第二讲有理数的运算
第2讲 有理数的运算
一、知识梳理
１.有理数加法法则：
(1)同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；
(2)异号两数相加，绝对值相等时和为0；绝对值不等时，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。 (3)一个数同0相加，仍得这个数。
2.有理数的加法步骤: (1).确定和的符号； (2).求加数的绝对值； (3).确定两个数的绝对值的和或差。
3．加法交换律、结合律在有理数的加法中仍然适用
加法交换律：a + b = b + a 结合律：(a + b) +c = a +(b + c) =( a + c) + b 灵活运用加法运算律,可以使运算简便,通常有下列情形：
① 把互为相反数的数结合在一起，称“相反数结合法”； ② 把同分母的分数结合在一起，称“同分母结合法”； ③ 把能凑整的数结合在一起，称“凑整结合法”； ④ 把同号的数结合在一起，称“同号结合法”。 1．有理数减法的意义：
已知两个数的和及其中一个加数，求另一个加数的运算，叫做减法运算。 减法是加法的逆运算，即减法运算可以转化为加法运算．
2．有理数减法法则：减去一个数等于加上这个数的相反数。
3．减法运算的步骤是： (1)将减法转化为加法：a －b ＝a +(－b )；
(2)按有理数的加法法则运算．
注意：（1） 在运用减法法则时，注意两个符号的变化，一是运算符号减号变为加号，
二是性质符号减数变成它的相反数；
（2）减法法则不能与加法法则中的两个异号的数相加混淆；
（3）有理数的减法法则中，被减数与减数不能互换，减法没有交换律。
1．乘法的符号法则： 两数相乘，“同号得正，异号得负”，并把绝对值相乘。 任何数与0相乘，积仍为0。 2．有理数的乘法运算的步骤：
（1）先确定积的符号； （2）求出积的绝对值相。 3．几个有理数相乘的积的符号确定：
（1）几个有理数相乘，只要有一个数为0，则积为0；
（2）几个不为0的有理数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数的个数为奇
数个时，积为负；当负因数的个数为偶数个时，积为正。
4．乘法的运算律：
（1）乘法交换律： ab=ba （2）乘法结合律： (ab)c=a(bc) （3）乘法分配律： a(b+c)=ab+ac 5．值得注意的问题：
（1）合理运用运算律，使运算简便；
（2）分数与分数相乘，带分数应先化成假分数，相乘前应注意约分； （3）小数与小数相乘，可以把小数化为分数再相乘。
二、典例剖析
专题一：有理数的加减运算
例1：计算：（1）??? ??-+??? ??+
4332； （2）().53415-+??
?
??-
【变式】
1、）（）（82186228-+++-
2、()??
? ??-+??? ??-+++??? ??-+92543225.6185475.3
3、??
? ??-+??? ??+21174128
4、()75.1321432323+-??
? ??--??? ??--??? ??-
5、计算：1-2+3-4+5-6+7-8+……+2010
例2 某粮库17日的粮食库存量为1300吨，下表是该粮库18日至24日运进和运出粮
（2）19日该粮库的粮食库存量是多少？22日的库存量与24日的库存量有何关系？
【变式】
为体现社会对教师的尊重，教师节这一天上午，出租车司机小王在东西向的公路上免费接送老师。如果规定向东为正，向西为负，出租车的行程如下（单位：千米）：＋15，－4，＋13，―10，―12，＋3,―13,―17.
（1）最后一名老师送到目的地时，小王距出车地点的距离是多少？ （2）若汽车耗油量为0.4升/千米，这天下午汽车共耗油多少升？
专题二：有理数的乘除运算
例2：（1）11
2(1)(4)24
-÷-?-
（2）[]4)103(412÷-?-
（3）41)6.04824()6(?--÷- （4）51221()()1497363
-+-÷-
【变式】
1、1
5132()2433
864??
--+
-?÷???
?
2、4
3
1151312131511531251---?-+-
专题三：科学计数法
例3：（2009丽水）2008年9月27日，神舟七号航天员翟志刚完成中国历史上第一次太空行走，他相对地球行走了5 100 000米路程，用科学记数法表示为（ ） A ．51×105米 B ．5.1×105米 C ．5.1×106米 D ．0.51×107米
专题四：有理数的混合运算
例4：混合运算中的易错题剖析。 1、（运算律）()11162312??
-÷-+ ???
2、
（运算顺序）()()()115551010---?÷?-
3、（拆分）()672
311?
?-÷- ??? 4（运算符号）()2111
23329
????-?-÷?- ? ?????
四、创新探究（培优训练）
1、111112558811111420092012
+++++?????计算…
2、已知|3
21(2)0x y -+-=，求
111
(1)(1)(2008)(2008)
xy x y x y +++++++……的值
3、（2008佛山）若20072008a =，20082009
b =，则a ，b 的大小关系是a b 。
4、232003*********
s =+
++++化简…
5、若,,a b c 为整数，且19
19
1a b c a
-+-=，试计算c a a b b c -+-+-的值，
6、11(23++…11)(120102+?++…11)(120092+-++…111)(201023+?++…1).2009
+
家庭作业
校区： 学号： 姓名：______ 作业等级：______
一、选择题
1、既不是正数又不是分数的有理数是（ ）
A 、负整数
B 、负整数和0
C 、自然数
D 、正分数和0 2、“老张比老李大-8岁”表示的意义是（ ）
A 、老张比老李大8岁
B 、老张比老李小8岁
C 、老李比老张大-8岁
D 、老李比老张小8岁 3、满足｜x ｜= -x 的数有( )
A 、1个
B 、2个
C 、3个
D 、无数个 4、如果a 是有理数，那么下列说法正确的是（ ）
A 、a 不是正有理数，就是负有理数
B 、a 不是整数，就是分数
C 、a 的绝对值是正数
D 、a 的倒数是
a
1
二、填空： 5、－
2
1
的倒数的绝对值等于_______；绝对值不大于10的所有整数的和等于_______。 6、在数3- ，0，－8-，－5.2 ，5
3
，－7.1中，负数有_________个。
7、某教具厂加工正方体模型，在图纸上注明边长为（5±0.1）厘米，表示这种正方体的边长标准尺寸是________厘米，要求边长最大不超过标准尺寸__________厘米，符合要求的正方体边长最小是______厘米。
8、若,a b 互为相反数，,m n 互为倒数，c 是最大的负整数，
则2
33||()3a c b mn
+++= 。 9、使等式｜-5 +m ｜= ｜-5｜+｜m ｜成立的m 的取值为____________.
﹡10、已知数轴上有Ａ、Ｂ两点，Ａ、Ｂ之间的距离为１，点Ａ与原点的距离为３，那么所有满足条件的点Ｂ与原点的距离之和等于_____________。
﹡11、有一串数，-2003，-1999，-1995，-1991，…，按照一定的规律排列，那么这串数中前_________个数的和最小.
﹡12、有依次排列的3个数：3，9，8.对任意相邻的两个数，都用右边的数减去左边的数,所得之差写在两个数之间，可产生一个新数串：3，6，9，-1，8.这称为第一次操做；做同样的操做可产生一个新数串：3，3，6，3，9，-10，-1，9，8.继续这样依次操做下去，从数串3，9，8开始操做一百次后所产生的那个新数串的所有数之和为_________.