全等难题——倍长中线法
第二讲
全等三角形与
中点问题
中考要求
知识点睛
三角形中线的定义：三角形顶点和对边中点的连线
三角形中线的相关定理：直角三角形斜边的中线等于斜边的一半
等腰三角形底边的中线三线合一(底边的中线、顶角的角平分线、底边的高重合)
三角形中位线定义：连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．
三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边并且等于它的一半．
中位线判定定理：经过三角形一边中点且平行于另一边的直线必平分第三边．
中线中位线相关问题(涉及中点的问题)
见到中线(中点)，我们可以联想的内容无非是倍长中线以及中位线定理(以后还要学习中线长公式)，尤其是在涉及线段的等量关系时，倍长中线的应用更是较为常见．
版块一 倍长中线
【例1】 (2002年通化市中考题)在△ABC 中，9,5==AC AB ，则BC 边上的中线AD 的长的取值范围是
什么？
【补充】已知：ABC ?中，AM 是中线．求证：1
()2
AM AB AC <+．
M
C
B
A
【例2】 (2008年巴中市高中阶段教育学校招生考试)已知：如图，梯形ABCD 中，AD BC ∥，点E 是CD 的
中点，BE 的延长线与AD 的延长线相交于点F ．求证：BCE FDE ??≌．
重点：主要掌握中线的处理方法，遇见中线考虑中线倍长法
重、难点
例题精讲
D
F
E
C
B
A
【例3】 (浙江省2008年初中毕业生学业考试(湖州市)数学试卷)如图，在ABC ?中，D 是BC 边的中点，F ，
E 分别是AD 及其延长线上的点，C
F BE ∥．求证：BDE CDF ??≌．
F
E
D
C
B
A
【例4】 如图，ABC ?中， G F E D C B A 【例5】 如图，已知在ABC ?中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，延长BE 交AC 于F ，AF EF =， 求证：AC BE =． F E D C B A 【例6】 如图所示，在ABC ?和A B C '''?中，AD 、A D ''分别是BC 、B C ''上的中线，且AB A B ''=，AC A C ''=， AD A D ''=，求证ABC A B C '''??≌． E D C A B B' A' C' D' E' 【例7】 如图，在ABC ?中，AD 交BC 于点D ，点E 是BC 中点，EF AD ∥交CA 的延长线于点F ，交EF 于点G ，若BG CF =，求证：AD 为ABC ?的角平分线． F G E D C B A 【例8】 已知AD 为ABC ?的中线，ADB ∠，ADC ∠的平分线分别交AB 于E 、交AC 于F ．求证： BE CF EF +>． F E A B D C 【例9】 在Rt ABC ?中，90A ∠=?，点D 为BC 的中点，点E 、F 分别为AB 、AC 上的点，且ED FD ⊥．以 线段BE 、EF 、FC 为边能否构成一个三角形？若能，该三角形是锐角三角形、直角三角形或钝角三角形？ F E D C B A 【例10】 如图所示，在ABC ?中，D 是BC 的中点，DM 垂直于DN ，如果2222BM CN DM DN +=+，求证 ()2221 4 AD AB AC =+． N M D C B A 课题：《全等三角形之巧添辅助线——倍长中线法》 【方法精讲】常用辅助线添加方法一一倍长中线 △ ABC中，AD是BC边中线方式1 :直接倍长延长AD至U E， 例2: ABC中，AD是BAC的平分线，且BD=CD，求证AB=AC 方法1:作DE丄AB于E,作DF 丄AC于F,证明二次全等 方法2 :辅助线同上，利用面积 方法3 :倍长中线AD E 方式2 :间接倍长 作CF丄AD于F,作BE丄AD的延长线于E延长MD到 C 【经典例题】 例1 :△ ABC中，AB=5, AC=3求中线AD的取值范围. 提示：画出图形，倍长中线AD，利用三角形两边之和大于第三边 N,使DN=MD连接CN C 例3:已知在△ ABC中，AB=AC , D在AB 上, E在AC的延长线上，DE交BC于F,且DF=EF ,求证：BD=CE 方法1 :过D作DG // AE交BC于G,证明△ DGF^A CEF 使DE=AD，连接BE 方法2:过E 作EG // AB 交BC 的延长线于 G ,证明△ EFG^A DFB 方法3:过D 作DG 丄BC 于G,过E 作EHL BC 的延长线于 H,证明A BDG^A ECH 例4:已知在△ ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，且BE=AC ,延长BE 交AC 于F ,求证：AF=EF 例5:已知：如图，在 ABC 中，AB 求证：AE 平分 BAC 方法1倍长AE 至G ,连结DG 方法2:倍长FE 至H ，连结CH 例 6:已知 CD=AB ，/ BDA= / BAD , AE 是厶 ABD 的中线，求证：/ C=Z BAE 提示：倍长 AE 至F ,连结DF,证明A ABE^A FDE ( SAS ,进而证明A ADF ^A ADC( SAS A 提示：倍长 AD 至G ,连接BG ,证明A BDG^A CDA 三角形BEG 是等腰三角形 AC , D E 在 BC 上,且 DE=EC 过 D 作 DF // BA 交 AE 于点 F , DF=AC. 第1题图 数学倍长中线法集团档案编码：[YTTR-YTPT28-YTNTL98-UYTYNN08] 倍长中线法 1.如图，在正方形ABCD 中，E 为AB 边的中点，G 、F 分别为AD ，BC 边上的点，若AG=1，BF=2，∠GEF=90°，求GF 的长 2.如图，CB 、CD 分别是钝角△AEC 和锐角△ABC 的中线，且AC=AB ．求证：①CE=2CD ．②CB 平分∠DCE ． 3.如图已知△ABC，AD 是BC 边上的中线，分别以AB 边、AC 边为直角边各向形外作等腰直角三角形，求证EF ＝2AD. 4.如图，在△ABC 中，D 是BC 边的中点，E 是AD 上一点，BE ＝AC ，BE 的延长线交AC 于点F ，求证：∠AEF=∠EAF 5..如图，在△ABC 中，AD 交BC 于点D ，点E 是BC 中点，EF ∥AD 交CA 的延长线于点F ，交EF 于点G ，若BG=CF ，求证：AD 为△ABC 的角平分线. 6..如图，△ABC 中，BD=DC=AC,E 是DC 的中点，求证，AD 平分∠BAE. 7.：已知在△ABC 中，AB=AC ，D 在AB 上，E 在AC 的延长线上，DE 交BC 于F ，且DF=EF ，求证：BD=CE 9.在四边形ABCD 中，AB ∥DC ，E 为BC 边的中点，∠BAE=∠EAF ，AF 与DC 的延长线相交于点F 。试探究线段AB 与AF 、CF 之间的数量关系，并证明你的结论 10.已知：如图，ABC 中，C=90，CMAB 于M ，AT 平分BAC 交CM 于D ，交 BC 于T ，过D 作DE//AB 交BC 于E ，求证：CT=BE. 12. 13.四边形ABCD 是矩形，将ABE 沿着直线AE 翻折，点A 落在点F 处，直线AF 与直线CD 交于点G, 如图1，若E 为BC 的中点，请探究线段AB 、AG 、DG 之间的关系 F E C A B D E A B C 学生做题前请先回答以下问题 问题1：“三角形全等”的辅助线： 见中线，要________，________之后___________，全等之后_________，_________． 问题2：倍长中线的作法，图中的虚线为辅助线，请叙述图1、图2的辅助线． 三角形全等之倍长中线（类倍长一）（人教版） 一、单选题(共4道，每道25分) 1.已知：如图，点E是BC的中点，∠BAE=∠D． 求证：AB=CD． 如图，先在图上走通思路后再填写空格内容： ①因为点E是BC的中点，考虑延长AE到点F，使EF=AE，连接CF； ②进而利用全等三角形的判定_________，证明_______≌_______； ③由全等可得________________； ④结合已知条件∠BAE=∠D，得∠F=∠D，在△DCF中，利用________________，可得CF=CD，等量代换得AB=CD． 以上空缺处依次所填最恰当的是( ) A.②SAS，△ABE，△ECF； ③AB=CF； ④等角对等边 B.②SAS，△ABE，△DEC； ③AB=CF，∠BAE=∠F； ④等边对等角 C.②SA S，△ABE，△FCE； ③∠ABE=∠FCE，∠BAE=∠F； ④等边对等角 D.②SAS，△ABE，△FCE； ③AB=FC，∠BAE=∠F； ④等角对等边 答案：D 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：三角形全等之倍长中线 2.已知：如图，点E是BC的中点，∠BAE=∠D． 求证：AB=CD． 证明：如图，延长DE到点F，使EF=DE，连接BF． ∵E是BC的中点 ∴BE=CE 在△BEF和△CED中 ∴△BEF≌△CED（SAS） ∴____________________________ ∵∠BAE=∠D ____________________________ ∴AB=CD 请你仔细观察下列序号所代表的内容： ①BF=CD，∠EBF=∠C； ②BF=CD，∠F=∠D； ③； ④． 以上空缺处依次所填最恰当的是( ) A.①③ B.②③ C.①④ D.②④ 答案：B 解题思路： 初中数学全等专题倍长中线法(含答案) -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN 初中数学全等专题倍长中线法 1.如图，在△ABC中，AC=5，中线AD=7，则AB边的取值范围是( ) A.2＜AB＜12 B.4＜AB＜12 C.9＜AB＜19 D.10＜AB＜19 答案：C 解题思路：延长AD至E，使DE=AD，连接CE，可先证明△ABD≌△ECD，则AB=CE，在△ACE中，根据三角形的三边关系，得AE-AC＜CE＜AE+AC，即9＜CE＜19.则9＜AB＜19.故选C. 2.如图，已知CB、CD分别是钝角△AEC和锐角△ABC的中线，且AC=AB，给出下列结论：①AE=2AC；②CE=2CD；③∠ACD=∠BCE；④CB平分∠DCE，则以上结论正确 的是（） A.①②④ B.①③④ C.①②③ D.①②③④ 答案：A 解题思路：①正确，延长CD至点F，使得DF=CD，连接AF，可先证明△ADF≌△BDC，再证明△ACF≌△BEC，由这两个三角形全等可以得知②、④正确。由 △ACF≌△BEC，得∠ACD=∠E,若要∠ACD=∠BCE，则需∠E＝∠BCE，则需BC=BE，显然不成立，故③选项错误 3.如图，点E是BC的中点，∠BAE=∠CDE，延长DE到点F使得EF=DE，连接BF，则下列说法正确的是（） ①BF∥CD ②△BFE≌△CDE ③AB=BF ④△ABE为等腰三角形 A.①②③ B.②③④ C.①③④ D.①②③④ 答案：A 解题思路：可以先证明△BEF≌△CED，可以得到②正确，进而得到∠F=∠D，BF∥CD，①正确，又∵∠BAE=∠CDE=∠F，∴AB=BF，③正确。④不正确。 4.如图，在正方形ABCD中，E为AB边的中点，G、F分别为AD，BC边上的点，若AG=1，BF=2，∠GEF=90°，则GF的长为（） 2 倍长中线法 知识网络详解： 中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线． 所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法． 倍长中线法的过程：延长某某到某点，使某某等于某某，使什么等于什么（延长的那一条），用SAS证全等（对顶角） 倍长中线最重要的一点，延长中线一倍，完成SAS全等三角形模型的构造。 【方法精讲】常用辅助线添加方法——倍长中线 △ABC中 方式1：延长AD到 E，AD是BC边中线 使DE=AD， 连接BE 方式2：间接倍长 作CF⊥AD于F，延长MD到N， 作BE⊥AD的延长线于使DN=MD， 连接BE 连接CN 经典例题讲解： 例1：△ABC中，AB=5，AC=3，求中线AD的取值范围 例2：已知在△ABC 中，AB=AC ，D 在AB 上，E 在AC 的延长线上，DE 交BC 于F ，且DF=EF ，求证：BD=CE 过D 作DG//AC 例3：已知在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，且BE=AC ，延长BE 交AC 于F ，求证：AF=EF 例4：已知：如图，在ABC ?中，AC AB ≠，D 、E 在BC 上，且DE=EC ，过D 作BA DF //交AE 于点F ，DF=AC. 求证：AE 平分BAC ∠ B A B F D E C 例5：已知CD=AB，∠BDA=∠BAD，AE是△ABD的中线，求证：∠C=∠BAE 自检自测： 1、如图，△ABC中，BD=DC=AC,E是DC的中点，求证，AD平分∠BAE. 2、在四边形ABCD中，AB∥DC，E为BC边的中点，∠BAE=∠EAF，AF与DC的延长线相交于点F。试探究线段AB与AF、CF之间的数量关系，并证明你的结论. A B F E A B C 专题2：倍长中线法和截长补短法 例1：如图，AD 为△ABC 中BC 边上的中线（AB ＞AC ） （1）求证：AB ﹣AC ＜2AD ＜AB +AC ； （2）若AB=8cm ，AC=5cm ，求AD 的取值范围． 针对训练：1、在△ABC 中，AC=5，中线AD=7，则BC 边的取值范围是________________． 2、如图，AD 为△ABC 的中线，∠ADB 和∠ADC 的平分线分别交AB 、AC 于点E 、F ． 求证：BE +CF ＞EF ． 3．如图，点D 、E 三等分△ABC 的BC 边，求怔：AB +AC ＞AD +AE ． 例2：已知在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，且BE=AC ，延长BE 交AC 于F ，求证：AF=EF 针对训练：1.已知：如图，?ABC 中，∠C=90?，CM ⊥AB 于M ，AT 平分∠BAC 交CM 于D ，交BC 于T ，过D 作 DE//AB B 交BC 于E ，求证：CT=BE. 2、如图，已知CD=AB ，∠BDA=∠BAD ，AE 是△ABD 的中线，求证：（1）AC=2AE （2）∠C=∠BAE 3、已知△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，分别以AB 边、AC 边为直角边各向外作等腰直角三角形，求证：EF=2AD 例3、在△ABC 中，∠B=2∠C ，AD 是∠BAC 的平分线．求证：AC=AB +BD ． 针对训练： 1、如图，在△ABC 中，∠B=2∠C ，且AC=AB +BD ．求证：AD 是∠BAC 的平分线． D A B C M T E 初中数学全等专题倍长中线法 1.如图，在△ABC中，AC=5，中线AD=7，则AB边的取值范围是( ) A.2＜AB＜12 B.4＜AB＜12 C.9＜AB＜19 D.10＜AB＜19 答案：C 解题思路：延长AD至E，使DE=AD，连接CE，可先证明△ABD≌△ECD，则AB=CE，在△ACE中，根据三角形的三边关系，得AE-AC＜CE＜AE+AC，即9＜CE＜19.则9＜AB＜19.故选C. 2.如图，已知CB、CD分别是钝角△AEC和锐角△ABC的中线，且AC=AB，给出下列结论：①AE=2AC；②CE=2CD；③∠ACD=∠BCE；④CB平分∠DCE，则以上结论正确的是（） A.①②④ B.①③④ C.①②③ D.①②③④ 答案：A 解题思路：①正确，延长CD至点F，使得DF=CD，连接AF，可先证明△ADF≌△BDC，再证明△ACF≌△BEC，由这两个三角形全等可以得知②、④正确。由△ACF≌△BEC，得∠ACD=∠E,若要∠ACD=∠BCE，则需∠E＝∠BCE，则需BC=BE，显然不成立，故③选项错误 3.如图，点E是BC的中点，∠BAE=∠CDE，延长DE到点F使得EF=DE，连接BF，则下列说法正确的是（） ①BF∥CD ②△BFE≌△CDE ③AB=BF ④△ABE为等腰三角形 A.①②③ B.②③④ C.①③④ D.①②③④ 答案：A 解题思路：可以先证明△BEF≌△CED，可以得到②正确，进而得到∠F=∠D，BF∥CD，①正确，又∵∠BAE=∠CDE=∠F，∴AB=BF，③正确。④不正确。 4.如图，在正方形ABCD中，E为AB边的中点，G、F分别为AD，BC边上的点，若AG=1，BF=2，∠GEF=90°，则GF的长为（） 1.截长补短法证明三角形全等 例1已知：AC平分∠BAD，CE⊥AB，∠B+∠D=180°，求证： AE=AD+BE 练习1如图，四边形ABCD中，AB∥DC，BE、CE分别平分∠ABC、∠BCD，且点E在AD上。求证：BC=AB+DC。 AC-AB=2BE 2.已知∠ABC=3∠C，∠1=∠2，BE⊥AE，求证： 3如图，已知AD∥BC，∠P AB的平分线与∠CBA的平分线相交于E，CE的连线交AP于D．求 证：AD+BC=AB． P C E D B A 4在△ABC 中，?=∠90ACB ，BC AC =，直线MN 经过点C ，且MN AD ⊥于D ， MN BE ⊥于E .(1)当直线MN 绕点C 旋转到图1的位置时， 求证： ①ADC ?≌CEB ?；②BE AD DE +=； (2)当直线MN 绕点C 旋转到图2的位置时，（1）中的结论还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，说明理由. 6.如图,已知AC ∥BD ，EA 、EB 分别平分∠CAB 和∠DBA ，CD 过点E ，则AB 与AC+BD 相等吗？请说明理由 例2已知，如图1-1，在四边形ABCD 中，BC ＞AB ，AD =DC ，BD 平分∠ABC . 求证：∠BAD +∠BCD =180°. 例1. 练习已知，如图3-1，∠1=∠2，P 为BN 上一点，且PD ⊥BC 于点D ，AB +BC =2BD . 求证：∠BAP +∠BCP =180°. A B C D 图1-1 A P 1 2 N 2、倍长中线法证三角形全等 例1 、求证：三角形一边上的中线小于其他两边和的一半。 练习 1：△ABC 中，AB=5，AC=3，求中线AD 的取值范围 例2.已知在△ABC 中，AB=AC ，D 在AB 上，E 在AC 的延长线上，DE 交BC 于F ，且DF=EF ，求证：BD=CE 练习2已知在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，且BE=AC ，延长BE 交AC 于F ，求证：AF=EF 例3已知：如图，在ABC ?中，AC AB ≠，D 、E 在BC 上，且DE=EC ，过D 作BA DF //交 F E C A B D F E D A B C 三角形全等之倍长中线 课前预习 1. 填空 （1）三角形全等的判定有： 三边分别___________的两个三角形全等，即（____）； 两边和它们的_____分别相等的两个三角形全等，即（____）； 两角和它们的_____分别相等的两个三角形全等，即（____）； 两角和其中一个角的______分别相等的两个三角形全等，即（____）； 斜边和_______边分别相等的两个直角三角形全等，即（____）． （2）要证明两条边相等或者两个角相等，可以考虑放在两个三角形中证________；要证明两个三角形全等需要准备______组条件，这三组条件里面必须有______；然后依据判定进行证明，其中AAA ，SSA 不能证明两个三角形全． 2. 想一想，证一证 已知：如图，AB 与CD 相交于点O ，且O 是AB 的中点． （1）当OC =OD 时，求证：△AOC ≌△BOD ； （2）当AC ∥BD 时，求证：△AOC ≌△BOD ． O B C D A ? 知识点睛 1. “三角形全等”辅助线： 见中线，要__________，构造______________． 2. 中点的思考方向： ① （类）倍长中线 延长AD 到E ，使DE =AD ， 延长MD 到E ，使DE =MD ， 连接BE 连接CE D C B A M A B C D ②平行夹中点 F E D C B A 延长FE 交BC 的延长线于点G ? 精讲精练 1. 如图，在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线． （1）按要求作图：延长AD 到点E ，使DE =AD ；连接BE ． （2）求证：△ACD ≌△EBD ． （3）求证：AB +AC >2AD ． （4）若AB =5，AC =3，求AD 的取值范围． 2. 如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，且BD =CD ． 求证：AB =AC ． 3. 如图，CB 是△AEC 的中线，CD 是△ABC 的中线，且AB =AC ． 求证：①CE =2CD ；②CB 平分∠DCE ． D C B A D B A D C B A 全等三角形的类型题 常见辅助线的作法有以下几种： 1)遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”． 2)遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的 “旋转”． 3)遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”， 所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理． 4)过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠” 5)截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线 段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目．特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答． 倍长中线法 1.已知：AB=4，AC=2，D是BC中点，AD是整数，求AD 2、已知：D是AB中点，∠ACB=90°，求证： 1 2 CD AB 3、已知：∠1=∠2，CD=DE，EF//AB，求证：EF=AC 4、已知，E是AB中点，AF=BD，BD=5，AC=7，求DC A D B C D A B C B A C D F 2 1 E 截长补短法 1、已知：AD 平分∠BAC ，AC=AB+BD ，求证：∠B=2∠C 2、如图，四边形ABCD 中，AB ∥DC ，BE 、CE 分别平分∠ABC 、∠BCD ，且点E 在AD 上。求证：BC=AB+DC 。 3、如图，已知AD ∥BC ，∠P AB 的平分线与∠CBA 的平分线相交于E ，CE 的连线交AP 于D ．求证：AD +BC =AB ． 4、已知∠ABC=3∠C ，∠1=∠2，BE ⊥AE ，求证：AC-AB=2BE 边加减的问题 1、已知：点A 、F 、E 、C 在同一条直线上， AF ＝CE ，BE ∥DF ，BE ＝DF ．求证：△ABE ≌△CDF ． 2、如图：DF=CE ，AD=BC ，∠D=∠C 。求证：△AED ≌△BFC 。 C D B F A E D C B A F E D C P E D C B A 授课教案 教学标题 教学目标 教学重难点 上次作业检查 授课内容：— 一.热身训练 1. 如图，已知：AD 是BC 上的中线，且DF=DE 求证：BE // CF. 2. 如图，AE BC 交于点 M, F 点在AM 上，BE / CF, BE=CF 求证：人“是厶ABC 的中线. 3. AB=AC , DB=DC F 是AD 的延长线上的一点。求证： BF=CF 4. 如图：AB=CD AE=DF CE=FB 求证：AF=DE 5. 已知：如图所示， AB = AD BC = DC E 、F 分别是 DC BC 的中点，求证： AE = AF. 二.知识梳理 1?中点的定义 2?中点的表示方法：等量关系、倍的关系、分的关系 3?三角形中线的作用：等分面积 全等） 三?典型例题 例1.（“希望杯”试题）已知，如图△ ABC 中, AB=5 AC=3则中线AD 的取值范围是 _____________ . 分析：①将AD 边放在某个三角形中，利用三边关系求出取值范围； A ② 中线倍长法的具体应用：延长 AD 至M,使DM=AD 连接BM 利用SAS 证明三、 角形全等； ③ 将线段AC 转换成BM 在厶ABM 中利用三边关系求出 2AD 取值范 ——L \ 中线倍长法证明全等 熟练掌握有中点为背景的全等三角形证明的方法 重点掌握中线倍长法模型的建立，能利用中线倍长法解决问题 4?全等三角形中中线的作用：倍长中线（延长中线至 *，连接**，利用SAS 证明三角形 例2.如图：在厶ABC中，BA=BC D是AC的中点。求证：BDL AC. 分析：中线倍长法，延长BD至M,使DM=BD连接AM,两次全 等，再证明角相等. 1 例3.已知：D是AB中点，/ ACB=90,求证：CD AB 2 分析：中线倍长法，延长CD至M,使DM=CD连接AM, 两次全等，解决线段分的证明 例4.已知，E 是AB 中点，AF=BD, BD=5, AC=7,求DC 分析：中线倍长法，E为中点，可倍长DE FE、CE至M （具体是哪条线段尝试之后再引导学生下结论），连接AM，利用SAS证明三角形全等，有部分等腰三角形的知识参与解题，可引导学生回忆三角形按边分类时所传授的等腰三角形的知识 D 四?课堂练习 1. 已知：AB=4, AC=2 D是BC中点，AD是整数, 2. 已知：/ 仁/2, CD=DE EF//AB，求证：EF： 五?课后反思： 1. 三角形全等证明的方法，注意两次全等的问题； 2. 有中点为背景参与的问题，常见思路是“中线倍长法” 巧添辅助线——倍长中线 【夯实基础】 例:ABC ?中,AD 就是BAC ∠的平分线,且BD=CD,求证AB=AC 方法1:作D E ⊥AB 于E,作D F ⊥AC 于F,证明二次全等 方法2:辅助线同上,利用面积 方法3:倍长中线AD 【方法精讲】常用辅助线添加方法——倍长中线 △ABC 中 方式1: 延长AD 到E, AD 就是BC 边中线 使DE=AD, 连接BE 方式2:间接倍长 作CF ⊥AD 于延长MD 到N, 作BE ⊥AD 的延长线于使DN=MD, 连接BE 连接CD 【经典例题】 例1:△ABC 中,AB=5,AC=3,求中线AD 的取值范围 提示:画出图形,倍长中线AD,利用三角形两边之与大于第三边 例2:已知在△ABC 中,AB=AC,D 在AB 上,E 在AC 的延长线上,DE 交BC 于F,且DF=EF,求证:BD=CE 方法1:过D 作DG ∥AE 交BC 于G,证明ΔDGF ≌ΔCEF 方法2:过E 作EG ∥AB 交BC 的延长线于G,证明ΔEFG ≌ΔDFB 方法3:过D 作DG ⊥BC 于G,过E 作EH ⊥BC 的延长线于H 证明ΔBDG ≌ΔECH 例3:已知在△ABC 中,AD 就是BC 边上的中线,E 就是AD 上一点,且BE=AC,延长BE 交AC 于F,求 证:AF=EF 提示:倍长AD 至G ,连接BG,证明ΔBDG ≌ΔCDA 三角形BEG 就是等腰三角形 例4:已知:如图,在ABC ?中,AC AB ≠,D 、E 在BC 上,且DE=EC,过D 作BA DF //交AE 于点F,DF=AC 、 求证:AE 平分BAC ∠ 提示: 方法1:倍长AE 至G,连结DG 方法2:倍长FE 至H,连结CH 例5:已知CD=AB,∠BDA=∠BAD,AE 就是△ABD 的中线,求证:∠C=∠BAE 提示:倍长AE 至F,连结DF 证明ΔABE ≌ΔFDE(SAS) 进而证明ΔADF ≌ΔADC(SAS) 【融会贯通】 1、在四边形ABCD 中,AB ∥DC,E 为BC 边的中点,∠BAE=∠EAF,AF 与DC 的延长线相交于点F 。试探究线段AB 与AF 、CF 之间的数量关系,并证明您的结论 提示:延长AE 、DF 交于G 证明AB=GC 、AF=GF 所以AB=AF+FC B 第 1 题图 A B F D E C 倍长中线巧解题 山东 邹殿敏 中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线．所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法．下面举例说明． 一、证明线段不等 例1 如图1，在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线．求证：AB +AC ＞2AD ． 分析：延长AD 至点E ，使DE =AD ，连接CE ． 易证△ABD ≌△ECD ．所以AB =EC ． 在△ACE AB 二、证明线段相等 例2 如图2，在△ABC 中，AB ＞AC ，E 为BC 边的中点，AD 为∠BAC 的平分线，过E 作AD 的平行线，交AB 于F ，交CA 的延长线于G ．求证：BF =CG ． 分析：可以把FE 看作△FBC 的一条中线． 延长FE 至点H ，使EH =FE ，连接CH ． 则△CEH ≌△BEF ．所以CH =BF ，∠H =∠1 ． 因为EG //AD ，所以∠1=∠2，∠3=∠G ． 又因为∠2=∠3，所以∠1=∠G ．所以∠H =∠G ． 由此得CH =CG ．所以BF =CG ． 三、求线段的长 例3 如图3，△ABC 中，∠A =90°，D 为斜边BC 的中点，E ，F 分别为AB ，AC 上的点，且DE ⊥DF ，若BE =3，CF =4，试求EF 的长． 分析：可以把ED 看作△EBC 的一条中线． 延长ED 至点G ，使DG =ED ，连接CG ，FG ． 则△CDG ≌△BDE ．所以CG =BE =3，∠2=∠B ． 因为∠B +∠1=90°，所以∠1+∠2=∠FCG =90°． 因为DF 垂直平分EG ，所以FG =EF ． 在Rt △FCG 中，由勾股定理得5FG ===，所以EF =5． 几何综合部分倍长中线问题 巧添辅助线——倍长中线 【夯实基础】 例：ABC ?中，AD是BAC ∠的平分线，且BD=CD，求证AB=AC 方法1：作D E⊥AB于E，作D F⊥AC于F，证明二次全等 方法2：辅助线同上，利用面积 方法3：倍长中线AD 【方法精讲】常用辅助线添加方法——倍长中线 △ABC中方式1：延长AD到E， AD是BC边中线使DE=AD， 连接BE 方式2：间接倍长 几何综合部分倍长中线问题 2 作CF⊥AD于F，延长MD到N， 作BE⊥AD的延长线于E 使DN=MD， 连接BE 连接CD 【经典例题】 例1：△ABC中，AB=5，AC=3，求中线AD的取值范围 例2：已知在△ABC中，AB=AC，D在AB上，E在AC的延长线上，DE交BC于F，且 BD=CE 例3：已知在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE=AC，延长BE交AC于F，求证：AF=EF B 几何综合部分 倍长中线问题 3 提示：倍长AD 至G ，连接BG ，证明ΔBDG ≌ΔCDA 三角形BEG 是等腰三角形 例4：已知：如图，在ABC ?中，AC AB ≠，D 、E 在BC 上，且DE=EC ，过D 作BA DF //交AE 于点F ，DF=AC. 求证：AE 平分BAC ∠ 提示： 方法1：倍长AE 至G ，连结DG 方法2：倍长FE 至H ，连结CH 例5：已知CD=AB ，∠BDA=∠BAD ，AE 是△ABD 的中线，求证：∠C=∠BAE 提示：倍长AE 至F ，连结DF 证明ΔABE ≌ΔFDE （SAS ） 进而证明ΔADF ≌ΔADC （SAS ） 第 1 题图 A B F D E C 手拉手模型 要点一：手拉手模型 特点：由两个等顶角的等腰三角形所组成，并且顶角的 顶点为公共顶点 结论：（1）△ABD ≌△AEC （2）∠α+∠BOC=180° （3）OA 平分∠BOC 变形： 例1.如图在直线ABC 的同一侧作两个等边三角形ABD ?与BCE ?，连结AE 与CD ，证明 （1）DBC ABE ??? (2)DC AE = (3)AE 与DC 之间的夹角为? 60 (4)DFB AGB ??? (5)CFB EGB ??? (6)BH 平分AHC ∠ (7)AC GF // 变式精练1：如图两个等边三角形ABD ?与BCE ?，连结AE 与CD ， 证明（1）DBC ABE ??? （2）DC AE = （3）AE 与DC 之间的夹角为? 60 （4）AE 与DC 的交点设为H ,BH 平分AHC ∠ 变式精练2：如图两个等边三角形ABD ?与BCE ?，连结AE 与CD ， 证明（1）DBC ABE ??? (2）DC AE = (3）AE 与DC 之间的夹角为?60 (4）AE 与DC 的交点设为H ,BH 平分AHC ∠ 例2：如图，两个正方形ABCD 与DEFG ,连结CE AG ,,二者相交于点H 问：（1）CDE ADG ???是否成立？ （2）AG 是否与CE 相等？ （3）AG 与CE 之间的夹角为多少度？ （4）HD 是否平分AHE ∠？ 例3：如图两个等腰直角三角形ADC 与EDG ，连结CE AG ,,二者相交 于点H 问：（1）CDE ADG ???是否成立？ （2）AG 是否与CE 相等？ （3）AG 与CE 之间的夹角为多少度？ （4）HD 是否平分AHE ∠？ 例4：两个等腰三角形ABD ?与BCE ?，其中BD AB =,,EB CB =α=∠=∠CBE ABD ,连结AE 与CD ， 问：（1）DBC ABE ???是否成立？ （2）AE 是否与CD 相等？ （3）AE 与CD 之间的夹角为多少度？ （4）HB 是否平分AHC ∠？ 倍长与中点有关的线段 倍长中线类 ?考点说明：凡是出现中线或类似中线的线段，都可以考虑倍长中线，倍长中线的目的是可以旋转等长度的线段，从而达到将条件进行转化的目的。 【例1】 已知：ABC ?中，AM 是中线．求证：1 ()2 AM AB AC <+． M C B A 【练1】在△ABC 中，59AB AC ==，，则BC 边上的中线AD 的长的取值范围是什么？ 【练2】如图所示，在ABC ?的AB 边上取两点E 、F ，使AE BF =，连接CE 、CF ，求证：AC BC +>EC FC +． D C B A 全等三角形问题中常见的辅助线——倍长中线法 △ABC 中,AD 是BC 边中线 方式1：直接倍长，(图1)： 延长AD 到E ，使DE=AD ，连接BE 方式2：间接倍长 1) （图2）作CF ⊥AD 于F ，作BE ⊥AD 的延长线于E, 连接BE 2) （图3）延长MD 到N ，使DN=MD ，连接CD 【经典例题】 例1已知，如图△ABC 中，AB=5，AC=3， 则中线AD 的取值范围是_________. （提示：画出图形，倍长中线AD ，利用三角形两边之和大于第三边） 例2：已知在△ABC 中，AB=AC ，D 在AB 上，E 在AC 的延长线上， DE 交BC 于F ，且DF=EF. 求证：BD=CE.（提示：方法1：过D 作DG ∥AE 交BC 于G ，证明ΔDGF ≌ΔCEF E D A B C F D C B A N D C B A M E D F C B A 方法2：过E 作EG ∥AB 交BC 的延长线于G ，证明ΔEFG ≌ΔDFB 方法3：过D 作DG ⊥BC 于G ，过E 作EH ⊥BC 的延长线于H ，证明ΔBDG ≌ΔECH ） 例3、如图，△ABC 中，E 、F 分别在AB 、AC 上，DE ⊥DF ，D 是中点，试比较BE+CF 与EF 的大小. 变式：如图，AD 为ABC ?的中线，DE 平分BDA ∠交AB 于E ，DF 平分ADC ∠交AC 于F. 求证：EF CF BE >+ （提示：方法1：在DA 上截取DG=BD ，连结EG 、FG ， 证明ΔBDE ≌ΔGDE ΔDCF ≌ΔDGF 所以BE=EG 、CF=FG 利用三角形两边之和大于第三边 方法2： 倍长ED 至H ，连结CH 、FH ，证明FH=EF 、CH=BE ，利用三角形两边之和大于第三边） 例4：已知在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，且BE=AC ，延长BE 交AC 于F ，求证：AF=EF （提示：方法1：倍长AD 至G ，连接BG ，证明ΔBDG ≌ΔCDA 三角形BEG 是等腰三角形。 _ D _ F _ C _ B _ E _ A _ D _ F _ C _ B _ E _ A 倍长中线法 知识网络详解： 中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线． 所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法． 倍长中线法的过程：延长某某到某点，使某某等于某某，使什么等于什么（延长的那一条），用SAS 证全等（对顶角） 倍长中线最重要的一点，延长中线一倍，完成SAS 全等三角形模型的构造。 【方法精讲】常用辅助线添加方法——倍长中线 △ABC 中 方式1： 延长AD 到E ， AD 是BC 边中线 使DE=AD ， 连接BE 方式2：间接倍长 作CF ⊥AD 于F ， 延长MD 到 N ， 作BE ⊥AD 的延长线于E 使DN=MD ， 连接BE 连接CN 经典例题讲解： 例1：△ABC 中，AB=5，AC=3，求中线AD 的取值范围 D A B C E D A B C F E D C B A N D C B A M 例2：已知在△ABC 中，AB=AC ，D 在AB 上，E 在AC 的延长线上，DE 交BC 于F ，且DF=EF ，求证：BD=CE 例3：已知在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，且BE=AC ，延长BE 交AC 于F ，求证：AF=EF 例4：已知：如图，在ABC ?中，AC AB ≠，D 、E 在BC 上，且DE=EC ，过D 作BA DF //交AE 于点F ，DF=AC. 求证：AE 平分BAC ∠ F E D A B C F E C A B D A B F D E C 全等三角形之倍长中线 1. 如图，AD 为△ABC 的中线． （1）求证：AB +AC >2AD ． （2）若AB =5，AC =3，求AD 的取值范围． 2. 如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，且BD =CD ． 求证：AB =AC ． 3. 如图，CB 是△AEC 的中线，CD 是△ABC 的中线，且AB =AC ． 求证：①CE =2CD ；②CB 平分∠DCE ． D C B A C A D B A 4. 如图，在△ABC 中，D 是BC 边的中点，E 是AD 上一点，BE =AC ， BE 的延长线交AC 于点F ． 求证：∠AEF =∠EAF ． 5. 如图，在△ABC 中，AD 交BC 于点D ，点E 是BC 的中点，EF ∥AD 交CA 的延长线于点F ，交 AB 于点G ，BG =CF ． 求证：AD 为△ABC 的角平分线． 6. 如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，点E 在BC 上，点F 是CD 的中 点，且AF ⊥AB ，已知AD =2.7，AE =BE =5，求CE 的长． 7. 如图，在正方形ABCD 的边CB 的延长线上取一点E ，△FEB 为等腰直角三角形，∠FEB =90°， 连接FD ，取FD 的中点G ，连接EG ，CG ． 求证：EG =CG 且EG ⊥CG ． 1. 已知：如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB =AD +BC ，E 是CD 的中点． 求证：AE ⊥BE ． F E D C A G F E D A F E D C B A G F E D C B A E D C B A 倍长中线构造全等三角 形 -CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1 巧添辅助线——倍长中线 【夯实基础】 例：ABC ?中，AD是BAC ∠的平分线，且BD=CD，求证AB=AC 方法1：作DE⊥AB于E，作DF⊥AC于F，证明二次全等方法2：辅助线同上，利用面积 方法3：倍长中线AD 【方法精讲】常用辅助线添加方法——倍长中线 △ABC中 AD到E， AD是BC边中线， 连接BE 方式2 ⊥AD于F， AD的延长线于 连接 【经典例题】 例1：△ABC中，AB=5，AC=3，求中线AD的取值范围 提示：画出图形，倍长中线AD，利用三角形两边之和大于第三边 例2：已知在△ABC中，AB=AC，D在AB上，E在AC的延长线上，DE交BC于F，且DF=EF，求证：BD=CE 方法1：过D作DG∥AE交BC于G，证明ΔDGF≌ΔCEF 方法2：过E作EG∥AB交BC的延长线于G，证明ΔEFG 方法3：过D作DG⊥BC于G，过E作EH⊥BC 证明ΔBDG≌ΔECH 2 3 例3：已知在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，且BE=AC ，延长BE 交 AC 于F ，求证：AF=EF 提示：倍长AD 至G ，连接BG ，证明ΔBDG ≌ΔCDA 三角形BEG 是等腰三角形 例4：已知：如图，在ABC ?中，AC AB ≠，D 、E 在BC 上，且DE=EC ，过D 作BA DF //交AE 于点F ，DF=AC. 求证：AE 平分BAC ∠ 提示： 方法1：倍长AE 至G ，连结DG 方法2：倍长FE 至H ，连结CH 例5：已知CD=AB ，∠BDA=∠BAD ，AE 是△ABD 的中线，求证：∠C=∠BAE 提示：倍长AE 至F ，连结DF 证明ΔABE ≌ΔFDE （SAS ） 进而证明ΔADF ≌ΔADC （SAS ） 【融会贯通】 1、在四边形ABCD 中，AB ∥DC ，E 为BC 边的中点，∠BAE=∠EAF ，AF 与DC 的延长线相交于点F 。试探究线段AB 与AF 、CF 之间的数量关系，并证明你的结论 提示：延长AE 、DF 交于G 证明AB=GC 、AF=GF 所以AB=AF+FC B 第 1 题图 A B F D E C 精品文档 学生姓名上课时间 学生年级 辅导老师 学校 科目 教学重点教学目标中点模型的构造（倍长中线法；构造中位线法；构造斜边中线法）系统有序掌握几何求证思路，掌握何时该用何种方法做辅助线 开场：1.行礼；2.晨读；3.检查作业；4.填写表格 新课导入知识点归纳 1.已知任意三角形（或者其他图形）一边上的中点，可以考虑：倍长中线法（构造全等三角形）； 2.已知任意三角形两边的中点，可以考虑：连接两中点形成中位线； 3.已知直角三角形斜边中点，可以考虑：构造斜边中线； 4.已知等腰三角形底边中点，可以考虑：连接顶点和底边中点利用“三线合一”性质. 做辅助线思路一：倍长中线法 经典例题1：如图所示，在△ABC中，AB＝20，AC＝12，求BC边上的中线AD的取值范围. 【课堂训练】 1.如图，已知CB、CD分别是钝△角AEC和锐角△ABC的中线，且AC＝AB，给出下列结论： ①AE＝2AC；②CE＝2CD；③∠ACD＝∠BCE；④CB平分∠DCE，则以上结论正确的是（） A.①②④ B.①③④ C.①②③ D.①②③④ 新 课 内 容 第1题图第2题图 2.如图，在正方形A BCD中，E为AB边的中点，G、F分别为AD，BC边上的点，若A G＝1， BF＝2，∠GEF＝90°，则GF的长为（） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 3.如图，在△ABC中，点D、E为边BC的三等分点，则下列说法正确的有（） ①BD＝DE＝EC；②AB＋AE＞2AD；③AD＋AC＞2AE；④AB＋AC＞AD＋AE。 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 4.如图，在△ABC中，AB＞BC，E为BC边的中点，AD为∠BAC的平分线，过E作AD的平行线，交AB于F，交CA的延长线于G，求证：BF＝CG． G B A F E D C 5.如图所示，已知在△ABC中，AD是BC边上的中线，F是AD上的一点，连接BE并延长交AC 于点F，AE＝EF，求证：AC＝BF. A E F B D C 6.如图所示，在△ABC中，分别以AB、AC为直角边向外做等腰直角三角△形ABD和△ACE，F 为BC边上中点，FA的延长线交DE于点G，求证：①DE＝2AF；②FG⊥DE． D G E A B F C 全等三角形辅助线之倍 长中线法 -CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1 全等三角形辅助线之倍长中线法 倍长中线法：遇中线，要倍长，倍长之后有全等． 当倍长后，连接方式不一样，可以产生更多结论如下： 与倍长中线法类似的辅助线作法 M A B C D E MD E MD=DE CE BDM CDE BM CE ???延长至，使，连接可证，AD ABC ?为的中线 D C B A E AD E AD=DE CE BE CE ABEC 延长至，使，当连接时，结论相似； 当连接、，则为平行四边形 AD E DE=AD BE ADC EDB AD=DE ADC=EDB BD=CD ADC EDB(SAS)AC BE ??∠∠???延长至使，连接在和中 ，，故与此相关的重要结论AD ABC ?为的中线 D C B A E 举例： 如图，在△ABC 中，AD 为BC 边上的中 D C B A E AD E DE=AD BE ADC EDB AD=DE ADC=EDB BD=CD ADC EDB(SAS) AB-BE AE AB+BE AE 如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点，E 是AD 上一点，BE=AC ，BE 的延长线交AC 于点F ．求证：∠AEF=∠EAF． F E D C B A 321 M A B C D E F全等三角形之倍长中线法资料讲解
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