江苏省清江中学2017-2018学年高二12月月考数学试题

江苏省清江中学2017-2018学年高二12月月考

数学试题

第Ⅰ卷（共60分）

一、填空题：本大题共14个小题，每小题5分，共70分．

1．命题“02,2≤--∈?ax ax R x ”的否定是 .

2．抛物线x y =2上一点P 到焦点的距离是2，则P 点坐标为 . 3．如图，函数)(x f y =的图象在点P 处的切线方程是8+-=x y ，则

=+)5(')5(f f .

4．已知正四棱锥ABCD V -中，底面面积为16，一条侧棱的长为3，则该棱锥的高为 . 5．若条件p ：2||≤x ，条件q ：a x ≤，且p 是q 的充分不必要条件，则a 的取值范围是 .

6．以双曲线116

92

2=-y x 的右焦点为圆心，且与双曲线的渐近线相切的圆的方程为 . 7．已知互不重合的直线b a ,，互不重合的平面βα,，给出下列四个命题，其中错误的命题是 .

①若βα//,//a a ，b =βα ，则b a // ②若βα⊥，βα⊥⊥b a ,，则b a ⊥ ③若βα⊥，a =⊥γβγα ,，则α⊥a ④若βα//，α//a ，则β//a

8．若椭圆1522=+m y x 的离心率5

10=e ，则=m . 9．已知0>a ，函数ax x x f -=3

)(在),1[+∞上是单调递增函数，则a 的取值范围是 .

10．已知圆锥底面半径为r ，母线长是底面半径的3倍，底面圆周上有一点A ，则一个小虫

P 自A 点出发在侧面上绕一周回到A 点的最短路程为 .

11．设函数522

)(2

3

+--=x x x x f ，若对任意的]2,1[-∈x ，都有a x f >)(，则实数a 的取值范围是 .

12．已知函数23)(nx mx x f +=的图象在点)2,1(-处的切线恰好与直线03=+y x 平行，若)(x f 在区间]1,[+t t 上单调递减，则实数t 的取值范围是 .

13．已知椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的一个顶点为)4,0(B ，离心率5

5

=e ，直线l 交椭

圆于N M ,两点，如果BMN ?的重心恰好为椭圆的右焦点F ，直线l 方程为 ． 14．设)(x f 是定义在R 上的可导函数，且满足0)(')(>+x xf x f ，则不等式

)1(1)1(2-?->+x f x x f 的解集为 ．

二、解答题 （本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）

15．（理）已知在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程是???

?

??

?

+==242

2

22

t y t x （t 为参数），以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标，曲线C 的极坐标方程

)4

cos(2πθρ+=.

（1）判断直线l 与曲线C 的位置关系；

（2）设M 为曲线C 上任意一点，求y x +的取值范围.

（文）已知p ：2|3|≤-x ，q ：0)1)(1(≤--+-m x m x ，若p ?是q ?的成分而不必邀条件，求实数m 的取值范围.

16．如图，在四棱锥ABCD P -中，CD PA ⊥，BC AD //，0

90=∠=∠PAB ADC ，

AD CD BC 2

1

=

=. （1）在平面PAD 内找一点M ，使得直线//CM 平面PAB ，并说明理由； （2）证明：平面⊥PAB 平面PBD .

17．（理）如图，在三棱柱111C B A ABC -中，C C AA 11是边长为4的正方形，平面⊥ABC 平面C C AA 11，3=AB ，5=BC . （1）求证：⊥1AA 平面ABC ； （2）求二面角111B BC A --的余弦值.

（文）已知椭圆C ：)0(12222>>=+b a b y a x 的离心率为2

2，其中左焦点)0,2(-F .

（1）求椭圆C 的方程；

（2）若直线m x y +=与椭圆C 交于不同的两点B A ,，且线段AB 的中点M 在圆

122=+y x 上，求m 的值.

18．某企业拟建造如图所示的容器（不计算厚度，长度单位：米），其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的容积为

3

80π

立方米，且r l 2≥.假设该容器的建造费用仅与其表面积有关.已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为c （3>c ）千元，设该容器的建造费用为y 千元. （1）写出y 关于r 的函数表达式，并求该函数丶定义域； （2）求该容器的建造费用最小时的r .

19．如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：)0(12222>>=+b a b y a x 的离心率为2

3

，

以原点为圆心，椭圆C 的短半轴长为半径的圆与直线02=+-y x 相切. （1）求椭圆C 的方程；

（2）已知点)2,0(),1,0(Q P ，设N M ,是椭圆C 上关于y 轴对称的不同两点，直线PM 与

QN 相交于点T ，求证：点T 在椭圆上.

20.设R a ∈，函数ax x x f -=ln )(. （1）求)(x f 的单调递增区间；

（2）设ax ax x f x F ++=2

)()(，问)(x F 是否存在极值，若存在，请求出极值，若不存在，请说明理由；

（3）设),(),,(2211y x B y x A 是函数ax x f x g +=)()(图象上任意不同的两点，线段AB 的中点为),(00y x C ，直线AB 的斜率为k ，证明：)('0x g k >.

试卷答案

一、填空题

1．02,2>--∈?ax ax R x 2．)2

7

,47(±

3．2 4．1 5．2≥a 6．16)5(2

2=+-y x 7．④ 8．3或

3

25 9．]3,0( 10．r 33 11．)2

7,(-∞ 12．]1,2[-- 13．02856=--y x 14．21<≤x

二、解答题

15．（理）解：（1）由???

?

??

?+==242

2

22

t y t x ，消去t 得：24+=x y 由)4

cos(2π

θρ+=，得4

sin

sin 24

cos

cos 2π

θπ

θρ-=，即θθρsin 2cos 2-=.

∴θρθρρsin 2cos 22-=

，即02222=++-y y x x .

化为标准方程得：1)2

2()22(22=++-

y x .

圆心坐标为)2

2,22(

-，半径为1，圆心到直线024=+-y x 的距离 152

|242222|>=++=

d ，∴直线l 与曲线C 相离.

（2）由M 为曲线C 上任意一点，可设???

????+-=+=

θθsin 22cos 22

y x ， 则)4

sin(2cos sin π

θθθ+

=

+=+y x ，∴y x +的取值范围是]2,2[-.

（文）由题意得，p ：232≤-≤-x ，∴51≤≤x . ∴p ?：1x 。

q ：11+≤≤-m x m ，∴q ?：1-m x

又∵p ?是q ?的成分而不必邀条件， ∴??

?≤+>-5111m m 或???<+≥-5

11

1m m ，解得42≤

16.（1）取棱AD 的中点M ，点M 即为所求的一个点，理由如下： 连接CM ，因为BC AD //，AD BC 2

1

=

， 所以AM BC //，且AM BC =

所以四边形AMCB 是平行四边形，从而AB CM // 又?AB 平面PAB ，?CM 平面PAB ， 所以//CM 平面PAB

.

（2）证明：由已知，CD PA AB PA ⊥⊥,，

因为BC AD //，AD BC 2

1

=

，所以直线AB 与CD 相交， 所以⊥PA 平面ABCD ，从而BD PA ⊥.

因为BC AD //，AD BC 2

1

=，所以MD BC //，且MD BC =，

连接BM ，则四边形BCDM 是平行四边形. 所以AD CD BM 2

1=

=，所以AB BD ⊥，又A AP AB = ，

所以平面⊥PAB 平面PBD .

17、（理）(1)证明：因为C C AA 11为正方形，所以AC AA ⊥1.

因为平面⊥ABC 平面C C AA 11，且1AA 垂直于这两个平面的交线AC ，所以⊥1AA 平面

ABC

.

（2）由（1）知AC AA ⊥1，AB AA ⊥1，由题知4,5,3===AC BC AB ，所以AC AB ⊥. 如图，以A 为原点建立空间直角坐标系xyz A -，则)4,3,0(),4,0,0(),0,3,0(11B A B ，

)4,0,4(C .

设平面11BC A 的法向量为),,(z y x n =，则

????

?=?=?00111C A A 即???==-0

40

43x z y 令3=z ，则0=x ，4=y ，所以)3,4,0(= 同理可得，平面11BC B 的法向量为)0,4,3(=m 所以25

16

|

|||,cos =

>=

25

16. （文）解：（1）由题意，得????

?

????+===2

22222c b a c a c 解得???==222b a

∴椭圆C 的方程为14

82

2=+y x 线段AB 的中点为),(00y x M ，

由??

???+==+m x y y x 1482

2消去y 得082432

2=-++m mx x 08962>-=?m ，∴3232<<-m ，

∵322210m

x x x -=+=

，∴3

00m m x y =+=， ∵点),(00y x M 在圆12

2

=+y x 上， ∴1)3

()32(2

2=+-

m m ， ∴5

5

3±

=m . 18.解：（1）设容器为V ，则由题意，得3

2

3

4r l r V ππ+

= 又=V 380π，故)20(343

4380342223

r r r r r r V l -=-=-=ππ， 由于r l 2≥，所以20≤

所以建造费用c r r r

r c r rl y 2

2243)20(342432ππππ+?-?=+?=

因此r

r c y ππ160)2(42

+-=，20≤

（2）由（1）得)220

()2(8160)2(8'32

2---=-

-=c r r c r r c y πππ，20≤-c ，故当03203

=--

c r ，即32

20

-=c r 时， 令m c =-3

2

20

，则0>m ， 所以))(()

2(8'222

m rm r m r r

c y ++--=

π ①当20<

9

>c 时，

若),0(m r ∈，则0'y

所以m r =是函数y 的极小值点，也是最小值点. ②当2≥m 即2

9

3≤

综上所述，当2

9

3≤

c 时，建造费用最小时=r 32

20-c . 19.（1）解：由题意知22

2==

b ，

因为离心率2

3=

=a

c e ，所以

2

1

)(12=-=a c a b ，

所以22=a ，所以椭圆C 的方程为12

82

2=+y x . （2）证明：由题意可设N M ,的坐标分别为),(00y x ，),(00y x -，则直线PM 的方程为

11

0+-=

x x y y ① 直线QN 的方程为12

0+--

=x x y y ② 设),(y x T ，联立①②解得3

24

3,3200--=-=

y y y y x x

因为12

82

20=+y x ， 所以1)3

243(21)32(

812

2=--+-y y y x

整理得22

2)32(2

)43(8-=-+y y x 所以

91248122

98222+-=+-+y y y y x ，即12822=+y x 所以点T 坐标满足椭圆C 的方程，即点T 在椭圆上. 20、（1）解：在区间),0(+∞上，x

ax a x x f -=-=

11)(' （1）当0≤a 时，∵0>x ，∴0)('>x f 恒成立，)(x f 的单调递增区间为),(+∞-∞；

（2）当0>a 时，令0)('>x f ，即01>-x ax ，得a

x 1

0<< ∴)(x f 的单调递增区间为)1

,0(a

综上所述，当0≤a 时，)(x f 的单调递增区间为),(+∞-∞；当0>a 时，)(x f 的单调递增区间为)1,0(a

（2）由222ln ln )()(ax x ax ax ax x ax ax x f x F +=++-=++=

得x

ax ax x x F 1

221)('2+=+=

当0≥a 时，恒有0)('>x F ∴)(x F 在),0(+∞上无极值；

当0

x 21

-

= )21

,0(a

x -

∈，0)('>x F ，)('x F 单调递增， ),21

(+∞-

∈a

x ，0)('

121ln )21(--=-

a a F ，无极小值 综上所述，0≥a 时，)(x F 无极值；0

1

21ln --

a ，无极小值. （3）证明：1

21

21212ln ln x x x x x x y y k --=

--=

又2

210x x x +=

∴2

10021|)'(ln )('0x x x x x g x x +==

== 要证)('0x g k >，即证

1

212122

ln ln x x x x x x +>--

不妨设210x x <<，即证1

21212)(2ln ln x x x x x x +->

-，即证1)1(

2ln 1

2

1

2

12+->

x x x x x x

设11

2>=

x x t ，即证14

21)1(2ln +-=+->

t t t t 也就是要证021

4

ln >-++

t t ，其中),1(+∞∈t 事实上，设21

4

ln )(-++=t t t k ，),1(+∞∈t 则0)1()1()1(4)1()1(41)('2

2

222>+-=+-+=+-=t t t t t t t t t t k

∴)(t k 在),1(+∞上单调递增，因此0)1()(=>k t k ，即结论成立.