2017高考数学试题分类汇编-不等式(含文科理科及详细解析)
2017年高考数学试题分类汇编:不等式
1(2017北京文)已知,,且x +y =1,则的取值范围是__________.
【考点】3W :二次函数的性质.
【专题】11 :计算题;35 :转化思想;49 :综合法;51 :函数的性质及应用. 【分析】利用已知条件转化所求表达式,通过二次函数的性质求解即可. 【解答】解:x ≥0,y ≥0,且x +y=1,则x 2+y 2=x 2+(1﹣x )2=2x 2﹣2x +1,x ∈[0,1],
则令f (x )=2x 2﹣2x +1,x ∈[0,1],函数的对称轴为:x=,开口向上, 所以函数的最小值为:f ()==.
最大值为:f (1)=2﹣2+1=1. 则x 2+y 2的取值范围是:[,1]. 故答案为:[,1].
【点评】本题考查二次函数的简单性质的应用,考查转化思想以及计算能力.
2(2017浙江)已知a R ,函数在区间[1,4]上的最大值是5,则的取值范围是___________.
【考点】3H :函数的最值及其几何意义.
【专题】11 :计算题;35 :转化思想;49 :综合法;51 :函数的性质及应用. 【分析】通过转化可知|x +﹣a |+a ≤5且a ≤5,进而解绝对值不等式可知2a ﹣5≤x +≤5,进而计算可得结论.
【解答】解:由题可知|x +﹣a |+a ≤5,即|x +﹣a |≤5﹣a ,所以a ≤5, 又因为|x +﹣a |≤5﹣a , 所以a ﹣5≤x +﹣a ≤5﹣a , 所以2a ﹣5≤x +≤5, 又因为1≤x ≤4,4≤x +≤5,
0x ≥0y ≥22x y +∈4
()||f x x a a x
=+-+a
所以2a﹣5≤4,解得a≤,
故答案为:(﹣∞,].
【点评】本题考查函数的最值,考查绝对值函数,考查转化与化归思想,注意解题方法的积累,属于中档题.
3(2017新课标Ⅲ文数)[选修4—5:不等式选讲](10分)
f x=│x+1│–│x–2│.
已知函数()
f x≥1的解集;
(1)求不等式()
f x≥x2–x +m的解集非空,求实数m的取值范围.
(2)若不等式()
【考点】R4:绝对值三角不等式;R5:绝对值不等式的解法.
【专题】32 :分类讨论;33 :函数思想;4C :分类法;4R:转化法;51 :函数的性质及应用;5T :不等式.
【分析】(1)由于f(x)=|x+1|﹣|x﹣2|=,解不等式f(x)≥1可分﹣1≤x≤2与x>2两类讨论即可解得不等式f(x)≥1的解集;
(2)依题意可得m≤[f(x)﹣x2+x]max,设g(x)=f(x)﹣x2+x,分x≤1、﹣1<x<2、x≥2三类讨论,可求得g(x)max=,从而可得m的取值范围.
【解答】解:(1)∵f(x)=|x+1|﹣|x﹣2|=,f(x)≥1,
∴当﹣1≤x≤2时,2x﹣1≥1,解得1≤x≤2;
当x>2时,3≥1恒成立,故x>2;
综上,不等式f(x)≥1的解集为{x|x≥1}.
(2)原式等价于存在x∈R使得f(x)﹣x2+x≥m成立,
即m≤[f(x)﹣x2+x]max,设g(x)=f(x)﹣x2+x.
由(1)知,g (x )=,
当x ≤﹣1时,g (x )=﹣x 2+x ﹣3,其开口向下,对称轴方程为x=>﹣1, ∴g (x )≤g (﹣1)=﹣1﹣1﹣3=﹣5;
当﹣1<x <2时,g (x )=﹣x 2+3x ﹣1,其开口向下,对称轴方程为x=∈(﹣1,2),
∴g (x )≤g ()=﹣+﹣1=;
当x ≥2时,g (x )=﹣x 2+x +3,其开口向下,对称轴方程为x=<2, ∴g (x )≤g (2)=﹣4+2+3=1; 综上,g (x )max =,
∴m 的取值范围为(﹣∞,].
【点评】本题考查绝对值不等式的解法,去掉绝对值符号是解决问题的关键,突出考查分类讨论思想与等价转化思想、函数与方程思想的综合运用,属于难题.
4(2017新课标Ⅲ理数).[选修4-5:不等式选讲](10分)
已知函数f (x )=│x +1│–│x –2│. (1)求不等式f (x )≥1的解集;
(2)若不等式f (x )≥x 2–x +m 的解集非空,求m 的取值范围. 解:(1)当1x ≤-时
()()()
1231
f x x x =-++-=-≤无解
当12x -<<时()1(2)21
2111
f x x x x x x =++-=--≥≥∴12x <<
当2x ≥时()1(2)3
312
f x x x x =+--=>∴≥ 综上所述()1f x ≥的解集为 [1,)+∞.
(2)原式等价于存在x R ∈,使2()f x x x m -+≥成立,即 2
max [()]f x x x m -+≥
设2()()g x f x x x =-+
由(1)知 22
23,1()31,123,2x x x g x x x x x x x ?-+-≤-?=-+--<?-++≥?
当1x ≤-时,2()3g x x x =-+-
5(2017新课标Ⅱ文)[选修4?5:不等式选讲](10分) 已知3
3
0,0,2a b a b >>+=.证明: (1)5
5()()4a b a b ++≥; (2)2a b +≤. 【解析】(1)
()()()()
()
5
5
6
5
5
6
2
3
333
4
4
2
2
2244
++=+++=+-++=+-≥a b a
b a ab a b b
a b a b ab a b ab a b
(2)因为
()()()()
()3
3223
2
3
3323+3+3+2+
+24
4
a +=+++=+≤=+
b a a b ab b ab a b a b a b a b
所以()
3
+8≤a b ,因此a+b≤2.
6(2017新课标Ⅱ理)[选修4—5:不等式选讲](10分)
已知330,0,2a b a b >>+=.证明: (1)55()()4a b a b ++≥; (2)2a b +≤. 【解析】(1)
()()()()
()
5
5
6
5
5
6
2
3
333
4
4
2
2
2244
++=+++=+-++=+-≥a b a
b a ab a b b
a b a b ab a b ab a b
(2)因为
()
()()()
()3
3223
2
3
3323+3+3+2+
+24
4
a +=+++=+≤=+
b a a b ab b ab a b a b a b a b
所以()
3
+8≤a b
,因此a+b≤2.
7(2017新课标Ⅰ文数)[选修4—5:不等式选讲](10分)
已知函数f (x )=–x 2+ax +4,g (x )=│x +1│+│x –1│. (1)当a =1时,求不等式f (x )≥g (x )的解集;
(2)若不等式f (x )≥g (x )的解集包含[–1,1],求a 的取值范围.
解:(1)当1a =时,不等式()()f x g x ≥等价于2|1||1|40x x x x -+++--≤.① 当1x <-时,①式化为2340x x --≤,无解;
当11x -≤≤时,①式化为220x x --≤,从而11x -≤≤;
当1x >时,①式化为240x x +-≤,从而1x <≤
.
所以()()f x g x ≥的解集为{|1x x -<≤. (2)当[1,1]x ∈-时,()2g x =.
所以()()f x g x ≥的解集包含[1,1]-,等价于当[1,1]x ∈-时()2f x ≥.
又()f x 在[1,1]-的最小值必为(1)f -与(1)f 之一,所以(1)2f -≥且(1)2f ≥,得
11a -≤≤.
所以a 的取值范围为[1,1]-.
8(2017新课标Ⅰ理数)设x 、y 、z 为正数,且235x y z
==,则
A .2x <3y <5z
B .5z <2x <3y
C .3y <5z <2x
D .3y <2x <5z
【考点】72:不等式比较大小.
【专题】35 :转化思想;51 :函数的性质及应用;59 :不等式的解法及应用. 【分析】x 、y 、z 为正数,令2x =3y =5z =k >1.lgk >0.可得x=,y=,z=
.可
得3y=,2x=
,5z=
.根据
=
=
,
>
=
.即可得出大小关系.
另解:x 、y 、z 为正数,令2x =3y =5z =k >1.lgk >0.可得x=,y=
,z=
.
=
=
>1,可得2x >3y ,同理可得5z >2x .
【解答】解:x 、y 、z 为正数, 令2x =3y =5z =k >1.lgk >0. 则x=
,y=
,z=
.
∴3y=,2x=
,5z=
.
∵==,
>
=
.
∴
>lg
>
>0.
∴3y <2x <5z .
另解:x 、y 、z 为正数, 令2x =3y =5z =k >1.lgk >0. 则x=,y=
,z=
.
∴=
=>1,可得2x >3y , ==>1.可得5z >2x .
综上可得:5z >2x >3y .
解法三:对k 取特殊值,也可以比较出大小关系. 故选:D .
【点评】本题考查了对数函数的单调性、换底公式、不等式的性质,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.
9(2017新课标Ⅰ理数).[选修4—5:不等式选讲](10分)
已知函数f (x )=–x 2+ax +4,g (x )=│x +1│+│x –1│. (1)当a =1时,求不等式f (x )≥g (x )的解集;
(2)若不等式f (x )≥g (x )的解集包含[–1,1],求a 的取值范围.
【解析】(1)当1a =时,不等式()()f x g x ≥等价于2|1||1|40x x x x -+++--≤.①
10(2017天津文)若a,b∈R,0
ab>,则
44
41
a b
ab
++
的最小值为 .
【考点】7F:基本不等式.
【专题】34 :方程思想;4R:转化法;5T :不等式.
【分析】【方法一】两次利用基本不等式,即可求出最小值,需要注意不等式等号成立的条件是什么.
【方法二】将拆成+,利用柯西不等式求出最小值.
【解答】解:【解法一】a,b∈R,ab>0,
∴≥
=
=4ab+≥2=4,
当且仅当,
即,
即a=,b=或a=﹣,b=﹣时取“=”;
∴上式的最小值为4. 【解法二】a ,b ∈R ,ab >0, ∴
=
+
+
+
≥4
=4,
当且仅当,
即,
即a=,b=或a=﹣,b=﹣时取“=”;
∴上式的最小值为4. 故答案为:4.
【点评】本题考查了基本不等式的应用问题,是中档题.
11(2017天津理)若,a b ∈R ,0ab >,则4441
a b ab
++的最小值为___________.
【答案】4
【解析】
44224141
4a b a b ab ab
+++≥≥,当且仅当21a b ==时取等号
12(2017山东文)若直线1(00)x y
a b a b
+=>,> 过点(1,2),则2a +b 的最小值为 . 【答案】8
(7)(2017山东理)若0a b >>,且1ab =,则下列不等式成立的是 (A )()21log 2a b a a b b +
<<+(B )()21
log 2a b a b a b <+<+ (C )()21log 2
a b
a a
b b +
<+<(D )()21log 2a
b a b a b +<+< 【答案】B
【解析】221,01,1,log ()log 1,2
a b
a b a b ><<∴
<+>= 1211
2
log ()a b
a a
b a a b b b
+>+
>+?+>+,所以选B.
13(2017江苏)某公司一年购买某种货物600吨,每次购买吨,运费为6万元/次,一年的总存储费用为万元.要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则的值是 ▲ .
【解析】总费用600900464()4240x x x x +?=+≥?=,当且仅当900
x x
=
,即30x =时等号成立.
14(2017年江苏卷)[选修4-5:不等式选讲](本小题满分10分) 已知为实数,且证明: 【解析】由柯西不等式可得2
2
2
2
2
()()()a b c d ac bd ++≥+,
即2
()41664ac bd +≤?=,故8ac bd +≤.
15(2017北京理)能够说明“设a ,b ,c 是任意实数.若a >b >c ,则a +b >c ”是假命题的一
组整数a ,b ,c 的值依次为______________________________.
【考点】FC :反证法.
【专题】11 :计算题;35 :转化思想;4O :定义法;5L :简易逻辑. 【分析】设a ,b ,c 是任意实数.若a >b >c ,则a +b >c”是假命题,则若a >b >c ,则a +b ≤c”是真命题,举例即可,本题答案不唯一
【解答】解:设a ,b ,c 是任意实数.若a >b >c ,则a +b >c”是假命题, 则若a >b >c ,则a +b ≤c”是真命题,
x 4x x ,,,a b c d 22224,16,a b c d +=+=8.ac bd +≤
可设a,b,c的值依次﹣1,﹣2,﹣3,(答案不唯一),
故答案为:﹣1,﹣2,﹣3
【点评】本题考查了命题的真假,举例说明即可,属于基础题.
16.(2017?新课标Ⅲ文数)设x,y满足约束条件则z=x﹣y的取值范围是()
A.[﹣3,0]B.[﹣3,2]C.[0,2]D.[0,3]
【考点】7C:简单线性规划.
【专题】11 :计算题;31 :数形结合;35 :转化思想;5T :不等式.
【分析】画出约束条件的可行域,利用目标函数的最优解求解目标函数的范围即可.
【解答】解:x,y满足约束条件的可行域如图:
目标函数z=x﹣y,经过可行域的A,B时,目标函数取得最值,
由解得A(0,3),
由解得B(2,0),
目标函数的最大值为:2,最小值为:﹣3,
目标函数的取值范围:[﹣3,2].
故选:B.
【点评】本题考查线性规划的简单应用,目标函数的最优解以及可行域的作法是
解题的关键.