湖南省长沙一中、醴陵五中2008届高三第一次月考联合考试数学试卷

湖南省长沙一中、醴陵五中2008届高三第一次月考联合考试数学试卷

一．选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分。）

1、已知集合{}0M x x a =-=，{}10,0N x ax a =-=≠，若M N N = ，则实数a 的值是（ ）

A ．0；

B ． 1；

C ． 1或-1；

D ． -1

2、若i b i i a -=-)2(，其中a 、b ∈R ，i 是虚数单位，则22b a +=（ ） A ．0

B ．2

C ．

2

5 D ．5

3、已知函数)(x f 是区间（0，+

∞）上的连续函数，当11,()1

x f x x -≠=-时，则f (1)=

（ ）

A ．0

B ．

12

C ．1

D ．2

4、从4名教师与5名学生中任选3人，其中至少要有教师与学生各1人，则不同．．选法有（ ） A ．140种

B ．80种

C ．70种

D ．35种

5 设2

()lg 1f x a x ?

?

=+

?-??

是奇函数，则使()0f x <的x 的取值范围是（ ） Ａ (10)-，

Ｂ (01)，

Ｃ (0)-∞，

Ｄ (0)(1)-∞+∞ ，，

6、设=

+

=

-∈)6

tan(,2

1cos ),0,2

(π

ααπ

α则（ ） A ．3

B ．

3

3 C ．－3

D ．－

3

3

7、与圆x 2 + y 2-4x=0外切，又与Y 轴相切的圆的圆心轨迹方程是（ ） A ．y 2=8x B ．y 2=8x(x>0)或y=0 (x<0) C ．y 2 =8x 或y=0 D ．y 2=8x (x ≠0) 8．如图，在棱长为2的正方体1111D C B A AB CD -中,

O 是底面ABCD 的中心，E 、F 分别是1CC 、AD 的中点.

那么异面直线OE 和1FD 所成的角的余弦值等于（ ） A ． 515 B ．

510

C ．

5

4 D ． 3

2

E A 1

9、点P 的曲线3

23+

-=x x y 上移动，在点P 处的切线的倾斜角为α，则α的取值范围是

（ ）A ．]2

,0[π

B ．)

,4

3[)2

,0[πππ

C ．),4

3[

ππ D ．]4

3,

2

(

ππ

10、若数列{}n a 满足

21211,1,2

2

n n

a a a a +=-

==-

，则()12lim n n a a a →∞

+++ 等于（ ）

A ． 不存在

B ． 0

C ．

23

D ．

13

二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。 11、一个容量为20的样本数据，分组后，组距与频数如下：

则样本在（10,50）上的频率为_______。 12、若log 2,log 3a a m n ==，则2m n a +=_______。

13、 已知集合{}|1A x x a =-≤，{}2540B x x x =-+≥ 若A B =? ，则实数a 的

取值范围是

14、已知函数3()128f x x x =-+在区间[]33-，上的最大值与最小值分别为M ，m ，则M m -=

_____

15、设集合{}1,2,3,,n S n = ，若n X S ?，把X 的所有元素的乘积称为X 的容量（若

X

中只有一个元素，则该元素的数值即为它的容量，规定空集的容量为0）。若X 的

容量为奇（偶）数，则称X 为n S 的奇（偶）子集。若4n =，则n S 的所有奇子集的容量之和为_______。

三．解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文件说明，证明过程或演算步骤。

16、（本小题满分12分）已知函数4

4

()sin cos cos f x x x x x =+-， 求（1）函数()f x 最小正周期及最小值； （2）函数在[0,]π上的单调递增区间。

17、（本小题满分12分）某陶瓷厂准备烧制甲、乙、丙三件不同的工艺品，制作过程必须先后经过两次烧制，当第一次烧制合格后方可进入第二次烧制，两次烧制过程相互独立根据该厂现有的技术水平，经过第一次烧制后，甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为0.5，0.6，0.4，经过第二次烧制后，甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为0.6，0.5，0.75

（1）求第一次烧制后恰有一件产品合格的概率；

（2）经过前后两次烧制后，合格工艺品的个数为ξ，求随机变量ξ的期望

18、（本小题满分12分）如图，四棱锥S A B C D

-的底面是边长为1的正方形，SD⊥

底面A B C D，SB=。

（1）求证：B C SC

⊥；

（2）求面A SD与面B S C所成二面角的大小。

19、（本小题满分12分）已知函数b

ax x

x f +=

2

)(（a ，b 为常数）且方程

()120f x x -+=有两个实根为1x =3, 2x =4. （1）求函数()f x 的解析式；

（2）若当(3,2)x ∈-时，有不等式3

2()63x k f x x x

-+<-恒成立，求k 的取值范围。

20、（本小题满分13分）某企业准备投产一批特殊型号的产品，已知该种产品的成本

C

与产量q 的函数关系式为3

2

32010(0)3

q

C q q q =

-++>

该种产品的市场前景无法确定，有三种可能出现的情况，各种情形发生的概率及产品价格p 与产量q 的函数关系式如下表所示：

设123L L L ，，分别表示市场情形好、中差时的利润，随机变量k ξ，表示当产量为q ，而市场前景无法确定的利润

（I ）分别求利润123L L L ，，与产量q 的函数关系式； （II ）当产量q 确定时，求期望k E ξ；

（III ）试问产量q 取何值时，k E ξ取得最大值

21、（本小题满分14分）设函数2

()ln()f x x a x =++

（I ）若当1x =-时，()f x 取得极值，求a 的值，并讨论()f x 的单调性； （II ）若()f x 存在极值，求a 的取值范围，并证明所有极值之和大于e ln 2

．

参考答案

1. CDBCB DBABD 11）

710

12）12 13）

12

14）

49

15）7

16．(1),2π-; (2)5[0,],[

,]3

6

π

ππ

17 解：分别记甲、乙、丙经第一次烧制后合格为事件1A ，2A ，3A ，

（1）设E 表示第一次烧制后恰好有一件合格，则

123123123()()()()P E P A A A P A A A P A A A =++

0.50.40.60.50.60.60.50.40.40.38=??+??+??=

（2）解法一：因为每件工艺品经过两次烧制后合格的概率均为0.3p =， 所以~(30.3)B ξ，，故30.30.9E np ξ==?=

解法二：分别记甲、乙、丙经过两次烧制后合格为事件A B C ，，，则

()()()0.3P A P B P C ===，

所以3(0)(10.3)0.343P ξ==-=，2(1)3(10.3)0.30.441P ξ==?-?=，

2(2)30.30.70.189P ξ==??=，3

(3)0.30.027P ξ===

于是，()10.44120.18930.0270.9E ξ=?+?+?=

18 (1)略(2)

4

π

19．(1) 2

()(2)2x

f x x x

=

≠-(2)36k <-

20(Ⅰ)解:由题意可得

L 1=)102033

(

) 3164(2

2

++---q q q

q q

101443

3

-+-

=q q

(q ＞0) 同理可得10813

3

2-+-

=q q

L (q ＞0)

10503

3

3-+-

=q q

L (q ＞0) ··············· 4分

(Ⅱ) 解:由期望定义可知

3212.04.04.0L L L E ++=ξ

)10503

(2.0)10813

(4.0)101443

(4.03

3

3

-+-

?+-+-

?+-+-

?=q q

q q

q q

.101003

3

-+-

=q q

(Ⅲ) 解:由(Ⅱ)可知ξE 是产量q 的函数,设

101003

)(3

-+-

==q q

E q f ξ(q ＞0)

得='+-=')(.100)(2q f q q f 令0解得10,10-==q q (舍去)

由题意及问题的实际意义(或当0＜q ＜10时,f ′(q )＞0;当q ＞10时, f (q ) ＜0＝可知,当q=10时, f (q )取得最大值,即ξE 最大时的产量q 为10

21．解：（Ⅰ）1()2f x x x a

'=

++， 依题意有(1)0f '-=，故32

a =．从而2

231

(21)(1)

()332

2

x x x x f x x x ++++'=

=

+

+

．

()f x 的定义域为32??

-+ ???

，

∞，当312x -<<-时，()0f x '>； 当112

x -<<-时，()0f x '<；

当12

x >-

时，()0f x '>．

从而，()f x 分别在区间31

12

2

????---+ ? ??

??

?

，，，

∞单调增加，在区间112??

-- ??

?

，单调减少． （Ⅱ）()f x 的定义域为()a -+，∞，2

221

()x ax f x x a

++'=

+．

方程22210x ax ++=的判别式2

48a ?=-． （ⅰ）若0?<

，即a <<，在()f x 的定义域内()0f x '>，故()f x 的极值．

（ⅱ）若0?=

，则a -

或a =

若a =

()x ∈+∞

，2

()f x '=

当2

x =-时，()0f x '=

，当22x ?

???∈-

-+ ? ?

? ??

???

∞时，()0f x '>，所以()f x 无极值．

若a =

)x ∈+∞

，2

()0f x '=>，()f x 也无极值．

（ⅲ）若0?>，即a >

或a <，则2

2210

x a x ++=有两个不同的实根

12

x =，22

x =

当a <12x a x a <-<-，，从而()f x '有()f x 的定义域内没有零点，故()f x 无极值．

当a >

1x a >-，2x a >-，()f x '在()f x 的定义域内有两个不同的零点，由根值判别方

法知()f x 在12x x x x ==，取得极值．

综上，()f x 存在极值时，a 的取值范围为)+∞．

()f x 的极值之和为

2

2

2

1211221()()ln()ln()ln

11ln 2ln

2

2

e f x f x x a x x a x a +=+++++=+->-=．