2017高考数学试题分类汇编-不等式(含文科理科及详细解析)

2017年高考数学试题分类汇编:不等式

1(2017北京文)已知,,且x +y =1,则的取值范围是__________.

【考点】3W :二次函数的性质.

【专题】11 :计算题;35 :转化思想;49 :综合法;51 :函数的性质及应用. 【分析】利用已知条件转化所求表达式,通过二次函数的性质求解即可. 【解答】解:x ≥0,y ≥0,且x +y=1,则x 2+y 2=x 2+(1﹣x )2=2x 2﹣2x +1,x ∈[0,1],

则令f (x )=2x 2﹣2x +1,x ∈[0,1],函数的对称轴为:x=,开口向上, 所以函数的最小值为:f ()==.

最大值为:f (1)=2﹣2+1=1. 则x 2+y 2的取值范围是:[,1]. 故答案为:[,1].

【点评】本题考查二次函数的简单性质的应用,考查转化思想以及计算能力.

2(2017浙江)已知a R ,函数在区间[1,4]上的最大值是5,则的取值范围是___________.

【考点】3H :函数的最值及其几何意义.

【专题】11 :计算题;35 :转化思想;49 :综合法;51 :函数的性质及应用. 【分析】通过转化可知|x +﹣a |+a ≤5且a ≤5,进而解绝对值不等式可知2a ﹣5≤x +≤5,进而计算可得结论.

【解答】解:由题可知|x +﹣a |+a ≤5,即|x +﹣a |≤5﹣a ,所以a ≤5, 又因为|x +﹣a |≤5﹣a , 所以a ﹣5≤x +﹣a ≤5﹣a , 所以2a ﹣5≤x +≤5, 又因为1≤x ≤4,4≤x +≤5,

0x ≥0y ≥22x y +∈4

()||f x x a a x

=+-+a

所以2a﹣5≤4,解得a≤,

故答案为:(﹣∞,].

【点评】本题考查函数的最值,考查绝对值函数,考查转化与化归思想,注意解题方法的积累,属于中档题.

3(2017新课标Ⅲ文数)[选修4—5:不等式选讲](10分)

f x=│x+1│–│x–2│.

已知函数()

f x≥1的解集;

(1)求不等式()

f x≥x2–x +m的解集非空,求实数m的取值范围.

(2)若不等式()

【考点】R4:绝对值三角不等式;R5:绝对值不等式的解法.

【专题】32 :分类讨论;33 :函数思想;4C :分类法;4R:转化法;51 :函数的性质及应用;5T :不等式.

【分析】(1)由于f(x)=|x+1|﹣|x﹣2|=,解不等式f(x)≥1可分﹣1≤x≤2与x>2两类讨论即可解得不等式f(x)≥1的解集;

(2)依题意可得m≤[f(x)﹣x2+x]max,设g(x)=f(x)﹣x2+x,分x≤1、﹣1<x<2、x≥2三类讨论,可求得g(x)max=,从而可得m的取值范围.

【解答】解:(1)∵f(x)=|x+1|﹣|x﹣2|=,f(x)≥1,

∴当﹣1≤x≤2时,2x﹣1≥1,解得1≤x≤2;

当x>2时,3≥1恒成立,故x>2;

综上,不等式f(x)≥1的解集为{x|x≥1}.

(2)原式等价于存在x∈R使得f(x)﹣x2+x≥m成立,

即m≤[f(x)﹣x2+x]max,设g(x)=f(x)﹣x2+x.

由(1)知,g (x )=,

当x ≤﹣1时,g (x )=﹣x 2+x ﹣3,其开口向下,对称轴方程为x=>﹣1, ∴g (x )≤g (﹣1)=﹣1﹣1﹣3=﹣5;

当﹣1<x <2时,g (x )=﹣x 2+3x ﹣1,其开口向下,对称轴方程为x=∈(﹣1,2),

∴g (x )≤g ()=﹣+﹣1=;

当x ≥2时,g (x )=﹣x 2+x +3,其开口向下,对称轴方程为x=<2, ∴g (x )≤g (2)=﹣4+2+3=1; 综上,g (x )max =,

∴m 的取值范围为(﹣∞,].

【点评】本题考查绝对值不等式的解法,去掉绝对值符号是解决问题的关键,突出考查分类讨论思想与等价转化思想、函数与方程思想的综合运用,属于难题.

4(2017新课标Ⅲ理数).[选修4-5:不等式选讲](10分)

已知函数f (x )=│x +1│–│x –2│. (1)求不等式f (x )≥1的解集;

(2)若不等式f (x )≥x 2–x +m 的解集非空,求m 的取值范围. 解:(1)当1x ≤-时

()()()

1231

f x x x =-++-=-≤无解

当12x -<<时()1(2)21

2111

f x x x x x x =++-=--≥≥∴12x <<

当2x ≥时()1(2)3

312

f x x x x =+--=>∴≥ 综上所述()1f x ≥的解集为 [1,)+∞.

(2)原式等价于存在x R ∈,使2()f x x x m -+≥成立,即 2

max [()]f x x x m -+≥

设2()()g x f x x x =-+

由(1)知 22

23,1()31,123,2x x x g x x x x x x x ?-+-≤-?=-+--<

当1x ≤-时,2()3g x x x =-+-

5(2017新课标Ⅱ文)[选修4?5:不等式选讲](10分) 已知3

3

0,0,2a b a b >>+=.证明: (1)5

5()()4a b a b ++≥; (2)2a b +≤. 【解析】(1)

()()()()

()

5

5

6

5

5

6

2

3

333

4

4

2

2

2244

++=+++=+-++=+-≥a b a

b a ab a b b

a b a b ab a b ab a b

(2)因为

()()()()

()3

3223

2

3

3323+3+3+2+

+24

4

a +=+++=+≤=+

b a a b ab b ab a b a b a b a b

所以()

3

+8≤a b ,因此a+b≤2.

6(2017新课标Ⅱ理)[选修4—5:不等式选讲](10分)

已知330,0,2a b a b >>+=.证明: (1)55()()4a b a b ++≥; (2)2a b +≤. 【解析】(1)

()()()()

()

5

5

6

5

5

6

2

3

333

4

4

2

2

2244

++=+++=+-++=+-≥a b a

b a ab a b b

a b a b ab a b ab a b

(2)因为

()

()()()

()3

3223

2

3

3323+3+3+2+

+24

4

a +=+++=+≤=+

b a a b ab b ab a b a b a b a b

所以()

3

+8≤a b

,因此a+b≤2.

7(2017新课标Ⅰ文数)[选修4—5:不等式选讲](10分)

已知函数f (x )=–x 2+ax +4,g (x )=│x +1│+│x –1│. (1)当a =1时,求不等式f (x )≥g (x )的解集;

(2)若不等式f (x )≥g (x )的解集包含[–1,1],求a 的取值范围.

解:(1)当1a =时,不等式()()f x g x ≥等价于2|1||1|40x x x x -+++--≤.① 当1x <-时,①式化为2340x x --≤,无解;

当11x -≤≤时,①式化为220x x --≤,从而11x -≤≤;

当1x >时,①式化为240x x +-≤,从而1x <≤

.

所以()()f x g x ≥的解集为{|1x x -<≤. (2)当[1,1]x ∈-时,()2g x =.

所以()()f x g x ≥的解集包含[1,1]-,等价于当[1,1]x ∈-时()2f x ≥.

又()f x 在[1,1]-的最小值必为(1)f -与(1)f 之一,所以(1)2f -≥且(1)2f ≥,得

11a -≤≤.

所以a 的取值范围为[1,1]-.

8(2017新课标Ⅰ理数)设x 、y 、z 为正数,且235x y z

==,则

A .2x <3y <5z

B .5z <2x <3y

C .3y <5z <2x

D .3y <2x <5z

【考点】72:不等式比较大小.

【专题】35 :转化思想;51 :函数的性质及应用;59 :不等式的解法及应用. 【分析】x 、y 、z 为正数,令2x =3y =5z =k >1.lgk >0.可得x=,y=,z=

.可

得3y=,2x=

,5z=

.根据

=

=

=

.即可得出大小关系.

另解:x 、y 、z 为正数,令2x =3y =5z =k >1.lgk >0.可得x=,y=

,z=

=

=

>1,可得2x >3y ,同理可得5z >2x .

【解答】解:x 、y 、z 为正数, 令2x =3y =5z =k >1.lgk >0. 则x=

,y=

,z=

∴3y=,2x=

,5z=

∵==,

=

>lg

>0.

∴3y <2x <5z .

另解:x 、y 、z 为正数, 令2x =3y =5z =k >1.lgk >0. 则x=,y=

,z=

∴=

=>1,可得2x >3y , ==>1.可得5z >2x .

综上可得:5z >2x >3y .

解法三:对k 取特殊值,也可以比较出大小关系. 故选:D .

【点评】本题考查了对数函数的单调性、换底公式、不等式的性质,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.

9(2017新课标Ⅰ理数).[选修4—5:不等式选讲](10分)

已知函数f (x )=–x 2+ax +4,g (x )=│x +1│+│x –1│. (1)当a =1时,求不等式f (x )≥g (x )的解集;

(2)若不等式f (x )≥g (x )的解集包含[–1,1],求a 的取值范围.

【解析】(1)当1a =时,不等式()()f x g x ≥等价于2|1||1|40x x x x -+++--≤.①

10(2017天津文)若a,b∈R,0

ab>,则

44

41

a b

ab

++

的最小值为 .

【考点】7F:基本不等式.

【专题】34 :方程思想;4R:转化法;5T :不等式.

【分析】【方法一】两次利用基本不等式,即可求出最小值,需要注意不等式等号成立的条件是什么.

【方法二】将拆成+,利用柯西不等式求出最小值.

【解答】解:【解法一】a,b∈R,ab>0,

∴≥

=

=4ab+≥2=4,

当且仅当,

即,

即a=,b=或a=﹣,b=﹣时取“=”;

∴上式的最小值为4. 【解法二】a ,b ∈R ,ab >0, ∴

=

+

+

+

≥4

=4,

当且仅当,

即,

即a=,b=或a=﹣,b=﹣时取“=”;

∴上式的最小值为4. 故答案为:4.

【点评】本题考查了基本不等式的应用问题,是中档题.

11(2017天津理)若,a b ∈R ,0ab >,则4441

a b ab

++的最小值为___________.

【答案】4

【解析】

44224141

4a b a b ab ab

+++≥≥,当且仅当21a b ==时取等号

12(2017山东文)若直线1(00)x y

a b a b

+=>,> 过点(1,2),则2a +b 的最小值为 . 【答案】8

(7)(2017山东理)若0a b >>,且1ab =,则下列不等式成立的是 (A )()21log 2a b a a b b +

<<+(B )()21

log 2a b a b a b <+<+ (C )()21log 2

a b

a a

b b +

<+<(D )()21log 2a

b a b a b +<+< 【答案】B

【解析】221,01,1,log ()log 1,2

a b

a b a b ><<∴

<+>= 1211

2

log ()a b

a a

b a a b b b

+>+

>+?+>+,所以选B.

13(2017江苏)某公司一年购买某种货物600吨,每次购买吨,运费为6万元/次,一年的总存储费用为万元.要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则的值是 ▲ .

【解析】总费用600900464()4240x x x x +?=+≥?=,当且仅当900

x x

=

,即30x =时等号成立.

14(2017年江苏卷)[选修4-5:不等式选讲](本小题满分10分) 已知为实数,且证明: 【解析】由柯西不等式可得2

2

2

2

2

()()()a b c d ac bd ++≥+,

即2

()41664ac bd +≤?=,故8ac bd +≤.

15(2017北京理)能够说明“设a ,b ,c 是任意实数.若a >b >c ,则a +b >c ”是假命题的一

组整数a ,b ,c 的值依次为______________________________.

【考点】FC :反证法.

【专题】11 :计算题;35 :转化思想;4O :定义法;5L :简易逻辑. 【分析】设a ,b ,c 是任意实数.若a >b >c ,则a +b >c”是假命题,则若a >b >c ,则a +b ≤c”是真命题,举例即可,本题答案不唯一

【解答】解:设a ,b ,c 是任意实数.若a >b >c ,则a +b >c”是假命题, 则若a >b >c ,则a +b ≤c”是真命题,

x 4x x ,,,a b c d 22224,16,a b c d +=+=8.ac bd +≤

可设a,b,c的值依次﹣1,﹣2,﹣3,(答案不唯一),

故答案为:﹣1,﹣2,﹣3

【点评】本题考查了命题的真假,举例说明即可,属于基础题.

16.(2017?新课标Ⅲ文数)设x,y满足约束条件则z=x﹣y的取值范围是()

A.[﹣3,0]B.[﹣3,2]C.[0,2]D.[0,3]

【考点】7C:简单线性规划.

【专题】11 :计算题;31 :数形结合;35 :转化思想;5T :不等式.

【分析】画出约束条件的可行域,利用目标函数的最优解求解目标函数的范围即可.

【解答】解:x,y满足约束条件的可行域如图:

目标函数z=x﹣y,经过可行域的A,B时,目标函数取得最值,

由解得A(0,3),

由解得B(2,0),

目标函数的最大值为:2,最小值为:﹣3,

目标函数的取值范围:[﹣3,2].

故选:B.

【点评】本题考查线性规划的简单应用,目标函数的最优解以及可行域的作法是

解题的关键.

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