吉林省实验中学2019届高三第六次模拟考试 数学(文)

吉林省实验中学2019届高三第六次模拟考试

数学（文科）试题

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中第Ⅱ卷第22~24题为选考题，其它题为必考题。

第Ⅰ卷（选择题）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的。 1．已知集合2

{|4120},{|2}A x R x x B x R x =∈--<=∈<，则()R A C B =

A ．{|6}x x <

B ．{|22}x x -<<

C ．{|2}x x >-

D ．{|26}x x ≤<

2．复数11i

+在复平面上对应的点的坐标是 A ．)1,1(

B ．)1,1(-

C ．)1,1(--

D ．)1,1(-

3．已知命题:p x R ?∈

，使sin x = 命题:q x R ?∈，都有210.x x ++>给出下列结论： ① 命题“q p ∧”是真命题 ② 命题“)(q p ?∧”是假命题

③ 命题“q p ∨?)(”是真命题；

④ 命题“)()(q p ?∨?”是假命题

其中正确的是

A ．② ④

B ．② ③

C ． ③ ④

D ． ① ② ③

4．如图，正方形ABCD 中，点E ，F 分别是DC ，BC 的中点，那么=EF A ．11

22AB AD +

B ．21

21--

C ．2

1

21+-

D ．11

22

AB AD -

5．点()2,1P -为圆()2

2

125x y -+=内弦AB 的中点，则直线AB 的方程为

A ．10x y +-=

B ． 230x y +-=

C ． 30x y --=

D ． 250x y --=

6．角α的终边经过点A ()a ，且点A 在抛物线2

14

y x =-

的准线上，则sin α=

A ．12

-

B ．

1

2

C ．

D 7．一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图与左视图均为半径是1的圆，则这个几何体的体积是

A ．

43π B ．π C ．23π D ．3

π 8．在平面直角坐标系内，若曲线C ：045422

2

2

=-+-++a ay ax y x 上所有的点均在第四象限

内，则实数a 的取值范围为 A ．()2,-∞- B ． ()1,-∞-

C ．()+∞,1

D ．()+∞,2

9．函数()sin()f x x =+ω?（其中

2

π

<

?）的图象 如图所示，为了得到()sin g x x =ω的图象，则只要 将()f x 的图象

A ．向右平移6π

个单位长度 B ．向右平移

12π

个单位长度

C ．向左平移6

π

个单位长度

D ．向左平移12

π

个单位长度

10．已知正项组成的等差数列{}n a 的前20项的和100,那么615a a ?最大值是 A ．25

B ．50

C ．100

D ．不存在

11．在平面直角坐标系xOy 中，已知向量OA 与OB 关于y 轴对称，向量)0,1(=a ，满足不等式

2

0OA AB +?≤a 的点),(y x A 的集合为

A ．()(){

}

11|,22

≤++y x y x B ．()(){

}

11|,22

≤+-y x y x

C ．(){

}0|,2

2≤+y x y x D ．()()

{}11|,2

2

≤-+y x

y x

12．椭圆22

21(1)x y a a

+=>上存在一点P ，使得它对两个焦点1F ，2F 的张角122F PF π∠=，则该椭

圆的离心率的取值范围是

A

．(0,

2

B

．2

C ．1(0,]2

D ．1

[,1)2

第Ⅱ卷（非选择题）

二、填空题：本大题共4小题，每小题 5分，共20分。

13．设函数33,0()log ,0

x x f x x x ?≤=?>?，则1

(())2f f -= 。

14．给出两个函数性质：性质1：(2)f x +是偶函数；

性质2：()f x 在()-∞2，

上是减函数，在(2)+∞，上是增函数； 对于函数①()2f x x =+，②2()(2)f x x =-，③()cos(2)f x x =-， 上述两个函数性质都具有的所有函数的序号是 。

15. 若不等式组,

,240y x y x x y ≤??≥-??--≤?

表示的平面区域为22

,1M x y +≤所表示的平面的区域为N ，现随机

向区域M 内抛一粒豆子，则豆子落在区域N 内的概率为 。 16．设a ，b ，c 为单位向量，a ，b 的夹角为600，则（a + b + c ）·c 的最大值为 ． 三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.（本小题满分12分）

在等差数列{}n a 中，31=a ，其前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的各项均为正数，11=b ，公比为q ，且1222=+S b ， 2

2

b S q =

．

（Ⅰ）求n a 与n b ；（Ⅱ）设数列{}n c 满足n

n S c 1

=

，求{}n c 的前n 项和n T ． 18．（本小题满分12分）

如图所示，PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为正方形，且 2PA=AD=2,E 、F 、G 分别是线段PA 、PD 、CD 的中点。

（Ⅰ）求异面直线EF 与AG 所成角的余弦值；

（Ⅱ）求证：BC ∥面EFG ；

（Ⅲ）求三棱锥E-AFG 的体积。

19．（本小题满分12分）

公安部发布酒后驾驶处罚的新规定（一次性扣罚12分）已于2019年4月1日起正式施行．酒后违法驾驶机动车的行为分成两个档次：“酒后驾车”和“醉酒驾车”，其检测标准是驾驶人员血液

中的酒精含量Q （简称血酒含量，单位是毫克/100毫升），当2080Q ≤<时，为酒后驾车；当

80Q ≥时，为醉酒驾车．某市公安局交通管理部门在某路段的一次拦查行动中，依法检查了200

辆机动车驾驶员的血酒含量（如下表）．

依据上述材料回答下列问题：

（Ⅰ）分别写出酒后违法驾车发生的频率和酒后违法驾车中醉酒驾车的频率；

（Ⅱ）从酒后违法驾车的司机中，抽取2人，请一一列举出所有的抽取结果，并求取到的2人中含有醉酒驾车的概率． （酒后驾车的人用大写字母如,,,A B C D 表示，醉酒驾车的人用小写字母如,,,a b c d 表示） 20．（本小题满分12分）

已知圆C 1的方程为2

2

(2)1x y +-=，定直线l 的方程为1y =-．动圆C 与圆C 1外切，且与直线l 相切．

（Ⅰ）求动圆圆心C 的轨迹M 的方程；

A D E F P G

（II ）直线l '与轨迹M 相切于第一象限的点P ，过点P 作直线l '的垂线恰好经过 点A （0，6），并交轨迹M 于异于点P 的点Q ，记S 为?POQ （O 为坐标原点）的面积，求S 的值．

21．（本小题满分12分）

已知函数2

1()22

f x ax x =

+， ()g x lnx =． （Ⅰ）如果函数()y f x =在[1,)+∞上是单调函数，求a 的取值范围； （Ⅱ）是否存在正实数a ，使得函数()()

()(21)g x x f x a x

'Γ=

-++在区间1(,)e e 内有两个不同

的零点？若存在，请求出a 的取值范围；若不存在，请说明理由．

请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。 22.（本小题满分10分）选修4-1 ：几何证明选讲

如图，BA 是⊙O 的直径，AD 是切线，BF 、BD

求证：BE ?BF=BC ?B D ．

23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系和参数方程

已知圆()为参数θθθ???=+=sin 2cos 22:y x C ，直线l:()为参数t t y t x ???

???

?=+=535

42 （Ⅰ）求圆C 的普通方程。若以原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，写出圆C 的

极坐标方程。

（II ）判断直线l 与圆C 的位置关系，并说明理由；若相交，请求出弦长。

F

B

D

24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

（Ⅰ）已知,x y 都是正实数，求证：3322x y x y xy +≥+； （II ）已知a,b,c +

∈R ,且a+b+c=1, 求证：a 2+b 2+c 2≥3

1．

参考答案

一、选择题： 二、填空题： 13. 12-

14． ② 15．364

π 16．13+ 三、解答题：17．解：（Ⅰ）设{}n a 的公差为d ，

因为??

???==+,,122222b S q S b 所以1222=+q b b ，即122

=+q q ---2分 ∴ 3=q 或4-=q （舍），,6,9,3222===a s b 3=d ．---4分 故33(1)3n a n n =+-= ，13-=n n b ． ----------6分 （Ⅱ）2)33(n n S n +=

=()2

13+n n ，------8分

n c =

)1

1

1(32)33(21+-=+=n n n n S n ． ---10分 =

n T 21111

1212

(1)()()(1)

32231313(1)

n n

n n n ??

-+-++

-=-=??+++?

?

．-12分 18.（Ⅰ）解：因为E,F 分别是PA,PD 的中点，所以EF ∥AD,

于是，∠DAG 是EF 与AG 所成的角．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分

∴===,5,1,2AG DG AD 5

52cos =∠DAG

∴EF 与AG 所成角的余弦值是

5

5

2．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分 （Ⅱ）因为BC ∥AD,AD ∥EF,所以BC ∥EF ．．．．．．．．．．6分

EFG EF EFG BC 平面平面??, BC ∴∥平面EFG ．．．．．．．．．．．．8分 （Ⅲ）V E-AFG =V G-AEF =12

131=??DG S AEF ．．．．．．．．．．．．．．．12分

19．（Ⅰ）解：由表可知，酒后违法驾车的人数为6人，………………………1分

则违法驾车发生的频率为：

100

3

2006=或03.0;………………………3分 酒后违法驾车中有2人是醉酒驾车，则酒后违法驾车中醉酒驾车的频率为

3

1

62=．…………………5分 （Ⅱ）设酒后驾车的4人分别为A 、B 、C 、D ；醉酒驾车的2人分别为a 、b ……………6分 则从违法驾车的6人中，任意抽取2人的结果有：（A ，B ），（A ，C ），（A ，D ），（A ，a ）， （A ，b ），（B ，C ），（B ，D ），（B ，a ），（B ，b ），（C ，D ），（C ，a ），（C ，b ），（D ，a ），（D ，b ）， （a ，b ）共有15个． …………………8分

设取到的2人中含有醉酒驾车为事件E ，…………………9分 则事件E 含有9个结果：（A ，a ），（A ，b ）， （B ，a ），（B ，b ） ，（C ，a ），（C ，b ），（D ，a ），（D ，b ），（a ，b ）． …………………11分 ∴93

()155

P E =

= …………………12分

20解:（Ⅰ）设动圆圆心C 的坐标为(,)x y ，动圆半径为R ，

则

1||1

CC R ==+，且

|1y R +=．．．．．．．．．．2分

可得

|1|1y ++．．．．．．．．．．．．．3

分

由于圆C 1在直线l 的上方，所以动圆C 的圆心C 应该在直线l 的上方，所以有10y +>，

2y =+，整理得28x y =，即为动圆圆心C 的轨迹M 的方程．．．．．5分

（II ）如图示，设点P 的坐标为200(,)8x x ，则=='=l k x y x y ,4

1

,8204x ，．．．．．．．．6分

=PQ k 04x -

，所以直线PQ 的方程为640

+-=x x y ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分 又0

02

02

046

8,68x x x x x k PQ

-=-∴-=,2016x =． 点P 在第一象限，∴04x =，--9分

点P 坐标为（4,2），直线PQ 的方程为6+-=x y ．--------------10分

联立???=+-=y

x x y 862得2

8480x x +-=，解得12x =-或4，∴点Q 的坐标为(12,18)-．所以

1

||||482

P Q S OA x x =

-=---------12分 21．解：（Ⅰ）当0a =时，()2f x x =,符合题意．---------1分

当0a ≠时，()y f x =的对称轴方程为2

x a =-

，-------2分 由于()y f x =在[1,)+∞上是单调函数，所以2

1a

-≤，解得2a ≤-或0a >，

综上，a 的取值范围是0a ≥，或2a ≤-． …………………………4分

（Ⅱ）(),2+='ax x f ()(2)(21)lnx

x ax a x

Γ=-+++，---------5分 因()x Γ在区间（1

,e e

）内有两个不同的零点,所以()0x Γ=，

即方程2

(12)0ax a x lnx +--=在区间（1,e e

）内有两个不同的实根． …………6分

设2

()(12)H x ax a x lnx =+-- (0)x >，

1()2(12)H x ax a x '=+--22(12)1(21)(1)

ax a x ax x x x

+--+-== ………7分

令()0H x '=，因为为正数，解得1x =或1

2x a

=-

（舍） 当1(,1)x e

∈时, ()0H x '<, ()H x 是减函数；

当(1,)x e ∈时, ()0H x '>，()H x 是增函数． …………………………8分 为满足题意，只需()H x 在（1,e e

）内有两个不相等的零点, 故

()min 1

()0,()10,()0,

H e H x H H e ?>??=??

解得1212-+<

e a ……………………………12分 22．证法一：连接CE ，过B 作⊙O 的切线BG ，则BG ∥AD ∴∠GBC=∠FDB ，又∠GBC=∠CEB ∴∠CEB=∠FDB-----------5分 又∠CBE 是△BCE 和△BDF 的公共角 ∴△BCE ∽△BDF ∴

BC BE

BF BD

=， 即BE ?BF=BC ?BD …………10分

证法二：连接AC 、AE ，∵AB 是直径，AC 是切线 ∴AB ⊥AD ，AC ⊥BD ，∠CEB=∠CAB

∵在ABC ?中，∠CAB=CBA ∠-

90,在BAD ?中，∠D=CBA ∠-

90

∴∠CAB=∠D, ∴∠CEB=∠D----------------5分

∴C,E,F,D 四点共圆∴∴BE ?BF=BC ?BD …………10分

证法三：连接AC 、AE ，∵AB 是直径，AC 是切线 ∴AB ⊥AD ，AC ⊥BD ，AE ⊥BF--------3分 由射线定理有AB 2=BC ?BD ，AB 2=BE ?BF-------9分 ∴BE ?BF=BC ?BD …………10分 23．（Ⅰ）()4222

=+-y x ---------2分

θρcos 4=---------------5分

（II ）解法一：由于直线l 过圆心()0,2，-----------6分 所以直线与圆相交-----------------------------8分 弦长为4-------------------------------------------10分 解法二：0643:=--y x l -----------6分

圆心到直线的距离r d <=-+-=

0)

4(3662

2

，所以直线与圆相交-------------8分

由于直线l 过圆心()0,2，所以弦长为4-------------------------------------------10分

24．解：（Ⅰ）证明：∵3

3

2

2

2

2

()()()()x y x y xy x x y y y x +-+=-+-

222()()()()x y x y x y x y =--=-+，

B

D

又∵,x y R +∈，∴2()0,0x y x y -≥+>，∴2()()0x y x y -+≥，

∴3322x y x y xy +≥+．…………………５分

（II ）证明：由a+b+c=1, 得1=（a+b+c ）2= a 2+b 2+c 2+2ab+2bc+2ac ≤3（a 2+b 2+c 2）

∴a 2+b 2+c 2≥

3

1．（当且仅当a=b=c 时取等号） …………………10分