3.等差与等比数列的比较

4、典型例题分析 【题型1】等差数列与等比数列的联系 例1 (2010陕西文16)已知{}是公差不为零的等差数列,a1=1,且a1,a3,a9成等比数列.(Ⅰ)求数列{}的通项;(Ⅱ)求数列{2}的前n项和. 解:(Ⅰ)由题设知公差d≠0, 由a1=1,a1,a3,a9成等比数列得12 1 d + = 18 12 d d + + , 解得d=1,d=0(舍去),故{}的通项=1+(n-1)×1=n. (Ⅱ)由(Ⅰ)知2m a=2n,由等比数列前n项和公式得 2+22+23+…+22(12) 12 n - - 21-2. 小结与拓展:数列{}n a是等差数列,则数列} {n a a是等比数列,公比为d a,其中a是常数,d是{}n a的公差。(a>0且a≠1). 【题型2】与“前n项和与通项”、常用求通项公式的结合 例2 已知数列{}的前三项与数列{}的前三项对应相同,且a1+2a2+22a3+…+2n-1=8n对任意的n∈N*都成立,数列{+1-}是等差数列.求数列{}与{}的通项公式。 解:a1+2a2+22a3+…+2n-1=8n(n∈N*) ① 当n≥2时,a1+2a2+22a3+…+2n-2-1=8(n-1)(n∈N*) ② ①-②得2n-1=8,求得=24-n, 在①中令n=1,可得a1=8=24-1, ∴=24-n(n∈N*).由题意知b1=8,b2=4,b3=2,∴b2-b1=-4,b3-b2=-2, ∴数列{+1-}的公差为-2-(-4)=2,∴+1-=-4+(n-1)×2=2n-6,

最新届高三数学第二轮复习数列综合

届高三数学第二轮复习数列综合

数列综合 ★★★高考要考什么 本章主要涉及等差(比)数列的定义、通项公式、前n 项和及其性质,数列的极限、无穷等比数列的各项和.同时加强数学思想方法的应用,是历年的重点内容之一,近几年考查的力度有所增加,体现高考是以能力立意命题的原则. 高考对本专题考查比较全面、深刻,每年都不遗漏.其中小题主要考查1()a d q 、、 n n n a S 、、间相互关系,呈现“小、巧、活”的特点;大题中往往把等差(比)数列与函数、方程与不等式,解析几何 等知识结合,考查基础知识、思想方法的运用,对思维能力要求较高,注重试题的综合性,注意分类讨论. 高考中常常把数列、极限与函数、方程、不等式、解析几何等等相关内容综合在 一起,再加以导数和向量等新增内容,使数列综合题新意层出不穷.常见题型: (1)由递推公式给出数列,与其他知识交汇,考查运用递推公式进行恒等变形、推理与综合能力. (2)给出S n 与a n 的关系,求通项等,考查等价转化的数学思想与解决问题能力. (3)以函数、解析几何的知识为载体,或定义新数列,考查在新情境下知识的迁移能力. 理科生需要注意数学归纳法在数列综合题中的应用,注意不等式型的递推数列. ★ ★★ 突 破 重 难 点 【范例1】已知数列{}n a ,{}n b 满足12a =,11b =,且11 113114413144 n n n n n n a a b b a b ----?=++??? ?=++??(2n ≥) (I )令n n n c a b =+,求数列{}n c 的通项公式; (II )求数列{}n a 的通项公式及前n 项和公式n S .

人教版高中数列知识点总结(知识点+例题)

人教版高中数列知识点总结(知识点+例题) Lesson6 数列 知识点1:等差数列及其前n 项 1.等差数列的定义 2.等差数列的通项公式 如果等差数列{a n }的首项为a 1,公差为d ,那么它的通项公式a n =a 1+(n -1) d . 3.等差中项 a +b 如果 A =2 ,那么A 叫做a 与b 的等差中项. 4.等差数列的常用性质 (1)通项公式的推广:a n =a m +(n-m )d ,(n ,m ∈N *) . (2)若{a n }为等差数列,且k +l =m +n ,(k ,l ,m ,n ∈N *) ,则 (3)若{a n }是等差数列,公差为d ,则{a 2n }也是等差数列,公差为. (4)若{a n },{b n }是等差数列,则{pa n +qb n }也是等差数列. (5)若{a n }是等差数列,公差为d ,则a k ,a k +m ,a k +2m ,…(k ,m ∈N *) 是公差为的等差数列. 5.等差数列的前n 项和公式 n (a 1+a n )n (n -1) 设等差数列{a n }的公差d ,其前n 项和S n 或S n =na 1+22. 6.等差数列的前n 项和公式与函数的关系 d d 2? S n 2+ a 1-2n . 数列{a n }是等差数列?S n =An 2+Bn ,(A 、B 为常数) . ?? 7.等差数列的最值 在等差数列{a n }中,a 1>0,d 0,则S n 存在最小值. [难点正本疑点清源] 1.等差数列的判定 (1)定义法:a n -a n -1=d (n ≥2) ; (2)等差中项法:2a n +1=a n +a n +2.

高考数学数列题型专题汇总

高考数学数列题型专题 汇总 公司内部档案编码:[OPPTR-OPPT28-OPPTL98-OPPNN08]

高考数学数列题型专题汇总 一、选择题 1、已知无穷等比数列{}n a 的公比为q ,前n 项和为n S ,且S S n n =∞ →lim .下列 条件中,使得()*∈q a (B )6.07.0,01-<<-q a (D )7.08.0,01-<<-

A .{}n S 是等差数列 B .2{}n S 是等差数列 C .{}n d 是等差数列 D .2{}n d 是等差数列 【答案】A 二、填空题 1、已知{}n a 为等差数列,n S 为其前n 项和,若16a =,350a a +=,则 6=S _______.. 【答案】6 2、无穷数列{}n a 由k 个不同的数组成,n S 为{}n a 的前n 项和.若对任意 *∈N n ,{}3,2∈n S ,则k 的最大值为________. 【答案】4 3、设等比数列{}n a 满足a 1+a 3=10,a 2+a 4=5,则a 1a 2a n 的最大值 为 . 【答案】64 4、设数列{a n }的前n 项和为S n .若S 2=4,a n +1=2S n +1,n ∈N *,则 a 1= ,S 5= . 【答案】1 121

高考数学数列知识点及题型大总结

20XX 年高考数学数列知识点及题型大总结 等差数列 知识要点 1.递推关系与通项公式 m n a a d n a a d d n a a d m n a a d n a a d a a m n n n m n n n n --= --= --=-+=-+==-+1; )1()()1(1111变式:推广:通项公式:递推关系: 为常数) 即:特征:m k m kn n f a d a dn a n n ,(,)(), (1+==-+= ),为常数,(m k m kn a n +=是数列{}n a 成等差数列的充要条件。 2.等差中项: 若c b a ,,成等差数列,则b 称c a 与的等差中项,且2 c a b +=;c b a ,,成等差数列是c a b +=2的充要条件。 3.前n 项和公式 2 )(1n a a S n n += ; 2)1(1d n n na S n -+= ) ,()(,)2(22212为常数即特征:B A Bn An S Bn An n f S n d a n d S n n n +=+==-+= 是数列 {}n a 成等差数列的充要条件。 4.等差数列 {}n a 的基本性质),,,(*∈N q p n m 其中 ⑴q p n m a a a a q p n m +=++=+,则若反之,不成立。 ⑵d m n a a m n )(-=- ⑶m n m n n a a a +-+=2

⑷n n n n n S S S S S 232,,--仍成等差数列。 5.判断或证明一个数列是等差数列的方法: ①定义法: )常数)(*+∈=-N n d a a n n (1?{}n a 是等差数列 ②中项法: )22 1*++∈+=N n a a a n n n (?{}n a 是等差数列 ③通项公式法: ),(为常数b k b kn a n +=?{}n a 是等差数列 ④前n 项和公式法: ),(2为常数B A Bn An S n +=?{}n a 是等差数列 练习:1.等差数列 {}n a 中, ) (3 1 ,1201191210864C a a a a a a a 的值为则-=++++ A .14 B .15 C .16 D .17 165 1203232)(32) 2(3 1 318999119=?==-=+-=-a d a d a a a a 2.等差数列 {}n a 中,12910S S a =>,,则前10或11项的和最大。 解:0912129 =-=S S S S , 003011111121110>=∴=∴=++∴a a a a a a ,又,, ∴ {}n a 为递减等差数列∴1110S S =为最大。 3.已知等差数列{}n a 的前10项和为100,前100项和为10,则前110项和为-110 解:∵ ,,,,,1001102030102010S S S S S S S --- 成等差数列,公差为D 其首项为 10010=S ,前10项的和为10100=S 解

天津市高三数学总复习 综合专题 数列 理 (学生版)

数列(理) 考查内容:本小题主要考查等差数列与等比数列的通项公式及其前n 项和公式、 不等式证明等基础知识,考查分类讨论的思想方法,考查运算能力、 推理论证能力及综合分析、解决问题的能力。 1、在数列{}n a 中,11a =,122n n n a a +=+。 (1)设1 2 n n n a b -= 。证明:数列{}n b 是等差数列; (2)求数列{}n a 的前n 项和n S 。 2、设数列{}n a 的前n 项和为n S ,已知()21n n n ba b S -=- (1)证明:当2b =时,{} 12n n a n --?是等比数列; (2)求{}n a 的通项公式 3、已知数列{}n a 的首项12 3 a = ,121n n n a a a +=+,1,2,3,n =…。 (1)证明:数列? ?? ?? ?-11n a 是等比数列; (2)数列? ?? ?? ?n a n 的前n 项和n S 。 4、已知数列{}n a 满足:1±≠n a ,2 11=a ,()() 2211213n n a a -=-+,记数列21n n a b -=,221n n n c a a +=-, n N *∈。 (1)证明数列 {}n b 是等比数列; (2)求数列{}n c 的通项公式; (3)是否存在数列{}n c 的不同项k j i c c c ,,,k j i <<,使之成为等差数列?若存在请求出这样的不同项 k j i c c c ,,,k j i <<;若不存在,请说明理由。 5、已知数列{}n a 、{}n b 中,对任何正整数n 都有:

11213212122n n n n n n a b a b a b a b a b n +---+++++=--L 。 (1)若数列{}n a 是首项和公差都是1的等差数列,求证:数列{}n b 是等比数列; (2)若数列{}n b 是等比数列,数列{}n a 是否是等差数列,若是请求出通项公式,若不是请说明理由; (3)若数列{}n a 是等差数列,数列{}n b 是等比数列,求证:1132 n i i i a b =<∑ 。 6、设数列{}n a 满足11a =,22a =,121 (2)3 n n n a a a --= +,(3,4,)n =L 。数列{}n b 满足11,(2,3,)n b b n ==L 是非零整数,且对任意的正整数m 和自然数k ,都有 111m m m k b b b ++-≤+++≤L 。 (1)求数列{}n a 和{}n b 的通项公式; (2)记(1,2,)n n n c na b n ==L ,求数列{}n c 的前n 项和n S 。 7、有n 个首项都是1的等差数列,设第m 个数列的第k 项为mk a , (,1,2,3,,, 3)m k n n =L ≥,公差为m d ,并且123,,,,n n n nn a a a a L 成等差数列。 (1)证明1122m d p d p d =+,n m ≤≤3,12,p p 是m 的多项式,并求12p p +的值; (2)当121, 3d d ==时,将数列{}m d 分组如下:123456789(), (,,), (,,,,),d d d d d d d d d L (每组数的个数构成等差数列),设前m 组中所有数之和为4()(0)m m c c >,求数列{2}m c m d 的前n 项和n S 。 (3)设N 是不超过20的正整数,当n N >时,对于(2)中的n S ,求使得不等式1 (6)50 n n S d ->成立的所有N 的值。 8、数列}{n a 的通项公式为?? ? ? ?-=3sin 3cos 22 2 ππn n n a n ,其前n 项和为n S 。 (1)求n S ; (2)设n n n n S b 4 3?= ,求数列}{n b 的前n 项和n T 。 9、数列}{n a 满足}221221,2,(1cos )sin ,1,2,3,.22 n n n n n a a a a a n ππ+===++=L 满足。

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