武汉大学高数期末考试卷2002—2003年B卷

武汉大学高数期末考试卷2002—2003年B卷
武汉大学高数期末考试卷2002—2003年B卷

2002-2003年第一学期

※※※※※※高等数学(180学时)试题B 卷※※※※※※

一.填空题(每小题4分,共20分)

1.若()???

????<--≥+=.0,,0,2cos x x x a a x x x x f 有跳跃间断点0=x ,则.______=a

2.级数()∑∞=+02!

1n n n 的和为.________________________ 3.若 ()??

???=≠-+=.0,,0,12sin 2x a x x e x x f ax 在()+∞∞-,上连续,则.______=a 4.曲线()x y y =由参数方程?

??-=+=.2,923t t y t t x 确定,则曲线()x y y =在区间__________是下凸的.

5.级数()

()

n n n n -+-∑∞=111的敛散性为.__________ 二.计算下列各题(每小题5分,共20分)

1.求极限:.111lim 0??

? ??--+-→x e x x x 2.求极限:()()

33ln 3ln cos lim e e x x x x --+→ 3.求函数设x x x

x y -++--+=1111ln 的导函数.

4.设()x y y =由???=+-++=.

01sin ,3232y t e t t x y 所确定,求.|022=t dx y d

三.计算下列各题(每小题6分,共18分)

1.求.sin 5dx x ?

2.求1ln e

e xdx -?

3.求.arctan 13

?+∞

dx x x 四.(8分)求函数()32

52x x y -=在区间[]2,1-上最大值与最小值.

五.(8分)设函数()x ?在()+∞∞-,上连续,周期为1,且()?=10

0dx x ?,函数()x f 在[]1,0上有连续的导数.设()()?=10dx nx x f a n ?,证明:级数∑∞

=1

2n n a 收敛.

.

六.(10分)假设()x f 在[]1,0上连续,在()1,0内二阶可导,过点()()0,0f A 与

()()1,1f B 的直线与曲线()x f y =相交于点()()c f c C ,,

其中10<

七.(10分)曲线2

x

x e e y -+=与直线()0,0>==t t x x 及0=y 围成一曲边梯形,该曲边梯形绕x 轴旋转一周得一旋转体,其体积为()t V ,侧面积为()t S ,在t x =处的底面积为().t F

(1) 求()()

t V t S 的值.(2)计算极限()().lim t F t S t +∞→

八.(6分)证明:()2

3x e x x f -=为有界函数.

《高等数学》专科期末考试卷

遵章守纪考试诚信承诺书 在我填写考生信息后及签字之后,表示我已阅读和理解《XX 学院学生考试违规处理办法》有关规定,承诺在考试中自觉遵守该考场纪律,如有违规行为愿意接受处分;我保证在本次考试中,本人所提供的个人信息是真实、准确的。 承诺人签字: 数理部《高等数学》(专科)课程期末考试卷 2016——2017学年第二学期 闭卷 考试时间: 100分钟 任课教师: (统一命题的课程可不填写) 年级、专业、班级 学号 姓名 一、填空题(每小题3分,共15分) 1.设 2 1 ,1()1 ,1x x f x x a x ?-≠? =-??=?,)(x f 在1=x 处连续,则=a 。 2.已知()3 f x '=,则0 ( 2)() lim x f x x f x x ?→-?-= ? 。 3. 2 11x +是 () f x 的一个原函数,则()f x d x = ? 。 4.已知曲线ln y x =,求曲线点(,1)e 的切线方程 。 5.函数 ()ln f x x x =+在[1,]e 上满足拉格朗日中值定理的点ξ = 。 二、单项选择题(每小题3分,共15分) 1.函数2 11y x = -的定义域是( )。 A.(2,2)- B.[2,2]- C.[2,1)(1,2]--- D.[2,1) (1,1) (1,2] --- 2.设函数(,) z f x y =有一阶、二阶偏导数,则当( )时, 2 2 z z x y y x ??= ????。 A.函数(,) z f x y =连续 B.函数(,) z f x y =可微 C. ,z z x y ????连续 D.,x y y x z z ''''连续 3.若函数 () f x 在点0x 处满足 00()0,()0 f x f x '''=≠,则点0x 是曲线() y f x =的( )。 A.拐点 B.极大值点 C.极小值点 D.单调性不能确定 4.由曲线2 y x =,直线2,2,0 x x y =-==围成的屏幕图形的面积为( )。 A.22 x d x ? B.22 2 x d x -? C.40 y ? D.4 2y ? 5.以下方程中( )是一阶线性微分方程。 A.x y y e +'= B.x y y '= C.0 y x y y '''+ += D.ln y y x '- = 三、计算题(每小题6分,共54分) 1.1 1lim ( ) ln 1 x x x x →- - 2.22lim ( ) x x x x -→∞ -

2018最新大一高等数学期末考试卷(精编试题)及答案详解

大一高等数学期末考试卷(精编试题)及答案详解 一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1. )( 0),sin (cos )( 处有则在设=+=x x x x x f . (A )(0)2f '= (B )(0)1f '=(C )(0)0f '= (D )()f x 不可导. 2. )时( ,则当,设133)(11)(3→-=+-= x x x x x x βα. (A )()()x x αβ与是同阶无穷小,但不是等价无穷小; (B )()()x x αβ与是 等价无穷小; (C )()x α是比()x β高阶的无穷小; (D )()x β是比()x α高阶的无穷小. 3. 若 ()()()0 2x F x t x f t dt =-?,其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且 '>()0f x ,则( ). (A )函数()F x 必在0x =处取得极大值; (B )函数()F x 必在0x =处取得极小值; (C )函数()F x 在0x =处没有极值,但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点; (D )函数()F x 在0x =处没有极值,点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。 4. ) ( )( , )(2)( )(1 =+=?x f dt t f x x f x f 则是连续函数,且设 (A )2 2x (B )2 2 2x +(C )1x - (D )2x +. 二、填空题(本大题有4小题,每小题4分,共16分) 5. = +→x x x sin 20 ) 31(lim . 6. ,)(cos 的一个原函数是已知 x f x x =? ?x x x x f d cos )(则 . 7. lim (cos cos cos )→∞ -+++=2 2 2 21 n n n n n n π π ππ . 8. = -+? 2 12 12 211 arcsin - dx x x x . 三、解答题(本大题有5小题,每小题8分,共40分) 9. 设函数=()y y x 由方程 sin()1x y e xy ++=确定,求'()y x 以及'(0)y . 10. .d )1(17 7 x x x x ?+-求

武汉大学大一上学期高数期末考试题

高数期末考试 一、填空题(本大题有4小题,每小题4分,共16分) 1. ,)(cos 的一个原函数是已知 x f x x =??x x x x f d cos )(则 . 2. lim (cos cos cos )→∞ -+++=2 2 221 n n n n n n π π ππ . 3. = -+? 2 12 12 211 arcsin - dx x x x . 二、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共 16分) 4.  )时( ,则当,设133)(11)(3→-=+-= x x x x x x βα. (A )()()x x αβ与是同阶无穷小,但不是等价无穷小; (B )()()x x αβ与是等价无穷小; (C )()x α是比()x β高阶的无穷小; (D )()x β是比()x α高阶的无穷小. 5. ) ( 0),sin (cos )( 处有则在设=+=x x x x x f . (A )(0)2f '= (B )(0)1f '=(C )(0)0f '= (D )()f x 不可导. 6. 若 ()()()0 2x F x t x f t dt =-?,其中()f x 在区间上(1,1) -二阶可导且'>()0f x ,则( ). (A )函数()F x 必在0x =处取得极大值; (B )函数()F x 必在0x =处取得极小值; (C )函数()F x 在0x =处没有极值,但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点; (D )函数()F x 在0x =处没有极值,点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。 7. ) ( )( , )(2)( )(1 =+=?x f dt t f x x f x f 则是连续函数,且设 (A )2 2x (B )2 2 2x +(C )1x - (D )2x +. 8. 三、解答题(本大题有5小题,每小题8分,共40分) 9. 设函数=()y y x 由方程 sin()1x y e xy ++=确定,求'()y x 以及'(0)y . 10. .d )1(17 7 x x x x ?+-求 11. .  求,, 设?--?????≤<-≤=1 32 )(1020 )(dx x f x x x x xe x f x 12. 设函数)(x f 连续, =?1 ()()g x f xt dt ,且 →=0 ()lim x f x A x ,A 为常数. 求'()g x 并讨论'()g x 在 =0x 处的连续性. 13. 求微分方程2ln xy y x x '+=满足 =- 1(1)9y 的 解. 四、 解答题(本大题10分) 14. 已知上半平面内一曲线)0()(≥=x x y y ,过点(,)01, 且曲线上任一点M x y (,)00处切线斜率数值上等于此曲线与x 轴、y 轴、直线x x =0所围成面积的2倍与该点纵 坐标之和,求此曲线方程. 五、解答题(本大题10分) 15. 过坐标原点作曲线x y ln =的切线,该切线与曲线 x y ln =及x 轴围成平面图形D. (1) 求D 的面积A ;(2) 求D 绕直线x = e 旋转一周所 得旋转体的体积V . 六、证明题(本大题有2小题,每小题4分,共8分) 16. 设函数)(x f 在[]0,1上连续且单调递减,证明对任意的 [,]∈01q ,1 ()()≥??q f x d x q f x dx . 17. 设函数)(x f 在[]π,0上连续,且 )(0 =?π x d x f , cos )(0 =? π dx x x f .证明:在()π,0内至少存在两个 不同的点21,ξξ,使.0)()(21==ξξf f (提示:设 ?= x dx x f x F 0 )()()

大一高等数学期末考试试卷及答案详解

大一高等数学期末考试试卷 一、选择题(共12分) 1. (3分)若2,0, (),0x e x f x a x x ?<=?+>?为连续函数,则a 的值为( ). (A)1 (B)2 (C)3 (D)-1 2. (3分)已知(3)2,f '=则0 (3)(3) lim 2h f h f h →--的值为( ). (A)1 (B)3 (C)-1 (D) 12 3. (3分)定积分22 π π-?的值为( ). (A)0 (B)-2 (C)1 (D)2 4. (3分)若()f x 在0x x =处不连续,则()f x 在该点处( ). (A)必不可导 (B)一定可导(C)可能可导 (D)必无极限 二、填空题(共12分) 1.(3分) 平面上过点(0,1),且在任意一点(,)x y 处的切线斜率为23x 的曲线方程为 . 2. (3分) 1 241 (sin )x x x dx -+=? . 3. (3分) 20 1 lim sin x x x →= . 4. (3分) 3223y x x =-的极大值为 . 三、计算题(共42分) 1. (6分)求2 ln(15) lim .sin 3x x x x →+ 2. (6分)设2 ,1 y x =+求.y ' 3. (6分)求不定积分2ln(1).x x dx +?

4. (6分)求3 (1),f x dx -? 其中,1,()1cos 1, 1.x x x f x x e x ?≤? =+??+>? 5. (6分)设函数()y f x =由方程0 cos 0y x t e dt tdt +=??所确定,求.dy 6. (6分)设2()sin ,f x dx x C =+?求(23).f x dx +? 7. (6分)求极限3lim 1.2n n n →∞ ? ?+ ??? 四、解答题(共28分) 1. (7分)设(ln )1,f x x '=+且(0)1,f =求().f x 2. (7分)求由曲线cos 22y x x π π??=-≤≤ ???与x 轴所围成图形绕着x 轴 旋转一周所得旋转体的体积. 3. (7分)求曲线3232419y x x x =-+-在拐点处的切线方程. 4. (7 分)求函数y x =+[5,1]-上的最小值和最大值. 五、证明题(6分) 设()f x ''在区间[,]a b 上连续,证明 1()[()()]()()().22b b a a b a f x dx f a f b x a x b f x dx -''=++--? ? 标准答案 一、 1 B; 2 C; 3 D; 4 A. 二、 1 31;y x =+ 2 2 ;3 3 0; 4 0. 三、 1 解 原式205lim 3x x x x →?= 5分 5 3 = 1分 2 解 22ln ln ln(1),12 x y x x ==-++ 2分

高等数学C1-期末考试卷-A-(答案)

5 一、 单项选择题 1. D (解释:, 2. A (解释: 在 处连续 ,所以 必须存在, 也就是 在 处有定义。) 3. B (解释: ,可以这样理解: 。) 4. C ,见书P90。) 5. D 就是 ,定积分 是一个常数, 所以它的导数为0。 , 。 二、 填空题 1. 解:由的定义, 在 处连续,是指: ,也就是: 2. 解:先回顾导数的定义 看作 ,那么原极限可以变为: 计算两部分的极限,其中 所以答案为:。 3. 解:要求法线方程,可以先计算曲线在 处的导数(也就是切线斜率),法 线的导数是切线斜率的负倒数。 在点 出导数 ,代入 , 得到,所以法线的斜率为 。 4. 解:函数 的正负变化情况 所以极大值: 。5. 解:此题可先计算不定积分

计算定积分: 5

三、求解下列各题 1.解: 2.解: 3.解: 4.解: 5.解:先对原等式两侧求微分,得到: 整理后得到 再计算 即:,代入,并代入点 得到: 6.解: 5

5 7.解:可以令 , 代换原式得到: 8.解:第一步用凑微分的方法,就是 可知:当为最小 值。 边际成本函数为,代入。 2.解:此题需要列表讨论函数的一二阶导数,并计算渐进线。 首先计算: , 用使上面两式等于0: 1.是垂直渐进线; 2.由可知,是其水平渐进线; 3.无斜渐进线。 3.解:先计算,并作图

曲线的切线斜率为 方程则为,此线过原点,也就是说:代入 ,所以切线位于曲线的切点坐标为:。红色区域为所围成的区域,求此区域绕轴旋转一周形成的旋转体体积。 回顾:绕轴旋转一周的旋转体体积公式为: 但此题中不能直接使用该公式,原因是红色区域的上边界(不含轴)不构成一个函数。而应考虑为是一个圆锥体(在区间上绕轴形成)体积减去其中由抛物线在区间上绕轴形成的旋转体体积,即:五、证明题 证:构造函数,由条件可知:,且上连续,内可导,满足罗尔中值定理的使用条件,因此:必存在使得,而通过计算我们知道: 所以:,其中,所以. 5

(完整word版)同济大学版高等数学期末考试试卷

《高数》试卷1(上) 一.选择题(将答案代号填入括号内,每题3分,共30分). 1.下列各组函数中,是相同的函数的是( ). (A )()()2ln 2ln f x x g x x == 和 (B )()||f x x = 和 ( )g x =(C )()f x x = 和 ( )2 g x = (D )()|| x f x x = 和 ()g x =1 2.函数() 00x f x a x ≠=?? =? 在0x =处连续,则a =( ). (A )0 (B )1 4 (C )1 (D )2 3.曲线ln y x x =的平行于直线10x y -+=的切线方程为( ). (A )1y x =- (B )(1)y x =-+ (C )()()ln 11y x x =-- (D )y x = 4.设函数()||f x x =,则函数在点0x =处( ). (A )连续且可导 (B )连续且可微 (C )连续不可导 (D )不连续不可微 5.点0x =是函数4 y x =的( ). (A )驻点但非极值点 (B )拐点 (C )驻点且是拐点 (D )驻点且是极值点 6.曲线1 || y x = 的渐近线情况是( ). (A )只有水平渐近线 (B )只有垂直渐近线 (C )既有水平渐近线又有垂直渐近线 (D )既无水平渐近线又无垂直渐近线 7. 211 f dx x x ??' ???? 的结果是( ). (A )1f C x ?? -+ ??? (B )1f C x ?? --+ ??? (C )1f C x ?? + ??? (D )1f C x ?? -+ ??? 8. x x dx e e -+?的结果是( ). (A )arctan x e C + (B )arctan x e C -+ (C )x x e e C --+ ( D )ln()x x e e C -++ 9.下列定积分为零的是( ).

武大《高等数学》期末考试试题

2000~2001学年第二学期《 高等数学 》期末考试试题(180学时) 专业班级 学号_______________ 姓名 一、 已知一个二阶常系数线性齐次微分方程有相等的实根a ,试写出此微分方程及通解。 (8分) 二、 设幂级数∑∞=?0 )1(n n n x a 在x =3处发散,在x =1处收敛,试求出此幂级数的收敛半径。(8分) 三、 求曲面323 =+xz y x 在点(1,1,1)处的切平面方程和法线方程 。(10分) 四、 设)(,0x f x >为连续可微函数,且2)1(=f ,对0>x 的任一闭曲线L,有0)(43=+∫L dy x xf ydx x ,求)(x f 。 (10分) 五、 设曲线L (起点为A ,终点为B )在极坐标下的方程为36(,2sin πθπθ≤≤= r ,其中θ=6π 对应起点A ,3 π θ=对应终点B ,试计算∫+?L xdy ydx 。(10分) 六、 设空间闭区域Ω由曲面222y x a z ??=与平面0=z 围成,其中0>a ,Σ为Ω的 表面外侧,且假定Ω的体积V 已知,计算: ∫∫Σ=+?.)1(2222dxdy xyz z dzdx z xy dydz yz x 。(10分) 七、 函数),(y x z z =由0),(=z y y x F 所确定,F 具有连续的一阶偏导数,求dz 。 (12分) 八、 计算∫∫∫Ω +,)(22dxdydz y x 其中Ω是由平面z =2与曲面2222z y x =+所围成的闭区域。(12分) 九、 已知级数 ∑∞=1n n U 的部分和arctgn S n =,试写出该级数,并求其和,且判断级数∑∞=1n n tgU 的敛散性。(12分) 十、 设)(x f 连续,证明∫∫∫??=?A A D dt t A t f dxdy y x f |)|)(()(,其中A 为正常数。D :2||,2||A y A x ≤≤ 。(8分)

《高等数学B》本科期末考试试卷A卷

西南科技大学2013-2014-2学期《高等数学B2》本科期末考试试卷(A卷) 2、设y z x =,求dz=__________。

3、求曲线23,,x t y t z t ===在点(1,1,1)处的切线方程________。 4、求函数3u xy z =在点(1,1,2)-处的梯度__________。 5、设,αβ为有向曲线弧L 在点(,)x y 处的切向量的方向角,则平面曲线L 上的两类曲线积分的关系(________________)L L Pdx Qdy ds +=??。 三、解答题(1-2小题每题8分,3-8小题每题9分,共70分) 1、 求曲面22214x y z ++=上平行于平面2320x y z ++=的切平面方程。 2、 设2 2 (,),z f x y xy = -,其中 f 具有连续的二阶偏导数,求2z x y ???。 3、 求函数4242z x xy y =-+的极值。 4、 计算|1|D I x y dxdy =+-??,其中[0,1][0,1]D =?。 5、 把二次积分4 2200 )dx x y dy +?化为极坐标形式,并计算积分值。

1、解:令222(,,)14F x y z x y z =++-, 在点000(,,)P x y z 处的法向量为000(,,)n x y z =r 000 123 x y z k ===令 ,代入方程22214x y z ++=中可得1k =±---————--4分, 在点(1,2,3)处的切平面为2314x y z ++=-————----2分, 在点(-1,-2,-3)处的切平面为23140x y z +++=----————-2分。 2、解:122(3)z xf yf x ?'' =+?分。 3、解:3440,440x y z x y z x y =-==-+=求得驻点为(0,0),(1,1),(-1,-1)。(3分) 212,4,4xx xy yy A z x B z C z ====-==,在点(0,0)处2160AC B -=-<没有极值,(3分) 在点(1,1)和(-1,-1)处2320,0AC B A -=>>,所以有极小值(1,1) 1.z ±±=-(3分) 4、解: 5 、解3334 4cos 22 3 4 2 200 )64cos 12dx x y dy d r dr d π π θ θθθπ+===??? ?分 分 分 。 6、解:131 lim 3 31n n n n n ρ+→∞==+,所以收敛半径为3,收敛区间为323x -<-<,即15 x -<<(3分) 当5x =时1131 3n n n n n n ∞ ∞ ===∑∑g 发散(2 分),当1x =-时11(3)(1)3n n n n n n n ∞ ∞ ==--=∑∑ g 收敛,(2分) 因此原级数的收敛域为[1,5)-。(2分) 7、解:42332,4,24Q P P xy y Q x xy x y x y ??=-=-==-??,所以该曲线积分和积分路径无关。(4分) 11 4 2 3 30 (23)(4)314)=3L xy y dx x xy dy dx y dy -++-=+-???((5 分) 8、解:由高斯公式得22322 ()2=()xy dydz x y z dzdx xydxdy x y dxdy ∑ Ω +-++????? ò(4分) 由柱面坐标224 22300 28()3 r x y dxdydz d r dz π π θΩ +== ?????(5分)

高等数学期末考试题与答案(大一考试)

(2010至2011学年第一学期) 课程名称: 高等数学(上)(A 卷) 考试(考查): 考试 2008年 1 月 10日 共 6 页 1、 满分100分。要求卷面整洁、字迹工整、无错别字。 2、 考生必须将姓名、班级、学号完整、准确、清楚地填写在试卷规定的地方,否 则视为废卷。 3、 考生必须在签到单上签到,若出现遗漏,后果自负。 4、 如有答题纸,答案请全部写在答题纸上,否则不给分;考完请将试卷和答题卷 分别一同交回,否则不给分。 试 题 一、单选题(请将正确的答案填在对应括号内,每题3分,共15分) 1. =--→1 ) 1sin(lim 21x x x ( ) (A) 1; (B) 0; (C) 2; (D) 2 1 2.若)(x f 的一个原函数为)(x F ,则dx e f e x x )(? --为( ) (A) c e F x +)(; (B) c e F x +--)(; (C) c e F x +-)(; (D ) c x e F x +-) ( 3.下列广义积分中 ( )是收敛的. (A) ? +∞ ∞ -xdx sin ; (B)dx x ? -1 11; (C) dx x x ?+∞∞-+2 1; (D)?∞-0dx e x 。 4. )(x f 为定义在[]b a ,上的函数,则下列结论错误的是( ) (A) )(x f 可导,则)(x f 一定连续; (B) )(x f 可微,则)(x f 不一定

可导; (C) )(x f 可积(常义),则)(x f 一定有界; (D) 函数)(x f 连续,则? x a dt t f )(在[]b a ,上一定可导。 5. 设函数=)(x f n n x x 211lim ++∞→ ,则下列结论正确的为( ) (A) 不存在间断点; (B) 存在间断点1=x ; (C) 存在间断点0=x ; (D) 存在间断点1-=x 二、填空题(请将正确的结果填在横线上.每题3分,共18分) 1. 极限=-+→x x x 1 1lim 20 _____. 2. 曲线???=+=3 2 1t y t x 在2=t 处的切线方程为______. 3. 已知方程x xe y y y 265=+'-''的一个特解为x e x x 22 )2(2 1+- ,则该方程的通解为 . 4. 设)(x f 在2=x 处连续,且22 ) (lim 2=-→x x f x ,则_____)2(='f 5.由实验知道,弹簧在拉伸过程中需要的力F (牛顿)与伸长量s 成正比,即ks F =(k 为比例系数),当把弹簧由原长拉伸6cm 时,所作的功为_________焦耳。 6.曲线23 3 2 x y =上相应于x 从3到8的一段弧长为 . 三、设0→x 时,)(22 c bx ax e x ++-是比2 x 高阶的无穷小,求常数c b a ,,的值(6分)

武汉大学2019-2020第二学期高等数学A2期末试卷(A卷)

武汉大学2019-2020学年 第二学期期末《高等数学A2》考试试卷(A 卷) 一、试解下列各题(每小题5分,共50分)1.讨论二重极限00 11lim()sin x y x y x y →→+的存在性。2.设级数11()n n n a a ∞-=-∑收敛,1(0)n n n b b ∞=≥∑收敛,证明:1n n n a b ∞ =∑绝对收敛。 3.设(,,)u f x y z =有连续偏导数,函数(,)z z x y =由方程x y z xe ye ze -=所确定,函数()y y x =由0sin x y x t e dt t -=?确定,求du dx .4.设2[,()]z f x y xy ?=-,其中(,)f u v 具有二阶连续偏导数,)(u ?二阶可导,求y x z ???2.5.已知全微分()()y y xy x x y xy x y x f d 2d 2),(d 2222--+-+=,求),(y x f 的表达式。 6.设曲面方程为0),(=--by z ax z F (b a ,为正常数),(,)F u v 具有一阶连续的偏导数,且02 2≠+v u F F ,试证明此曲面上任一点处法线恒垂直于一常向量。7.求22(,)f x y x y y =++在区域222 22:4,12x D x y y +≤+≥上的平均值。8.求2(,,)F x y z yzi z k =+ 穿出曲面∑的通量,∑为柱面:221,0y z z +=≥被平面 0,1x x ==截下部分。9.计算积分333x dydz y dzdx z dxdy ∑ ++?? ,其中∑为球面:2222x y z R ++=的外侧。10.设∑ 为半球面z =(23)x y z dS ∑++??. 二、(10分)已知空间曲线Γ:22223620 x y z x y z ?+-=?--=?,且空间曲线Γ在xoy 坐标面的投影曲线为L ,若取L 为顺时针方向,求曲线积分22 223L ydx xdy x y -+?.三、(8分)考察两直线111: 213 x y z l +-==-和2:42,3,24l x t y t z t =+=-+=-,是否相交?如相交,求出其交点,如不相交,求出两直线之间的距离d . 四、(本题24分,其中(1)8分,(2)8分,(3)4分,(4)4分,)已知某座小山的表面形状曲面方程为2275z x y xy =--+,取它的底面所在的平面为xoy 坐标面。(1)设点00(,)M x y 为这座小山底部所占的区域D 内的一点,问高函数(,)h x y ,在该点沿平面

微积分期末测试题及答案

一 单项选择题(每小题3分,共15分) 1.设lim ()x a f x k →=,那么点x =a 是f (x )的( ). ①连续点 ②可去间断点 ③跳跃间断点 ④以上结论都不对 2.设f (x )在点x =a 处可导,那么0 ()(2) lim h f a h f a h h →+--=( ). ①3()f a ' ②2()f a ' ③()f a ' ④ 1()3f a ' 3.设函数f (x )的定义域为[-1,1],则复合函数f (sinx )的定义域为( ). ①(-1,1) ②, 2 2π π? ? - ???? ③(0,+∞) ④(-∞,+∞) 4.设2 ()()lim 1() x a f x f a x a →-=-,那么f (x )在a 处( ). ①导数存在,但()0f a '≠ ②取得极大值 ③取得极小值 ④导数不存在 5.已知0 lim ()0x x f x →=及( ),则0 lim ()()0x x f x g x →=. ①g (x )为任意函数时 ②当g (x )为有界函数时 ③仅当0 lim ()0x x g x →=时 ④仅当0 lim ()x x g x →存在时 二 填空题(每小题5分,共15分) 1.sin lim sin x x x x x →∞ -=+____________. 2.3 1lim (1) x x x +→∞ + =____________. 3.()f x = 那么左导数(0)f -'=____________,右导数(0)f +'=____________. 三 计算题(1-4题各5分,5-6题各10分,共40分) 1.1 11lim ( )ln 1 x x x →- - 2.t t x e y te ?=?=?,求2 2d y d x 3.ln (y x =+,求dy 和 2 2 d y d x . 4.由方程0x y e x y +-=确定隐函数y = f (x ) ,求d y d x . 5.设111 1,11n n n x x x x --==+ +,求lim n x x →∞ .

武汉大学2010-2011第一学期《高等数学B1》期末考试试题解

2010-2011第一学期《高等数学B1》期末考试试题解 一、计算题(7?8分) 1、求由方程ln()x y xy e +=确定的隐函数()y y x =的导数dy dx 。 2 、求x →3、求3002 0sin lim cos x x x t dt t dt →??。 4、求1242lim n n x x x n n n n →∞????????++++++ ? ? ???? ??????? 。 5 、求不定积分 。 6、求定积分2 0(1sin )x x dx π-?。 7、求方程22x y xy xe -'+=的通解。 8、设2(),lim ()0x x f x e f x -→+∞'==求20()x f x dx +∞?。 解、1、(1),x y x y x y y xy dy y xye e y xy dx xye x +++'+-'=+=-。 2 、 0000222184lim lim lim 111222 x x x x x x x →→→→??==== 3、330200 20sin sin lim lim 0cos cos x x x x t dt x x t dt →→==??。 4、101242lim (2)1n n x x x x t dt x n n n n →∞????????++++++=+=+ ? ? ???? ???????? 。 5 、) 2212(1)11ln ln 121x e t t u v v dt dv v v v C x C v ====--=+=-++?。

6、2222 00 (1sin )cos sin 128x x x dx x x x π ππ??-=+-=- ????。 7、222 2,,,,2Pdx x x P x Q xe Pdx x Qe dx -?====??通解:222x x y e C -??=+ ???。 8、2 344()()lim lim lim 0939x x x x x f x f x x e x -→+∞→+∞→+∞'==-=-,()22 3233000000()11()()333111(1)666 x x t t t x f x x f x dx x f x dx x e dx te dt t e +∞+∞ +∞+∞-=+∞+∞--'=-=-=-=---=-????。 二、(7分)证明当02x π<<时2sin x x π >。 证、记sin ()12x f x x π=-。2(cos sin )()2x x x f x x π-'=。记()c o s s i n g x x x x =-。()sin 0(0)2g x x x x π'=-<<<,()g x 在02 x π≤≤严格单调下降。()(0)0,()0(0)2g x g f x x π'<=<<<。()f x 在02x π≤≤严格单调下降。()0(0)22f x f x ππ??>=<< ???。故当02x π<<时2sin x x π>。 三、(10分)设抛物线2y ax bx c =++过原点,当01x ≤≤时0y ≥,又已知该抛物线与x 轴及直线1x =所围成图形的面积为 13 。试确定,,a b c 使此图形绕x 轴旋转一周而成的旋转体的体积V 最小。 解、由抛物线2 y ax bx c =++过原点得0c =。 120 ()32a b A ax bx dx =+=+?。令13A =得223a b -=。 2222120224(1)4()()352712a a a a a V a ax x dx ππ??---??=+=++ ? ????? ?。 28(1)12()5 273a a a V a π--??'=-+ ???。()V a 有唯一聚点54a =-。根据问题的实际,54a =-时旋转体的体积V 最小。 53,,042 a b c =-==。

大一高等数学期末考试试卷及答案详解

大一高等数学期末考试试卷 (一) 一、选择题(共12分) 1. (3分)若2,0, (),0 x e x f x a x x ?<=?+>?为连续函数,则a 的值为( ). (A)1 (B)2 (C)3 (D)-1 2. (3分)已知(3)2,f '=则0 (3)(3) lim 2h f h f h →--的值为( ). (A)1 (B)3 (C)-1 (D) 12 3. (3 分)定积分22 π π -?的值为( ). (A)0 (B)-2 (C)1 (D)2 4. (3分)若()f x 在0x x =处不连续,则()f x 在该点处( ). (A)必不可导 (B)一定可导(C)可能可导 (D)必无极限 二、填空题(共12分) 1.(3分) 平面上过点(0,1),且在任意一点(,)x y 处的切线斜率为23x 的曲线方程为 . 2. (3分) 1 2 4 1(sin )x x x dx -+=? . 3. (3分) 2 1lim sin x x x →= . 4. (3分) 3 2 23y x x =-的极大值为 . 三、计算题(共42分) 1. (6分)求2 ln(15)lim .sin 3x x x x →+ 2. (6 分)设1 y x = +求.y ' 3. (6分)求不定积分2ln(1).x x dx +?

4. (6分)求3 (1),f x dx -? 其中,1,()1cos 1, 1.x x x f x x e x ? ≤? =+??+>? 5. (6分)设函数()y f x =由方程0 cos 0y x t e dt tdt + =?? 所确定,求.dy 6. (6分)设2()sin ,f x dx x C =+?求(23).f x dx +? 7. (6分)求极限3lim 1.2n n n →∞? ?+ ?? ? 四、解答题(共28分) 1. (7分)设(ln )1,f x x '=+且(0)1,f =求().f x 2. (7分)求由曲线cos 2 2y x x π π?? =- ≤≤ ?? ? 与x 轴所围成图形绕着x 轴旋转一周所得旋 转体的体积. 3. (7分)求曲线3232419y x x x =-+-在拐点处的切线方程. 4. (7 分)求函数y x =+[5,1]-上的最小值和最大值. 五、证明题(6分) 设()f x ''在区间[,]a b 上连续,证明 1()[()()]()()().2 2 b b a a b a f x dx f a f b x a x b f x dx -''= ++ --? ? (二) 一、 填空题(每小题3分,共18分) 1.设函数()2 312 2 +--= x x x x f ,则1=x 是()x f 的第 类间断点. 2.函数()2 1ln x y +=,则= 'y . 3. =? ? ? ??+∞→x x x x 21lim . 4.曲线x y 1 = 在点?? ? ??2,21处的切线方程为 .

武汉大学2008级数学物理方程试题

武汉大学2009 —2010 学年度第 一 学期 《数学物理方法》试卷(A ) 学院 专业 班 学号 姓名 分数 一.求解下列各题(10分×4=40分) 1.一条弦绳被张紧于点(0,0)与(1,0)两端之间,固定其两端,把它拉成x A πsin 的形状之后,由静止状态被释放而作自由振动。写出此物理问题的定解问题,并写出本征值和本征函数。 2.写出一维无界波动问题的达朗贝尔公式,利用达朗贝尔公式求解一维无界波动问题 ???????==>+∞<<-∞=-==x u x u t x u u t t t xx tt sin cos )0,(0200 并画出t =2时的波形。 3.定解问题???????==+==><<=-====2 ,sin 1,)0,0(000202t t t l x x xx tt u x u t u t u t l x u a u ,若要使边界条件齐次化,求其辅助函数,并写出边界条件齐次化后相应的定解问题。 4.计算积分?-=1 12)(dx x P x I l 二.(本题15分)用分离变量法求定解问题 ???? ?????===><<=-===x l u u u t l x Du u t l x x x x xx t π2cos 0 )0,0(000 三.(本题15分)有一内半径为a ,外半径为2a 的均匀球壳,其内、外表面的温度分 布分别保持为零和θcos ,试求此均匀球壳的稳定温度分布。

四.(本题15分)计算和证明下列各题: (1) (10分) dx x J x I ?=)(03 (将计算结果中的贝塞尔函数化为零阶和一阶的,因为工程上有零阶、一阶贝塞尔函数表可查。) (2) (5分)利用递推关系证明: )(1)()('0''02x J x x J x J -= 五.(本题15分)设有一长为l 的圆柱,其半径为R 。若圆柱的侧面及下底面(0=z )接地,而上底面(l z =)保持电势分布为f (ρ)。1)写出该圆柱的电势分布的定解问题;2)本征值和本征值函数;3)定解问题的通解。 参考公式 .

期末高等数学(上)试题及答案

第一学期期末高等数学试卷 一、解答下列各题 (本大题共16小题,总计80分) 1、(本小题5分) 求极限 lim x x x x x x →-+-+-2332121629124 2、(本小题5分) .d )1(22x x x ?+求 3、(本小题5分) 求极限lim arctan arcsin x x x →∞?1 4、(本小题5分) ? -.d 1x x x 求 5、(本小题5分) .求dt t dx d x ?+2 021 6、(本小题5分) ??.d csc cot 46x x x 求 7、(本小题5分) .求?ππ 2 1 21cos 1dx x x 8、(本小题5分) 设确定了函数求.x e t y e t y y x dy dx t t ==?????=cos sin (),22 9、(本小题5分) . 求dx x x ?+3 01 10、(本小题5分) 求函数 的单调区间y x x =+-422 11、(本小题5分) .求? π +2 02sin 8sin dx x x 12、(本小题5分) .,求设 dx t t e t x kt )sin 4cos 3()(ωω+=- 13、(本小题5分) 设函数由方程所确定求.y y x y y x dy dx =+=()ln ,226 14、(本小题5分) 求函数的极值y e e x x =+-2 15、(本小题5分) 求极限lim ()()()()()()x x x x x x x →∞++++++++--121311011011112222 16、(本小题5分) .d cos sin 12cos x x x x ? +求 二、解答下列各题 (本大题共2小题,总计14分)

武汉大学大一上学期高数期末考试题

高数期末考 试 一、填空题(本大题有4小题,每小题4分,共16分) 1. ,)(cos 的一个原函数是已知 x f x x =??x x x x f d cos )(则 . 2. lim (cos cos cos )→∞-+++=2 2 221 n n n n n n π π ππ . 3. = -+? 2 1 2 12 211 arcsin -dx x x x . 二、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 4.  )时( ,则当,设133)(11)(3→-=+-=x x x x x x βα. (A )()()x x αβ与是同阶无穷小,但不是等价无穷小; (B )()()x x αβ与是等价无穷小; (C )()x α是比()x β高阶的无穷 小; (D )()x β是比()x α高阶的无穷小. 5. )(0),sin (cos )( 处有则在设=+=x x x x x f . (A )(0)2f '= (B )(0)1 f '=(C )(0)0f '= (D )()f x 不可导. 6. 若()()()02x F x t x f t dt =-? ,其 中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导 且'>()0f x ,则( ). (A )函数()F x 必在0x =处取得极大值; (B )函数()F x 必在0x =处取得极小值; (C )函数()F x 在0x =处没有极值,但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐 点; (D )函数()F x 在0x =处没有极 值,点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的 拐点。 7. (2)( )(1 +=?t f x x f x f 是连续函数,且设(A )2 2 x (B )2 2 2x +(C )1x - (D )2x +. 8. 三、解答题(本大题有5小题, 每小题8分,共40分) 9. 设函数=()y y x 由方程 sin()1x y e xy ++=确定,求'() y x 以及 '(0)y . 10. .d )1(177 x x x x ?+-求 11.  求,, 设?- -?????≤<-≤=1 2 1020)(x x x x xe x f x 12. 设函数)(x f 连续, =?1 0()()g x f xt dt ,且→=0()lim x f x A x ,A 为常数. 求'()g x 并讨论'()g x 在=0x 处的连续性. 13. 求微分方程2ln xy y x x '+=满足

同济大学版高等数学期末考试试卷

《高数》试卷1(上) 一.选择题(将答案代号填入括号内,每题 分,共 ?分) .下列各组函数中,是相同的函数的是( ) (?)()()2ln 2ln f x x g x x == 和 ( )()||f x x = 和 ( )g x = ( )()f x x = 和 ( )2 g x = ( )()|| x f x x = 和 ()g x = .函数( )() 20ln 10 x f x x a x ≠=+?? =? 在0x =处连续,则a = ( ) (?) ( ) 1 4 ( ) ( ) .曲线ln y x x =的平行于直线10x y -+=的切线方程为( ) (?)1y x =- ( )(1)y x =-+ ( )()()ln 11y x x =-- ( ) y x = .设函数()||f x x =,则函数在点0x =处( ) (?)连续且可导 ( )连续且可微 ( )连续不可导 ( )不连续不可微 .点0x =是函数4 y x =的( ) (?)驻点但非极值点 ( )拐点 ( )驻点且是拐点 ( )驻点且是极值点

.曲线1 || y x = 的渐近线情况是( ) (?)只有水平渐近线 ( )只有垂直渐近线 ( )既有水平渐近线又有垂直渐近线 ( )既无水平渐近线又无垂直渐近线 . 211 f dx x x ??' ???? 的结果是( ) (?)1f C x ?? -+ ??? ( )1f C x ?? --+ ??? ( )1f C x ?? + ??? ( )1f C x ?? -+ ??? . x x dx e e -+?的结果是( ) (?)arctan x e C + ( )arctan x e C -+ ( )x x e e C --+ ( ) ln()x x e e C -++ .下列定积分为零的是( ) (?)424arctan 1x dx x π π-+? ( )44 arcsin x x dx ππ-? ( )112x x e e dx --+? ( )()1 2 1 sin x x x dx -+? ?.设()f x 为连续函数,则 ()1 2f x dx '?等于( ) (?)()()20f f - ( )()()11102f f -????( )()()1 202f f -????( )()()10f f - 二.填空题(每题 分,共 ?分) .设函数()21 00x e x f x x a x -?-≠? =??=? 在0x =处连续,则a = .已知曲线()y f x =在2x =处的切线的倾斜角为5 6 π,则()2f '= .21 x y x =-的垂直渐近线有条 . ()21ln dx x x = +?

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