反比函数图像上四种三角形的面积

反比函数图像上的四种三角形的面积

襄樊市第四十七中学 熊沙

函数是解决实际生活问题的重要模型，在近几年各省市的考题中，对于函数的考查比例占有相当重的份量，大部分是考查考生对其基本概念、图象性质的理解和应用，甚至成为中考压轴题的大类。

反比例函数的图像经常与三角形的面积联系在一起，下面就举例说明。 一、三角形面积的四个结论

结论1、过反比例函数图像上一点，向x 轴作垂线，则以图像上这个点、垂足，原点为顶点的三角形的面积等于反比例函数k 的绝对值的一半。

设P （a ，b ）是反比例函数y=x

k （k ≠0）图像上的一点，过点P 作PA ⊥x

轴，垂足为A ，

三角形PAO 的面积是S ，则S k 2=

结论2、过反比例函数图像上一点，向y 轴作垂线，则以图像上这个点、垂足，原点为顶点的三角形的面积等于反比例函数k 的绝对值的一半。

设P （a ，b ）是反比例函数y=x k

（k ≠0）图像上的一点，过点P 作PB ⊥y 轴，垂

足为B ，三角形PBO 的面积是S ，则S k 2=。

k x

襄樊市第四十七中学 熊沙 图（1）

2）

结论3、正比例函数y=k 1x （k 1＞0）与反比例函数y=x

k

（k ＞0）的图像交于A 、

B 两点，过A 点作A

C ⊥x 轴，垂足是C ，三角形ABC 的面积设为S ，则S=|k|，与正比例函数的比例系数k 1无关。

证明：I

因为，正比例函数y=k 1x （k 1＞0）与 反比例函数y=x

k （k ＞0）的图像交于A 、B 两点，

所以，

x k x

k 1=，所以，x=±

1

11

k kk k k =

，

当x=

11k kk 时，y= k 1x=1kk ，所以，点A 的坐标是（1

1k kk ，1kk ），

当x =-

1

1k kk 时，y= k 1x =-1

kk ，所以，点B 的坐标是（-

1

1k kk ，-1kk ），

所以，OC 的长度是1

1k kk ，

三角形ABC 的面积=三角形AOC 的面积+三角形BOC 的面积 =

2

1×OC ×AC+

2

1×OC ×BD

=2

1×

1

1k kk ×1kk +

2

1×

1

1k kk ×|-1kk |

=2

1

k+

2

1k=k 。所以，与k 1无关。

k

证明II 、

根据结论1，知道三角形AOC 的面积是21

k ，

三角形BOC 的面积=

2

1×OC ×BD 2

1

×

1

1k kk ×|-1kk |=

2

1k

，

所以，三角形ABC 的面积= k 。

结论4、正比例函数y=k 1x （k 1＞0）与反比例函数y=x k

（k ＞0）的图像交于A 、

B 两点，过A 点作A

C ⊥x 轴，过B 点作BC ⊥y 轴，两线的交点是C ，三角形ABC 的面积设为S ，则S=2|k|，与正比例函数的比例系数k 1无关。

因为，正比例函数y=k 1x （k 1＞0）与反比例函数y=x

k （k ＞0）的图像交于A 、B

两点，所以，

x k x

k 1=，所以，x=±

1

11

k kk k k =

，

当x=

11k kk 时，y= k 1x=1kk ，所以，点A 的坐标是（1

1k kk ，1kk ），

当x =-

1

1k kk 时，y= k 1x =-1kk ，所以，点B 的坐标是（-1

1k kk ，-1kk ），

所以，OC 的长度是1

1k kk ，三角形ABC 的面积=三角形AOE 的面积+三角形BOD

的面积+矩形ODCE 的面积=2

1×OE ×AE+

2

1×OD ×BD+OD ×DC

k

=2

1

×

1

1k kk ×1kk +

2

1×|-

1

1k kk |×|-1kk |+

1

1k kk ×|-1kk |

=2

1

k+

2

1k+k=2k 。所以，与k 1无关。

二、结论的具体应用

这些结论，在解答中考数学中选择题、填空题都是非常有效的。下面就举例说明。

例1、如图5，若点A 在反比例函数(0)k y k x

=

≠的图象上，A M x ⊥轴于点M

，

A M O

△的面积为3，则k = ．（08年巴中市）

分析：根据结论1，知道面积S 与k 之间有如下的关系： |k |=2S ，S=3， 所以，|k |=6，

所以，k=6或者k=-6，

因为图像分布在二、四象限， 所以，k ＜0，所以 k=-6. 解：k =-6.

例2、两个反比例函数y=

x

k 和y=

x

1在第一象限内的图象，如图6所示，点P 在

y=

x

k 的图象上，PC ⊥x 轴于点C ，交y=

x

1的图象于点A ，PD ⊥y 轴于点D ，

交y=x

1的图象于点B ，当点P 在y=

x

k 的图象上运动时，以下结论：

① △ODB 与△OCA 的面积相等；②四边形PAOB 的面积不会发生变化； ③PA 与PB 始终相等；④当点A 是PC 的中点时，点B 一定是PD 的中点． 其中一定正确的是 （08年湖北省咸宁市）

分析：因为，点A 、B 都在反比例函数y=

x

1的图像上，根

据结论1和结论2，知道;

△ ODB 与△OCA 的面积相等,所以，①是正确的； 如图7所示，连接OP ，

根据结论1知道，三角形POC 的面积为2

1k ，是个常数，三角形OAC 的面积是2

1

，

所以，三角形PAO 的面积是

2

1k-

2

1，是个常数，

根据结论2知道，三角形POD 的面积为2

1k ，是个常数，三角形OBD 的面积是

2

1，

所以，三角形PBO 的面积是

2

1k-

2

1，是个常数，

所以，四边形PBOA 的面积等于三角形PAO 的面积+三角形PBO 的面积=21

k-2

1+

2

1k-

2

1

=k-1，是一个定值，所以②是正确的； 设点P 的坐标为（m ，n ）， 因为，点P 在k y

x

=的图象上，反比例函数在第一象限内，

所以，mn=k ，m ＞0，n ＞0， 因为，PC ⊥x 轴于点C ，交1y x

=

的图象于点A ，所以，点A 的横坐标为m ，所

以，点A 的纵坐标为m

1，即点A 的坐标为（m ，m

1）；因为，PD ⊥y 轴于点D ，

交1y

x

=的图象于点B ，所以，点B 的纵坐标为n ，所以，点A 的横坐标为

n

1

，即点B 的坐标为（n

1，n ），PA=PC-AC=n-

m

1=

m

mn 1-,PB=PD-BD=m-

n

1=

n

mn 1-，

分数的分子是相同的，但是，分母不同，只有当m=n 时，PA=PB 才能成立，所以，即③是不正确的；

当点A 是PC 的中点时，有PA=AC 即m

mn 1-=

m

1，所以，mn=2，即k=2，

所以，点P 的坐标为（m ，

m

2），即点B 的坐标为（2

m ，

m

2），

所以，点B 是PD 的中点，

所以，当点A 是PC 的中点时，点B 一定是PD 的中点．即④是正确的； 因此，一定正确的是①②④. 解：正确的结论是①②④.

例3、如图8，一次函数12

2y x =

-的图象分别交x 轴、y 轴于A 、B ，P 为AB

上一点且PC 为△AOB 的中位线，PC 的延长线交反比例函数(0)k y k x

=

>的图

象于Q ，

32

O Q C S ?=，则k 的值和Q 点的坐标分别为_________________________.

（08年荆州市）

简析：根据结论1知道：

因为k 是大于0的，所以，k=2S=2×23

=3，即y=

x

3，设Q 的坐标为（m ，n ），则

mn=3，因为，一次函数12

2

y x =

-的图象分别交x 轴、y 轴于A 、B ，

所以，点A 的坐标为（4，0），点B 的坐标为（0，-2），

所以，线段OA =4,因为，PC 为△AOB 的中位线，

所以，点C 是线段OA 的中点，所以，OC=2,即点Q 的横坐标为m =2， 所以，n=

2

3，所以点Q 的坐标为（2，

2

3）。

例4、如图9，反比例函数y=

x

5的图象与直线y=kx （k ＞0）相交于A 、B 两点，

AC ∥轴，BC ∥轴，则△ABC 的面积等于 个面积单位。

简析：

因为，反比例函数y=

x

5中k=5，根据结论4，所以，△ABC 的面积等于2k =10。

A

C

P

B

O

Q

襄樊市第四十七中学 熊沙 图（8）

y

X

A

D

C

E B

O

襄樊市第四十七中学 熊沙 图（9）

y

X