2014年最新全国大学生高等数学竞赛试题及解答
2013年全国大学生数学专业竞赛试题及解答
一、计算题
(1) 求极限 21
lim
(1)sin n
n k k k n n π→∞=+∑
解法1 直接化为黎曼和的形式有困难. 注意到 3sin ()x x O x =
+,
3322611lim 1sin lim 1n
n
n n k k k k k k k O n n n n n ππ
π→∞→∞==????????+=++ ? ? ? ?????????
∑∑, 由于 333366
11
|1()|20,()n
n
k k k k k O C n n n n π
π==??+≤→→∞ ???∑∑, 所以
2211lim 1sin lim 1n
n
n n k k k k k k n n n n ππ
→∞→∞==????+=+ ? ????
?∑∑
65)(1)(lim 102122πππ=
+=+=?∑=∞→dx x x n n k n
k n
k n .
解法2 利用3
1sin 6
x x x x -
<<,得 332622
1sin 6k k k k n n n n ππππ-<<,
33262
2111111(1)1sin 16n
n n n
k k k k k k k k k k k k n n n n n n n n ππππ
====??????+-+<+<+ ? ? ??????
?∑∑∑∑,
由于33336
611
|1|20,()n
n
k k k k k n n n n π
π==??+≤→→∞ ???∑∑, 21lim 1n
n k k k n n π
→∞=??+ ???∑65)(1)(lim 102122πππ=
+=+=?∑=∞→dx x x n n k n
k n k n ,
所以21
5lim
(1)sin 6n
n k k k n n ππ
→∞=+=∑ .
(2)计算()2
2
2
2
axdydz z a dxdy
I
x y z
∑
++=++??
,
其中∑为下半球222z
a x y =---的上侧,0a >.
解法一. 先以()
1
2
222
x
y z
a ++=代入被积函数,
()2
axdydz z a dxdy I a ∑
++=?? ()2
1
a x d y d z z
a
d x d y
a ∑=++??, 补一块有向平面222
:0
x y a S z -
?+≤?=?,其法向量与z 轴正向相反,
利用高斯公式,从而得到
()()-22
+S 1S I axdydz z a dxdy axdydz z a dxdy a -∑??=++-++??????
????
()2D 12a z a dxdydz a dxdy a Ω
??=-+++????????
?????,
其中Ω为+S -
∑围成的空间区域,D 为0z
=上的平面区域222x y a +≤,
于是32212323I a a zdxdydz a a a ππΩ??=-?-+ ???
???
(
)
22
204
0012a a r a d dr zdz
a
ππθ--=
--???
32
a π
=-
.
解法二. 直接分块积分
11I axdydz a ∑
=
?? ()222
2yz
D a x y dydz =--+??, 其中yz D 为
yOz 平面上的半圆222y z a +≤,0z ≤.
利用极坐标,得
22
2
3
10
223
a
I d a r rdr a π
π
θπ=--=-??
,
()2
21I z a dxdy a ∑
=
+?? ()2
2221xy
D a a x y dxdy a ??=--+??????, 其中xy D 为xOy 平面上的圆域,2
22x y a +≤,
用极坐标,得
()
2222220
0122a I d a a a r r rdr a π
θ=---??
3
6
a π=
, 因此3122
I
I I a π
=+=-
.
(3)现要设计一个容积为V 的圆柱体的容积,已知上下两低的材料费为单位面积a 元,而侧面的材料费为单位面积b 元.试给出最节省的设计
方案:即高与上下底面的直径之比为何值时,所需费用最少? 解:设圆柱体的高为h ,底面直径为d ,费用为
f
,
根据题意,可知2
2d h V
π??
= ???
,2
4V
d
h π
=
2
22d f a b dh ππ??
=??+? ???
212a d b d h π??=+ ???
2111222ad bdh bdh π??=++ ???
231
32ad bdh bdh π≥??
()
2
2
2
3
3
32
ab d h π=?
2
233342V ab ππ??=? ???
,
当且仅当2
ad
bdh =时,等号成立,
h a d b
=, 故当
h a
d b
=时,所需要的费用最少. (4)已知
()f x 在11,42??
???
内满足()33
1sin cos f x x x '=+求()f x . 解:
()331
sin cos f x dx x x
'=+?
22211sin cos 3sin cos 2sin sin cos cos x x dx x x x x x x +??
=
+ ?+-+??
?,
111
sin cos 2sin 4dx dx x x x π=+??+ ?
?
???
1
14ln tan 22
x C π
+=+,
()222
sin cos sin cos 11sin sin cos cos sin cos 22
x x x x dx dx x x x x x x ++=-+-+??
()2
sin cos 2sin cos 1
x x
dx x x +=-+?
()
()2
sin cos 2sin cos 1
d x x x x -=-+? ()22arctan sin cos x x C =-+
所以,
()()21
24ln tan arctan sin cos 323
2
x f x x x C π
+
=
+-+. 二、 求下列极限.
(1)1lim 1n n n e n →∞??
??+- ? ?
?????; (2)111lim 3n
n
n
n
n a b c →∞?
?++ ? ? ??
?
,其中0a >,0b >,0c >.
解:(1)11lim 1lim 1n x n x n e x e n x →∞→+∞????
????+-=+- ? ? ? ? ? ?????????
1ln 1lim
1x x x e
e
x
??
+ ???
→+∞
-=
211111ln 11lim
1
x
x x x x x x x →+∞????????+++- ?
? ???+?
???????=- 211ln 11lim 1
x x x e x
→+∞??
+-
?+??=-
()2
311111lim 1
2x x x x e x →+∞-+
++=
()2
2
11lim
12x x e x →+∞
-+=
21lim 2211x e e
x →+∞=-=-??
+ ???
. (2)
1111
11lim lim 33n
x
n
n
n
x x x
n x a b c a b c →∞→+∞?
??
?++++ ? ?= ? ? ? ??
??
?
111
ln
3
lim x x x
a b c x x e
++→+∞
=
111ln
3lim
1x x x
x a b c x
e
→+∞
++=,
111ln
3lim
1x x x
x a b c
x
→+∞
++
111
111221
1ln ln ln lim 1
x x x
x x x x a a b b c c x a b c x
→+∞????++- ? ?
????++=-
111
1111
lim ln ln ln x x x
x x x x a a b b c c a b c →+∞
??=++ ??
?++ ()1
ln ln ln 3
a b c =++3ln abc =, 故1113lim 3n
n n n
n a b c abc →∞?
?
++ ?= ? ??
?
. 一般地,有1
1
12lim n
m n
k k m m n a a a a m =→∞?? ?
?= ? ??
?
∑ ,其中0k
a >,1,2,,k m = ,
120lim x x nx x
x e e e n →??+++ ???
2ln
0lim x x nx
e e e n x
x e +++→=
()
2ln ln 0
lim x x nx e e e n
x
x e
+++-→= ()
2201
2lim 1
x x nx x
x
nx
x e e ne e e e e
→++++++=
()1
1122n n n
e
e
++++== .
三.设
()f x 在1x =点附近有定义,且在1x =点可导,()10f =,()12f '=,
求()22
sin cos lim
tan x f x x x x x →++.
解:()220
sin cos lim
tan x f x x x x x
→++
()()22220sin cos 1sin cos 1lim tan sin cos 1
x f x x f x x x x x x x →??
+-+- ?=? ?++-?? ()220sin cos 11lim tan x x x f x x x
→+-'=+ 22
20
sin 2sin 22lim
tan x x
x x x x
→-=+
22022sin cos 1222lim
sin 11cos x x x x x x x →??- ?
??
=??
+ ?
?? 2
200sin cos 122lim lim sin 1
1cos x x x x x x x x →→??- ?=? ? ?+??
211
1112
-=?
=+.
四、 设
()f x 在[)0,∞上连续,无穷积分()0
f x dx ∞
?
收敛,求()0
1lim y
y xf x dx y →+∞?.
解:设()()0x
F x f t dt =?,由条件知,()()F x f x '=,
()()0
lim x F x f t dt A +∞→+∞==?
,
利用分部积分,得
()()0
y
y
xf x dx xF x dx '=?
?()()0
y
yF y F x dx =-?,
()()()00
11y y
xf x dx F y F x dx y y =-??, ()()0
lim lim y
y y F x dx F y A y
→+∞
→+∞
==?,
于是
()()()00
11lim lim lim y y
y y y xf x dx F y F x dx y y →+∞→+∞→+∞=-?? 0A A =-=.
五.设函数
()f x 在[]0,1上连续,在()0,1内可微,且()()010f f ==,112f ??= ???
.
证明:(1)存在
1,12
ξ??∈ ?
??,使得()f ξξ=;
(2)对于每一λ,存在()0,ηξ∈,使得()()1f f ηληλη'=-+.
证明:(1)令()()F
x f x x =-,
由题设条件,可知1122
F ??=
???, ()11F =-;
利用连续函数的介值定理,得
存在
1,12
ξ??∈ ?
??,使得()0F ξ=,即()f ξξ=.
(2)令()()()x G
x e f x x λ-=-,
由题设条件和(1)中的结果,可知,
()00G =,()0G ξ=;
利用罗尔中值定理,得 存在
()0,ηξ∈,使得()0G η'=,
由()()()()()1x x G x e f x e f x x λλλ--''=---,
即得()()1f f ηληλη'=-+.
六、 试证:对每一个整数2n ≥,成立
11!!2
n n
n n e n +++> . 分析:这是一个估计泰勒展开余项的问题,其技巧在于利用泰勒展开的积分余项. 证明:显然0n =时,不等式成立;
下设1n ≥.
由于()001!
!k
n
n n n
t k n e n t e dt k n ==+-∑
?, 这样问题等价于证明
()
0!2n
n
n
t n e
n t e dt ->-?,
即
()00
2n
n
n t
n
t t e dt e
n t e dt +∞
-->-?
?
,
令u n t =-上式化为
02n
n t
n u t e dt u e du +∞
-->?
?,
从而等价于0n
n u
n u n
u e du u e du +∞
-->?
?,
只要证明20
n
n n u
n u n
u e du u e du -->?
?,
设
()n u f u u e -=,则只要证明
()()f n h f n h +≥-,()0h n ≤≤,
就有
()()0
n n
f n h dh f n h dh +≥-??,
()()20
n
n
n
f u du f u du >??,
则问题得证. 以下证明
()()f n h f n h +≥-,()0h n ≤≤,成立
上式等价于()()n
n
n h
h n n h e
n h e ---+≥-, 即()()ln ln n n h h n n h h +-≥-+,
令()()()ln ln 2g h n n h n n h h =+---,
则()00g
=,并且对0h n <<,有
2dg n n
dh n h n h
=+-+- 22
2
222
2220n h n h n h
=-==>--, 从而当0h n <
<时,()0g h >,
这样问题得证.
注:利用这一结论,我们可以证明如下结论.
六、设1n >为整数,()2011!2!
!n x t
t t t F x e dt n -??=++++ ???? ,证明方程()2n F x =,在,2n n ??
???上至少有一个根. 六、 证明:存在1(,)2a n n ∈,使得001!
2k n a x
k x e dx n k -==∑?. 证明:令
()0
0!
k
n
y
x
k x f y e dx k -==∑?
,
则有
220002!
2n n k n
x x x k n x n f e dx e e dx k --=??
=<= ???∑??,
()00!k n
n
x
k x f n e dx k -==∑?0
0!
k n n n
k n e dx k -=>∑?
0122
n
n n n e e dx ->?=?,
由连续函数的介值定理,得
存在,2n a n ??
∈
???
,使得()2n f a =,
故问题得证.
这里是由于()0!
k n
x
k x g x e k -==∑, ()0!n x x g x e
n -'=-<, ()g x 在[)0,+∞上严格单调递减,
所以,当0x n <
<时,有()()g x g n >.
七、 是否存在R 上的可微函数()f x ,使得2435(())1f f x x x x x =++--,若存在,请给出一个例子;若不存在,请给出证明。
证明 如果这样的函数()f x 存在,
我们来求
(())f f x 的不动点,即满足(())f f x x =的x ,
24351x x x x x =++--, 42(1)(1)0x x x -++=,
由此得
1x =,这表明(())f f x 有唯一的不动点1x =,易知()
f x 也仅有唯一的不动点
1x =,(1)1f =,在等式
2435(())1f f x x x x x =++--,两边对x 求导,得
324(())()2435f f x f x x x x x ''=+--,
让1x
=,即得2((1))2f '=-,这是不可能的,故这样的函数不存在。
八、设函数
f
在
[0,)+∞上一致连续,且对任何[0,1]x ∈,有
()0
lim n f x n →∞
+=,
证明:
()0
lim x f x →+∞
=。
试举例说明,仅有f
在
[0,)+∞上的连续性推不出上述结论。
证明
由
f
在
[0,)+∞上一致连续,对0>?
ε,
δ?>,
当
12,[0,)
y y ∈+∞
且12||y y δ
-<时,
便有
12|()()|2
f y f y ε
-<
;
取定充分大的正整数k ,使得1k
δ<。现把区间[0,1]k 等分,设其分点为,0,1,,i
i
x i k k
== ,每个小区间的长度
小于
δ
。
对于任意
1x >,[][0,1)x x -∈;
从而必有
,{0,1,,}i x i k ∈ ,使得|[]|i x x x δ
--<;
由条件对每个
i x ,有
()0
lim i
n f x n →∞
+=;
于是存在N ,当n N >
时,
|()|2
i f x n ε
+<
,对
0,1,,i k
= 都成立;
故当
1
x N ≥+时,便有
|()||([])||()([])|i i f x f x x f x f x x ≤++-+2
2
εεε<+=,
即得()0
lim x f x →+∞
=,结论得证。
设
f
在
[0,)+∞上的连续,且对任何[0,1]x ∈,有
()0
lim n f x n →∞
+=,
但推不出上述结论。 例如函数
22sin ()1sin x x
f x x x
ππ=
+满足在
[0,
+∞上的连续,且对任何
[0,1]
x ∈,有
()0
l i m
n f x n
→∞
+=,
但不成立()0
lim x f x →+∞
= 。
2012年全国大学生数学专业竞赛试题及解答
(1)计算积分
22
2
,0,0.x x
e e dx x
αβαβ--+∞->>?
解 方法一 直接利用分部积分法得
2
2
2
x x e
e dx x αβ--+∞
-?
2
2
1
()()x x e
e
dx x
αβ+∞
--'=--?
220
1
(22)()x x xe xe dx x
αβαβ+∞
--=--+-?
2
2
(22)x x e
e
dx αβαβ+∞
--=--?
)2
2
(2π
βπ
α?
-?
-=)(αβπ-=;
方法二 不妨设0αβ<<,由于dy e x
e e yx x
x ?---=-β
α
βα2
2
2
2
,
而积分
2
0yx e dx +∞
-?
关于y 在[,]αβ上一致收敛,故可交换积分次序
2
2
2
x x
e e dx x
αβ--+∞
-?
2
yx dx e
dy β
α
+∞
-=?
?2
yx dy e dx β
α
+∞
-=
??
dy y
?=
β
α
π
2
1)(αβπ-=;
方法三 将0β
>固定,记2
2
2
(),0x x
e e I dx x αβαα--+∞-=>?
, 可证()I α在(0,)+∞上收敛.
设[,),0αδδ∈+∞> ,
因为2
2
x x e e
αδ--≤,而
2
x e dx δ∞
-?
+0
收敛,
所以由Weierstrass 判别法知道
2
x e
dx α∞
-?
+0
对[,)αδ∈+∞一致收敛.所以可以交换微分运算和积分运算的次序,
即
22
2
()()x x
e e I dx x αβαα--+∞
?-'=??
2
()x e dx α+∞
-=-?
1
2
π
α=-
.
由δ的任意性,上式在(0,)+∞上成立.
所以
()I C απα=-+,由于()0,,I C βπβ== 所以)()(αβπα-=I ,
即dx x e
e
x x ?
∞
+---0
2
2
2
βα)(αβπ-=.
(2)若关于x 的方程21
1kx x
+=,()0k >在区间()0,+∞内有唯一的实数解,求常数k .
解:设
()211f x kx x =+
-,则有()32f x k x
'=-, 当1320,x k ???? ?∈ ? ?????时,()0f x '<;当1
32,x k ????
?∈+∞ ? ?????
时,()0f x '>.
由此
()f x 在1
3
2x k ??
= ?
??
处达到最小值,
又
()21
1f x kx x
=+-在()0,+∞内有唯一的零点,
必有
1
320f k ??
?? ?= ? ?????
,13322102k k k ????+-= ? ?????,
32123
31214k ???? ?+= ? ?????,22714k ?=, 所以233
k =
.
(3)设函数()f x 在区间[],a b 上连续,由积分中值公式,有()()()x
a
f t dt x a f ξ=-?,()a x b ξ≤≤≤,若导数()f a +'存
在且非零,
求
lim x a
a
x a
ξ+
→--.
解:
()()()()()()()x a
f t f a dt x a f f a ξ-=--?,
()()()
()()()21
x a a
a f t f a dt x a f f a x a ξξξ--=?----?, 由条件,可知
()()()
1
l i m x a
a f f a f a ξξ+
→+-='-,
()()()()
()()()
()2
1lim lim 22
x
a
x a x a f t f a dt f x f a f a x a x a +
+
+
→→--'==--?,
故有1
lim
2
x a a
x a ξ+→-=-.
二、设函数
()f x 在0x =附近可微,()00f =,()0f a '=,
定义数列22212n
n x f f f n n n ??????=+
++ ? ? ???????
. 证明:
{}n x 有极限并求其值.
证明:由导数的定义,
对于任意
0ε>,存在0δ>,当0||x δ<<时,有
()
f x a x
ε-<. 于是
()()()a x f x a x εε-<<+,()0x δ<<
从而,当1n
δ->时,有
21
k n n
δ<<, ()()222
k k k a f a n n n εε??
-<<+ ???
,其中1,2,,k
n = .
对于上式求和,得到
()()22
11n
n
n k k k k
a x a n n
εε==-<<+∑∑,
即
()
()11
22n n n a x a n n
εε++-<<+, 令n →∞,有
()()11
lim lim 22
n n n n a x x a εε→∞→∞-≤≤≤+, 由
0ε>的任意性,得到 lim 2
n n a
x →∞
=
. 设
()f x 在()1,1-上有定义,在0x =处可导,且()00f =.
证明:()21
0lim
2n
n k f k f n →∞
='??= ???
∑
.
三、设函数
f
在
[0,)+∞上一致连续,且对任何[0,1]x ∈,有
()0
lim n f x n →∞
+=,
证明:
()0
lim x f x →+∞
=。
试举例说明,仅有f
在
[0,)+∞上的连续性推不出上述结论。
证明 证法一
由
f
在
[0,)+∞上一致连续,对0>?
ε,
δ?>,
当
12,[0,)
y y ∈+∞
且
12||y y δ
-<时,
便有
12|()()|2
f y f y ε
-<
;
取定充分大的正整数k ,使得1k
δ<。现把区间[0,1]k 等分,设其分点为,0,1,,i
i
x i k k
== ,每个小区间的长度小
于
δ
。
对于任意
1x >,[][0,1)x x -∈;
从而必有
,{0,1,,}i x i k ∈ ,使得|[]|i x x x δ
--<;
由条件对每个
i x ,有
()0
lim i
n f x n →∞
+=;
于是存在N ,当n N >
时,
|()|2
i f x n ε
+<
,对
0,1,,i k
= 都成立;
故当
1
x N ≥+时,便有
|()||([])||()([])|i i f x f x x f x f x x ≤++-+2
2
εεε<+=,
即得
()0
lim x f x →+∞
=,结论得证。
证法二 设
()()n f x f x n =+,由题设条件知
{()}n f x 在[0,1]上等度一致连续,对每一[0,1]x ∈,有()0lim n n f x →∞
=;
利用Osgood 定理得,
{()}n f x 在[0,1]上一致收敛于0,
对0
>?ε,存在N ,当n N >
时,
有
|()||()|n f x n f x ε+=<,[0,1]x ∈,
从而当
1
x N ≥+时,有
|()|f x ε<,
即得()0
lim x f x →+∞
=,结论得证。
设
f
在
[0,)+∞上的连续,且对任何[0,1]x ∈,
有
()0
lim n f x n →∞
+=,但推不出
()0
lim x f x →+∞
=。
例如函数
22
sin ()1sin x x
f x x x
ππ=+满足在
[0,
+∞上的连续,且对任何
[0,1]
x ∈,有
()0
l i m
n f x n
→∞
+=,
但不成立()0
lim x f x →+∞
= 。
四、设(){}2
2,:1D x y x
y =+<,(),f x y 在D 内连续,(),g x y 在D 内连续有界,且满足条件:
当2
21x
y +→时,(),f x y →+∞;
在D 中f 与g 有二阶偏导数,
2222
f
f f e x y
??+=??,2222g g g e x y ??+≥??. 证明:
()(),,f x y g x y ≥在D 内处处成立.
证明:设()()(),,,u
x y f x y g x y =-,
则有
f g
u f g e e ?=?-?≤-()(
)1
10
tf t g
e
dt
+-'
=?
()
110
tf t g
e
dt u +-=?? (),C x y u =?.
于是
(),0u C x y u -?+?≥,(),x y D ∈ , (),0C x y >;
由已知条件,存在001r <<,当01r r <<时,
有
()()(),,,0u x y f x y g x y =->, 222x y r +=.
记()(){}222,:D
r x y x y r =+<,
设 ()(),()
min ,x y D r m u x y ∈=,我们断言,必有0m ≥,
假若0m <,则必有()()00,x y D r ∈,使得 ()00,u x y m =;
易知()00,0u x y -?≤, ()()0000,,0C x y u x y <.
()()(
)
00,,0x y u C x y u -?+?<
这与(),0u C x y u -?+?≥矛盾,
所以
0m ≥
从而
(),0u x y ≥,()(),x y D r ∈;
由r 的任意性,得
(),0u x y ≥, (),x y D ∈.
故在D 内处处成立()(),,f x y g x y ≥.
五、 设(){},:01,01R x y x y =≤≤≤≤(){},:01,01R x y x y εεε=≤≤-≤≤-.
考虑积分1R
dxdy
I
xy =-??
,1R dxdy I xy ε
ε=-??,定义0lim I I εε+→=,
(1)证明
21
1
n I n ∞
==∑
;
(2)利用变量替换:()()
1212
u x y v y x ?
=+????=-??,计算积分I 的值,并由此推出22116n n π∞==∑.
证明:(1)由
()
1
1
1
1n n xy xy
∞
-==-∑,在R ε上一致收敛,可以进行逐项积分
1111n n n R R dxdy I x y dxdy xy ε
εε∞--=??
== ?-??∑????
11110
1
n n n x y dxdy ε
ε
∞
----==∑?
?
()
22
1
1n
n n
ε∞
=-=∑
,
又
()22
211n
n
n
ε-≤,
所以
()
22
1
1n n n
ε∞
=-∑
关于
()0,1ε∈是一致收敛的,可以逐项求极限,
于是有
()
22
20
1
111
lim lim n
n n I n
n
εεεε++∞
∞
→→==-==∑
∑
.
故有
211n I n
∞
==∑
;
(2) x u v =-,y u v =+
()
()
,2,x y u v ?=?, 22xy u v =-
()()11,:0,0,:1,0122u v u v u u v u v u ????
Ω=≤≤≤≤≤≤≤≤-????????
()()11,:0,0,:1,1022u v u u v u v u u v ????
≤≤-≤≤≤≤-+≤≤????????
注意到区域Ω关于u 轴对称
()
22
2
11R
dxdy I dudv xy u v Ω==---????
111212222
0002112211u u dv du dv du u v u v -??????=?+?? ? ?-+-+?
?????????
()124I I =+;
1
212
2
1arctan
11v u
v v I du u
u
===--?
122
2
1arctan 11u du u
u
=--?
62
2
01
sin sin arctan cos 1sin 1sin t u t tdt t
t
π=--?
2
2
60
1126418
tdt π
ππ??
=== ????;
11
1
22
22
1arctan
11v u v v I du u u =-==--?
1
1
2
2
2
11arctan 11u du u
u
-=--?
2
26
1
1sin sin arctan cos cos 1sin t u t tdt t t
π
π
-=?-? 261sin arctan cos t dt t π
π-=? 261tan
2arctan 1tan
2
t
dt t π
π-=+?
2
6
arctan tan 42t dt π
π
π????=- ? ?????
?
2222611124242622436418t dt π
ππππππππ??????
=-=--?-=? ? ? ???
?????; 或者利用分部积分,得
2
6
1sin arctan cos t dt t
π
π
-?
2
226
6
1sin 1
1sin arctan
cos cos 1sin 1cos t
t t t dt t
t t t ππ
ππ'--??
=-
???-??+ ???
?
261662t dt π
πππ
??=-
?
-- ???
?
2
222
11123622436418
ππππ??=-+?-=? ???,
于是()22212121418186
I I I πππ=+=+=, 故
2
2116
n n
π∞
==∑
. 高等数学竞赛试题7答案
一、求由方程
032=-+xy y x 所确定的函数()x y y =在()+∞,0内的极值,并判断是极大值还是极小值.
解:对032=-+xy y x 两边求导得()2230x y y y xy ''+-+=,
223y x
y y x -'=
-
令
0y '=得2y x =,代入原方程解得11,84x y ==
. ()()()()
()
21111
2
2,,,084
84
232613x y x y y y y x y x yy y y x '=====''-----''
=
-.
故当
18x =
时,y 取极大值1
4.
二、设
xy y x u -+=1arctan
,求x u ??,
22x u ??.
解:
()()2
2
11111xy y
y x xy xy y x x
u
-++-???
? ??-++=??=2
11
x
+,
22x u ??=()
2
2
12x
x
+-
三、计算曲线积分
?+-=L
y x ydx
xdy I 224,其中L 是以点(1,0)为中心,R 为半径的圆周,0>R 1≠R ,取逆时针方向.
解:
()2
2
4,y x y
y x P +-=, ()2
2
4,y x x
y x Q +=, 当
()()0,0,≠y x 时,
()
x Q y x x y y P ??=+-=??22
22244, 当
10< ()D ?0,0,由格林公式知,0=I . 当1>R 时, ()D ∈0,0,作足够小的椭圆曲线?????==θεθ εsin cos 2 :y x C ,θ从0到π2. 当0>ε 充分小时,C 取逆时针方向,使D C ?,于是由格林公式得 042 2=+-?- +C L y x ydx xdy , 因此?+-L y x ydx xdy 224?+-=C y x ydx xdy 224 = θ εεπ d ?202 2 21 =π 四、设函数 ()x f 在()+∞,0内具有连续的导数,且满足 ()() () 4 22 222t dxdy y x f y x t f D +++=??, 《高数》试卷1(上) 一.选择题(将答案代号填入括号内,每题3分,共30分). 1.下列各组函数中,是相同的函数的是( ). (A )()()2ln 2ln f x x g x x == 和 (B )()||f x x = 和 ()2g x x = (C )()f x x = 和 ()()2 g x x = (D )()|| x f x x = 和 ()g x =1 2.函数()()sin 42 0ln 10x x f x x a x ?+-≠? =+?? =? 在0x =处连续,则a =( ). (A )0 (B )1 4 (C )1 (D )2 3.曲线ln y x x =的平行于直线10x y -+=的切线方程为( ). (A )1y x =- (B )(1)y x =-+ (C )()()ln 11y x x =-- (D )y x = 4.设函数()||f x x =,则函数在点0x =处( ). (A )连续且可导 (B )连续且可微 (C )连续不可导 (D )不连续不可微 5.点0x =是函数4 y x =的( ). (A )驻点但非极值点 (B )拐点 (C )驻点且是拐点 (D )驻点且是极值点 6.曲线1 || y x = 的渐近线情况是( ). (A )只有水平渐近线 (B )只有垂直渐近线 (C )既有水平渐近线又有垂直渐近线 (D )既无水平渐近线又无垂直渐近线 7. 211 f dx x x ??' ???? 的结果是( ). (A )1f C x ?? -+ ??? (B )1f C x ?? --+ ??? (C )1f C x ?? + ??? (D )1f C x ?? -+ ??? 8. x x dx e e -+?的结果是( ). (A )arctan x e C + (B )arctan x e C -+ (C )x x e e C --+ ( D )ln()x x e e C -++ 9.下列定积分为零的是( ). 前三届高数竞赛预赛试题(非数学类) (参加高等数学竞赛的同学最重要的是好好复习高等数学知识,适当看 一些辅导书及相关题目,主要是一些各大高校的试题。) 2009-2010年第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷 一、填空题(每小题5分) 1.计算=--++??y x y x x y y x D d d 1) 1ln()(16/15,其中区域D 由直线1=+y x 与 两坐标轴所围成三角形区域. 解:令v x u y x ==+,,则v u y v x -==,,v u v u y x d d d d 1110det d d =??? ? ??-=, ? -=10 2 d 1u u u (*) 令u t -=1,则21t u -= dt 2d t u -=,42221t t u +-=,)1)(1()1(2t t t u u +-=-, 2.设)(x f 是连续函数,且满足?--=2 022d )(3)(x x f x x f ,则 =)(x f ____________. 解:令?=2 0d )(x x f A ,则23)(2--=A x x f , A A x A x A 24)2(28d )23(20 2-=+-=--= ? , 解得3 4=A 。因此3 10 3)(2- =x x f 。 3.曲面22 22 -+=y x z 平行平面022=-+z y x 的切平面方程是 __________. 解:因平面022=-+z y x 的法向量为)1,2,2(-,而曲面 2 2 22-+=y x z 在 ) ,(00y x 处的法向量为 )1),,(),,((0000-y x z y x z y x ,故)1),,(),,((0000-y x z y x z y x 与)1,2,2(-平 行,因此,由 x z x =, y z y 2=知 第一章 函数 一、选择题 1. 下列函数中,【 】不是奇函数 A. x x y +=tan B. y x = C. )1()1(-?+=x x y D. x x y 2sin 2 ?= 2. 下列各组中,函数)(x f 与)(x g 一样的是【 】 A. 3 3)(,)(x x g x x f = = B.x x x g x f 22tan sec )(,1)(-== C. 1 1)(,1)(2+-=-=x x x g x x f D. 2 ln )(,ln 2)(x x g x x f == 3. 下列函数中,在定义域内是单调增加、有界的函数是【 】 A. +arctan y x x = B. cos y x = C. arcsin y x = D. sin y x x =? 4. 下列函数中,定义域是[,+]-∞∞,且是单调递增的是【 】 A. arcsin y x = B. arccos y x = C. arctan y x = D. arccot y x = 5. 函数arctan y x =的定义域是【 】 A. (0,)π B. (,) 22ππ- C. [,] 22ππ- D. (,+)-∞∞ 6. 下列函数中,定义域为[1,1]-,且是单调减少的函数是【 】 A. arcsin y x = B. arccos y x = C. arctan y x = D. arccot y x = 7. 已知函数arcsin(1)y x =+,则函数的定义域是【 】 A. (,)-∞+∞ B. [1,1]- C. (,)ππ- D. [2,0]- 8. 已知函数arcsin(1)y x =+,则函数的定义域是【 】 A. (,)-∞+∞ B. [1,1]- C. (,)ππ- D. [2,0]- 9. 下列各组函数中,【 】是相同的函数 A. 2()ln f x x =和 ()2ln g x x = B. ()f x x =和()g x = C. ()f x x =和()2 g x = D. ()sin f x x =和()arcsin g x x = 10. 设下列函数在其定义域内是增函数的是【 】 A. ()cos f x x = B. ()arccos f x x = C. ()tan f x x = D. ()arctan f x x = 11. 反正切函数arctan y x =的定义域是【 】 A. (,)22 ππ - B. (0,)π C. (,)-∞+∞ D. [1,1]- 12. 下列函数是奇函数的是【 】 《高等数学》 一.选择题 1. 当0→x 时,)1ln(x y +=与下列那个函数不是等价的 ( ) A)、x y = B)、x y sin = C)、x y cos 1-= D)、1-=x e y 2. 函数f(x)在点x 0极限存在是函数在该点连续的( ) A )、必要条件 B )、充分条件 C )、充要条件 D )、无关条件 3. 下列各组函数中,)(x f 和)(x g 不是同一函数的原函数的有( ). A)、()()() 222 1 ,21)(x x x x e e x g e e x f ---=-= B) 、(( )) ()ln ,ln f x x g x x ==- C)、()()x x g x x f --=-=1arcsin 23,12arcsin )( D)、()2 tan ,sec csc )(x x g x x x f =+= 4. 下列各式正确的是( ) A )、2ln 2x x x dx C =+? B )、sin cos tdt t C =-+? C )、 2arctan 1dx dx x x =+? D )、2 11 ()dx C x x -=-+? 5. 下列等式不正确的是( ). A )、()()x f dx x f dx d b a =??????? B )、()()()[]()x b x b f dt x f dx d x b a '=??????? C )、()()x f dx x f dx d x a =??????? D )、()()x F dt t F dx d x a '=???? ??'? 6. ln(1)lim x x t dt x →+=?( ) A )、0 B )、1 C )、2 D )、4 7. 设bx x f sin )(=,则=''?dx x f x )(( ) A )、 C bx bx b x +-sin cos B ) 、C bx bx b x +-cos cos C )、C bx bx bx +-sin cos D )、C bx b bx bx +-cos sin 《 高等数学》 一.选择题 1.当0→x 时,)1ln(x y +=与下列那个函数不是等价的() A)、x y =B)、x y sin =C)、x y cos 1-=D)、1-=x e y 2.函数f(x)在点x 0极限存在是函数在该点连续的() A )、必要条件 B )、充分条件 C )、充要条件 D )、无关条件 3.下列各组函数中,)(x f 和)(x g 不是同一函数的原函数的有(). A)、()()() 222 1 ,21)(x x x x e e x g e e x f ---=-= B) 、 (( )) ()ln ,ln f x x g x x ==- C)、()()x x g x x f --=-=1arcsin 23,12arcsin )( D)、()2 tan ,sec csc )(x x g x x x f =+= 4.下列各式正确的是() A )、2ln 2x x x dx C =+? B )、sin cos tdt t C =-+? C )、 2arctan 1dx dx x x =+?D )、2 11 ()dx C x x -=-+? 5.下列等式不正确的是(). A )、 ()()x f dx x f dx d b a =???????B )、()()()[]()x b x b f dt x f dx d x b a '=???? ??? C )、()()x f dx x f dx d x a =???????D )、()()x F dt t F dx d x a '=???? ??'? 6.0 ln(1)lim x x t dt x →+=?() A )、0 B )、1 C )、2 D )、4 7.设bx x f sin )(=,则=''?dx x f x )(() 期末总复习题 一、填空题 1、已知向量2a i j k =+-r r r r ,2b i j k =-+r r r r ,则a b ?r r = -1 。 2、曲线2x z =绕z 轴旋转所得曲面方程为 z=x 2 + y 2 。 3、级数1113n n n ∞=?? + ???∑的敛散性为 发散 。 4、设L 是上半圆周222a y x =+(0≥y ),则曲线积分221L ds x y +?= a π 5.交换二重积分的积分次序:??--012 1),(y dx y x f dy =dy y x dx ),(f 0x -121?? 6.级数∑∞=+1)1(1 n n n 的和为 1 。 二、选择题 1、平面0)1(3)1(=+++-z y x 和平面02)1()2(=+--+z y x 的关系 ( B ) A 、重合 B 、平行但不重合 C 、一般斜交 D 、垂直 2. 下列曲面中为母线平行于z 轴的柱面的是 ( C ) A 、2221x z += B 、2221y z += C 、2221x y += D 、22221x y z ++= 3. 设)0(4:22>≤+y y x D ,则32222ln(1) 1D x x y dxdy x y ++=++??( A ) A 、2π B 、0 C 、1 D 、4π 4、设)0(4:22>≤+y y x D ,则??=D dxdy ( A ) A 、π16 B 、π4 C 、π8 D 、π2 5、函数22504z x y =--在点(1,-2)处取得最大方向导数的方向是 ( A ) A 、216i j -+ B 、216i j -- C 、216i j + D 、216i j - 6、微分方程222()()0y y y '''+-=的阶数为 ( B ) A 、1 B 、2 C 、4 D 、6 7.下列表达式中,微分方程430y y y ''-+=的通解为 ( D ) A 、3x x y e e C =++ B 、3x x y e Ce =+ C 、3x x y Ce e =+ D 、312x x y C e C e =+ 8.lim 0n n u →∞=为无穷级数1 n n u ∞=∑收敛的 ( B ) A 、充要条件 B 、 必要条件 C 、充分条件 D 、什么也不是 三、已知1=a ?,3=b ?,b a ??⊥,求b a ??+与b a ? ?-的夹角.P7 前三届高数竞赛预赛试题(非数学类) (参加高等数学竞赛的同学最重要的是好好复习高等数学知识,适当看 一些辅导书及相关题目,主要是一些各大高校的试题。) 2009-2010年 第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷 一、填空题(每小题5分) 1.计算=--++??y x y x x y y x D d d 1) 1ln()(16/15,其中区域D 由直线1=+y x 与两坐标轴所围成三角形区域. 解: 令v x u y x ==+,,则v u y v x -==,,v u v u y x d d d d 1110det d d =??? ? ??-=, v u u v u u u y x y x x y y x D D d d 1ln ln d d 1) 1ln()(????--= --++ ????----=---=10 2 1 0d 1)ln (1ln d )d ln 1d 1ln (u u u u u u u u u u v v u u v u u u u u ? -=1 2 d 1u u u (*) 令u t -=1,则2 1t u -= dt 2d t u -=,42221t t u +-=,)1)(1()1(2t t t u u +-=-, ?+--=0 1 42d )21(2(*)t t t ? +-=10 4 2 d )21(2t t t 1516513 2 21 053= ??????+-=t t t 2.设)(x f 是连续函数,且满足? -- =20 22d )(3)(x x f x x f , 则=)(x f ____________. 解: 令? = 20 d )(x x f A ,则23)(2--=A x x f , A A x A x A 24)2(28d )23(20 2-=+-=--= ? , 解得34= A 。因此3 10 3)(2-=x x f 。 3.曲面22 22 -+=y x z 平行平面022=-+z y x 的切平面方程是__________. 解: 因平面022=-+z y x 的法向量为)1,2,2(-,而曲面2222 -+=y x z 在) ,(00y x 处 的 法 向 量 为 ) 1),,(),,((0000-y x z y x z y x ,故 )1),,(),,((0000-y x z y x z y x 与)1,2,2(-平行,因此,由x z x =,y z y 2=知0000002),(2,),(2y y x z x y x z y x ====, 即1,200==y x ,又5)1,2(),(00==z y x z ,于是曲面022=-+z y x 在 )),(,,(0000y x z y x 处的切平面方程是0)5()1(2)2(2=---+-z y x ,即曲面 22 22-+=y x z 平行平面 022=-+z y x 的切平面方程是0122=--+z y x 。 4.设函数)(x y y =由方程29ln )(y y f e xe =确定,其中f 具有二阶导数,且1≠'f ,则 =2 2d d x y ________________. 解: 方程29ln )(y y f e xe =的两边对x 求导,得 29ln )()()(y e e y y f x e y y f y f '=''+ 因)(29ln y f y xe e =,故 y y y f x '=''+)(1 ,即))(1(1y f x y '-= ',因此 2 222)](1[)())(1(1d d y f x y y f y f x y x y '-' ''+'--=''= 3 22 232)] (1[)](1[)())(1(1)](1[)(y f x y f y f y f x y f x y f '-'--''='--'-''= 二、(5分)求极限x e nx x x x n e e e )( lim 20+++→Λ,其中n 是给定的正整数. 解 :因 高等数学试题及答案文件排版存档编号:[UYTR-OUPT28-KBNTL98-UYNN208] 《 高等数学 》 一.选择题 1. 当0→x 时,)1ln(x y +=与下列那个函数不是等价的 ( ) A)、x y = B)、x y sin = C)、x y cos 1-= D)、1-=x e y 2. 函数f(x)在点x 0极限存在是函数在该点连续的( ) A)、必要条件 B)、充分条件 C)、充要条件 D)、无关条件 3. 下列各组函数中,)(x f 和)(x g 不是同一函数的原函数的有( ). A)、()()() 222 1 ,21)(x x x x e e x g e e x f ---=-= B) 、(( )) ()ln ,ln f x x g x x ==- C)、()()x x g x x f --=-=1arcsin 23,12arcsin )( D)、()2 tan ,sec csc )(x x g x x x f =+= 4. 下列各式正确的是( ) A )、2ln 2x x x dx C =+? B )、sin cos tdt t C =-+? C )、2arctan 1dx dx x x =+? D )、211 ()dx C x x -=-+? 5. 下列等式不正确的是( ). A )、()()x f dx x f dx d b a =??????? B )、()()()[]()x b x b f dt x f dx d x b a '=??????? C )、()()x f dx x f dx d x a =??????? D )、()()x F dt t F dx d x a '=????? ?'? 6. 0 ln(1)lim x x t dt x →+=?( ) A )、0 B )、1 C )、2 D )、4 7. 设bx x f sin )(=,则=''?dx x f x )(( ) A )、C bx bx x +-sin cos B )、C bx bx x +-cos cos 四川理工学院试卷(2007至2008学年第一学期) 课程名称: 高等数学(上)(A 卷) 命题教师: 杨 勇 适用班级: 理工科本科 考试(考查): 考试 2008年 1 月 10日 共 6 页 注意事项: 1、 满分100分。要求卷面整洁、字迹工整、无错别字。 2、 考生必须将姓名、班级、学号完整、准确、清楚地填写在试卷规定的地方,否 则视为废卷。 3、 考生必须在签到单上签到,若出现遗漏,后果自负。 4、 如有答题纸,答案请全部写在答题纸上,否则不给分;考完请将试卷和答题卷 分别一同交回,否则不给分。 试 题 一、单选题(请将正确的答案填在对应括号内,每题3分,共15分) 1. =--→1 ) 1sin(lim 21x x x ( C ) (A) 1; (B) 0; (C) 2; (D) 2 1 2.若)(x f 的一个原函数为)(x F ,则dx e f e x x )(? --为( B ) (A) c e F x +)(; (B) c e F x +--)(; (C) c e F x +-)(; (D ) c x e F x +-) ( 3.下列广义积分中 ( D )是收敛的. (A) ? +∞ ∞ -xdx sin ; (B)dx x ? -111 ; (C) dx x x ?+∞ ∞-+2 1; (D)?∞-0dx e x 。 4. )(x f 为定义在[]b a ,上的函数,则下列结论错误的是( B ) (A) )(x f 可导,则)(x f 一定连续; (B) )(x f 可微,则)(x f 不一定可导; (C) )(x f 可积(常义),则)(x f 一定有界; (D) 函数)(x f 连续,则? x a dt t f )(在[]b a ,上一定可导。 5. 设函数=)(x f n n x x 211lim ++∞→ ,则下列结论正确的为( D ) (A) 不存在间断点; (B) 存在间断点1=x ; (C) 存在间断点0=x ; (D) 存在间断点1-=x 二、填空题(请将正确的结果填在横线上.每题3分,共18分) 1. 极限=-+→x x x 1 1lim 20 _0____. 2. 曲线? ??=+=3 2 1t y t x 在2=t 处的切线方程为______. 3. 已知方程x xe y y y 265=+'-''的一个特解为x e x x 22 )2(2 1+- ,则该方程的通解为 . 4. 设)(x f 在2=x 处连续,且22 ) (lim 2=-→x x f x ,则_____)2(='f 5.由实验知道,弹簧在拉伸过程中需要的力F (牛顿)与伸长量s 成正比,即ks F =(k 为比例系数),当把弹簧由原长拉伸6cm 时,所作的功为_________焦耳。 6.曲线23 3 2 x y =上相应于x 从3到8的一段弧长为 . 三、设0→x 时,)(22 c bx ax e x ++-是比2 x 高阶的无穷小,求常数c b a ,,的值(6分) 大连市高等数学竞赛试 题B答案 HEN system office room 【HEN16H-HENS2AHENS8Q8-HENH1688】 大连市第二十三届高等数学竞赛试卷 答案(B) 一、填空题(本大题共5小题,每小题2分, 计10分) 1. n ? ?∞→= e^2 . 2. 30tan sin lim x x x x →- = 1/2 . 3. 0 lim x x x + →= 1 . 4. 2 cos lim x x t dt x →?= 1 . 5. 若221lim 2,2 x x ax b x x →--=+-则(,)(4,5).a b =- 二、(本题10分)设?????=≠=),0(1),0(1sin )(3 x x x x x f 求)(x f '. 解 当0≠x 时,x x x f 1 sin )(3=为一初等函数,这时 ; 1 cos 1sin 311cos 1sin 3)(2232x x x x x x x x x x f -=? ?? ??-??? ?? +='(6分) 当0=x 时,由于 ),0(01 sin lim )(lim 300f x x x f x x ≠==→→(8分) 所以)(x f 在0=x 处不连续,由此可知)(x f 在0=x 处不可导。(10分) 解:0,1,1x x x ===-为间断点。(3分) 当0x =时, 由于00lim ()lim 1,1|| x x x f x x x ++→→==+ 而00lim ()lim 1,x x f x --→→==- 所以0x =是跳跃间断点。(5分) 当1x =时, 由于11lim ()lim 1,1|| x x x f x x x →→==+ 所以1x =是可去间断点。(7分) 当1x =-时, 而1 lim (),x f x →-=∞ 所以1x =-是无穷间断点。(8分) 考生注意: 考试时间 150 分钟 试卷总分 100 分 共 四 页 第 1页 WORD 格式 第一章 函数与极限 §1 函数 必作习题 P16-18 4 (5) (6) (8),6,8,9,11,16,17 必交习题 一、一列火车以初速度0v ,等加速度a 出站,当速度达到1v 后,火车按等速运动前进;从 出站经过T 时间后,又以等减速度a 2进站,直至停止。 (1) 写出火车速度v 与时间t 的函数关系式; (2) 作出函数)(t v v =的图形。 二、 证明函数1 2+= x x y 在),(+∞-∞内是有界的。 三、判断下列函数的奇偶性: (1)x x x f 1sin )(2= ; (2)1 212)(+-=x x x f ; (3))1ln()(2++=x x x f 。 四、 证明:若)(x f 为奇函数,且在0=x 有定义,则0)0(=f 。 WORD 格式 §2 初等函数 必作习题 P31-33 1,8,9,10,16,17 必交习题 一、 设)(x f 的定义域是]1,0[,求下列函数的定义域: (1))(x e f ; (2))(ln x f ; (3))(arcsin x f ; (4))(cos x f 。 二、(1)设)1ln()(2x x x f +=,求)(x e f -; (2)设23)1(2+-=+x x x f ,求)(x f ; (3)设x x f -= 11)(,求)]([x f f ,})(1{x f f 。)1,0(≠≠x x 三、设)(x f 是x 的二次函数,且1)0(=f ,x x f x f 2)()1(=-+,求)(x f 。 四、设???>+≤-=0, 20, 2)(x x x x x f ,???>-≤=0,0,)(2x x x x x g ,求)]([x g f 。 《高等数学》 专业 年级 学号 姓名 一、判断题. 将√或×填入相应的括号内.(每题2分,共20分) ( )1. 收敛的数列必有界. ( )2. 无穷大量与有界量之积是无穷大量. ( )3. 闭区间上的间断函数必无界. ( )4. 单调函数的导函数也是单调函数. ( )5. 若)(x f 在0x 点可导,则)(x f 也在0x 点可导. ( )6. 若连续函数)(x f y =在0x 点不可导,则曲线)(x f y =在))(,(00x f x 点没有切线. ( )7. 若)(x f 在[b a ,]上可积,则)(x f 在[b a ,]上连续. ( )8. 若),(y x f z =在(00,y x )处的两个一阶偏导数存在,则函数),(y x f z =在(00,y x )处可微. ( )9. 微分方程的含有任意常数的解是该微分方程的通解. ( )10. 设偶函数)(x f 在区间)1,1(-内具有二阶导数,且 1)0()0(+'=''f f , 则 )0(f 为)(x f 的一个极小值. 二、填空题.(每题2分,共20分) 1. 设2 )1(x x f =-,则=+)1(x f . 2. 若1 212)(11+-= x x x f ,则=+→0 lim x . 3. 设单调可微函数)(x f 的反函数为)(x g , 6)3(,2)1(,3)1(=''='=f f f 则 =')3(g . 4. 设y x xy u + =, 则=du . 5. 曲线3 26y y x -=在)2,2(-点切线的斜率为 . 6. 设)(x f 为可导函数,)()1()(,1)1(2 x f x f x F f +==',则=')1(F . 7. 若 ),1(2)(0 2x x dt t x f +=? 则=)2(f . 8. x x x f 2)(+=在[0,4]上的最大值为 . 9. 广义积分 =-+∞? dx e x 20 . 10. 设D 为圆形区域=+≤+??dxdy x y y x D 5 2 2 1, 1 . 三、计算题(每题5分,共40分) 1. 计算)) 2(1 )1(11(lim 222n n n n ++++∞→Λ. 2. 求10 3 2 )10()3()2)(1(++++=x x x x y ΛΛ在(0,+∞)内的导数. 3. 求不定积分 dx x x ? -) 1(1. 4. 计算定积分 dx x x ? -π 53sin sin . 5. 求函数2 2 3 24),(y xy x x y x f -+-=的极值. 6. 设平面区域D 是由x y x y == ,围成,计算dxdy y y D ?? sin . 7. 计算由曲线x y x y xy xy 3,,2,1====围成的平面图形在第一象限的面积. 8. 求微分方程y x y y 2- ='的通解. 四、证明题(每题10分,共20分) 1. 证明:tan arc x = )(+∞<<-∞x . 高等数学(下)模拟试卷一 一、填空题(每空3分,共15分) (1)函数 11z x y x y =+ +-的定义域为 (2)已知函数 arctan y z x =,则z x ?= ? (3)交换积分次序, 2 220 (,)y y dy f x y dx ? ? = (4)已知L 是连接(0,1),(1,0)两点的直线段,则 ()L x y ds +=? (5)已知微分方程230y y y '''+-=,则其通解为 二、选择题(每空3分,共15分) (1)设直线L 为321021030x y z x y z +++=?? --+=?,平面π为4220x y z -+-=,则() A.L 平行于πB.L 在π上C.L 垂直于πD.L 与π斜交 (2)设是由方程 222 2xyz x y z +++=确定,则在点(1,0,1)-处的dz =() dx dy +2dx dy +22dx dy +2dx dy -(3)已知Ω是由曲面222425()z x y =+及平面5 z =所围成的闭区域,将 2 2()x y dv Ω +???在柱面坐标系下化成三次积分为() 22 5 3 d r dr dz πθ? ??. 24 5 3 d r dr dz πθ? ?? 22 5 3 50 2r d r dr dz πθ? ??. 22 5 20 d r dr dz π θ? ?? (4)已知幂级数,则其收敛半径() 2112 2(5)微分方程3232x y y y x e '''-+=-的特解y *的形式为y * =() ()x ax b xe +()x ax b ce ++()x ax b cxe ++ 三、计算题(每题8分,共48分) 1、 求过直线1L :1231 01x y z ---==-且平行于直线2L :21211x y z +-==的平面方程 2、 已知 22 (,)z f xy x y =,求z x ??,z y ?? 3、 设 22{(,)4}D x y x y =+≤,利用极坐标求 2 D x dxdy ?? 4、 求函数 22 (,)(2)x f x y e x y y =++的极值 得分 阅卷人 【最新整理,下载后即可编辑】 第二十届高等数学竞赛试卷 一、填空题(每小题5分,本题共50分): 1. 若0→x 时,1)1(4 1 2 --ax 与x x sin 是等价无穷小,则= a . 2. = +→) 1ln(1 2) (cos lim x x x . 3. 设函数2 301sin d ,0,(),0,x t t x f x x a x ?≠?=??=?? 在0x =处连续,则a = . 4. =??+??=y z y x z x x y xy z 则设,sin . 5. 的解为: 满足微分方程9 1 )1(ln 2-==+'y x x y y x . _______ )()( ,,)()(,.=-=???≤≤==>??D dxdy x y g x f I D x a x g x f a 则表示全平面, 而其他若设01 006 7.. d tan )cos (222 22005= +? -x x x x π π 8. . sin 2sin sin 1lim = ??? ??+++∞→n n n n n n πππ 9. . ,1222= ≤++Ω???Ω dv e z y x z 计算 所界定由设空间区域 10. 设在上半平面{}(,)|0D x y y =>内,函数 (,)f x y 具有连续偏导 数,且对任意的0t >都有2(,)(,)f tx ty t f x y -=. 对D 内的任意分段光滑的有向简单闭曲线L ,则 .. ),(),(= -?dy y x f x x d y x f y L 二、计算题(每小题6分,本题共42分): . ,)()(cos .的解,并求满足化简微分方程:用变量代换2101010 2=' ==+'-''-<<===x x y y y y x y x t t x π 解题过程是: 《高数》习题1(上) 一.选择题 1.下列各组函数中,是相同的函数的是( ). (A )()()2ln 2ln f x x g x x == 和 (B )()||f x x = 和 ( )g x =(C )()f x x = 和 ( )2 g x = (D )()|| x f x x = 和 ()g x =1 4.设函数()||f x x =,则函数在点0x =处( ). (A )连续且可导 (B )连续且可微 (C )连续不可导 (D )不连续不可微 7. 211 f dx x x ??' ???? 的结果是( ). (A )1f C x ?? - + ??? (B )1f C x ?? --+ ??? (C )1f C x ?? + ??? (D )1f C x ?? -+ ??? 10.设()f x 为连续函数,则()10 2f x dx '?等于( ). (A )()()20f f - (B )()()11102f f -????(C )()()1 202f f -??? ?(D )()()10f f - 二.填空题 1.设函数()21 00x e x f x x a x -?-≠? =??=? 在0x =处连续,则a = . 2.已知曲线()y f x =在2x =处的切线的倾斜角为5 6 π,则()2f '=. 3. ()21ln dx x x = +?. 三.计算 1.求极限 ①21lim x x x x →∞+?? ??? ②() 20sin 1 lim x x x x x e →-- 2.求曲线()ln y x y =+所确定的隐函数的导数x y '. 3.求不定积分x xe dx -? 2000年江苏省第五届高等数学竞赛试题(本科一级) 一、填空(每题3分,共15分) 1.设( )f x = ,则()f f x =???? . 2. 1lim ln 1 x x x x x x →-=-+ . 3. () 14 4 5 1x dx x =+? . 4.通过直线122123:32;:312321x t x t L y t L y t z t z t =-=+???? =+=-????=-=+?? 的平面方程为 . 5.设(),z z x y =由方程,0y z F x x ?? = ??? 确定(F 为任意可微函数),则z z x y x y ??+=?? 二、选择题(每题3分,共15分) 1.对于函数11 2121 x x y -= +,点0x =是( ) A. 连续点; B. 第一类间断点; C. 第二类间断点;D 可去间断点 2.设()f x 可导,()()() 1sin F x f x x =+,若欲使()F x 在0x =可导,则必有( ) A. ()00f '=; B. ()00f =;C. ()()000f f '+=;D ()()000f f '-= 3. () 00 sin lim x y x y x y →→+=- ( ) A. 等于1; B. 等于0;C. 等于1-;D 不存在 4.若 ()()0000,,, x y x y f f x y ????都存在,则 (),f x y 在()00,x y ( ) A. 极限存在,但不一定连续; B. 极限存在且连续; C. 沿任意方向的方向导数存在; D 极限不一定存在,也不一定连续 5.设α 为常数,则级数 21sin n n n α∞ =? ? ∑ ( ) A. 绝对收敛 B. 条件收敛; C. 发散; D 收敛性与α取值有关 --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 第一章 函数与极限 §1 函数 必作习题 P16-18 4 (5) (6) (8),6,8,9,11,16,17 必交习题 一、一列火车以初速度0v ,等加速度a 出站,当速度达到1v 后,火车按等速运动前进;从 出站经过T 时间后,又以等减速度a 2进站,直至停止。 (1) 写出火车速度v 与时间t 的函数关系式; (2) 作出函数)(t v v =的图形。 二、 证明函数1 2+=x x y 在),(+∞-∞内是有界的。 --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 三、判断下列函数的奇偶性: (1)x x x f 1sin )(2= ; (2)1 212)(+-=x x x f ; (3))1ln()(2++=x x x f 。 四、 证明:若)(x f 为奇函数,且在0=x 有定义,则0)0(=f 。 《高等数学-广东工业大学》 一.选择题 1. 当0→x 时,)1ln(x y +=与下列那个函数不是等价的 ( ) A)、x y = B)、x y sin = C)、x y cos 1-= D)、1-=x e y 2. 函数f(x)在点x 0极限存在是函数在该点连续的( ) A )、必要条件 B )、充分条件 C )、充要条件 D )、无关条件 3. 下列各组函数中,)(x f 和)(x g 不是同一函数的原函数的有( ). A)、()()() 222 1 ,21)(x x x x e e x g e e x f ---=-= B) 、(( )) ()ln ,ln f x x g x x ==- C)、()()x x g x x f --=-=1arcsin 23,12arcsin )( D)、()2 tan ,sec csc )(x x g x x x f =+= 4. 下列各式正确的是( ) A )、2l n 2x x x dx C =+? B )、s i n c o s t d t t C =-+ ? C )、 2a r c t a n 1dx dx x x =+? D )、211 ()dx C x x - =-+? 5. 下列等式不正确的是( ). A )、 ()()x f dx x f dx d b a =??????? B )、()()()[]()x b x b f dt x f dx d x b a '=????? ?? C )、()()x f dx x f dx d x a =??????? D )、()()x F dt t F dx d x a '=???? ??'? 6. 0 ln(1)lim x x t dt x →+=?( ) A )、0 B )、1 C )、2 D )、4 7. 设bx x f sin )(=,则=''?dx x f x )(( ) A )、 C bx bx b x +-sin cos B )、C bx bx b x +-cos cos C )、C bx bx bx +-sin cos D )、C bx b bx bx +-cos sin 《高等数学》试题30 考试日期:2004年7月14日 星期三 考试时间:120 分钟 一.选择题 1. 当0→x 时,)1ln(x y +=与下列那个函数不是等价的 ( ) A)、x y = B)、x y sin = C)、x y cos 1-= D)、1-=x e y 2. 函数f(x)在点x 0极限存在是函数在该点连续的( ) A )、必要条件 B )、充分条件 C )、充要条件 D )、无关条件 3. 下列各组函数中,)(x f 和)(x g 不是同一函数的原函数的有( ). A)、()()() 222 1 ,21)(x x x x e e x g e e x f ---=-= B) 、(( )) ()ln ,ln f x x g x x ==- C)、()()x x g x x f --=-=1arcsin 23,12arcsin )( D)、()2 tan ,sec csc )(x x g x x x f =+= 4. 下列各式正确的是( ) A )、2ln 2x x x dx C =+? B )、sin cos tdt t C =-+? C )、 2arctan 1dx dx x x =+? D )、2 11 ()dx C x x -=-+? 5. 下列等式不正确的是( ). A )、 ()()x f dx x f dx d b a =??????? B )、()()()[]()x b x b f dt x f dx d x b a '=??????? C )、()()x f dx x f dx d x a =??????? D )、()()x F dt t F dx d x a '=???? ??'? 6. 0 ln(1)lim x x t dt x →+=?( ) A )、0 B )、1 C )、2 D )、4 7. 设bx x f sin )(=,则=''?dx x f x )(( ) A )、 C bx bx b x +-sin cos B ) 、C bx bx b x +-cos cos C )、C bx bx bx +-sin cos D )、C bx b bx bx +-cos sin高数上试题及答案
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