线性代数第三章习题与答案(东大绝版)

第三章 习题与答案 习题 A

1.求向量123(4,1,3,2),(1,2,3,2),(16,9,1

,3)T T T

=--=-=-ααα的线性组合12335.+-ααα 解 12341161293535331223?????? ? ? ? ? ? ?+-=+- ? ? ?-- ? ? ?-??????ααα1251613109491512561037????????

? ? ? ? ?

? ? ?=+-= ? ? ? ?--- ? ? ? ?--????????

. 2.从以下方程中求向量α

1233()2()5()-++=+αααααα，

其中123(2,5,1,3),(10,1,5,10),(4,1

,1,1).T

T T ===-ααα 解 由方程得1233322550-++--=αααααα，

1232104651112

632532515118310124????????

? ? ? ? ? ? ? ?=+-=+-= ? ? ? ?- ? ? ? ?????????αααα

故12

34?? ? ?= ? ???

α,即(1,2,3,4)T =α.

3.求证:向量组12i s α,α,,α,α 中的任一向量i α可以由这个向量组线性表出. 证 120010(1,2,,)i i s i s =+++++= ααααα

4.证明: 包含零向量的向量组线性相关.

证 设向量组为1211α,α,,α,0,α,,αi i s -+ ,则有

12110α0αα00α0α0,0i i s k k -++++++++=≠

而0,0,,0,,0,,0k 不全为0,故向量组线性相关.

5.设有m 个向量12α,α,,αm ,证明: 若αα()i j i j =≠,则向量组12α,α,,αm 线性相关. 证 显然有1210α0αα0α()α0α0,0i i j m k k k +++++++-++=≠ , 而0,,0,,0,,0,,0,,0k k - 不全为0.故向量组线性相关.

6.判断下列向量组的线性相关性

(1) (1,1,0),(0,1,1,),(3,0,0,); (2) (2,0),(0,-1);

(3) (-4,-5,2,6),(2,-2,1,3),(6,-3,3,9),(4,-1,5,6);

(4) (1,0,0,2,5),(0,1,0,3,4),(0,0,1,4,7),(2,-3,4,11,12).

解 (1)设有三个数123,,k k k ,使123(1,1,0)(0,1,1,) (3,0,0,)=(0,0,0)k k k ++

则有方程组13122

3000k k k k k +=??

+=??=?,

因为系数行列式103

1

1030010

D =≠.方程组仅有零解,所以三个向量线性无关. (2)设有两个数12,k k 使12(2,0)(0,-1)=(0,0)k k + 则有方程组12

20

0k k =??

-=?,由此解得120k k ==,所以两个向量线性无关.

另外,也可由其分量不成比例看出两个向量线性无关. (3)设有四个数1234,,,k k k k ,使

1234(-4,-5,2,6)(2,-2,1,3)(6,-3,3,9)(4,-1,5,6)=(0,0,0,0)k k k k +++,

则有方程组12341234

12341234426405230235063960

k k k k k k k k k k k k k k k k +++=??----=??+++=??+++=?,

其系数行列式4264

5231

021356396

D ----==,所以方程组有非零解,

向量组线性相关.

(4) 设有四个数1234,,,k k k k ,使

1234(1,0,0,2,5)(0,1,0,3,4)(0,0,1,4,7)(2,-3,4,11,12)=(0,0,0,0)k k k k +++

则有方程组1424341234

1234203040234110

547120

k k k k k k k k k k k k k k +=??

-=??

+=??+++=??+++=?

由前三个方程得1424342,3,4k k k k k k =-==-,代入第五个方程得4140k -=, 即40k =,从而1230k k k ===,所以向量组线性无关.

7.设123α,α,α线性无关,证明:122331αα,αα,αα+++也线性无关. 证 设有三个数123,,k k k ,使()()()112223331αααααα0k k k +++++=, 则()()()131122233ααα0k k k k k k +++++=,因123α,α,α线性无关,

故131223

00k k k k k k +=??

+=??+=?,因系数行列式10111020011D ==≠,所以只有1230k k k ===, 由此知122331αα,αα,αα+++线性无关.

8.设12α,α,,αn 线性无关,问向量组122311αα,αα,,αα,ααn n n -++++ 是线性相关,还是线性无关?并给出证明. 解 设有n 个数12,,,,n k k k 使

()()()()112223111αααααααα0n n n n n k k k k --++++++++= ,

则得方程组

1122310

000

n n n k k k k k k k k -+=??+=??

+=???+=?? 其系数行列式

11000011100000110001(1),000110000011

n n D +=

=+-

可见,当n 为奇数时,20n D =≠,方程组仅有零解,向量组线性无关, 当n 为偶数时,0n D =,方程组有非零解,向量组线性相关.

9.设12α(,,,)(1,2,,)i i i in a a a i n == ,证明:向量组12α,α,,αn 线性相关的充分必要条件是det()0ij a =.

证 必要性:设12α,α,,αn 线性相关,则存在不全为0的n 个数12,,,,n k k k 使

1122ααα0n n k k k +++= ,即有方程组

()11121211212222112200*0

n n n n

n n nn n a k a k a k a k a k a k a k a k a k +++=??+++=??

??+++=? 该方程组有非零解,故系数行列式0n D =,即det()0ij a =,

充分性: 对于方程组(*)当det()0ij a =时,系数行列式0n D =,所以有非零解,即存在不全为0的12,,,,n k k k 使1122ααα0n n k k k +++= 成立,故12α,α,,αn 线性相关.

10.设12α,α,,αn 是一组n 维向量.已知n 维标准单位向量组12e ,e ,,e n 能由它们线性表出,证明: 12α,α,,αn 线性无关.

证 设12α(,,,)(1,2,,)i i i in a a a i n == ,则有

1122αe e e ,i i i in n a a a =+++

可见12α,α,,αn 也能由12e ,e ,,e n 线性表出,从而两个向量组等价. 因为12e ,e ,,e n 线性无关,所以12α,α,,αn 也线性无关.

11.设12α,α,,αn 是一组n 维向量.证明:它们线性无关的充分必要条件是:任一n 维向量都可由它们线性表出.

证 必要性:设12α,α,,αn 线性无关,β为任一n 维向量,则12α,α,,αn ,β必线性相关.(个数大于维数),因此β可由12α,α,,αn 线性表出.

充分性:设任一n 维向量β都可由12α,α,,αn 线性表出.因此12α,α,,αn 与12e ,e ,,e n 等

价,从而12α,α,,αn 线性无关.

12.判断下列向量是否线性相关,并求出一个极大线性无关组.

(1)123α(1,2,1,4),α(9,100,10,4),α(2,4,2,8);T T T =-==--- (2) 123α(1,1,0),α(0,2,0),α(0,0,3);T T T ===

(3) 1234α(1,2,1,3),α(4,1,5,6),α(1,3,4,7),α(2,1

,1,0);T T T T ==---=---=- 解 (1)19221004A 1102448-?? ?-

?= ?- ?-?? 19

208200190

0320-?? ? ?→ ? ?-??1

920

10000000-?? ? ?→ ? ???102010000000-??

? ?

→

? ???

, 向量组的秩为2, 12α,α为一个极大线性无关组.

(2) 100A 120003?? ?= ? ???100020003?? ?

→ ? ???

向量组的秩为3, 123α,α,α为一个极大线性无关组.

(3) 14122131A 15413670?? ?--

?= ?--- ?--??141209530953018106?? ?--- ?→ ?--- ?---??1412095300000000?? ?--- ?→ ? ???

向量组的秩为2, 12α,α为一个极大线性无关组.

13.求一个秩是4的方阵,它的两个行向量是(1,0,3,0,0),(1,1,0,0,0)--. 解 所求方阵可写成

1030011000A 0

01000001000000?? ?-- ? ?= ? ? ???,则1030001

300A 00100000100

000?

?

?

- ?

?→

?

? ??

?

显然(A)4R =.

14.已知12α,α,,αs 的秩为r ,证明: 12α,α,,αs 中任意r 个线性无关的向量都构成它的一个极大线性无关组.

证 设12α,α,,α,r i i i 为12α,α,,αs 中任意r 个线性无关的向量,因为向量组的秩为r ,故

1212α,α,,α,α,(,,)r i i i i r i i i i ≠ 线性相关.可见12α,α,,αs 中的每个向量都可由

12α,α,,α,r i i i 线性表出.因此, 12α,α,,α,r i i i 是12α,α,,αs 的一个极大线性无关组.

15.用初等变换化下列矩阵为阶梯形,并判断其秩.

(1)001010100?? ? ? ???; (2)1234110215610-?? ?- ? ???;(3)023*********-?? ?- ? ?

--??

;(4)17

25

314353759413254

759413420

25

3248??

?

?

?

?

??

.

解 (1) 001010100?? ? ? ???131********r r ??? ?

→ ? ???

,秩为3.

(2) 1234110215610-?? ?- ? ???2131123403360336r r r r

+-?? ?→ ? ???32123403360000r r -?? ?

→ ? ???

,秩为2.

(3)

023*********-?? ?- ?

?--??

12011203430471r r ---??

?→- ? ?--??213134011200130039r r r r ++--?? ?→-- ? ?--??323011*********r r ---??

?→-- ? ???, 秩为2.

(4)

17

25314353759413254759413420

25

3248?? ? ? ? ???21314331725314320133015

3015r r r r r r ---?? ? ?→ ? ???433217253143201310020000r r r r --??

?

?

→

? ?

??

1310022013172531430000r r ??? ?

?→ ? ???2131217100200110253190000r r r r --?? ?- ?→ ? ???23100202531900110000r r ???

? ?→ ?- ???

,秩为3. 16.证明: 两个矩阵和的秩不超过这两个矩阵秩的和,即 (A B)(A)(B)R R R +≤+.

证 设1A (α,,α),(A),n R r == 1α,,αr 为一个极大线性无关组,

1B (β,,β),(B),n R s == 1β,,βs 为一个极大线性无关组, 1A B (r ,,r )n += .

因为1r ,,r n 可由1α,,αn ,1β,,βn 线性表出,从而也可由1α,,αr ,1β,,βs 线性表出.故

()1A B (r ,,r )n R R +=≤ ()11α,,α,β,,βr s R r s =+=(A)(B)R R +.

17.设A 与B 可乘,且AB 0=,证明: (A)(B)A R R +≤的列数. 证法一 设A 为m n ?矩阵,B 为n l ?矩阵 由AB 0=,有

11111111n l m mn n nl m n n l a a b b a a b b ?????? ? ? ? ? ? ????? 0000m l

??? ?= ? ??? 比较等式两边对应元素,有

111111111100n n m mn n a b a b a b a b ++=????++=?

,11121211220,0n n m mn n a b a b a b a b ++=????++=? ,11111100

l n nl m l

mn nl a b a b a b a b ++=??

??++=? . 可见B 的列向量组为上述l 个齐次线性方程组的解向量,因此有 (B)(A)R n R ≤-, 移项得(A)(B)R R n +≤(A 的列数).

证法二 设A 为m n ?矩阵,B 为n l ?矩阵, 12(A),(B)R r R r ==,

因为1(A)R r =,则

A 的标准形可写成1

E 000r ??

???

,即存在可逆阵P,Q 使得 PAQ 1

E 00

0r ??=

???.又设()111

B Q B B r m n r m ?--???= ? ???

, 则1

0(AB)(PAB)(PAQQ B)R R R -===,

但()11

111

1

B E 0B PAQQ B Q B B 0

00r m r r m n r m ??---???????=== ?

? ? ?????

??, 可见11

(B )(PAQQ B)0r m R R -?==,

又因为12(Q B)(B)R R r -==,所以()1

2(B )n r m R r -?=,

而()1

B n r m -?共1n r -行,因此12n r r -≥,即12r r n +≤或(A)(B)R R n +≤.

习题 B

1.证明: 12α,α,,αs (其中1α0≠)线性相关的充要条件是至少有一个α(1)i i s <≤可被

121α,α,,αi - 线性表出.

证 必要性:设12α,α,,αs 线性相关(1α0≠),则存在不全为0的s 个数12,,,s k k k 使

1122ααα0s s k k k +++= ,设i k 是12,,,s k k k 中最后一个不为零的数,即0i k ≠,而10i s k k +=== ,则1122ααα0i i k k k +++= ,因为1α0≠,所以1i >,即1i s <≤,(否则120,0s k k k ≠=== 则1α0k =不能成立),于是11

11αααi i i i i

k k k k --=--- ,即αi 可由121α,α,,αi - 线性表出.

充分性:如果1111αααi i i k k --=++ ,则11111ααα0αα0i i i i s k k --+++-+++= ,而

11,,,1,0,,0i k k -- 不全为0,所以12α,α,,αs 线性相关.

2.证明:一个向量组的任一线性无关组都可扩充为一个极大线性无关组. 证 设有向量组12α,α,,αn 秩为s ,12α,α,,αr i i i 是它的任意一个线性无关组,

如果r s =,则它就是12α,α,,αn 的一个极大线性无关组.如果r s <,则12α,α,,αn 的其余向量中一定可以选出向量1αr i +,使12α,α,,αr i i i ,1αr i +线性无关(否则与12α,α,,αn 秩s r >矛盾),只要1r s +<,重复上述过程,直到r i s +=时为止.这样121α,α,,α,α,,αr r s i i i i i + 就是由12α,α,,αr i i i 扩充成的一个极大线性无关组.

3.已知两向量组有相同的秩,且其中之一可被另一个线性表出,证明:这两个向量组等价. 证 设12A :α,α,,α;s 12B:β,β,,βt 为两个秩为r 的向量组, 1212α,α,,α;β,β,,βr r 分别为A,B 极大线性无关组,设B 可由A 线性表出,则有

()()

1212β,β,,βα,α,,αT

r r K = ,

其中K 为组合系数构成的r 阶方阵,因为1212α,α,,α;β,β,,βr r 线性无关,所以K 可逆,

()()11212α,α,,αβ,β,,βr r K -= ,从而12α,α,,αr 可由12β,β,,βr 线性表出,从而可由

12β,β,,βt 线性表出,又12α,α,,αs 可由12α,α,,αr 线性表出,所以12α,α,,αs 可由12β,β,,βt 线性表出,即A 可由B 线性表出,因此向量组A ,B 等价.

4.设向量组12α,α,,αs 的秩为r ,在其中任取m 个向量12α,α,,αm i i i ,证明:

{}

12α,α,,αm i i i R r m s ≥+- .

证 设12α,α,,αm i i i 的秩为t ,从它的一个极大线性无关组(含t 个向量)可扩充为

12α,α,,αs 的一个极大线性无关组(含r 个向量),所扩充向量的个数为r t -个.但12α,α,,αs 中除了12α,α,,αm i i i 外,还有s m -个向量,故r t s m -≤-,即t r m s ≥+-.

5.设n m ?阶矩阵A 的秩为r ,证明:存在秩为r 的n r ?阶矩阵P 及秩为r 的r m ?阶矩阵Q ,使A PQ =.

证 因(A)R r =,故可经有限次初等行变换和初等列变换化为标准形,即存在m 阶可逆阵F 和n 阶可逆阵G ,使得 E 0GAF 00r ??=

???,即11

E 0A G

F ,00r

--??= ???

记11121

2122G G G ,G G -??= ???111212122F F F F F -??

= ???

,其中1111G ,F 均为r 阶方阵,则

111211121121222122G G F F E

0E 0A G F G

G F F 0000r

r

--????

????== ? ? ? ?????????

111112212122G 0F F G 0F F ???? ???????=111111122121

2122G F G F G F G F ?? ???()11112121G F F G ??= ???, 记1121G P G ??=

???

,则P 为n r ?矩阵且(P )R r =(因1

G -可逆,故其前r 列线性无关), ()11

21Q F F =,则Q 为r m ?矩阵且(Q)R r =(因1F -可逆,故其前r 列线性无关),而A PQ =.