6.4 定积分换元法 与分部积分法(3)

基本积分公式

§5.3基本积分公式 重点与难点提示 基本积分公式均直接由基本导数公式表得到，因此，导数运算的基础好坏直接影响积分的能力，应熟记一些常用的积分公式. 因为求不定积分是求导数的逆运算,所以由基本导数公式对应可以得到基本积分公式. (1) （ 5.6 ） (2) ( 5.7 ) (3) ( 5.8 ) (4) ( 5.9 ) (5) ( 5.10 ) (6) ( 5.11 ) (7) ( 5.12 ) (8) ( 5.13 ) (9) ( 5.14 )

(10) ( 5.15 ) (11) ( 5.16 ) 对这些公式应正确熟记.可根据它们的特点分类来记. 公式（1）为常量函数0的积分，等于积分常数. 公式（2）、（3）为幂函数的积分，应分为与. 当时，， 积分后的函数仍是幂函数，而且幂次升高一次. 特别当时，有. 当时， 公式（4）、（5）为指数函数的积分，积分后仍是指数函数，因为 ，故（，）式右边的是在分母，不在分子，应记清. 当时，有.

是一个较特殊的函数，其导数与积分均不变. 应注意区分幂函数与指数函数的形式，幂函数是底为变量，幂为常数；指数函数是底为常数，幂为变量.要加以区别，不要混淆.它们的不定积分所采用的公式不同. 公式（6）、（7）、（8）、（9）为关于三角函数的积分，通过后面的学习还会增加其他三角函数公式. 公式（10）是一个关于无理函数的积分 公式（11）是一个关于有理函数的积分 下面结合恒等变化及不定积分线性运算性质，举例说明如何利用基本积分公式求不定积分. 例1 求不定积分. 分析：该不定积分应利用幂函数的积分公式. 解： （为任意常数）

53定积分的换元法和分部积分法习题

1．计算下列定积分： ⑴ 3sin()3x dx π ππ +?； 【解法一】应用牛顿-莱布尼兹公式 3sin()3x dx π ππ +?3sin()()33x d x π πππ=++?3 cos() 3x πππ =-+ [cos()cos()]333π π π π=-+-+[cos (cos )]033 π π =----=。 【解法二】应用定积分换元法 令3 x u π + =，则dx du =，当x 从 3π单调变化到π时，u 从23π单调变化到43 π ，于是有 3sin()3x dx π ππ +?4323 sin udu ππ=? 4323 cos u π π=-42[cos cos ]33 ππ=-- [cos (cos )]033 π π =----=。 ⑵ 1 32(115)dx x -+?； 【解法一】应用牛顿-莱布尼兹公式 1 32(115)dx x -+?13 2 1(115)(115)5x d x --=++?212 11(115)52 x --=?+- 22111 []10(1151)(1152)=- -+?-?211(1)1016 =--51512=。 【解法二】应用定积分换元法 令115x u +=，则1 5 dx du =，当x 从2-单调变化到1时，u 从1单调变化到16，于是有 1 32(115)dx x -+?1631 15u du -=?2 161 1152 u -=?-211 (1)1016 =- -51512=。 ⑶ 32 sin cos d π ???? ； 【解法一】应用牛顿-莱布尼兹公式 3 20sin cos d π????3 2 cos cos d π??=-?420 1cos 4 π?=-441[cos cos 0]42 π =--

最新定积分的换元积分法与分部积分法

定积分的换元积分法与分部积分法

定积分的换元积分法与分部积分法 教学目的：掌握定积分换元积分法与分部积分法 难点：定积分换元条件的掌握 重点：换元积分法与分部积分法 由牛顿－莱布尼茨公式可知，定积分的计算归结为求被积函数的原函数．在上一章中，我们已知道许多函数的原函数需要用换元法或分部积分法求得，因此，换元积分法与分部积分法对于定积分的计算也是非常重要的．1．定积分换元法 定理假设 (1) 函数?Skip Record If...?在区间?Skip Record If...?上连续； (2) 函数?Skip Record If...?在区间?Skip Record If...?上有连续且不变号的导数； (3) 当?Skip Record If...?在?Skip Record If...?变化时，?Skip Record If...?的值在?Skip Record If...?上变化，且?Skip Record If...?， 则有 ?Skip Record If...?．(1) 本定理证明从略．在应用时必须注意变换?Skip Record If...?应满足定理的条件，在改变积分变量的同时相应改变积分限，然后对新变量积分．例1计算?Skip Record If...?． 仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢4

仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢4 解 令?Skip Record If...?，则?Skip Record If...?．当?Skip Record If...?时，?Skip Record If...?；当?Skip Record If...?时，?Skip Record If...?．于是 ?Skip Record If...? ?Skip Record If...?． 例2 计算?Skip Record If...??Skip Record If...?． 解 令?Skip Record If...?，则?Skip Record If...?．当?Skip Record If...?时，?Skip Record If...?；当?Skip Record If...?时，? ?Skip Record If...??Skip Record If...? ?Skip Record If...? ?Skip Record If...? ?Skip Record If...?． 显然，这个定积分的值就是圆?(图5－8)． 例3 计算?Skip Record If...?． 解法一 令?Skip Record If...?，则?Skip Record If...?． 当?Skip Record If...?时，?Skip Record If...?；当?Skip Record If...?时，?Skip Record If...?，于是 ?Skip Record If...?． 解法二 也可以不明显地写出新变量?Skip Record If...?，这样定积分的上、下限也不要改变． 即 ?Skip Record If...? ?Skip Record If...?．

定积分的基本公式

第三讲 定积分的基本公式 【教学内容】 1．变上限积分函数 2．牛顿－莱布尼兹公式 【教学目标】 1．掌握变上限积分函数 2．掌握牛顿－莱布尼兹公式 【教学重点与难点】 牛顿－莱布尼兹公式 【教学过程】 一、引例 一物体作变速直线运动时，其速度)(t v v =，则它从时刻a t =到时刻b t =所经过的路程S ： dt t v S b a ? = )( 另一方面，如果物体运动时的路程函数)(t S S =，则它从时刻a t =到时刻b t =所经过的路程 S 等于函数)(t S S =在],[b a 上的增量 )()(a S b S - 同一物理量（路程）的两种不同数学表达式应该是相等的， ∴ dt t v S b a ? = )()()(a S b S -= ∵ )()(/ t v t S = ∴ ? ? = = b a b a dt t S dt t v S )()(/)()(a S b S -= 二、变上限积分函数 1．定义：如果函数)(x f 在区间],[b a 上连续，那么对于区间],[b a 上的任一点x 来说，)(x f 在区间],[x a 上仍连续，所以函数)(x f 在],[x a 上的定积分 ? x a dx x f )( 存在。也就是说，对于每一个确定的x 值，这个积分将有一个确定的值与之对应，因此它是积分上限x 的函数，此函数定义在区间],[b a 上，把它叫做变上限积分函数，记为)(x Φ。即 )()()()(b x a dt t f dx x f x x a x a ≤≤==Φ?? 2．定理1 如果函数)(x f y =在区间],[b a 上连续，则变上限积分函数 )()()(b x a dt t f x x a ≤≤=Φ? 是函数)(x f y =的原函数，即

定积分基本公式

定积分基本公式 定积分是高等数学中一个重要的基本概念，在几何、物理、经济学等各个领域中都有广泛的应用.本章将由典型实例引入定积分概念，讨论定积分性质和计算方法，举例说明定积分在实际问题中的具体运用等. 第二节 微积分基本公式 一、变上限的定积分 设函数()f x 在[[,]a b ] 上连续,x ∈[,]a b ，于是积分()d x a f x x ?是一个定数， 这种写法有一个不方便之处，就是 x 既表示积分上限，又表示积分变量.为避免 t ，于是这个积分就写成了 ()d x a f t t ? . x 值,积分()d x a f t t ?就有一个确定的的一个函数，记作 ()Φx =()d x a f t t ? （ a ≤x ≤ b ）通常称函数 ()Φx 为变上限积分函数或变上限积分，其几何意义如图所示. 定理1 如果函数()f x 在区间[,]a b 上连续，则变上限积分 ()Φx =()d x a f t t ?在[,]a b 上可导，且其导数是 d ()()d ()d x a Φx f t t f x x '= =?（ a ≤x ≤ b ）. 推论 连续函数的原函数一定存在. 且函数()Φx =()d x a f t t ?即为其原函数.

例1 计算()Φx =2 0sin d x t t ?在x =0 ,处的导数. 解 因为2 d sin d d x t t x ?=2sin x ,故 2 (0)sin 00Φ'==； πsin 242Φ'==. 例2 求下列函数的导数： (1) e ln ()d (0)x a t Φx t a t =>? ； 解 这里()Φx 是x 的复合函数，其中中间变量e x u =，所以按复合函数求导 法则，有 d d ln d(e )ln e (d )e d d d e x x u x x a Φt t x x u t x ===?. (2) 2 1()(0) x Φx x θ=>? . 解 21d d d d x Φx x θ=-?2 2()x x ='=2sin 2sin 2x x x x x =- ?=-. 二、牛顿-莱布尼茨（Newton-Leibniz ）公式 定理2 设函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续，又 ()F x 是()f x 的任一个原函数，则有()d ()() b a f x x F b F a =-? . 证 由定理1知，变上限积分 ()()d x a Φx f t t =?也是()f x 的一个原函数，于 是知0()()Φx F x C -=, 0C 为一常数, 即 0 ()d ()x a f t t F x C =+?.

定积分常用公式

定积分常用公式 二、基本积分表(188页1—15，205页16—24) (1) (k是常数) kdxkxC,，, ,，1x,(2) xdxC,，,(1)u,,,,，1 1(3) dxxC,，ln||,x dx(4) ,，arlxCtan2,1，x dx(5) ,，arcsinxC,21,x (6)cossinxdxxC,， , (7)sincosxdxxC,,， , 1(8) dxxC,，tan2,cosx 1(9) dxxC,,，cot2,sinx sectansecxxdxxC,，(10) , csccotcscxxdxxC,,，(11) , xxedxeC,，(12) , xax(13)， (0,1)aa,,且adxC,，,lna shxdxchxC,，(14) , chxdxshxC,，(15) , 11x(16) dxarcC,，tan22,axaa， 1 11xa,(17) dxC,，ln||22,xaaxa,，2 1x(18) dxarcC,，sin,22aax, 122(19) dxxaxC,，，，ln(),22ax， dx22(20) ,，,，ln||xxaC,22xa,

(21)tanln|cos|xdxxC,,， , (22)cotln|sin|xdxxC,， , )secln|sectan|xdxxxC,，， (23, cscln|csccot|xdxxxC,,，(24) , 注:1、从导数基本公式可得前15个积分公式，(16)-(24)式后几节证。 2、以上公式把换成仍成立，是以为自变量的函数。 xuux 3、复习三角函数公式: 1cos2，x22222， sincos1,tan1sec,sin22sincos,xxxxxxx，,，,,cosx,2 1cos2,x2。 sinx,2 fxxdxfxdx[()]'()[()](),,,,,注:由，此步为凑微分过程，所以第一,, 类换元法也叫凑微分法。此方法是非常重要的一种积分法，要运用自如，务必熟记基本积分表，并掌握常见的凑微分形式及“凑”的技巧。 2 小结: 1常用凑微分公式 积分类型换元公式11.f(ax，b)dx,f(ax，b)d(ax，b)(a,0)u,ax，b,,a u,x11,2.f(x)xdx,f(x)d(x)(,0),,,,,,,,,1u,lnx3.f(lnx),dx,f(lnx)d(lnx), ,x 4..f(e),edx,f(e)dexxxxu,ex,,第 1一5.f(a),adx,f(a)daxxxx,,lnau,ax换 6.f(sinx),cosxdx,f(sinx)dsinxu,sinx元,, u,cosx积7.f(cosx),sinxdx,,f(cosx)dcosx,,分 28.f(tanx)secxdx,f(tanx)dtanxu,tanx,,法 u,cotx29.f(cotx)cscxdx,,f(cotx)dcotx,,

不定积分分部积分法教案

第三节 分部积分法 教学内容：分部积分法 教学目的：理解分部积分法的思想方法，能针对不同类型函数之积的被积函数，正确选取v u ',，熟练掌握分部积分法的步骤。 教学重点：分部积分法及其应用 教学难点：在分部积分法中，恰当选取v u ',。 教学学时：1学时 教学进程： 我们知道，求不定积分是求微分的逆运算．导数公式→不定积分公式；复合函数的求导公式→换元积分公式；乘积求导公式→分部积分公式（不同类型函数乘积的积分）。 1引入 用我们已经掌握的方法求不定积分??xdx x cos 分析：①被积函数为两函数的乘积不是基本的积分公式。 ②凑微法失效。x x cos ? ③第二类换元积分法 解：不妨设 t x t x arccos cos ==则 原方程dt t t t ?--??211 arccos 更为复杂 所以凑微法和第二换元积分法都失效。 反之考虑，两函数乘积的积分不会，但两函数乘积的求导我们会，比如：（假设v u ,为两个具有连续导数的函数） 已知： '')'(uv v u v u +=? 对上式两边积分得：??+=+dx uv vdx u C uv '' 移项得： ??-=vdx u uv dx uv '' 观察上式发现被积函数也是两函数乘积的形式，注意：?dx uv '中v '为导数形式。 故，我们可以尝试来解一下上面的积分。 C x x x xdx x x x dx x x xdx x ++=-==↓????cos sin sin 'sin ')(sin cos 形式一样 先要化的和要求积分的

通过上面的方法，我们顺利的解决两函数乘积的积分。其实上面的公式正是这一节课要讲述的“分部积分法”。 2 公式 设函数)(x u u =和)(x v v =都具有连续的导数，则有分部积分公式： ??-=vdx u uv dx uv ''（或??-=vdu uv udv ） 3 例题讲解 例1．计算不定积分dx xe x ?． 解 设 x u = ，x e v ='，则1='u ，x e v =（*）， 于是 x x x x xe dx xde xe e dx ==-???x x xe e C =-+． 注意： （1）（*）处没有加C ，这是因为我们取了最简单的情况0=C 。 （2）若设x e u =,xdx dv =，则 dx e x e x dx xe x x x ??-=222 121， 积分dx e x x ?2比积分?dx xe x 要复杂，没有达到预期目的．由此可见，选择v u ',非常关键，一般要考虑下列两点： （1）v 要易求； （2）积分?'vdx u 要比积分?'dx v u 易计算． 练习：求?xdx x sin 例2．计算不定积分?xdx ln 分析：此为一个函数的积分，当然不能使用凑微法、换元法积分，可是不满足两函数乘积，能否用分部积分公式呢？其实只需要将被积函数看作x ln 1?即可。 解：设x u ln =，1='v ，则x u 1= '，x v =， 于是 C x x x dx x x x x xdx xdx +-=?-==???ln 1ln ln ln 注意：学习数学重要的是记忆、理解公式，更重要的是灵活应用。

定积分公式

二、基本积分表（188页1—15，205页16—24） （1）kdx kx C =+? （k 是常数） （2）1 ,1 x x dx C μμ μ+=++? (1)u ≠- （3）1ln ||dx x C x =+? （4）2 tan 1dx arl x C x =++? （5） arcsin x C =+? （6）cos sin xdx x C =+? （7）sin cos xdx x C =-+? （8）2 1 tan cos dx x C x =+? （9）2 1 cot sin dx x C x =-+? （10）sec tan sec x xdx x C =+? （11）csc cot csc x xdx x C =-+? （12）x x e dx e C =+? （13）ln x x a a dx C a = +?，(0,1)a a >≠且 （14）shxdx chx C =+? （15）chxdx shx C =+? （16）2 2 11tan x dx arc C a x a a = ++?

（17）2 2 11ln | |2x a dx C x a a x a -= +-+? （18） sin x arc C a =+? （19） ln(x C =++? （20） ln |x C =++? （21）tan ln |cos |xdx x C =-+? （22）cot ln |sin |xdx x C =+? （23）sec ln |sec tan |xdx x x C =++? （24）csc ln |csc cot |xdx x x C =-+? 注：1、从导数基本公式可得前15个积分公式，(16)-(24)式后几节证。 2、以上公式把x 换成u 仍成立，u 是以x 为自变量的函数。 3、复习三角函数公式： 2 2 2 2 sin cos 1,tan 1sec ,sin 22sin cos ,x x x x x x x +=+==2 1cos 2cos 2 x x += ， 2 1cos 2sin 2 x x -= 。 注：由[()]'()[()]() f x x dx f x d x ????= ?? ，此步为凑微分过程，所以第一 类换元法也叫凑微分法。此方法是非常重要的一种积分法，要运用自如，务必熟记基本积分表，并掌握常见的凑微分形式及“凑”的技巧。

常见不定积分的求解方法

常见不定积分的求解方法的讨论 马征 指导老师：封新学 摘要介绍不定积分的性质，分析常见不定积分的各种求解方法：直接积分法、第一类换元法（凑微法）、第二类换元法、分部积分法，并结合实际例题加以讨论，以便于在解不定积分时能快速选择最佳的解题方法。 关键词不定积分直接积分法第一类换元法（凑微法）第二类换元法分部积分法。 The discussion of common indefinite integral method of calculating Ma Zheng Abstract there are four solutions of indefinite integration in this discourse: direct integration; exchangeable integration; parcel integration. It discussed the feasibility which these ways in the solution of integration, and it is helpful to solve indefinite integration quickly. Key words Indefinite integration,exchangeable integration, parcel integration.

0引言 不定积分是《高等数学》中的一个重要内容，它是定积分、广义积分、狭积分、重积分、曲线积分以及各种有关积分的函数的基础，要解决以上问题，不定积分的问题必须解决，而不定积分的基础就是常见不定积分的解法。不定积分的解法不像微分运算时有一定的法则，它要根据不同题型的特点采用不同的解法，积分运算比起微分运算来，不仅技巧性更强，而且也已证明，有许多初等函数是“积不出来”的，就是说这些函数的原函数不能用初等函数来表示，例如 ?-x k dx 22sin 1（其中10<

不定积分分部积分法教案

第三节 第四节 第五节 分部积分法 教学内容：分部积分法 教学目的：理解分部积分法的思想方法，能针对不同类型函数之积的被积函数，正确选取 v u ',，熟练掌握分部积分法的步骤。 教学重点：分部积分法及其应用 教学难点：在分部积分法中，恰当选取v u ',。 教学学时：1学时 教学进程： 我们知道，求不定积分是求微分的逆运算．导数公式→不定积分公式；复合函数的求导公式→换元积分公式；乘积求导公式→分部积分公式（不同类型函数乘积的积分）。 1引入 用我们已经掌握的方法求不定积分? ?xdx x cos 分析：①被积函数为两函数的乘积不是基本的积分公式。 ②凑微法失效。x x cos ? ③第二类换元积分法 解：不妨设 t x t x arccos cos ==则 原方程dt t t t ? --? ?2 11arccos 更为复杂 所以凑微法和第二换元积分法都失效。 反之考虑，两函数乘积的积分不会，但两函数乘积的求导我们会，比如：（假设v u ,为两个具有连续导数的函数） 已知： '')'(uv v u v u +=? 对上式两边积分得：?? +=+dx uv vdx u C uv '' 移项得： ??-=vdx u uv dx uv ''

观察上式发现被积函数也是两函数乘积的形式，注意：? dx uv '中v '为导数形式。 故，我们可以尝试来解一下上面的积分。 C x x x xdx x x x dx x x xdx x ++=-== ↓????cos sin sin 'sin ')(sin cos 形式一样 先要化的和要求积分的 通过上面的方法，我们顺利的解决两函数乘积的积分。其实上面的公式正是这一节课要讲述的“分部积分法”。 2 公式 设函数)(x u u =和)(x v v =都具有连续的导数，则有分部积分公式： ??-=vdx u uv dx uv ''（或??-=vdu uv udv ） 3 例题讲解 例1．计算不定积分dx xe x ? ． 解 设 x u = ，x e v ='，则1='u ，x e v =（*）， 于是 x x x x xe dx xde xe e dx ==-??? x x xe e C =-+． 注意： （1）（*）处没有加C ，这是因为我们取了最简单的情况0=C 。 （2）若设x e u =,xdx dv =，则 dx e x e x dx xe x x x ??-=222 121， 积分dx e x x ? 2比积分? dx xe x 要复杂，没有达到预期目的．由此可见，选择v u ',非常关键，一般要考虑下列两点： （1）v 要易求； （2）积分?'vdx u 要比积分? 'dx v u 易计算． 练习：求? xdx x sin

换元法在不定积分和定积分中的联系与区别

换元法在不定积分和定积分中的联系与区别 1.第一换元法在不定积分和定积分中的联系与区别 1.1不定积分中第一换元法的定理形式 定理1若，且的原函数容易求出，记 ， 则 . 证明若，令，于是有 因而 得证。 1.2定积分中第一换元法的定理形式 定理2若连续，在上一阶连续可导，且，在构成的区间上连续，其中，则 . 证明令，由于在构成的区间上连续，记，则 得证。 1.3 第一换元法在不定积分和定积分中的联系与区别 区别：第一换元法在定积分中对未知量给出了定义范围，要求换元函数在该定义域内一阶连续可导即可，对积分要求变弱。

联系：不定积分的实质是求一个函数的原函数组成的集合，部分定积分的计算可以利用不定积分的第一换元法求出简单函数的任意一个原函数，再用原函数在定义域的上下限的函数值取差值。 例1求. 解因为 即有一个原函数，所以 例2 计算积分. 解由于 于是 2.第二换元法在不定积分和定积分中的联系与区别 2.1不定积分中第二换元法的定理形式 定理3设连续，及都连续，的反函数存在且连续，并且 ，（1）则 （2）

证明将（2）式右端求导同时注意到（1）式，得 ， 这便证明了（2）式。 2.2定积分中第二换元法的定理形式 定理 4 设在连续，作代换，其中在构成的区间上有连续导数，且，则 证明设是的一个原函数，则是的一个原函数。于是 ， 定理得证。 2.3 第二换元法在不定积分和定积分中的联系与区别 区别：由不定积分中第二换元法的证明过程可知，不定积分中第二换元法要求变换的反函数存在且连续，并且。而在定积分的第二换元法则不这样要求，它通过换元法写出关于新变量的被积函数与新变量的积分上下限后可以直接求职，不像不定积分的计算最终需要对变量进行还原。 例3用第二换元法求解 解令，则

定积分换元法与分部积分法习题.doc

1．计算下列定积分： ⑴ sin( x )dx ； 3 3 【解法一】应用牛顿 - 莱布尼兹公式 sin( x )dx sin( x )d ( x ) cos( x ) 3 3 3 3 3 3 3 [cos( ) cos( )] [ cos( cos )] 0。 3 3 3 3 3 【解法二】应用定积分换元法 令 x 3 u ，则 dx du ，当 x 从 单调变化到 时，u 从 2 单调变化到 4 ， 3 3 3 4 4 4 2 sin( x )dx 3 sinudu cosu 23 于是有 2 [cos cos ] 3 3 3 3 3 3 [ cos ( cos )] 0 。 3 3 ⑵ 1 dx ； 2 (11 5x)3 【解法一】应用牛顿 - 莱布尼兹公式 1 dx 1 1 (11 5x) 3 d (11 5x) 1 1 5x) 2 1 2 (11 5x)3 5 5 (11 2 2 2 1 [ 1 2 (11 1 2) 2 ] 1( 1 2 1) 51 。 10 (11 5 1) 5 10 16 512 【解法二】应用定积分换元法 令 11 5x u ，则 dx 1 du ，当 x 从 2 单调变化到 1 时， u 从 1 单调变化到 5 16，于是有 1 dx 1 16 u 3 du 1 1 2 16 1 1 1) 51 2 (11 5x)3 5 5 u 1 ( 。 1 2 10 162 512 ⑶ 2 sin cos 3 d ； 【解法一】应用牛顿 - 莱布尼兹公式

常用的求导和定积分公式

一．基本初等函数求导公式 (1) 0)(='C (2) 1 )(-='μμμx x (3) x x cos )(sin =' (4) x x sin )(cos -=' (5) x x 2 sec )(tan =' (6) x x 2 csc )(cot -=' (7) x x x tan sec )(sec =' (8) x x x cot csc )(csc -=' (9) a a a x x ln )(=' (10) (e )e x x '= (11) a x x a ln 1 )(log = ' (12) x x 1)(ln = '， (13) 211)(arcsin x x -= ' (14) 211)(arccos x x -- =' (15) 21(arctan )1x x '= + (16) 21(arccot )1x x '=- + 函数的和、差、积、商的求导法则 设)(x u u =，)(x v v =都可导，则 （1） v u v u '±'='±)( （2） u C Cu '=')(（C 是常数） （3） v u v u uv '+'=')( （4） 2v v u v u v u '-'=' ??? ?? 反函数求导法则

若函数)(y x ?=在某区间y I 内可导、单调且0)(≠'y ?，则它的反函数) (x f y =在对应区间 x I 内也可导，且 )(1)(y x f ?'= ' 或 dy dx dx dy 1 = 复合函数求导法则 设)(u f y =，而)(x u ?=且)(u f 及)(x ?都可导，则复合函数)]([x f y ?=的导数为 dy dy du dx du dx = 或()()y f u x ?'''= 二、基本积分表 （1）kdx kx C =+? （k 是常数） （2）1 ,1 x x dx C μμ μ+= ++? (1)u ≠- （3）1 ln ||dx x C x =+? （4）2 tan 1dx arl x C x =++? （5） arcsin x C =+?

不定积分换元法例题

【不定积分的第一类换元法】 已知 ()()f u du F u C =+? 求()(())'()(())()g x dx f x x dx f x d x ????= =? ?? 【凑微分】 ()()f u du F u C = =+? 【做变换，令()u x ?=，再积分】 (())F x C ?=+ 【变量还原，()u x ?=】 【求不定积分()g x dx ? 的第一换元法的具体步骤如下：】 （1）变换被积函数的积分形式：()(())'()dx g x f x x dx ??=?? （2）凑微分：()(())((')))(()x g x dx d x dx f x f x ????= =??? （3）作变量代换()u x ?=得：()(())'()()()()g x dx f x x x x dx f d ????==? ??()u f u d =? （4）利用基本积分公式()()f u du F u C =+?求出原函数： ()(())'()(())()g x dx f x x dx f x d x ????==???()()d u u C f u F ==+? （5）将()u x ?=代入上面的结果，回到原来的积分变量x 得： ()(())'()(())()g x dx f x x dx f x d x ????==???()()f u du F u C ==+?(())F x C ?=+ 【注】熟悉上述步骤后，也可以不引入中间变量()u x ?=，省略(3)(4)步骤，这与复合函数的求导法则类似。 __________________________________________________________________________________________ 【第一换元法例题】 1、9 9 9 9 (57)(57)(5711(57)(57)55 )(57)dx d x d x dx x x x x +=+?=+?= +?++? ? ? ? 110091(57)(57)(57)10111 (57)5550 d C x x x x C =?=?+=+++++? 【注】1 (57)'5,(57)5,(57)5 x d x dx dx d x +=+==+?? 2、1ln ln ln ln dx d x x x dx x x x =?=???? 221 (l 1ln ln (ln )2n )2x x x d C x C =?=+=+? 【注】111 (ln )',(ln ),(ln )x d x dx dx d x x x x ===?? 3（1）sin tan cos co si s cos cos n cos cos xdx d x xdx dx x d x x x x x --= ===? ???? cos ln |cos |c ln |co s |o s x x d C x C x =-=-+=-+?

积分基本公式

2.基本积分公式表 (1)∫0d x=C (2)=ln|x|+C (3)(m≠-1，x>0) (4)(a>0,a≠1) (5) (6)∫cos x d x=sin x+C (7)∫sin x d x=-cos x+C (8)∫sec2x d x=tan x+C (9)∫csc2x d x=-cot x+C (10)∫sec x tan x d x=sec x+C (11)∫csc x cot x d x=-csc x+C (12)=arcsin x+C (13)=arctan x+C 注．(1)不是在m=-1的特例． (2)=ln|x|+C，ln后面真数x要加绝对值，原因是(ln|x|)' =1/x． 事实上，对x>0，(ln|x|)' =1/x；若x<0，则 (ln|x|)' =(ln(-x))' =. (3)要特别注意与的区别：前者是幂函数的积分，后者是指数函数的积分． 下面我们要学习不定积分的计算方法，首先是四则运算．

6. 复合函数的导数与微分 大量初等函数含有复合函数的成分，它们的导数与微分计算法则具有特别重要的意义． 定理.(链锁法则)设z=f(y)，y=?(x)分别在点y0=?(x0)与x0可导，则复合函数z=f[?(x)]在x0可导，且 或(f o?)' (x0)=f '(y0)??'(x0)． 证．对应于自变量x0处的改变量?x，有中间变量y在y0=?(x0)处的改变量?y及因变量z在z0=f(y0)处的改变量?z，（注意?y可能为0）．现 ?z=f'(y0)??y+v，?y='?(x0)?x+u， 且令，则v=?αy，（注意，当?y=0时，v=?αy仍成立）．y在x 0可导又蕴含y在x0连续，即?y=0．于是 =f '(y0)?? '(x0)+0??'(x0)=f'(y0)??'(x0) 为理解与记忆链锁法则，我们作几点说明： (1) 略去法则中的x=x0与y=y0，法则成为公式 ， 其右端似乎约去d y后即得左端，事实上，由前面定理的证明可知，这里并不是一个简单的约分过程． (2) 计算复合函数的过程：x→?y →?z 复合函数求导的过程：z→?y →?x ：各导数相乘 例2.3.15求y=sin5x的导数． 解．令u=5x，则y=sin u．于是

定积分的换元积分法与分部积分法

定积分的换元积分法与分部积分法 教学目的：掌握定积分换元积分法与分部积分法 难 点：定积分换元条件的掌握 重 点：换元积分法与分部积分法 由牛顿－莱布尼茨公式可知，定积分的计算归结为求被积函数的原函数．在上一章中，我们已知道许多函数的原函数需要用换元法或分部积分法求得，因此，换元积分法与分部积分法对于定积分的计算也是非常重要的． 1．定积分换元法 定理 假设 (1) 函数)(x f 在区间],[b a 上连续； (2) 函数)(t x ?=在区间],[βα上有连续且不变号的导数； (3) 当t 在],[βα变化时，)(t x ?=的值在],[b a 上变化，且b a ==)(,)(β?α?， 则有 []dt t t f dx x f b a ?? '=β α ??)()()(． (1) 本定理证明从略．在应用时必须注意变换)(t x ?=应满足定理的条件，在改变积分变量的同时相应改变积分限，然后对新变量积分． 例1 计算? -2 1 1 dx x x ． 解 令t x =-1，则tdt dx t x 2,12=+=．当1=x 时，0=t ；当2=x 时， 1=t ．于是 ??? ?? ? ??+-=?+=-1021022 1 1112211dt t tdt t t dx x x ??? ? ?-=-=412)a r c t a n (210 πt t ． 例2 计算? -a dx x a 0 22)0(>a ．

解 令t a x sin =，则t d t a dx cos =．当0=x 时，0=t ；当a x =时，2 π = t ．故 ? -a dx x a 0 22dt t a t a ??=20 cos cos π dt t a )2cos 1(2 20 2 += ? π 20 2 2s i n 212π ??????+= t t a 4 2 a π= ． 显然，这个定积分的值就是圆222a y x =+在第一象限那部分的面积(图5－8)． 例3 计算?20 5sin cos π xdx x ． 解法一 令x t cos =，则xdx dt sin -=． 当0=x 时，1=t ；当2 π =x 时，0=t ，于是 6 1 6 1 sin cos 01 6 50120 5= -=-=?? t dt t xdx x π ． 解法二 也可以不明显地写出新变量t ，这样定积分的上、下限也不要改变． 即 x d x x d x x c o s c o s s i n c o s 20 5 20 5 ?? -=π π 61610cos 61206 =??? ? ?--=-=π x ． 此例看出：定积分换元公式主要适用于第二类换元法，利用凑微分法换元 不需要变换上、下限． 例4 计算dx x ?-π sin 1． 解 dx x ? -π sin 1?-=π02 c o s 2s i n dx x x 注去绝对值时注意符号．

不定积分总结

不定积分

一、原函数 定义1 如果对任一I x ∈，都有 )()(x f x F =' 或 dx x f x dF )()(= 则称)(x F 为)(x f 在区间I 上的原函数。 例如：x x cos )(sin ='，即x sin 是x cos 的原函数。 2 211)1ln([x x x +='++，即)1ln(2x x ++是 2 11x +的原函数。 原函数存在定理：如果函数)(x f 在区间I 上连续，则)(x f 在区间I 上一定有原函数，即存在区间I 上的可导函数)(x F ，使得对任一I x ∈，有)()(x f x F ='。 注1：如果)(x f 有一个原函数，则)(x f 就有无穷多个原函数。 设)(x F 是)(x f 的原函数，则)(])([x f C x F ='+，即C x F +)(也为)(x f 的原函数，其中C 为任意常数。 注2：如果)(x F 与)(x G 都为)(x f 在区间I 上的原函数，则)(x F 与)(x G 之差为常数，即C x G x F =-)()(（C 为常数） 注3：如果)(x F 为)(x f 在区间I 上的一个原函数，则C x F +)(（C 为任意常数）可表达)(x f 的任意一个原函数。 二、不定积分 定义2 在区间I 上，)(x f 的带有任意常数项的原函数，成为)(x f 在区间I 上的不定积分，记为?dx x f )(。 如果)(x F 为)(x f 的一个原函数，则 C x F dx x f +=?)()(，（C 为任意常数）

三、不定积分的几何意义 图 5—1 设)(x F 是)(x f 的一个原函数，则)(x F y =在平面上表示一条曲线，称它为 )(x f 的一条积分曲线．于是)(x f 的不定积分表示一族积分曲线，它们是由) (x f 的某一条积分曲线沿着y 轴方向作任意平行移动而产生的所有积分曲线组成的．显然，族中的每一条积分曲线在具有同一横坐标x 的点处有互相平行的切线，其斜率都等于)(x f ． 在求原函数的具体问题中，往往先求出原函数的一般表达式C x F y +=)(，再从中确定一个满足条件 00)(y x y = (称为初始条件)的原函数)(x y y =．从几何上讲，就是从积分曲线族中找出一条通过点),(00y x 的积分曲线． 四、不定积分的性质（线性性质） [()()]()()f x g x dx f x dx g x dx ±=±??? ()() kf x dx k f x dx =??k （为非零常数）

定积分换元法与分部积分法习题教学文稿

定积分换元法与分部积分法习题

1 ?计算下列定积 分: ⑴ g 3)dx； 【解法 一】 应用牛顿-莱布尼兹公式 【解法二】 化到 sin( x 3 )dx sin(x 3 3 [cos( 应用定积分换元法 于是有 dx ； 2(11 5x)3； 【解法一】应用牛顿 u，则dx du ， sin(x )dx 3 3 [cos 3 -莱布尼兹公式 1 dx 2(11 5x)31 (1 1 2 【解法二】应用定积分换元法 令11 5x u， 变化到16,于是有 1 dx 3 2(11 5x) 3)d(x 3)cos(x 3) cos(—一)] [ cos 3 3 3 当x从3单调变化到 4 2 3sinudu 3 (cos3)] 3 5x) 3d(11 1^(11 5 1 1)2 cosu 4 3 2 3 5x) 1(11 2 (11 5 2)2] 则dx 1du， 5 (cos )] 。 3 2 时，u从3单调变 [cos4 3 cos2] 3 5x) 2 1( 12 1) 10 162 51 512 当x从2单调变化到1时，u从1单调 16 u 1 3du 1 5 2 16 1 1o（卡1）誥。

⑶ 0%in cos 1 2 3 d ； 【解法一】应用牛顿-莱布尼兹公式 1 4 4 [cos cos 0] 4 2 【解法二】应用定积分换元法 单调变化到0,于是有 ⑷ o (1 sin 3 )d ； 由于1是独立的，易于分离出去独立积分，于是问题成为对 sin 3 d 的积分, 这是正、余弦的奇数次幕的积分，其一般方法是应用第一换元法，先分出一次 式以便作凑微分： sin d d cos ，余下的sin 2 1 cos 2 ，这样得到的 1 -cos 3 1] 令cos u ， sin du ， 单调变化到 2时，u 从1 2 sin cos 3 :u 3du 0u 3 du (1 cos 2 )d cos 便为变量代换做好了准备。 具体的变换方式有如下两种: 【解法一】 应用牛顿-莱布尼兹公式 3 0 (1 sin )d 1d °sin 2 sin d 0 o (1 cos 2 )d cos (cos (cos cos0) 1 (cos 3 3 cos 3 0) 【解法二】 应用定积分换元法 1) 1(1 1) 2 ? 3 2 sin cos d 2 3 2 cos dcos 1 4 cos 4 【解】被积式为(1 sin 3 )d ，不属于三角函数的基本可积形式，须进行变换。