2013高考数学一轮复习_第一篇集合与常用逻辑用语第2讲_命题及其关系、充分条件与必要条件教案

2013高考数学一轮复习_第一篇集合与常用逻辑用语第2讲_命题及其关系、充分条件与必要条件教案
2013高考数学一轮复习_第一篇集合与常用逻辑用语第2讲_命题及其关系、充分条件与必要条件教案

第2讲命题及其关系、充分条件与必要条件

【2013年高考会这样考】

1.考查四种命题的意义及相互关系.

2.考查对充分条件、必要条件、充要条件等概念的理解.

3.考查题型主要以选择题、填空题形式出现,常与集合、几何等知识结合命题.

【复习指导】

复习时一定要紧扣概念,联系具体数学实例,理清命题之间的相互关系,重点解决:(1)命题的概念及命题构成;(2)四种命题及四种命题间的相互关系;(3)充分条件、必要条件、充要条件的概念的理解及判

定.

基础梳理

1.命题的概念

在数学中用语言、符号或式子表达的,可以判断真假的陈述句叫做命题.其中判断为真的语句叫真命题,判断为假的语句叫假命题.

2.四种命题及其关系

(1)四种命题

(2)四种命题间的逆否关系

(3)四种命题的真假关系

①两个命题互为逆否命题,它们有相同的真假性;

②两个命题互为逆命题或互为否命题,它们的真假性没有关系.

3.充分条件、必要条件与充要条件

(1)如果p?q,则p是q的充分条件,q是p的必要条件;

(2)如果p?q,q?p,则p是q的充要条件.

一个区别

否命题与命题的否定是两个不同的概念:①否命题是将原命题的条件否定作为条件,将原命题的结论否定作为结论构造的一个新的命题;②命题的否定只是否定命题的结论,常用于反证法.

两条规律

(1)逆命题与否命题互为逆否命题;

(2)互为逆否命题的两个命题同真假.

三种方法

充分条件、必要条件的判断方法

(1)定义法:直接判断“若p则q”、“若q则p”的真假.并注意和图示相结合,例如“p?q”为真,则p是q的充分条件.

(2)等价法:利用p?q与綈q?綈p,q?p与綈p?綈q,p?q与綈q?綈p的等价关系,对于条件或结论是否定式的命题,一般运用等价法.

(3)集合法:若A?B,则A是B的充分条件或B是A的必要条件;若A=B,则A是B的充要条件.

双基自测

1.(人教A版教材习题改编)以下三个命题:①“a>b”是“a2>b2”的充分条件;②“|a|>|b|”是“a2>b2”的必要条件;③“a>b”是“a+c>b+c”的充要条件.其中真命题的序号是________.

解析①由2>-3?/ 22>(-3)2知,该命题为假;

②a2>b2?|a|2>|b|2?|a|>|b|,该命题为真;

③a>b?a+c>b+c,又a+c>b+c?a>b;

∴“a>b”是“a+c>b+c”的充要条件为真命题.

答案②③

2.(2011·陕西)设a,b是向量,命题“若a=-b,则|a|=|b|”的逆命题是( ).

\A.若a≠-b,则|a|≠|b| B.若a=-b,则|a|≠|b|

C.若|a|≠|b|,则a≠-b D.若|a|=|b|,则a=-b

解析“若a=-b,则|a|=|b|”的逆命题是“若|a|=|b|,则a=-b”.

答案 D

3.(2011·山东)对于函数y=f(x),x∈R,“y=|f(x)|的图象关于y轴对称”是“y=f(x)是奇函数”的( ).

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

解析若y=f(x)是奇函数,则f(-x)=-f(x),

∴|f(-x)|=|-f(x)|=|f(x)|,

∴y=|f(x)|的图象关于y轴对称,但若y=|f(x)|的图象关于y轴对称,如y=f(x)=x2,而它不是奇函数,故选B.

答案 B

4.(2011·安徽)命题“所有能被2整除的整数都是偶数”的否定是( ).

A.所有不能被2整除的整数都是偶数

B.所有能被2整除的整数都不是偶数

C.存在一个不能被2整除的整数是偶数

D.存在一个能被2整除的整数不是偶数

解析原命题是全称命题,则其否定是特称命题,故选D.

答案 D

5.命题“若a>b,则2a>2b-1”的否命题为 .

答案若a≤b,则有2a≤2b-1

考向一命题正误的判断

【例1】?(2011·海南三亚)设集合A、B,有下列四个命题:

①A B?对任意x∈A都有x?B;

②A B?A∩B=?;

③A B?B A;

④A B?存在x∈A,使得x?B.

其中真命题的序号是______(把符合要求的命题序号都填上).

[审题视点] 对于假命题,举出恰当的反例是一难点.

解析①不正确,如A={1,2,3},B={2,3,4},有A B但2∈A且2∈B.

②不正确,如A={1,2},B={2,3},有A B而A∩B={2}.

③不正确,如A={1,2},B={2},有A B但B?A.

④正确.

答案④

正确的命题要有充分的依据,不一定正确的命题要举出反例,这是最基本的数学思

维方式,也是两种不同的解题方向,有时举出反例可能比进行推理论证更困难,二者同样重要.

【训练1】 给出如下三个命题:

①四个非零实数a ,b ,c ,d 依次成等比数列的充要条件是ad =bc ; ②设a ,b ∈R ,且ab ≠0,若a b <1,则b a

>1; ③若f (x )=log 2x ,则f (|x |)是偶函数. 其中不正确命题的序号是( ). A .①②③ B .①② C .②③

D .①③

解析 对于①,可举反例:如a ,b ,c ,d 依次取值为1,4,2,8,故①错;对于②,可举反例:如a 、b 异号,虽然a b <1,但b a

<0,故②错;对于③,y =f (|x |)=log 2|x |,显然为偶函数,故选B. 答案 B

考向二 四种命题的真假判断

【例2】?已知命题“若函数f (x )=e x -mx 在(0,+∞)上是增函数,则m ≤1”,则下列结论正确的是( ).

A .否命题是“若函数f (x )=e x -mx 在(0,+∞)上是减函数,则m >1”,是真命题

B .逆命题是“若m ≤1,则函数f (x )=e x -mx 在(0,+∞)上是增函数”,是假命题

C .逆否命题是“若m >1,则函数f (x )=e x -mx 在(0,+∞)上是减函数”,是真命题

D .逆否命题是“若m >1,则函数f (x )=e x

-mx 在(0,+∞)上不是增函数”,是真命题 [审题视点] 分清命题的条件和结论,理解四种命题间的关系是解题关键.

解析 f ′(x )=e x -m ≥0在(0,+∞)上恒成立,即m ≤e x 在(0,+∞)上恒成立,故m ≤1,这说明原命题正确,反之若m ≤1,则f ′(x )>0在(0,+∞)上恒成立,故逆命题正确,但对增函数的否定不是减函数,而是“不是增函数”,故选D. 答案 D

判断四种形式的命题真假的基本方法是先判断原命题的真假,再判断逆命题的真

假,然后根据等价关系确定否命题和逆否命题的真假.如果原命题的真假不好判断,那就首先判断其逆否命题的真假.

【训练2】 已知命题“函数f (x )、g (x )定义在R 上,h (x )=f (x )·g (x ),如果f (x )、g (x )均为奇函数,则h (x )为偶函数”的原命题、逆命题、否命题、逆否命题中正确命题的个数是( ).

A .0

B .1

C .2

D .3

解析 由f (x )、g (x )均为奇函数,可得h (x )=f (x )·g (x )为偶函数,反之则不成立,如h (x )=x 2

是偶函数,但函数f (x )=x 2

e x ,g (x )=e x

都不是奇函数,故逆命题不正确,故其否命题也不

正确,即只有原命题和逆否命题正确. 答案 C

考向三 充要条件的判断

【例3】?指出下列命题中,p 是q 的什么条件(在“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”中选出一种作答). (1)在△ABC 中,p :∠A =∠B ,q :sin A =sin B ; (2)对于实数x 、y ,p :x +y ≠8,q :x ≠2或y ≠6; (3)非空集合A 、B 中,p :x ∈A ∪B ,q :x ∈B ; (4)已知x 、y ∈R ,p :(x -1)2+(y -2)2=0,

q :(x -1)(y -2)=0.

[审题视点] 结合充分条件,必要条件的定义判断所给命题间的关系.

解 (1)在△ABC 中,∠A =∠B ?sin A =sin B ,反之,若sin A =sin B ,因为A 与B 不可能互补(因为三角形三个内角和为180°),所以只有A =B .故p 是q 的充要条件.

(2)易知,綈p :x +y =8,綈q :x =2且y =6,显然綈q ?綈p ,但綈p ?/ 綈q ,即綈q 是綈p 的充分不必要条件,根据原命题和逆否命题的等价性知,p 是q 的充分不必要条件. (3)显然x ∈A ∪B 不一定有x ∈B ,但x ∈B 一定有x ∈A ∪B ,所以p 是q 的必要不充分条件. (4)条件p :x =1且y =2,条件q :x =1或y =2, 所以p ?q 但q ?/ p ,故p 是q 的充分不必要条件.

判断p 是q 的什么条件,需要从两方面分析:一是由条件p 能否推得条件q ,二是

由条件q 能否推得条件p .对于带有否定性的命题或比较难判断的命题,除借助集合思想把抽象、复杂问题形象化、直观化外,还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性,转化为判断它的等价命题.

【训练3】 (2010·山东)设{a n }是首项大于零的等比数列,则“a 1<a 2”是“数列{a n }是递增数列”的( ). A .充分而不必要条件 B .必要而不充分条件 C .充分必要条件

D .既不充分也不必要条件

解析 a 1<a 2且a 1>0,则a 1(1-q )<0,a 1>0且q >1,则数列{a n }递增;反之亦然. 答案:C

难点突破2——高考中充要条件的求解

从近几年课改区高考试题可以看出,高考主要以选择题或填空题的形式对充分条件、必要条件内容进行考查,一般难度不大,属中档题,常与不等式、数列、向量、三角函数、导数、立体几何等内容结合考查.考查形式主要有两种:一是判断指定的条件与结论之间的关系;二是探求某结论成立的充要条件、充分不必要条件或必要不充分条件.

判断充分、必要条件要从两方面考虑:一是必须明确哪个是条件,哪个是结论;二是看由条件推出结论和由结论推出条件哪个成立,该类问题虽然属于容易题,但有时会因颠倒条件与结论或因忽视某些隐含条件等细节而失分.

一、充要条件与不等式的解题策略

【示例】?(2011·天津)设x,y∈R,则“x≥2且y≥2”是“x2+y2≥4”的( ).

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

二、充要条件与方程结合的解题策略

【示例】?(2011·陕西)设n∈N*,一元二次方程x2-4x+n=0有整数根的充要条件是n=________.

三、充要条件与数列结合的解题策略

【示例】?(2010·山东)设{a n}是等比数列,则“a1<a2<a3”是“数列{a n}是递增数列”的( ).

A.充分而不必要条件

B.必要而不充分条件

C.充分必要条件

D.既不充分也不必要条件

四、充要条件与向量结合的解题策略

【示例】?(2010·福建)若向量a=(x,3)(x∈R),则“x=4”是“|a|=5”的( ).A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C .充要条件

D .既不充分又不必要条件

五、充要条件与三角函数结合的解题策略 【示例】? (2010·上海)“x =2k π+π

4

(k ∈Z )”是“tan x =1”成立的( ). A .充分不必要条件

B .必要不充分条件

C .充要条件

D .既不充分也不必要条件

高中数学必修一集合的基本运算教案

数学汇总 第一章 集合与函数概念 教学目的:(1)理解两个集合的并集与交集的的含义,会求两个简单集合的并集与交集; (2)理解在给定集合中一个子集的补集的含义,会求给定子集的补集; (3)能用Venn 图表达集合的关系及运算,体会直观图示对理解抽象概念的作用。 教学重点:集合的交集与并集、补集的概念; 教学难点:集合的交集与并集、补集“是什么”,“为什么”,“怎样做”; 【知识点】 1. 并集 一般地,由所有属于集合A 或属于集合B 的元素所组成的集合,称为集合A 与B 的并集(Union ) 记作:A ∪B 读作:“A 并B ” 即: A ∪B={x|x ∈A ,或x ∈B} Venn 图表示: 说明:两个集合求并集,结果还是一个集合,是由集合A 与B 的所有元素组成的集合(重复元素只看成一个元素)。 说明:连续的(用不等式表示的)实数集合可以用数轴上的一段封闭曲线来表示。 问题:在上图中我们除了研究集合A 与B 的并集外,它们的公共部分(即问号部分)还应是我们所关心的,我们称其为集合A 与B 的交集。 2. 交集 一般地,由属于集合A 且属于集合B 的元素所组成的集合,叫做集合A 与B 的交集(intersection )。 记作:A ∩B 读作:“A 交B ” 即: A ∩B={x|∈A ,且x ∈B} 交集的Venn 图表示 说明:两个集合求交集,结果还是一个集合,是由集合A 与B 的公共元素组成的集合。 拓展:求下列各图中集合A 与B 的并集与交集 A B A(B) A B B A A ∪B B A ?

说明:当两个集合没有公共元素时,两个集合的交集是空集,不能说两个集合没有交集 3. 补集 全集:一般地,如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素,那么就称这个集合为全集(Universe ),通常记作U 。 补集:对于全集U 的一个子集A ,由全集U 中所有不属于集合A 的所有元素组成的集合称为集合A 相对于全集U 的补集(complementary set ),简称为集合A 的补集, 记作:C U A 即:C U A={x|x ∈U 且x ∈A} 补集的Venn 图表示 A U C U A 说明:补集的概念必须要有全集的限制 4. 求集合的并、交、补是集合间的基本运算,运算结果仍然还是集合,区分交集与并集的关键是“且” 与“或”,在处理有关交集与并集的问题时,常常从这两个字眼出发去揭示、挖掘题设条件,结合Venn 图或数轴进而用集合语言表达,增强数形结合的思想方法。 5. 集合基本运算的一些结论: A ∩ B ?A ,A ∩B ?B ,A ∩A=A ,A ∩?=?,A ∩B=B ∩A A ?A ∪B ,B ?A ∪B ,A ∪A=A ,A ∪?=A,A ∪B=B ∪A ( C U A )∪A=U ,(C U A )∩A=? 若A ∩B=A ,则A ?B ,反之也成立 若A ∪B=B ,则A ?B ,反之也成立 若x ∈(A ∩B ),则x ∈A 且x ∈B 若x ∈(A ∪B ),则x ∈A ,或x ∈B ¤例题精讲: 【例1】设集合,{|15},{|39},,()U U R A x x B x x A B A B ==-≤≤=<< 求e. 解:在数轴上表示出集合A 、B ,如右图所示: {|35}A B x x =<≤ , (){|1,9U C A B x x x =<-≥ 或, 【例2】设{|||6}A x Z x =∈≤,{}{}1,2,3,3,4,5,6B C ==,求: (1)()A B C ; (2)()A A B C e. 解:{}6,5,4,3,2,1,0,1,2,3,4,5,6A =------ . (1)又{}3B C = ,∴()A B C = {}3; (2)又{}1,2,3,4,5,6B C = , A B B A -1 3 5 9 x

高考数学集合复习知识点

高考数学集合复习知识点 通过观察历年高考数学卷子,高考数学集合一般出现在选择题或者填空题,为了 稳拿这些分数,应该具备哪些知识点?下面由小编为大家整理有关高考数学集合复习知识点的资料,希望对大家有所帮助! 高考数学集合复习知识点 1、集合的概念 集合是数学中最原始的不定义的概念,只能给出,描述性说明:某些制定的且不 同的对象集合在一起就称为一个集合。组成集合的对象叫元素,集合通常用大写字母A、B、C、…来表示。元素常用小写字母a、b、c、…来表示。 集合是一个确定的整体,因此对集合也可以这样描述:具有某种属性的对象的全 体组成的一个集合。 2、元素与集合的关系 元素与集合的关系有属于和不属于两种:元素a属于集合A,记做a∈A;元素a 不属于集合A,记做a?A。 3、集合中元素的特性 (1)确定性:设A是一个给定的集合,x是某一具体对象,则x或者是A的元素, 或者不是A的元素,两种情况必有一种且只有一种成立。例如A={0,1,3,4},可知0∈A,6?A。 (2)互异性:“集合张的元素必须是互异的”,就是说“对于一个给定的集合,它的任 何两个元素都是不同的”。 (3)无序性:集合与其中元素的排列次序无关,如集合{a,b,c}与集合{c,b,a}是同一 个集合。 4、集合的分类 集合科根据他含有的元素个数的多少分为两类: 有限集:含有有限个元素的集合。如“方程3x+1=0”的解组成的集合”,由“2,4,6,8, 组成的集合”,它们的元素个数是可数的,因此两个集合是有限集。 无限集:含有无限个元素的集合,如“到平面上两个定点的距离相等于所有点”“所 有的三角形”,组成上述集合的元素不可数的,因此他们是无限集。 特别的,我们把不含有任何元素的集合叫做空集,记错F,如{x?R|+1=0}。

【百汇大课堂】高考数学总复习 1-1集合课下作业(一) 新课标

课下作业(一) 集 合 一、选择题 1.(2010年陕西卷)(理)集合A ={x |-1≤x ≤2},B ={x |x <1},则A ∩(?R B )=( ) A .{x |x >1} B .{x |x ≥1} C .{x |1<x ≤2} D .{x |1≤x ≤2} 解析:选D.A ∩(?R B )=[-1,2]∩[1,+∞)=[1,2],选D. 2.已知集合A ={x |x 2+x -6=0},B ={x |mx +1=0},若B A ,则实数m 的取值集合M 是( ) A .{-12,0,13 } B .{0,1} C .{-12,13 } D .{0} 解析:选A.由x 2+x -6=0得x =2或x =-3, ∴A ={2,-3}. 又∵B A ,∴当m =0时,B =?,满足条件; 当m ≠0时,B ={-1m },∴-1m =2或-1m =-3, 即m =-12或m =13 . 3.(2010年广东卷)在集合{a ,b ,c ,d }上定义两种运算⊕和?如下: 那么d ?(a ⊕c )=( ) A .a B .b C .c D .d 解析:选A.由图表可知a ⊕c =c ,d ?(a ⊕c )=d ?c =a ,故选A. 4.(2011届东北师大附中模拟)设全集U 是实数集R ,M ={x |x 2 >4},N ={x |x ≥3或x <1}都是U 的子集,则图中阴影部分所表示的集合是( )

A .{x |-2≤x <1} B .{x |-2≤x ≤2} C .{x |1<x ≤2} D .{x |x <2} 解析:选A.图中阴影部分表示N ∩(?U M ), ∵M ={x |x 2 >4}={x |x >2或x <-2} ∴?U M ={x |-2≤x ≤2},∴N ∩(?U M )={x |-2≤x <1}. 5.(2012年金榜预测)设集合A ={x |(x +3)(x -4)≤0},集合B ={x |m -1≤x ≤3m -2},若A ∩B =B ,则实数m 的取值范围为( ) A .{m |m ≤-2} B .{m |12≤m ≤2} C .{m |m ≤2} D .{m |m ≥2} 解析:选C.A ={x |-3≤x ≤4},由A ∩B =B ,得B ?A , ①若B ≠?, 结合数轴得????? m -1≥-3m -1≤3m -2 3m -2≤4?????? m ≥-2m ≥12m ≤2?12≤m ≤2. ②若B =?,A ∩B =B 一定成立,此时,m -1>3m -2,即m <12. 由①和②得实数m 的取值范围为{m |m ≤2}. 二、填空题 6.(2010年江苏卷)设集合A ={-1,1,3},B ={a +2,a 2 +4},A ∩B ={3},则实数a 的值为________. 解析:因为A ∩B ={3},所以当a 2+4=3时,a 2=-1无意义.当a +2=3,即a =1时,B ={3,5},此时A ∩B ={3}.故a =1. 答案:1 7.已知集合A ={(0,1),(1,1),(-1,2)},B ={(x ,y )|x +y -1=0,x 、y ∈Z },则A ∩B =________. 解析:A 、B 都表示点集,A ∩B 即是由A 中在直线x +y -1=0上的所有点组成的集合,代入验证即可.但本题要注意列举法的规范书写. 答案:{(0,1),(-1,2)} 8.设A 是整数集的一个非空子集,对于k ∈A ,如果k -1?A ,且k +1?A ,那么称k 是A

2013届高考数学第一轮专题复习测试卷 第一讲 坐标系

第一讲 坐标系 一?选择题:(本大题共6小题,每小题6分,共36分,将正确答案的代号填在题后的括号内.) 1.点M 的直角坐标为 ),则它的球坐标为( ) 5.2,,.2,,444453.2,,.2,,4444A B C D ππππππππ???? ? ????? ???? ? ????? 解析 :2,1,tan 0,tan 02,x 0. 4 11,,1 5.4 r y x ??θ?θπθππ θ=== === <-=-= <= =由≤≤得又≤所以 答案:B 2.在平面直角坐标系中,以(1,1)为圆心 为半径的圆在以直角坐标系的原点为极点,以Ox 为极轴的极坐标系中对应的极坐标方程为 ( ) () B.. C. D.44A ρθρθππρθρθ? ?=- ? ? ?? ?- ?? =- =?=- 解析:由题意知圆的直角坐标方程为 (x-1)2 +(y-1)2 =2. 化为极坐标方程为(ρcos θ-1)2 +(ρsin θ-1)2 =2.

∴0.40 4,04044 . . ρρθρθρρππππθρθρπθ? ? ??-- = ???? ?? ? ? ?-= ?? ??? ? -∴-∴?-- = ???? ??? ? ?-= ?? ?? ?- ?? ?= 也过极点与等价对应的极坐标方程为 答案:A 3.在极坐标系中,点(ρ,θ)与(-ρ,π-θ)的位置关系为( ) A.关于极轴所在直线对称 B.关于极点对称 C.重合 D.关于直线θ= 2 π (ρ∈R)对称 解析:点(ρ,θ)也可以表示为(-ρ,π+θ),而(-ρ,π+θ)与(-ρ,π-θ)关于极轴所在直线对称,故选A. 答案:A 4.在柱坐标系中,两点24,,04,,333M N π π???? ? ?? ??? 与的距离为( ) A.3 B.4 C.5 D.8 解析:解法一:由柱坐标可知M 在Oxy 平面上,N 在Oxy 平面上的射影坐标为 N |MN |4,24,,0MN 5.3. , C π'∴'===?? ??? 再由勾股定理得故选 解法二:可将M ?N 化为直角坐标 ,N(MN 5.. C =-∴=故选 答案:C

2019-2020学年度最新人教版高考数学总复习(各种专题训练)Word版

2019-2020学年度最新人教版高考数学总复习 (各种专题训练)Word版(附参考答案) 一.课标要求: 1.集合的含义与表示 (1)通过实例,了解集合的含义,体会元素与集合的“属于”关系; (2)能选择自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题,感受集合语言的意义和作用; 2.集合间的基本关系 (1)理解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集; (2)在具体情境中,了解全集与空集的含义; 3.集合的基本运算 (1)理解两个集合的并集与交集的含义,会求两个简单集合的并集与交集; (2)理解在给定集合中一个子集的补集的含义,会求给定子集的补集; (3)能使用Venn图表达集合的关系及运算,体会直观图示对理解抽象概念的作用。二.命题走向 有关集合的高考试题,考查重点是集合与集合之间的关系,近年试题加强了对集合的计算化简的考查,并向无限集发展,考查抽象思维能力,在解决这些问题时,要注意利用几何的直观性,注意运用Venn图解题方法的训练,注意利用特殊值法解题,加强集合表示方法的转换和化简的训练。考试形式多以一道选择题为主,分值5分。 预测2013年高考将继续体现本章知识的工具作用,多以小题形式出现,也会渗透在解答题的表达之中,相对独立。具体题型估计为: (1)题型是1个选择题或1个填空题; (2)热点是集合的基本概念、运算和工具作用。 三.要点精讲 1.集合:某些指定的对象集在一起成为集合。 a∈;若b不是集合A的元素,(1)集合中的对象称元素,若a是集合A的元素,记作A b?; 记作A (2)集合中的元素必须满足:确定性、互异性与无序性; 确定性:设A是一个给定的集合,x是某一个具体对象,则或者是A 的元素,或者不是A的元素,两种情况必有一种且只有一种成立; 互异性:一个给定集合中的元素,指属于这个集合的互不相同的个体 (对象),因此,同一集合中不应重复出现同一元素; 无序性:集合中不同的元素之间没有地位差异,集合不同于元素的排 列顺序无关; (3)表示一个集合可用列举法、描述法或图示法; 列举法:把集合中的元素一一列举出来,写在大括号内; 描述法:把集合中的元素的公共属性描述出来,写在大括号{}内。 具体方法:在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围,再画一条竖线,在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。 注意:列举法与描述法各有优点,应该根据具体问题确定采用哪种表示法,要注意,一般集合中元素较多或有无限个元素时,不宜采用列举法。 (4)常用数集及其记法:

2013届高考数学第一轮专项复习教案设计22.doc

9.4两个平面平行 ●知识梳理 1.两个平面平行的判定定理:如果一个平面的两条相交直线都与另一个平面平行,那么这两个平面平行. 2.两个平面平行的性质定理:如果两个平行平面都与第三个平面相交,那么交线平行. ●点击双基 1.(2005年春季,3)下列命题中,正确的是 A.经过不同的三点有且只有一个平面 B.分别在两个平面的两条直线一定是异面直线 C.垂直于同一个平面的两条直线是平行直线 D.垂直于同一个平面的两个平面平行 答案:C 2.设a、b是两条互不垂直的异面直线,过a、b分别作平面α、β,对于下面四种情况:①b∥α,②b⊥α,③α∥β,④α⊥β.其中可能的情况有 A.1种 B.2种 C.3种 D.4种 解析:①③④都有可能,②不可能,否则有b⊥a与已知矛盾. 答案:C 3.α、β是两个不重合的平面,a、b是两条不同直线,在下列条件下,可判定α∥β的是 A.α、β都平行于直线a、b

B.α有三个不共线点到β的距离相等 C.a 、b 是α两条直线,且a ∥β,b ∥β D.a 、b 是两条异面直线且a ∥α,b ∥α,a ∥β,b ∥β 解析:A 错,若a ∥b ,则不能断定α∥β; B 错,若A 、B 、 C 三点不在β的同一侧,则不能断定α∥β; C 错,若a ∥b ,则不能断定α∥β; D 正确. 答案:D 4.a 、b 、c为三条不重合的直线,α、β、γ为三个不重合的平面,直线均不在平面,给出六个命题: .????;????????????????????αγγαβαγβγαααβαβαγγ∥∥∥⑥∥∥∥⑤∥∥∥④∥∥∥③∥∥∥②∥∥∥① a a a c a c c c b a b a b a c b c a ;;;; 其中正确的命题是________________.(将正确的序号都填上) 答案:①④⑤⑥ ●典例剖析 【例1】设平面α∥平面β,AB 、CD 是两条异面直线,M 、N 分别是AB 、CD 的中点,且A 、C ∈α,B 、D ∈β,求证:MN ∥平面α. 剖析:因为AB 与CD 是异面直线,故MN 与AC 、BD 不平行.在平面α、β中不易找到与MN 平行的直线,所以试图通过证线线平行达到线面平行这一思路受阻,于是转而考虑通过证面面平行达到线面平行,即需找一个过MN 且与α平行的平面.根据M 、N 是异面直

历年高考数学(集合)

1、已知集合{} R x x x M ∈<-=),4)1(|2,{}3,2,1,0,1-=N ,则M N =( )(2013 年理科数学——新课标2) (A ){0,1,2} (B ){-1,0,1,2}(C ){-1,0,2,3} (D ){0,1,2,3} 2.已知集合{}022 >-=x x x A ,{} 55B <<-=x x ,则(2013年理科数学——新课标 1) (A )A B =ΦI (B )A B =R U (C )A B ? (D )B A ? 3.已知集合{|31}M x x =-<<,{3,2,1,0,1}N =---,则M N =( )(2013年 文科数学——新课标2) (A ){2,1,0,1}-- (B ){3,2,1,0}--- (C ){2,1,0}-- (D ){3,2,1}--- 4.已知集合{1,2,3,4}A =,2{|,}B x x n n A ==∈,则A B =( )(2013年文科数学 ——新课标1) (A ){0} (B ){-1,,0} (C ){0,1} (D ){-1,,0,1} 5.已知集合{1,2,3,4,5}A =,{(,),,}B x y x A y A x y A =∈∈-∈;,则B 中所含元素 的个数为( )(2012年理科数学——新课标) ()A 3 ()B 6 ()C 8 ()D 10 6.已知集合A={x |x 2-x -2<0},B={x |-1

2013届高考数学第一轮复习教案9.

2013年普通高考数学科一轮复习精品学案 第36讲空间向量及其应用 一.课标要求: (1)空间向量及其运算 ①经历向量及其运算由平面向空间推广的过程; ②了解空间向量的概念,了解空间向量的基本定理及其意义,掌握空间向量的正交分解及其坐标表示; ③掌握空间向量的线性运算及其坐标表示; ④掌握空间向量的数量积及其坐标表示,能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直。 (2)空间向量的应用 ①理解直线的方向向量与平面的法向量; ②能用向量语言表述线线、线面、面面的垂直、平行关系; ③能用向量方法证明有关线、面位置关系的一些定理(包括三垂线定理); ④能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题,体会向量方法在研究几何问题中的作用。 二.命题走向 本讲内容主要涉及空间向量的坐标及运算、空间向量的应用。本讲是立体几何的核心内容,高考对本讲的考察形式为:以客观题形式考察空间向量的概念和运算,结合主观题借助空间向量求夹角和距离。 预测2013年高考对本讲内容的考查将侧重于向量的应用,尤其是求夹角、求距离,教材上淡化了利用空间关系找角、找距离这方面的讲解,加大了向量的应用,因此作为立体几何解答题,用向量法处理角和距离将是主要方法,在复习时应加大这方面的训练力度。 三.要点精讲 1.空间向量的概念 向量:在空间,我们把具有大小和方向的量叫做向量。如位移、

速度、力等。 相等向量:长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。 表示方法:用有向线段表示,并且同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量。 说明:①由相等向量的概念可知,一个向量在空间平移到任何位置,仍与原来的向量相等,用同向且等长的有向线段表示;②平面向量仅限于研究同一平面内的平移,而空间向量研究的是空间的平移。 2.向量运算和运算率 加法交换率: 加法结合率: 数乘分配率: 说明:①引导学生利用右图验证加法交换率,然后推广到首尾相接的若干向量之和;②向量加法的平行四边形法则在空间仍成立。 3.平行向量(共线向量):如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合,则这些向量叫做共线向量或平行向量。平行于记作∥。 注意:当我们说、共线时,对应的有向线段所在直线可能是同一直线,也可能是平行直线;当我们说、平行时,也具有同样的意义。 共线向量定理:对空间任意两个向量(≠)、,∥的

江苏版2018年高考数学一轮复习专题1.1集合的概念及其基本运算讲

专题1.1 集合的概念及其基本运算【考纲解读】 内容 要求 5年统计 A B C 集合 集合及其表示√2017.1 2016.1 2015.1 2014.1 2013·4 子集√ 交集、并集、补集√ 【直击考点】 题组一常识题 1.【教材改编】设全集U={小于9的正整数},A={1,2,3},B={3,4,5,6},则?U(A∪B)=________. 【答案】{7,8} 2.【教材改编】已知集合A={a,b},若A∪B={a,b,c},则这样的集合B有________个.【答案】4 【解析】因为A∪B?B,A={a,b},所以满足条件的B可以是{c},{a,c},{b,c},{a,b,c},所以集合B有4个.学# 3.【教材改编】设全集U={1,2,3,4,5, 6,7,8,9},?U(A∪B)={1,3},A∩(?U B)={2,4},则集合B=________. 【答案】{5,6,7,8,9} 【解析】由?U(A∪B)={1,3},得1,3?B;由A∩(?U B)={2,4},得2,4?B,所以B={5,6,7,8,9}. 题组二常错题 4.设集合M={(x,y)|y=x2},N={(x,y)|y=2x},则集合M∩N的子集的个数为________.【答案】8 【解析】由函数y=x2与y=2x的图像可知,两函数的图像在第二象限有1个交点,在第一象限有2个交点(2,4),(4,16),故M∩N有3个元素,其子集个数为23=8. 5.已知集合M={x︱x-a=0},N={x︱ax-1=0},若M∩N=N,则实数a的值是________.【答案】0或1或-1 【解析】M={a},∵M∩N=N,∴N?M,∴N=?或N=M,∴a=0或a=±1. 6.已知集合A={m+2,2m2+m},若3∈A,则m=________.

高中数学集合历届高考题及答案解析

(A) {1,2} (B) {0,1,2} (C){x|0 ≤x<3} (D) {x|0 ≤x ≤3} (C) { x -1≤ x ≤1} (D) { x -1≤ x < 1} 3. ( 2010辽宁文)(1)已知集合 U 1,3,5,7,9 , A 1,5,7 ,则C U A 7. ( 2010山东文)(1)已知全集 U R ,集合 M x x 2 4 0 ,则 C U M = A. x 2 x 2 B. x 2 x 2 C . x x 2或 x 2 D. x x 2或 x 2 2 8. ( 2010北京理)(1) 集合 P {x Z 0 x 3},M {x Z x 2 9},则 PI M = 第一章 集合与常用逻辑用 语 一、选择题 1. ( 2010浙江理)(1)设 P={x ︱x <4},Q={x ︱ x 2 <4},则 A ) p Q B )Q P ( C ) p CR Q (D ) Q CR P 2. (2010 陕西文) 1. 集合 A ={x -1≤ x ≤2}, B ={ x x<1},则 A ∩B =( (A){ x x< 1} B ){x -1≤ x≤2} A ) 1,3 B ) 3,7,9 C ) 3,5,9 D ) 3,9 4. ( 2010辽宁理) 1.已知 A ,B 均为集合 U={1,3,5,7,9} 的子集,且 A ∩B={3}, eu (A ){1,3} (B){3,7,9} (C){3,5,9} (D){3,9} 5. ( 2010 江 西 理 ) 2. 若 集 合 A= x| x 1, x R , A. x| 1 x 1 B. x|x 0 C. x|0 x 1 D. 6. ( 2010浙江文)(1)设 P {x|x 1}, Q {x|x 2 4},则 P Q (A) {x| 1 x 2} (B) {x| 3 x 1} (C) { x|1 x 4} (D) {x| 2 x 1}

高考数学文科集合习题大全完美

第一章集合与函数的概念 一、选择题 1 .设全集U={1,2,3,4,5,6} ,设集合P={1,2,3,4} ,Q{3,4,5},则P∩(C U Q)= ( ) A .{1,2,3,4,6} B .{1,2,3,4,5} C .{1,2,5} D .{1,2} 2 .设集合A ={x |1

高考数学讲义集合的概念及其关系

一、 集合的概念 1. 集合:某些指定的对象集在一起成为集合. 集合中的对象称元素,若a 是集合A 的元素,记作A a ∈;若b 不是集合A 的元素,记作A b ?; 2. 集合的性质: 确定性:设A 是一个给定的集合,x 是某一个具体对象,则或者是A 的元素,或者不是A 的元素,两种情况必有一种且只有一种成立; 互异性:一个给定集合中的元素,指属于这个集合的互不相同的个体(对象),因此,同一集合中不应重复出现同一元素; 无序性:集合中不同的元素之间没有地位差异,集合不同于元素的排列顺序无关; 二、 集合的表示:表示一个集合可用列举法、描述法或图示法; 1. 列举法:把集合中的元素一一列举出来,写在大括号内; 例如:{1,2,3,4,5},{1,2,3,4,5,}L 2. 描述法:把集合中的元素的公共属性描述出来,写在大括号{}内. 例如:大于3的所有整数表示为:{|3}x x ∈>Z 方程2250x x --=的所有实数根表示为:{x ∈R |2250x x --=} 具体方法:在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围,再画一条竖线, 在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征. 注意:列举法与描述法各有优点,应该根据具体问题确定采用哪种表示法,要注意,一般集合中元 素较多或有无限个元素时,不宜采用列举法. 3. 常用数集及其记法: 非负整数集(或自然数集),记作N ; 正整数集,记作*N 或N +; 整数集,记作Z ; 有理数集,记作Q ; 实数集,记作R . 三、 集合之间的关系 1. 若集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素,则称A 是B 的子集(或B 包含A ),记作A ?B (或B A ?); 2. 简单性质:1)A ?A ;2)??A ;3)若A ?B ,B ?C ,则A ?C ; 3. 真子集关系:对于两个集合A 与B ,若A B ?且.A B ≠,则集合A 是集合B 的真子集,记作 A B ü(或B A Y) 4. 相等关系:对于两个集合A 与B ,如果A B ?,且B A ? ,那么集合A 与B 相等,记作A B = 集合的概念及其关系 知识讲解

2020年高考总复习理科数学题库第一章《集合》IH

2020年高考总复习 理科数学题库 第一章 集合 学校:__________ 第I 卷(选择题) 请点击修改第I 卷的文字说明 一、选择题 1.设S 是至少含有两个元素的集合,在S 上定义了一个二元运算“*”(即对任意的 ,a b S ∈,对于有序元素对(,)a b ,在S 中有唯一确定的元素a ﹡b 与之对应)。若对任意 的,a b S ∈,有a ﹡(b ﹡)a b =,则对任意的,a b S ∈,下列等式中不.恒成立的是 ( ) A . (a ﹡b )﹡a a = B . [a ﹡(b ﹡)a ]﹡(a ﹡b )a = C .b ﹡(b ﹡b )b = D .(a ﹡b )﹡[]()b a b **b =(2007广东理) 2.设集合{1,2,3,4,5,6}U =,{1,3,5}M =,则U M =e A. {2,4,6} B. {1,3,5} C. {1,2,4} D. U 3.已知集合M={1,2,3,4},N={-2,2},下列结论成立的是 A.N ?M B.M ∪N=M C.M ∩N=N D.M ∩N={2} 4.集合{} |25A x R x =∈-≤中最小整数位 .

5.集合{1,2,3,4,5,6},U =}5,4,1{S =,{2,3,4},T =则() U S T I e等于( ) (A)}6,5,4,1{ (B) {1,5} (C) {4} ( D) {1,2,3,4,5}(2011安徽文2) 6.已知集合A ={|}x x a <,B ={|12}x x <<,且R ()A B R =U e,则实数a 的取值范围是( ) A .2a ≤ B . a<1 C .2a ≥ D .a>2(2007福建理科 3) 7.若集合{},,M a b c =中的元素是ABC ?的三边长,则△ABC 一定不是 A .锐角三角形 B .直角三角形 C .钝角三角形 D .等腰三角形 8.满足M ?{}1234,,,a a a a 且{}{}12312,,,M a a a a a =I 的集合M 的个数是( ) A .1 B .2 C .3 D .4(2008山东理) 1.(文科1) 9.设集合A={3123|≤-≤-x x },集合B 为函数)1lg(-=x y 的定义域,则A ?B= (A )(1,2) (B )[1,2] (C )[ 1,2) (D )(1,2 ] 10.若A 为全体正实数的集合,{}2,1,1,2B =--则下列结论正确的是( ) A .}{ 2,1A B =--I B . ()(,0)R C A B =-∞U C .(0,)A B =+∞U D . }{()2,1R C A B =--I (2008安徽卷文1) 11.若集合{} 20A x x x =|-<,{|03}B x x =<<,则A B I 等于( ) A .{}01x x |<< B .{}03x x |<< C .{}13x x |<< D .?(2008福建文)(1) 12. i 是虚数单位,若集合{}1,0,1S =-,则( ). A .i S ∈ B .2 i S ∈ C . 3 i S ∈ D .2 i S ∈(2011福建理) 13.已知{}7,6,5,4,3,2=U ,{}7,5,4,3=M ,{}6,5,4,2=N ,则( )

2013届高考理科数学第一轮复习测试题08

A 级 基础达标演练 (时间:40分钟 满分:60分) 一、选择题(每小题5分,共25分) 1.(2011·陕西)(4x -2-x )6(x ∈R )展开式中的常数项是( ). A .-20 B .-15 C .15 D .20 解析 T r +1=C r 6(22x )6-r (-2-x )r =(-1)r C r 6· (2x )12-3r ,r =4时,12-3r =0,故第5项是常数项,T 5=(-1)4C 46=15. 答案 C 2.(2012·泰安月考)若二项式? ?? ??x -2x n 的展开式中第5项是常数项,则正整数n 的值可能为( ). A .6 B .10 C .12 D .15 解析 T r +1=C r n (x )n -r ? ?? ??-2x r =(-2)r C r n x n -3r 2,当r =4时,n -3r 2=0,又n ∈N *,∴n =12. 答案 C 3.(2011·天津)在? ????x 2-2x 6的二项展开式中,x 2的系数为( ). A .-154 B.154 C .-38 D.38 解析 在? ????x 2-2x 6的展开式中,第r +1项为 T r +1=C r 6? ????x 26-r ? ????-2x r =C r 6? ????126-r x 3-r (-2)r ,当r =1时,为含x 2的项,其系数是C 16? ?? ??125(-2)=-38. 答案 C 4.(2012·临沂模拟)已知? ?? ??x -a x 8展开式中常数项为1 120,其中实数a 是常数,则展开式中各项系数的和是( ). A .28 B .38 C .1或38 D .1或28 解析 由题意知C 48· (-a )4=1 120,解得a =±2,令x =1,得展开式各项系数和

高三数学集合测试题

1.设全集I={0,1,2,3,4},集合A={0,1,2,3},集合B={2,3,4},则A C I ∪B C I =( ) A .{0} B .{0,1} C .{0,1,4} D .{0,1,2,3,4} 2.方程组3231x y x y -=?? -=?的解的集合是( ) A .{x =8,y=5} B .{8, 5} C .{(8, 5)} D .Φ 3.有下列四个命题: ①{}0是空集; ②若Z a ∈,则a N -?; ③集合{}2210A x R x x =∈-+=有两个元素;④集合6B x Q N x ??=∈∈???? 是有限集。 其中正确命题的个数是( ) A .0 B .1 C .2 D .3 4.如果集合A={x |ax 2+2x +1=0}中只有一个元素,则a 的值是( ) A .0 B .0 或1 C .1 D .不能确定 5.已知}{R x x y y M ∈-==,42,}{42≤≤=x x P 则M P 与的关系是( ) A .M P = B .M P ∈ C .M ∩P =Φ D . M ?P 6.设集合M=},21 4|{},,412|{Z k k x x N Z k k x x ∈+==∈+=,则( ) A .M =N B . M ≠?N C . N ≠?M D .M ∩=N Φ 7.设集合A={x |1<x <2},B={x |x <a }满足A ≠?B ,则实数a 的取值范围是( ) A .[)+∞,2 B .(]1,∞- C .[)+∞,1 D .(]2,∞- 8.满足{1,2,3} ≠?M ≠?{1,2,3,4,5,6}的集合M 的个数是( ) A .8 B .7 C .6 D .5 9.如右图所示,I 为全集,M 、P 、S 为I 的子集。 则阴影部分所表示的集合为 A .(M ∩P)∪S B .(M ∩P)∩S C .(M ∩P)∩(I S) D .(M ∩P)∪(I S) 二、填空题: 1.已知{}2|1,R,R A y y x x y ==+∈∈,全集R U =,则() N U A =e . 2.已知{},M a b =,{},,N b c d =,若集合P 满足P M 且P N ,则P 可是 . 3.设全集U ={a ,b ,c ,d ,e},A ={a ,c ,d},B ={b ,d ,e}, 则?UA∩?UB =________. 4.已知{}{}22|2013(2)400x x a x a +?++-==,则a = . 三、解答题:(写出必要的计算步骤) 1.已知集合A ={x |-1<x <3},A∩B=Φ,A∪B=R ,求集合B .

高考集合总复习题

高考集合试题汇编 1、 已知集合A={1,2,3,4},那么A 的真子集的个数是 ( ) A .15 B .16 C .3 D .4 2、设集合∈<≤=x x x A 且30{N}的真子集... 的个数是( ) (A) 16 (B) 8; (C) 7 (D) 4 3、设集合{}2,1=A ,{}3,2,1=B ,{}4,3,2=C ,则()C B A =( ) A .{}3,2,1 B .{}4,2,1 C .{}4,3,2 D .{}4,3,2,1 4、已知{}7,6,5,4,3,2=U ,{}7,5,4,3=M ,{}6,5,4,2=N ,则( ) A .{}6,4=?N M . B M N U = C .U M N C u = )( D. N N M C u = )( 5、设集合{}6,5,4,3,2,1=P ,{}62≤≤∈=x R x Q ,那么下列结论正确的是( ) A .P Q P = B .Q Q P ≠? C .Q Q P = D .≠ ?Q P P 6、设全集{}{}{}1,2,3,4,5,6,7,1,2,3,4,5,3,4,5,6,7U P Q ===,则()U P C Q =( ) (A) {}1,2 (B) {}3,4,5 (C) {}1,2,6,7 (D){}1,2,3,4,5 7、U={-2,-1,0,1,2},A={-2,-1,0},B={0,1,2},则(C U A )∩B= A .{0} B .{-2,-1} C .{1,2} D .{0,1,2} 8、设集合{|32}M m m =∈-<或,那么集合)(B C A U ?等于( ) A .{}|24x x -<≤ B .{}|34x x x 或≤≥ C .{}|21x x -<-≤ D .{}|13x x -≤≤ 11、若集合{|23}A x x =-≤≤,{|14}B x x x =<->或,则集合A B 等于( ) A .{}|34x x x >或≤ B .{}|13x x -<≤ C .{}|34x x <≤ D .{}|21x x --<≤ 12、已知全集{ }{}632,6,5,4,3,2,1,,集合==A U ,则集合C u A 等于 (A ){1,4} (B ){4,5} (C ){1,4,5} (D ){2,3,6}

2013届高考理科数学第一轮复习测试题05

A级基础达标演练 (时间:40分钟满分:60分) 一、选择题(每小题5分,共25分) 1.下列两个变量之间的关系是相关关系的是(). A.正方体的棱长与体积 B.单位面积的产量为常数时,土地面积与总产量 C.日照时间与水稻的亩产量 D.电压一定时,电流与电阻 解析A、B、D中两个变量间的关系都是确定的,所以是函数关系;C中的两个变量间是相关关系,对于日照时间一定的水稻,仍可以有不同的亩产量,故选C. 答案 C 2.(2012·石家庄调研)下列结论正确的是(). ①函数关系是一种确定性关系; ②相关关系是一种非确定性关系; ③回归分析是对具有函数关系的两个变量进行统计分析的一种方法; ④回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法.A.①②B.①②③C.①②④D.①②③④ 解析由回归分析的方法及概念判断. 答案 C 3.(2011·莱芜二模)在研究吸烟与患肺癌的关系中,通过收集数据、整理分析数据得“吸烟与患肺癌有关”的结论,并且有99%以上的把握认为这个结论是成立的,则下列说法中正确的是(). A.100个吸烟者中至少有99人患有肺癌 B.1个人吸烟,那么这人有99%的概率患有肺癌 C.在100个吸烟者中一定有患肺癌的人 D.在100个吸烟者中可能一个患肺癌的人也没有 解析统计的结果只是说明事件发生可能性的大小,具体到一个个体不一定发

生. 答案 D 4.(2011·陕西)设(x1,y1),(x2,y2),…,(x n,y n)是变量x和y的n个样本点,直线l是由这些样本点通过最小二乘法得到的线性回归直线(如图),以下结论正确的是(). A.直线l过点(x,y) B.x和y的相关系数为直线l的斜率 C.x和y的相关系数在0到1之间 D.当n为偶数时,分布在l两侧的样本点的个数一定相同 解析由样本的中心(x,y)落在回归直线上可知A正确;x和y的相关系数表示为x与y之间的线性相关程度,不表示直线l的斜率,故B错;x和y的相关系数应在-1到1之间,故C错;分布在回归直线两侧的样本点的个数并不绝对平均,即无论样本点个数是奇数还是偶数,故D错. 答案 A 5.(2011·山东)某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表: 根据上表可得回归方程y=b x+a中的b为9.4,据此模型预报广告费用为6万元时销售额为(). A.63.6万元 B.65.5万元 C.67.7万元 D.72.0万元 解析x=4+2+3+5 4=3.5(万元), y=49+26+39+54 4=42(万元), ∴a^=y-b^x=42-9.4×3.5=9.1,

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