硕士生《数理统计》例题及答案

《数理统计》例题

1.设总体X 的概率密度函数为： 2

2

1)(ββ

x e

x f -=

)0(>β

试用矩法和极大似然法估计其中的未知参数β。 解：（1）矩法 由于EX 为0，

πβββββ

β

ββββββ2

00

2

2

2

22

2

1][)

()2

(2)()2(21

2)(2

2

2

2

2

2

2

2

2

=

+-=-

=-

-

===????

?∞

+-∞+-

∞

+-

-

∞

+-

∞

++∞

∞

-dx e

xe

e

d x

x d xe

dx

e

x dx

x f x EX x x x x x

πβ2

222

1=

-=X E EX DX 令2S DX =得：S π

β2

?=

（2）极大似然法

∑=

==-

=-

∏

n

i i i x n

n

i x e

e

L 1

2

22

2

1

11

1

β

βββ

∑=-

-=n

i i

x

n L 1

22

1

ln ln β

β

2

31ln 2n i i d L n x d βββ==-+∑ 令0ln =β

d L d 得∑==n i i x n 1

22?β

2. 设总体X 的概率密度函数为：

??

???<≥--=αα

βαββαφx x x x ,0),/)(exp(1

),;(

其中β>0，现从总体X 中抽取一组样本，其观测值为（2.21，2.23，2.25，2.16，2.14，2.25，2.22，2.12，2.05，2.13）。试分别用矩法和极大似然法估计其未知参数βα和。 解：（1）矩法

经统计得：063.0,176.2==S X

β

αβαβ

φα

βα

α

β

ααβ

α

β

α

α

β

α

α

+=-=+-=-===∞

+--

∞

+--

∞

+--

--

∞

+--

∞

+∞+∞

-??

?

?x x x x x e

dx e

xe

e

xd dx e

x dx x x EX ][)(1

)(

)

(222][)

(1

222

22

2βαβαβαβ

β

α

α

αβ

α

β

α

α

β

α

α

++=+=+-=-==--∞

+∞

+--

--

∞

+--

∞

+??

?EX dx e

x e

x e

d x dx e

x EX x x x x

222)(β=-=EX EX DX

令???==2S DX X EX 即???==+2

2S

X

ββα 故063.0?,116.2?===-=S S X βα

（2）极大似然法 )

(1

1

1

),;(αβ

β

α

β

β

βα----

==

=

∏X n

n

X n

i e

e

x L i

)(ln ln αβ

β--

-=X n

n L

)(ln ,0ln 2αβ

βββα-+-=??>=??X n

n L n L 因为lnL 是L 的增函数，又12,,,n X X X α≥L

所以05.2?)1(==X α

令

0ln =??β

L 得126.0?)1(=-=X X β 3.已知总体ξ的分布密度函数为：

?????+≤≤-=其它,01

1,21

);(θθθx x f

（1）用矩法估计其未知参数θ； （2）用极大似然法估计其未知参数θ。 解：（1）θξ=E 令ξξ=E

得：ξθ

=? （2）12111

(,,,;)()22n

n n i L ξξξθ===∏L

0=θ

d dL

，故L 的单调性与θ无关 又1,,,121+≤≤-θξξξθn

θ?可以取]1,1[)1()(+-ξξn 中的任何值。

4.10个病人服用甲、乙两种安眠药后增加（或减少）的睡眠时间（小时）见下表：

假定病人服用两种安眠药后增加（或减少）的睡眠时间分别服从正态分布

),(211σa N 和),(2

22σa N ，试求21a a -的α-1置信下限（10.0=α）。 解：依题意设),(~),,(~22222111σξσξa N a N

经计算得：0994.2,62.1,7641.0,47.12

22211====S S ξξ

先做方差齐性检验：

2

2

21122210:;:σσσσ≠=H H

3640.02*2

2

*10==

S

S F

查表得：18.3)9,9(95.0=F 因为

0121212

12

1

(1,1)(1,1)F F n n F n n αα--<<----

所以接受0H ，即认为两个总体的方差相等。

21a a -的α-1置信下限为2

1212

2

221121121112

)

2()(n n n n S n S n n n t +-++-+---αξξ 即-0.9004

其中3304.1)18()2(9.0211==-+-t n n t α，15.021-=-ξξ

2613.12

212

22211=-++n n S n S n ，

4472.01

121=+n n 5.设样本12(,,,)n X X X L 来自正态总体)5,(~21μN X ，样本均值为X ，样本

12(,,,)n Y Y Y L 来自正态总体)3,(~22μN X ，样本均值为Y ，且两样本相互独立。

1μ、2μ为未知参数。

（1）已知8.7=X ，3.5=Y ，样本容量n=25，求21μμ-的置信水平为0.95的置信区间；

（2）如果要求21μμ-的置信水平为0.95的置信区间长度不超过2，问样本容量n 至少应取多少？

解：)25,(~1n N X μ，)25

,(~2n

N Y μ

故)50

,(~21n N Y X μμ--

)1,0(~50)

()(21N n

Y X μμ---

所以，）

，）置信区间为（的（n u Y X n u

Y X 50

5012

12

121αα

αμμ--

+----- （1））

，）置信区间为（的（25

50

96.13.58.7255096.13.58.7121+-----αμμ，即（-0.272，5.272）。

（2）依题意，有2n

u

50

2

1α

-

≤2，即n 5096.1≤1，即n ≥1.962×50

所以，n ≥192.08或n ≥193。

6.设总体),,,(,0),(~21 L n P ξξξλλξ>为其样本。 （1）证明：对一切21

)1(),10(S n n

--+≤≤αξααα都是λ的无偏估计量； （2）试求2λ的一个无偏估计量。 （1）证：因为λξξ==E E ，λξn

n D n n S E 11)(2-=-=

所以]1

)1[()(]1)

1([22S n n E E S n n E --+=--+αξααξα λ

λααλαξα=-+=--+=)1()

(1

)

1(2S E n n

E 所以对一切21

)

1(),10(S n n

--+≤≤αξααα都是λ的无偏估计量。 （2）解：因为2222)()(λλ

ξξξξξ+=+=+=n

E n D E D E 所以222)(λλ

λλ

ξ

ξ=-

+=

-

n

n

n

E

故n

ξ

ξ-

2是2

λ

的一个无偏估计量。

7.设总体ξ服从]1,[+θθ上的均匀分布，θ未知，(n ξξ,,1 )是来自此总体的一个

样本，已知{}n ξξξ,,min 1)1( =，{}n n ξξξ,,max 1)( =。 （1）试计算)1(ξ、)(n ξ的数学期望；

（2）试分别利用)1(ξ、)(n ξ构造θ的无偏估计量； （3）试比较（2）中的两个无偏估计量的有效性。 解：（1）X 的概率密度函数为：??

?+?+∈=时

当时

当]1,[,0]1,[,1)(θθθθx x x p

因此)1(X 的概率密度函数为：???+?+∈--=-时

当时

当]1,[,0]1,[,)](1[)(1)1(θθθθθx x x n x p n X

)(n X 的概率密度函数为：??

?+?+∈-=-时

当时

当]1,[,0]1,[,)()(1)(θθθθθx x x n x p n X n 所以，dx x xp X E X ?+∞

∞-=)(][)1()1(

?

+---?=1

1)](1[θθ

θdx x n x n

1

1)

1()(1

01

++

=-+=?-n dt t n t n θθ dx x xp X E n X n ?+∞

∞

-=)(][)()(

?

+--?=1

1)(θθ

θdx x n x n

1

)(1

01

++

=+=?-n n dt nt

t n θθ （2）由（1）可知，11?)1(1+-=n X θ，1?)

(2+-=n n X n θ都是θ的无偏估计量。 （3）dx x p x X E X ?

+∞

∞

-=)()()1()1(22

?

+---?=112)](1[θθθdx x n x n

210

1

2)1()1(1

22)1()(θθθ++++-+=

-+=?-n n

n n dt t n t n )

1()1(1]1

1[)?(DX n X D D =+-=θ 2

)1(2)1(][][EX X E -= 2

2)1

1(])1()1(122[

++-++++-+=n n n n n θθθ 2

2

)

1(2+-+=n n n n dx x p x X E n n X ?+∞

∞

-=)()()()(22

?

+--?=1

12)(θθ

θdx x n x n

21

121

22)(θθ

θ++++=

+=?-n n n n dt nt t n

)

()(2]1

[)?(n n DX n n X D D =+-=θ 2)(2)(][][n n EX X E -=

2

2)1(]122[

++-++++=n n n n n n θθθ

22)1(2+-

+=n n n n

因此，两个估计量的有效性一样。

8.用机床生产某种滚珠，现从中随机地抽取8只滚珠，测得其直径（单位：mm ）为：15.0，14.5，15.2，15.5，14.8，15.1，15.2，14.8。现对机床进行维护保养后继续进行生产，从中随机地抽取9只滚珠，测得其直径（单位：mm ）为：15.1，15.0，14.8，15.2，14.9，15.0，14.9，15.1，14.8。假设保养前后生产的滚珠直径都服从正态分布。试问保养后机床的加工精度是否显著提高了（05.0=α）。

解：设保养前生产的滚珠直径服从正态分布),(211σa N ，保养后生产的滚珠直径

服从正态分布),(2

22σa N 。

问题归结为检验假设22

21122210:;:σσσσ>=H H 经统计得：0125.151=X ，09554.02

*1=S 9778.142=X ，01944.02

*2=S

915.42

2

*2

*10==

S

S F

查表得：50.3)8,7()1,1(95.0211==---F n n F α 因为)1,1(2110-->-n n F F α

所以拒绝0H ，即可以认为保养后机床的加工精度是显著提高了。 9.从甲、乙两个分厂的铸铁中分别抽取样本容量为9和8的样本，分别计算后得

到含碳量（%）的平均数及校正样本方差为：

甲厂：9,1337

.0,23.01*

12

===n s x 乙厂：8,1636.0,269

.02*22

===n s y 。

设甲、乙两个分厂铸铁的含碳量都服从正态分布且相互独立，问这两个分厂

铸铁的含碳量的平均值可否看作一样（α=0.05）？

解：假设甲、乙两厂的铸铁的含碳量分别服从),(),(222211σμσμN N 、

问题归结为检验假设210μμ=：H ；211μμ≠：H

因为方差未知，又不知方差是否相等，所以应先检验假设

2

2

21)1(0σσ=：H ；2221)1(1σσ≠：H 用F 检验法，)

1(0H 的接受域为：

2

2

*

2*

1212

)1,1(S S F n n F =

<--α（因为2

2*

2

*1S S <） 现在8,921==n n ，

817.01636

.01337

.02

2*

2

*1

==

S S

查表得：2208.053

.41)7,8()1,1(025.0212

===--F n n F α

因为0.817>0.2208，所以接受)

1(0H ，即认为方差相等。 在2221σσ=的情况下，再用T 检验法检验0H ，

23.0=X ，269.0=Y

计算得：

4859.01

12

1=+n n ， 3843.015

1636

.0)18(1337.0)19(2

212

2

2211=?-+?-=

-++=

n n S n S n S w

2089.04859

.03843.0269

.023.0112

1-=?-=

+-=

n n S y x T w

查表得：1315.2)15()2(975.0212

1==-+-

t n n t α

因为)2(212

1-+<-

n n t

T α

，所以接受0H ，即可以认为两个分厂铸铁的含

碳量的平均值一样。

10.设有一大批产品，产品质量指标),(~2σμN X 。以μ小者为佳，厂方要求所确定的验收方案对高质量的产品（0μμ≤）能以高概率α-1为买方所接受。买方则要求低质产品（0,0>+≥δδμμ）能以高概率β-1被拒绝。由厂方和买方

协商给出。并采取一次抽样以确定该批产品是否为买方所接受。问应如何安排抽样方案。已知1200=μ，20=δ，且由工厂长期经验知9002=σ。又经双方商定

α，β均取值为0.05。

解：此问题可以归结为检验

0100:;:μμμμ>=H H

且要求当δμμ+≥0时能以95.01=-β的概率拒绝0H 。 此问题的拒绝域为：

ασμ-≥-10

/u n

x

)/(1}//{

1}/{

1)(0100

110

n

u n

u n

X P u n

X P σμμσμμσμ

σμμβα

αα--Φ-=--

<--=<--=---

现要求当δμμ+≥0时βμβ≤)(，因为)(μβ是μ的减函数，故只需

βδμβ=+)(0即可，此时有

δ

σ

βα)(11--+≥

u u n

按照给定的数据计算得35.24≥n ，故取n=25 且当x 满足

645.1/95.010

==≥--u u n

x ασμ时，即当87.129≥x 时买方就拒绝这

批产品，而当87.129

11.某中药厂从某种药材中提取一种有效成分，为了进一步提高获得率，改进了提取方法，现在对同一质量的药材，用旧法和新法各做了10次试验，得到的获得率数据如下表：

假设提取药材的获得率都服从正态分布，问新法的获得率是否比旧法的获得率高（α=0.05）？

解：假设旧法的提取获得率),(~211σμN X ，

新法的提取获得率),(~2

22σμN Y 则2221212~(,)

(,)Z X Y N N μμσσμσ=--+

(1,2,

,10)i i i Z X Y i =-=为Z 的一组样本观测值，即

01:=0,:0H H μμ<

经计算得：*2.2S =1.367Z =-，

0Z-0

5.089T =

=- 查表得：0.05(9) 1.8331t =-， 由于00.055.089(9) 1.8331T t =-<=-

因此拒绝0H ，即认为新法的获得率是否比旧法的获得率高。

12. 研究纤维的抗拉强度的分布，随机抽测200根纤维的抗压强度，以分组的

0（α

=0.05）。

解：),()(H ),()(H 2120σμσμN x F N x F ?∈：；：

经计算得：152002210

2==S X ， 所以15200?2210?2==σμ，

查表得815.7)3(2

95.0=χ

因为)3(36.120036.201295.020χχ<=-=

所以，接受原假设，即认为混凝土的抗压强度服从N(2210,15200)。

13. 卢瑟福盖革观察在7.5秒的时间间隔里到达某个计数器的由某块放射性物质

其中j 是α质点数，j γ是在一次观察中到达的α质点数为j 的观察次数。问在7.5

秒中到达计数器的α质点数X 是否服从泊松分布）（05.0=α？

解：)()(:);()(:0100x F x F H x F x F H ≠=

其中F(x)为X 的分布函数，F 0(x)是参数为λ的泊松分布的分布函数。

87.32611100981?10

====∑=j j j n x γλ

21.13261121.262410

20

=-=-=∑=n j j j γχ

查表得：919.16)9()1111()1(295.0295.021==--=---χχχαr m 因为)1(2120--<-r m αχχ

所以，接受H 0，即可以认为在7.5秒中到达计数器的α质点数X 是服从参数为3.87的泊松分布。

14. .有一正四面体，将它的四面分别涂成红、黄、蓝、白四种不同的颜色，现做如下抛掷试验：任意地抛掷该四面体，直到白色一面与地面接触为止，记录抛

设i A 为第i 种颜色一面与地面接触（1-红色，2-黄色，3-蓝色，4-白色）

2

5

20

118.22i i i

m n np χ==-=∑

查表得：22

10.95(1)(4)9.488m r αχχ---==

因为2201(1)m r αχχ->--，所以拒绝0H ，即认为该四面体不均匀。

15.对核动力工厂的某类仪器实施甲、乙两种不同的维修方案，现观测到两组失解：设两种维修方案的效果的分布函数分别为)(1x F 和)(2x F ， 则原问题转化为检验)()(:);()(:211210x F x F H x F x F H ≠=

混合顺序样本为：3,7,8,10,25,26,27,28,29,30,35,42,72,84,101,150

第一组样本的秩和为T=2+3+4+5+6+7+10+11=48 查表得：821==n n ，05.0=α时，84,5221==T T 因为1T T <

所以，拒绝H 0，即可以认为这两种维修方案的效果有显著差异。

16.某建材实验室在作陶粒混凝土强度试验中，考察每立方米混凝土的水泥用量x 2

（1）求y 对x 的线性回归方程；

（2）试用F 检验法检验线性回归效果的显著性)05.0(=α； （3）求2250=x （kg ）时0y 的0.95置信区间；

（4）为了把抗压强度y 限制在（60，80）内，需要把x 的值限制在何范围内

)05.0(=α？

解：205=X ，14300=xx l

6.72=Y ，82.1323=yy l ，4347=xy l

（1）3040.0?==xx

xy l l b

28.10??=-=x b y a

所以回归直线方程为x y

3040.028.10?+= （2）5488.1321?2==xx R l b S 2712.2=-=R yy e S l S 7249.5818)

2/(0=-=

n S S F e R

查表得2281.2)10()2(975.02

1==--

t n t

α

所以96.4)2()2,1(22

11=-=---n t n F αα

因为)2,1(10->-n F F α

所以可以认为Y 与x 的线性相关关系显著。

（3）68.782253040.028.10???00=?+=+=x b a y 4766.02

?*=-=n S e

σ

2281.2)10()2(975.02

1==--

t n t

α

0542.1)(1120=-++xx

l x x n 12.1)(11)2(2)(2

0210=-++--=

-xx

e l x x n n t n S x αδ 故所求的预测区间为（77.56，79.80）。 （4）63.166)28.1096.14766.060(3040.01)??(?12

1*11=-?+=-+=

-a u Y b x ασ 27.226)28.1096.14766.080(3040.01

)??(?12

1*22=-?-=--=

-a u Y b x ασ 为了把观测值η限制在区间（60，80）内，需要把x 的值限制在（166.63,226.27）内。

17.设对于给定的x ，对应的Y 为正态随机变量。对（x ，Y ）进行了10次独立对

（1）求Y 对x 的线性回归方程；

（2）检验线性模型是否显著（α=0.05）；

（3）当x 0=0.5时，求相应的Y 0的置信区间（α=0.05）；

（4）欲将y 控制在（-4,4）以内，试估计x 的允许变化范围(α=0.05)。 （5）求a 、b 的0.95置信区间。 解：经统计得：

545

.57645.22945.0729.1641.0==-==-=xy yy xx l l y l x ，， （1）4398.3?==xx

xy

l l b 9603.0??=-=x b y a

所以回归直线方程为x y

4398.39603.0?+= （2）9413.197?2==xx R l b S 7037.31=-=R yy e S l S 95.49)

2/(=-=

n S S F e R

查表得632.0)8()2(05.0==-r n r α 所以32.51

)

2(1

2

)2,1(21=---=

--n r n n F αα

因为)2,1(1->-n F F α

所以可以认为Y 与x 的线性相关关系显著。

（3）6802.25.04398.39603.0???00=?+=+=x b a y 9907.12

?*-=n S e

σ

9218.4)(11)2(2)(2

0210=-++--=

-xx

e l x x n n t n S x αδ 故所求的预测区间为（-2.2416，7.602）。 （4）3041.0)9603.096.19907.14(4398.31

)??(?12

1*11-=-?+-=-+=

-a u Y b x ασ 2506.0)9603.096.19907.14(4398.31

)??(?12

1*22-=-?-=--=

-a u Y b x ασ 为了把观测值y 限制在区间（-4，4）内，需要把x 的值限制在

（-0.3041,-0.2506）内。

（5）a 的0.95置信区间为)1?)2(?(2

*

2

1xx

l x n n t a

+-±-

σ

α 即,1.58)3406.0()6197.09603.0(=± b 的0.95置信区间为)/?)2(?(*2

1xx l n t b

σ

α-±-

即,4.5622)3174.2()1224.14398.3(=±。

假定三个班级的学生考试成绩分别服从),(21σa N 、),(22σa N 、),(22σa N ，试问三个班级的考试平均成绩有无显著差异（

α=0.05）？

解：不全相等、、：；：32113210a a a H a a a H ==

经计算得：

5081

9.6429033.742741

5.7023332

2222111======S n x S n x S n x

007

.192

.297995

.299)/()1/(99

.599)(10725

.701031

23

123

1==--=

=-=====∑∑∑===r n S r S F x x n S S n S x n n x e A i i i A i i i e i i i

查表得26.3)36,2(),1(95.01==---F r n r F α 因为),1(26.3007.110r n r F F --=<=-α

所以，接受原假设，即认为三个班的考试成绩没有显著差异。

19.假设甲、乙、丙三种种子的亩产量都服从正态分布，且具有方差齐性。现将甲、乙、丙这三种种子在相同的条件下各进行15次产量测试，测量它们的亩产量，并经计算得到三组样本的均值分别为：16711=X ，16962=X ，17613=X ；

三组样本的方差分别为：58.75621=S ，84.64322=S ，26.7402

3=S 。假设这三组

样本相互独立。问：甲、乙、丙这三种种子的亩产量有无显著差异(α=0.05)？ 解：依题意，可设甲、乙、丙这三种种子的亩产量分别服从),(2σμi N (i=1，2，3)

则应检验假设：

3210μμμ==：H ，不全相等、、：3211μμμH

33.1709)176116961671(45

15

=++=

X 2.32110)26.74084.64358.756(15=++?=e S

64750)33.17091761(15)33.17091696(15)33.17091671(15222=-?+-?+-?=A S 35.4242

/2.321102

/64750===

e A S S F 查表得：22.3)

2,42(1

)42,2(),1(05.095.01==

=---F F r n r F α

因为),1(1r n r F F -->-α，所以拒绝H 0，即认为甲、乙、丙这三种种子的亩产量有显著差异。

20.设正态总体的方差2σ已知，x 为总体的一组容量为n 的样本的平均值。在给定的显著性水平α情况下，检验假设01100μμμμμ>==：；：H H 时，犯第二类错误的概率为β，试验证）

（n

u /0

110σμμβα--

Φ=-，并由此推倒出关系式2

012

2

11)

()(μμσβα

-+=--u u n 。 证：解：根据犯第二类错误的概率的定义，有

{}

）（接受n

u n n

u n X P n u X P H P /0

1101110111010σμμμμσμσμσμμμσμμμβα

αα--Φ=???

???

?

???????=-+<-=?

?

????=+<===--- 由上述结论可知，n

u u /0

11σμμαβ--

=-

所以，n

u u u /0

111σμμαββ-+

-=-=--

故n

u u /0111σμμβ

α-=+--即2

012

2

11)()(μμσβα-+=--u u n 21.设总体X 具有有限方差DX ，),,,(21n X X X 为X 的样本，对任何一组满足

11

=∑=n

i i

α

的非负实数n ααα,,,21 ，

试证∑=n

i i i X 1

α都是总体均值EX 的无偏估计量，且在这些无偏估计量中，样本均值∑==n

i i X n X 1

1是最小方差无偏估计量。

证：EX EX EX X E n

i i n i i i n i i i ===∑∑∑===1

1

1

ααα

所以，∑=n

i i i X 1

α都是总体均值EX 的无偏估计量。

DX n

DX DX X D n

i i n i i i

n i i i 1

1

21

21

=

==∑∑∑===ααα 对任意实数t ，n n βββααα,,,;,,,2121 都有0)(1

2≥-∑=n

i i i t βα，即

0)(2)(1

21

2

1

2≥+-∑∑∑===n

i i n i i i n i i

t t ββαα

所以上式的判别式0≤?，即

0))((4)(412122

1

≤-∑∑∑===n

i i n i i

n i i i βαβα

则))(()(1

21

22

1

∑∑∑===≤n

i i n

i i

n

i i i βαβα

取121====n βββ ，11

=∑=n

i i α

则有n n

i i

)(11

2

∑=≤α，即∑=≤n

i i n 121

α

所以)()(11

12

∑∑===≤=n

i i i n i i X D DX DX n X D αα

22.设n ξξ,,1 相互独立，),(~2i i a N σξ（i=1,2,…,n ），其中2i σ （i=1,2,…,n ）

不全相等。

设)1

()(11∑∑==÷=n i i n

i i i σσξη，211

)1(∑∑==---=n i i n

i i i n a a σησξζ 试证明： （1）))1

(,(~21-=∑

n

i i

n a N ση；

（2）)1(~2-n χζ。 证：（1）因为),(~2i i a N σξ

所以)1,(~i i i a N σσξ，故),1(~11n a N n

i i

n i i i ∑∑==σσξ

所以))1

(,(~21

-=∑

n

i i

n a N ση

（2）设i

i i a

t σξ-=

，（n t t t ,,,21 ）的样本方差记为2t S 则2

11

)1(∑∑==---=n i i n

i i i n a a σησξζ为2t nS ， 而)1,0(~N t i ，

所以)1(~1

22

-n nS t χ， 故)1(~2-n χζ。

23.设),,,(21n ξξξ 是总体),(2σμN 的一个样本，三个统计量

∑=--=n i i n S 1221

)(11ξξ，∑=-=n i i n S 1

222)(1ξξ，∑=-+=n i i n S 122

3)(11ξξ 中，哪一个是2σ的无偏估计量？哪一个对2σ的均方误差222)(σ-i S E 最小（i=1,2,3）？ 解：因为

)1(~)1(2

2

2

1--n S n χσ,

)1(~2

2

22

-n nS χσ，

)1(~)1(22

2

3-+n S n χσ

所以1])1([

2

2

1-=-n S n E σ，)1(2])1([

2

2

1-=-n S n D σ

1][

2

22

-=n nS E σ

，)1(2][

2

22

-=n nS D σ

1])1([

2

2

3-=+n S n E σ，)1(2])1([

2

2

3-=+n S n D σ

所以221σ=ES ，222

1σn n ES -=，2

231

1σ+-=n n ES 即21S 是2σ的无偏估计量。

42

1

12σ-=n DS ，42

2

2)1(2σn

n DS -=，42

23)

1()1(2σ+-=n n DS 222222222222][)()()(σσσσ-+=-+-=-i i i i i ES DS S E S D S E

44222112012)(σσσ-=+-=

-n n S E 42

4

242222212]11[)1(2)(σσσσn n n n n n S E -=--+-=- 4

42

4242222312)

1(22]111[)1()1(2)(σσσσσ+=++=-+-++-=

-n n n n n n n S E 所以222

3)(σ-S E 最小。