台州市2017学年第一学期高三年级期末评估数学试卷及答案

台州市2017学年第一学期高三年级期末评估

一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.

1.设集合{}11M x x =-≤≤，{}

124x N x =<<，则M N = （） A.{}10x x -≤< B.{}01x x <≤ C.{}12x x ≤< D.{}12x x -≤<

2.若复数2()1i z i

=-（i 为虚数单位），则z =（） A.2B.1C.12

3.已知α为锐角，且3tan 4α=

，则sin 2α=（） A.35B.45C.1225D.2425

4.已知a R ∈，则“1a ≤”是“112a a ++-=”的（）

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分又不必要条件

5.已知数列{}n a 满足*111,2()n n a a a n N +=-≥∈，n S 为数列{}n a 的前n 项和，则（）

A.21n a n ≥+

B.12n n a -≥

C.2n S n ≥

D.12n n S -≥

6.有3位男生，3位女生和1位老师站成一排照相，要求老师必须站在中间，与老师相邻的不能同时为男生或女生，则这样的排法种数是（）

A.144

B.216

C.288

D.432

7.已知实数,x y 满足不等式组02030x x y x y ≥??-≤??+-≤?

，则22(1)(2)x y -++的取值范围是（）

A.[]1,5

B.??

C.[]5,25

D.[]5,26 8.已知函数21,0()3,0x x f x x

x x ?+>?=??-+≤?

，若函数()()(1)g x f x k x =-+在(],1-∞上恰有两个不同的零点，则实数k 的取值范围是（）

A.[)1,3

B.(]1,3

C.[)2,3

D.()3,+∞

9.已知1m = ，23m n += ，则m n n ++ 的最大值为（）

4D.5

10.当[]1,4x ∈时，不等式322044ax bx a x ≤++≤恒成立，则a b +的取值范围是（）

A.[]4,8-

B.[]2,8-

C.[]0,6

D.[]4,12

二、填空题：本大题共7小题，多空题每小题6分，单空题每小题4分，共36分.

11.双曲线22

143

x y -=的离心率是，渐近线方程为. 12.已知随机变量X 的分布列为：

则m =13. 某四面体的三视图如图所示，则该四面体的体积为，表面积为.

14.若2(23)n x x --的展开式中所有项的系数和为256，则n =，含2x 项的系数是.

15.当0x >时，(0)1

a x a x +>+的最小值为3，则实数a 的为. 16.在ABC ?中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a

b

c ，点P 是其外接圆O 上的任意一点，若

a b c ===222PA PB PC ++ 的最大值为.

17.如图，在棱长为2的正四面体S ABC -中，动点P 在侧面SAB 内，

PQ ⊥底面ABC ，垂足为Q ，若4

PS PQ =

，则PC 长度的最小值为. 三、解答题：本大题共5小题，共74分

18.（本小题满分14分）已知函数22

()sin cos (cos sin )(,,)f x a x x b x x x R a b =--∈为常数，

且1()().2124

f f π

π==- （1）求()f x 的单调递增区间；（2）若[,]44

x ππ∈-

时，求函数()f x 的值域. 19. （本小题满分15分）如图，正方形ABCD 的边长为4，点,E F 分别为,AB BC 的中点，将

,ADE DCF ??分别沿,DE DF 折起，使,A C 两点重合于点'A ，连接'.A B

（1）求证：EF ⊥平面'A BD ；

（2）求直线'A D 与平面BEDF 所成角的正弦值.

20.（本小题满分15分）设函数2()(1).x f x x x e -=-+?

（1）求函数()f x 的单调区间；

（2）当[0,2]x ∈时，2()2f x x x m ≥-++恒成立，求实数m 的取值范围.

21．（本小题满分15分）已知椭圆22

22:1(0)x y C a b a b

+=>>的左右焦点分别为12,F F ，左顶点为A

，点P 在椭圆C 上，且12PF F ?

的面积为

（1）求椭圆C 的方程；

（2）过原点O 且与x 轴不重合的直线交椭圆C 于,E F 两点，直线,AE AF 分别与y 轴交于点,.M N 求证：以MN 为直径的圆恒过焦点12,F F ，并求出1F MN ?面积的取值范围.

22．（本小题满分15分）数列{}n a ，{}n b 中，n S 为数列{}n a 的前n 项和，且满足：111,3(2)n n a b S n a ===+，*1(,2).n n n

a b n N n a -=∈≥ （1）求数列{}n a ，{}n b 中的通项公式；

（2）求证：2482111112

n a a a a ++++< ； （3）令123ln ,n n n n c b T c c c c ==++++

，求证：2

*).n T n N ≥∈

台州市2017

学年第一学期高三年级期末质量评估试题

数学参考答案及评分标准2018.01

一、选择题:本大题共10小题,每小题4分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合

二、填空题: 本大题共7小题，多空题每小题6分，单空题每小题4分，共36分。

y x

=12.15,6913.323，16+4,108 15.416.914

三、解答题: 本大题共5小题, 共74分。

解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。

18．（本小题满分14分）

解：（Ⅰ）由题得：1()sin 2cos 22

f x a x b x =-， 由π()2f =，π1()124f =-，得11,44

b a ?=????=-??故1,2a b ==，……4分 11π()sin 22sin(2)4423

f x x x x ∴=-=-， 当πππ2π22π,232

k x k k Z -≤-≤+∈时,()f x 的单调递增, 可得π5πππ,1212

k x k k Z -≤≤+∈， ()f x ∴的单调递增区间为π5π[π,π+]()1212

k k k Z -∈；…………………………8分 （Ⅱ）由（Ⅰ）得1π()sin(2)23

f x x =-， 由ππ44x -≤≤得：5πππ2636x -≤-≤.∴π11sin(2)32

x -≤-≤， 故()f x

在ππ[,]44-上的最大值为14

，最小值为12

-．…………………………14分 19．（本小题满分15分）

解：（Ⅰ）,A D A E A D A F ''''⊥⊥ ，A D '∴⊥平面A EF '，

又EF ?平面A EF ',A D EF '∴⊥,

由已知可得EF BD ⊥，EF ∴⊥平面A BD '；…………………………………7分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知平面A BD '⊥平面BEDF ，则A DB '∠为A D '与平面BEDF 所成角，

设BD ，EF 交于点M ，连A M '，则A M BM '==DM =