专题4 第4讲 基本不等式及其应用(2)

专题4 第4讲 基本不等式及其应用(2)
专题4 第4讲 基本不等式及其应用(2)

第4讲 基本不等式及其应用(2)

1.已知向量a =(3,-2),b =(x ,y -1),且a ∥b ,若x ,y 均为正数,则3x +2

y

的最小值是________.

2.如图所示,在△ABC 中,AD =DB ,点F 在线段CD 上,设AB =a ,AC =b ,AF =x a +y b ,则14

1

x y +

+的最小值为 .

3.(2016·苏、锡、常、镇调研)已知实数x ,y 满足x >y >0,且x +y ≤2,则2x +3y +1

x -y

最小值为________.

4.若0,0a b >>,且11

121+++a b b =,则2+a b 的最小值为 .

5.(2015·镇江期末)已知正数x ,y 满足1x +1y =1,则4x x -1+9y

y -1的最小值为________.

6.(2015·重庆卷)设a ,b >0,a +b =5,则a +1+b +3的最大值为________.

7.已知正实数x ,y 满足xy (x +3y )=x -2y ,那么y 的最大值为 .

8.设x ,y 均为正数,且

111+112

x y =++,则xy 的最小值为 . 9.若实数x ,y 满足x 2-4xy +4y 2 +4x 2y 2=4,则当x +2y 取得最大值时,x

y

的值为 .

10.已知x >0,y >0,且满足18

102y x x y

+++=,则2x +y 的最大值为 .

11.设x ,y ,z 是不全为0的实数,则222

33xy yz zx

x y z ++++的最大值是 .

12.已知实数a 、b 、c 满足a +b +c =9,ab +bc +ca =24,则b 的取值范围是________.

13.(2017·苏北四市高三上期末)若实数,x y 满足1

33(0)2xy x x +=<<

,则313

x y +-的最小值为 . 14.(2017·无锡高三上期末)已知0,0,2a b c >>>,且2a b +=

,则

2ac c c b ab +-+

的最小值为 .

15.某小区想利用一矩形空地ABCD 建造市民健身广场,设计时决定保留空地边上的一个水塘(如

图中阴影部分),水塘可近似看作一个等腰直角三角形,其中AD =60m ,AB =40m ,且△EFG 中,∠EGF =90?,经测量得到AE =10m ,EF =20m .为保证安全同时考虑美观,健身广场周围准备加设一个保护栏.设计时经过点G 作一条直线交AB 、DF 于M 、N ,从而得到五边形

MBCDN 的市民健身广场.

(1)假设DN =x (m ),试将五边形MBCDN 的面积y 表示为x 的函数,并注明函数的定义域;

(2)问:应如何设计,可使市民健身广场的面积最大?并求出健身广场的最大面积.

A A

B C

T M E H

F

N

G

D

16.如图,某城市设立以城中心O 为圆心、公里为半径圆形保护 区,从保护区边缘起,在城中心O 正东方向上一条高

速公路PB 、西南方向上有一条一级公路QC ,现要在保护区边缘PQ 弧上选择一点A 作为出口,建一条连接两条公路且与圆O 相切直道BC .已知通往一级公路道路AC 每公里造价为a 万元,通往高速公路的道路AB 每公里造价为m 2a 万元,其中a 、r 、m 为常数,设∠POA =θ,总造(2)当m

62

2

+时,如何确定A 点的位置才能使得总造价最低?

17.如图,两座建筑物AB ,CD 的底部都在同一个水平面上,且均与水平面垂直,它们的高度分别是9cm 和15cm ,从建筑

物AB 的顶部A 看建筑物CD 的视角∠CAD =45?.

(1)求BC 的长度; (2)在线段BC 上取一点P (点P 与点B 、C 不重合),从点P 看这两座建筑物的视角分别为∠APB =α,∠DPC =β,问点P 在何处时,α+β最小?

18.(2017·南通、泰州一模)如图,某机械厂要将长6 m ,宽2 m 的长方形铁皮ABCD 进行裁剪.已知点F 为AD 的中点,点

E 在边BC 上,裁剪时先将四边形CDFE 沿直线E

F 翻折到MNFE 处(点C ,D 分别落在直线BC 下方点M ,N 处,FN

交边BC 于点P ),再沿直线PE 裁剪.(1)当∠EFP =

4

π

时,试判断四边形MNPE 的形状,并求其面积; (2)若使裁剪得到的四边形MNPE 面积最大,请给出裁剪方案,并说明理由.

r A B D C P

β α

第3讲 基本不等式及其应用(2)

1.已知向量a =(3,-2),b =(x ,y -1),且a ∥b ,若x ,y 均为正数,则3x +2

y

的最小值是________.8

解析 (1)∵a ∥b ,∴3(y -1)+2x =0,即2x +3y =3.∵x >0,y >0,∴3x +2y =????3x +2y ·1

3

(2x +3y ) =1

3?

???6+6+9y x +4x y ≥13(12+2×6)=8.当且仅当3y =2x 时取等号. 2.如图所示,在△ABC 中,AD =DB ,点F 在线段CD 上,设AB =a ,AC =b ,AF =x a +y b ,则14

1

x y +

+的最小值为 .

解析:AF =x AB +y AC =2x AD +y AC

因为C ,F ,D 三点共线,所以2x+y =1,根据所求表达式构造等式为2x +(y +1)

=2,所以有:14114118=()[2(1)](6)12121

y x

x y x y x y x y ++

+++=+++++

1(62≥+

1

(62

≥+=

3.(2016·苏、锡、常、镇调研)已知实数x ,y 满足x >y >0,且x +y ≤2,则2x +3y +1x -y

的最小值为________.3+22

4

解析 设?

????x +3y =m ,x -y =n .解得???x =m +3n 4,y =m -n 4.所以x +y =m +n 2≤2,即m +n ≤4.设t =2x +3y +1x -y =2m +1

n ,

所以4t ≥????2m +1n (m +n )=3+2n m +m n ≥3+22.即t ≥3+224,当且仅当2n m =m n

,即m =2n 时取等号. 解析 提示:x +y ≤2?(x +3y )+(x -y )≤4.

4.若0,0a b >>,且11

121

+++a b b =,则2+a b 的最小值为

5.(2015·镇江期末)已知正数x ,y 满足1x +1y =1,则4x x -1+9y

y -1

的最小值为________.25

解析 因为1y =1-1x ,所以4x x -1+9y y -1=4x x -1+91-

1y

=4x x -1+9x =4+4x -1+9(x -1)+9=13+4

x -1

+9(x

-1).又因为1y =1-1x >0,所以x >1,即x -1>0.所以13+4

x -1

+9(x -1)≥13+24×9=25,当且仅当

x =53时取等号,所以4x x -1+9y y -1的最小值为25. 6.(2015·重庆卷)设a ,b >0,a +b =5,则a +1+b +3的最大值为________.3 2

解析 ∵a ,b >0,a +b =5,∴(a +1+b +3)2=a +b +4+2a +1b +3≤a +b +4+(a +1)2+

(b +3)2=a +b +4+a +b +4=18,当且仅当a =72,b =3

2时,等号成立,则a +1+b +3≤32,即a +1

+b

+3最大值为32.

7.已知正实数x ,y 满足xy (x +3y )=x -2y ,那么y 的最大值为 .

解法一:由xy (x +3y )=x -2y 得,f (x )=yx 2+(3

y 2-1)x +2y =0有整根,

∴222231

0,2(31)80

y y y y ?--

>????=--≥

?

,22y ≤=,∴0<y .

A

第一章第四节 基本不等式

数学科第一轮复习教案 第四节 基本不等式 一、教学目标: (一)必备知识: 1.探索并了解基本不等式的证明过程. 2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题. (二) 关键能力:读写能力、运算能力、信息通信技术能力、批判性与创造性思维、个人与社会能力、道德理解、跨文化理解 (三) 学科品格及学科素养:数学运算、数学建模 (四)核心价值:提高数学学习兴趣,树立学好数学的信心,形成锲而不舍的钻研精神和科学态度。具有一定的数学视野,逐步认识数学的科学价值,应用价值和文化价值。形成批判性的思维习惯,了崇尚数学的理性精神,体会数学的美学意义。树立辩证唯物主义和历史唯物主义的世界观。 二、生情分析: 1.学生对基础知识的掌握不扎实一些易得分的题也出现失分现象,对所学知识不能熟练运用,对知识的掌握也不是很灵活,造成容易的失分难的攻不下的两难状况。 2.一些学生的学习方法有待改进一些同学平时学习也挺认真,日常练习也不错,但一遇上综合性的考试就不行,像这样的状况主要是因为学生的复习方法不对,作为一名高三的学生应该学会自己归纳总结,可以把相似和有关联的一些题总结在一起,也可以把知识点相同或做题方法相同的题总结在一块,这样便于复习,也省时。 3.同学们的应试技巧也有待提高,翻看这次学生们的试卷会发现有些学生的题还没做完,前面难的没拿下后面容易的没时间做。拿不到高分认为是自己时间不够,这就是考试技巧的问题。 三、过程方法:讲练结合 四、重点难点: 1.利用基本不等式求最值.2.利用基本不等式解决实际问题 3.基本不等式的综合应用 五、教学用具:PPT 六、教学课时:2课时 七、设计思路:夯实基础→考点分类突破→课堂活动→解题技巧→教学生成 八、教学过程: ( [知识梳理] 1.基本不等式ab ≤a +b 2 (1)基本不等式成立的条件:a >0,b >0. (2)等号成立的条件:当且仅当a =b .

高考数学二轮复习专题突破训练一第2讲不等式与线性规划理含2014年高考真题

第2讲 不等式与线性规划 考情解读 1.在高考中主要考查利用不等式的性质进行两数的大小比较、一元二次不等式的解法、基本不等式及线性规划问题.基本不等式主要考查求最值问题,线性规划主要考查直接求最优解和已知最优解求参数的值或取值范围问题.2.多与集合、函数等知识交汇命题,以选择、填空题的形式呈现,属中档题. 1.四类不等式的解法 (1)一元二次不等式的解法 先化为一般形式ax 2 +bx +c >0(a ≠0),再求相应一元二次方程ax 2 +bx +c =0(a ≠0)的根,最后根据相应二次函数图象与x 轴的位置关系,确定一元二次不等式的解集. (2)简单分式不等式的解法 ①变形?f x g x >0(<0)?f (x )g (x )>0(<0); ②变形? f x g x ≥0(≤0)?f (x )g (x )≥0(≤0)且g (x )≠0. (3)简单指数不等式的解法 ①当a >1时,a f (x ) >a g (x ) ?f (x )>g (x ); ②当0a g (x ) ?f (x )1时,log a f (x )>log a g (x )?f (x )>g (x )且f (x )>0,g (x )>0; ②当0log a g (x )?f (x )0,g (x )>0. 2.五个重要不等式 (1)|a |≥0,a 2 ≥0(a ∈R ). (2)a 2 +b 2 ≥2ab (a 、b ∈R ). (3) a +b 2 ≥ab (a >0,b >0). (4)ab ≤(a +b 2)2 (a ,b ∈R ). (5) a 2+ b 22 ≥ a +b 2 ≥ab ≥ 2ab a +b (a >0,b >0). 3.二元一次不等式(组)和简单的线性规划 (1)线性规划问题的有关概念:线性约束条件、线性目标函数、可行域、最优解等.

4 第4讲 基本不等式

第4讲 基本不等式 1.基本不等式:ab ≤ a +b 2 (1)基本不等式成立的条件:a ≥0,b ≥0. (2)等号成立的条件:当且仅当a =b 时取等号. (3)其中a +b 2称为正数a ,b 的算术平均数,ab 称为正数a ,b 的几何平均数. 2.几个重要的不等式 (1)a 2+b 2≥2ab (a ,b ∈R ),当且仅当a =b 时取等号. (2)ab ≤???? a + b 22 (a ,b ∈R ),当且仅当a =b 时取等号. (3)a 2+b 22≥ ????a +b 22(a ,b ∈R ),当且仅当a =b 时取等号. (4)b a +a b ≥2(a ,b 同号),当且仅当a =b 时取等号. 3.利用基本不等式求最值 已知x ≥0,y ≥0,则 (1)如果积xy 是定值p ,那么当且仅当x =y 时,x +y 有最小值是2p .(简记:积定和最小) (2)如果和x +y 是定值s ,那么当且仅当x =y 时,xy 有最大值是s 2 4 .(简记:和定积最大) 判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)函数y =x +1 x 的最小值是2.( ) (2)ab ≤???? a + b 22成立的条件是ab >0.( ) (3)“x >0且y >0”是“x y +y x ≥2”的充要条件.( ) (4)若a >0,则a 3+1 a 2的最小值是2a .( ) 答案:(1)× (2)× (3)× (4)× (教材习题改编)设x >0,y >0,且x +y =18,则xy 的最大值为( ) A .80 B .77 C .81 D .82 解析:选C.xy ≤????x +y 22 =???? 1822 =81,当且仅当x =y =9时等号成立,故选C.

基本不等式的变形及应用

基本不等式ab b a 22 2≥+的变式及应用 不等式ab b a 222≥+是课本中的一个定理,它是重要的基本不等式之一,对于它及它各种变式的掌握与熟练运用是求解很多与不等式有关问题的重要方法,这里介绍它的几种常见的变式及应用 1、十种变式 ①222b a ab +≤; ②2 )2(b a ab +≤; ③2 )2(222b a b a +≤+ ; ④)(222b a b a +≤+ ⑤若0>b ,则b a b a -≥22 ; ⑥ ,,+∈R b a 则b a b a +≥+411 ⑦若ab b a R b a 4 )11(,,2≥ +∈+ ⑧若 ≠ab ,则 2 2 2)11(2111b a b a +≥+ 上述不等式中等号成立的充要条件均为: b a = ⑨若R b a R n m ∈∈+ ,,,,则n m b a n b m a ++≥+2 22)((当且仅当bm an =时 等号成立) ⑩)(3)(2222c b a c b a ++≤++(当且仅当c b a ==时等号成立) 2、应用 例1、若+∈R c b a ,,,且2=++c b a ,求证:4111<+++++c b a 证法一:由变式①得21 111++≤ +? a a 即12 1+≤+a a

同理:121+≤ +b b ,12 1+≤+c c 因此 12111+≤+++++a c b a 41212≤++++c b 由于三个不等式中的等号不能同时成立,故 4111<+++++c b a 评论:本解法应用“2 2 2b a ab +≤ ”观察其左右两端可以 发现,对于某一字母左边是一次式,而右边是二次式,显然,这个变式具有升幂与降幂功能,本解法应用的是升幂功能。 证法二:由变式④得)11(211+++≤+++b a b a 同理: )11(211++≤++c c ∴≤ ++++++1111c b a )4(2)2(2)2(2+++≤++++c b a c b a 512<= 故结论成立 评论:本解法应用“)(222b a b a +≤+” ,这个变式的功能是将“根式合并”,将“离散型”要根式转化为统一根式,显然,对问题的求解起到了十分重要的作用。 证法三:由变式⑩得 1(3)111(2+≤+++++a c b a 15)11=++++c b 故4111<+++++c b a 即得结论

高考数学一轮复习第六篇不等式第4节基本不等式训练理新人教版

第4节基本不等式 知识点、方法题号 利用基本不等式比较大小、证明2,3 利用基本不等式求最值1,4,7,9,11,13 基本不等式的实际应用6,12,14 基本不等式的综合应用5,8,10 基础巩固(时间:30分钟) 1.已知f(x)=x2(x<0),则f(x)有( C ) (A)最大值0 (B)最小值0 (C)最大值4 (D)最小值4 解析:因为x<0,所以f(x)=(x)2≤=4,当且仅当x=,即x=1时取等号. 选C. 2.下列不等式一定成立的是( C ) (A)lg(x2)>lg x(x>0) (B)sin x≥2(x≠kπ,k∈Z) (C)x21≥2|x|(x∈R) (D)>1(x∈R) 解析:当x>0时,x2≥2·=x,所以lg(x2)≥lg x(x>0),故选项A不正确当2kππ

解析:由ab=1,可得a2bab=1, 因为2ab≤a2b2,当且仅当a=b时取等号. 所以2ab2≥1, 则a2b2≥. 当a,b异号时,不妨取a=1,b=2,易知A,C,D都不正确. 故选B. 4.导学号 38486112(2017·枣庄一模)若正数x,y满足=1,则3x4y的最小值是( C ) (A)24 (B)28 (C)25 (D)26 解析:因为正数x,y满足=1, 则3x4y=(3x4y)( )=13≥133×2=25, 当且仅当x=2y=5时取等号. 所以3x4y的最小值是25. 故选C. 5.导学号 38486113(2017·平度二模)若直线2mxny2=0 (m>0,n>0)过点(1,2),则最小值 ( D ) (A)2 (B)6 (C)12 (D)32 解析:因为直线2mxny2=0(m>0,n>0)过点(1,2), 所以2m2n2=0,即mn=1, 因为=()(mn)=3≥32, 当且仅当=,即n=m时取等号, 所以的最小值为32, 故选D. 6.(2017·河北邯郸一模)已知棱长为的正四面体ABCD(四个面都是正三角形),在侧棱AB 上任取一点P(与A,B都不重合),若点P到平面BCD及平面ACD的距离分别为a,b,则的最小值为( C ) (A) (B)4 (C) (D)5 解析:由题意可得, a·S△BCD bS△ACD=h·S△BCD,其中S△BCD=S△ACD,h为正四面体ABCD的高. h==2, 所以ab=2.

6-4第四节 基本不等式练习题(2015年高考总复习)

第四节 基本不等式 时间:45分钟 分值:75分 一、选择题(本大题共6小题,每小题5分,共30分) 1.设a ,b ∈R ,已知命题p :a 2+b 2≤2ab ;命题q :? ?? ??a +b 22≤a 2+b 2 2,则p 是q 成立的( ) A .必要不充分条件 B .充分不必要条件 C .充分必要条件 D .既不充分也不必要条件 解析 命题p :(a -b )2≤0?a =b ;命题q :(a -b )2≥0.显然,由p 可得q 成立,但由q 不能推出p 成立,故p 是q 的充分不必要条件. 答案 B 2.已知f (x )=x +1 x -2(x <0),则f (x )有( ) A .最大值为0 B .最小值为0 C .最大值为-4 D .最小值为-4 解析 ∵x <0,∴-x >0. ∴x +1 x -2=-? ?? ??-x +1-x -2≤-2 (-x )·1 -x -2=-4, 当且仅当-x =1 -x ,即x =-1时,等号成立. 答案 C 3.下列不等式:①a 2 +1>2a ;②a +b ab ≤2;③x 2 +1x 2+1≥1,其 中正确的个数是( ) A .0 B .1

C .2 D .3 解析 ①②不正确,③正确,x 2 +1x 2+1=(x 2 +1)+1x 2+1-1≥2 -1=1. 答案 B 4.(2014·云南师大附中模拟)已知a +b =t (a >0,b >0),t 为常数,且ab 的最大值为2,则t 的值为( ) A .2 B .4 C .2 2 D .2 5 解析 当a >0,b >0时,有ab ≤(a +b )24=t 24,当且仅当a =b =t 2时取等号.∵ab 的最大值为2,∴t 2 4=2,t 2=8,∴t =8=2 2. 答案 C 5.(2014·山东师大附中模拟)若正数x ,y 满足x +3y =5xy ,则3x +4y 的最小值是( ) A.245 B.285 C .5 D .6 解析 由x +3y =5xy ,可得x xy +3y xy =5,即1y +3x =5,∴15y +3 5x =1,∴3x +4y =(3x +4y )? ????15y +35x =95+45+3x 5y +12y 5x ≥135+23x 5y ×12y 5x = 135+12 5=5. 答案 C 6.(2014·湖北八校联考)若x ,y ∈(0,2]且xy =2,使不等式a (2x +y )≥(2-x )(4-y )恒成立,则实数a 的取值范围为( )

2020浙江高考数学二轮专题强化训练:专题一第4讲 不等式 Word版含解析

专题强化训练 1.(2019·金华十校联考)不等式(m -2)(m +3)<0的一个充分不必要条件是( ) A .-3<m <0 B .-3<m <2 C .-3<m <4 D .-1<m <3 解析:选A.由(m -2)(m +3)<0得-3<m <2,即不等式成立的等价条件是-3<m <2, 则不等式(m -2)(m +3)<0的一个充分不必要条件是(-3,2)的一个真子集, 则满足条件是-3<m <0. 故选A. 2.已知关于x 的不等式(ax -1)(x +1)<0的解集是(-∞,-1)∪????-1 2,+∞,则a =( ) A .2 B .-2 C .-1 2 D.12 解析:选B.根据不等式与对应方程的关系知-1,-1 2是一元二次方程ax 2+x (a -1)-1=0 的两个根,所以-1×????-12=-1 a ,所以a =-2,故选B. 3.已知x >0,y >0,lg 2x +lg 8y =lg 2,则1x +1 3y 的最小值是( ) A .2 B .2 2 C .4 D .2 3 解析:选C.因为lg 2x +lg 8y =lg 2, 所以x +3y =1, 所以1x +13y =????1x +13y (x +3y )=2+3y x +x 3y ≥4, 当且仅当3y x =x 3y , 即x =12,y =1 6 时,取等号. 4.若平面区域???? ?x +y -3≥0, 2x -y -3≤0,x -2y +3≥0夹在两条斜率为1的平行直线之间,则这两条平行直线间 的距离的最小值是( )

A.35 5 B.2 C.322 D.5 解析:选B.不等式组???? ?x +y -3≥02x -y -3≤0x -2y +3≥0表示的平面区域如图中阴影部分所示,其中A (1,2)、 B (2,1),当两条平行直线间的距离最小时,两平行直线分别过点A 与B ,又两平行直线的斜率为1,直线AB 的斜率为-1,所以线段AB 的长度就是过A 、B 两点的平行直线间的距离,易得|AB |=2,即两条平行直线间的距离的最小值是2,故选B. 5.(2019·金丽衢十二校高三联考)若函数f (x )=2x 2-a x -1(a <2)在区间(1,+∞)上的最小值为 6,则实数a 的值为( ) A .2 B.32 C .1 D.12 解析:选 B.f (x )= 2x 2-a x -1 = 2(x -1)2+4(x -1)+2-a x -1 =2(x -1)+ 2-a x -1 + 4≥2 2(x -1)·2-a x -1+4=2 4-2a +4,当且仅当2(x -1)=2-a x -1 ?x =1+ 2-a 2 时,等号成立,所以2 4-2a +4=6?a =3 2 ,故选B. 6.若不等式组? ????x 2-2x -3≤0, x 2+4x -(1+a )≤0的解集不是空集,则实数a 的取值范围是( ) A .(-∞,-4] B .[-4,+∞) C .[-4,20] D .[-4,20) 解析:选B.不等式x 2-2x -3≤0的解集为[-1,3],

基本不等式及其应用知识梳理及典型练习题(含答案)

基本不等式及其应用 1.基本不等式 若a>0,,b>0,则 a + b 2 ≥ab ,当且仅当 时取“=”. 这一定理叙述为:两个正数的算术平均数 它们的几何平均数. 注:运用均值不等式求最值时,必须注意以下三点: (1)各项或各因式均正;(一正) (2)和或积为定值;(二定) (3)等号成立的条件存在:含变数的各项均相等,取得最值.(三相等) 2.常用不等式 (1)a 2+b 2≥ab 2(a ,b ∈R ). 2 a b +()0,>b a 注:不等式a 2+b 2≥2ab 和 2 b a +≥a b 它们成立的条件不同,前者只要求a 、b 都是实数,而后者要求a 、b 都是正数.其等价变形:ab≤(2 b a +)2 .

(3)ab≤ 2 2 ? ? ? ? ?+b a (a,b∈R). (4) b a + a b ≥2(a,b同号且不为0). (5) 2 2 ? ? ? ? ?+b a ≤ a2+b2 2 (a,b∈R). (6) b a ab b a b a 1 1 2 2 2 2 2 + ≥ ≥ + ≥ +()0 ,> b a (7)abc≤ a3+b3+c3 3 ;() ,,0 a b c> (8) a+b+c 3 ≥ 3 abc;() ,,0 a b c> 3.利用基本不等式求最大、最小值问题 (1)求最小值:a>0,b>0,当ab为定值时,a+b,a2+b2有,即a +b≥,a2+b2≥. (2)求最大值:a>0,b>0,当a+b为定值时,ab有最大值,即;或a2+b2为定值时,ab有最大值(a>0,b>0),即.

设a,b∈R,且a+b=3,则2a +2b的最小值是( ) 解:因为2a>0,2b>0,由基本不等式得2a+2b≥22a·2b=22a+b=42, 当且仅当a=b=3 2 时取等号,故选B. 若a>0,b>0,且a+2b-2=0, 则ab的最大值为( ) 解:∵a>0,b>0,a+2b=2,∴a+2b=2≥22ab,即ab≤1 2 .当且仅当a =1,b=1 2 时等号成立.故选A.

2015届高考数学总复习 基础知识名师讲义 第六章 第四节基本不等式≤ (a,b∈R+ ) 文

第四节 基本不等式: ab ≤a +b 2 (a ,b ∈R +) 1.了解基本不等式的证明过程. 2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题. 知识梳理 一、算术平均数与几何平均数的概念 若a >0,b >0,则a ,b 的算术平均数是a +b 2,几何平均数是ab . 二、常用的重要不等式和基本不等式 1.若a ∈R ,则a 2≥0,||a ≥0(当且仅当a =0时取等号). 2.若a ,b ∈R ,则a 2+b 2≥2ab (当且仅当a =b 时取等号). 3.若a ,b ∈R +,则a +b ≥2ab (当且仅当a =b 时取等号). 4.若a ,b ∈R +,则a 2+b 22≥ ????a +b 22 (当且仅当a =b 时取等号). 三、均值不等式(基本不等式) 两个正数的均值不等式:若a ,b ∈R +,则a +b 2≥ab (当且仅当a =b 时取等号). 变式: ab ≤?? ?a +b 22 (a ,b ∈R +). 四、最值定理 设x >0,y >0,由x +y ≥2xy ,有: (1)若积xy =P (定值),则和x +y 最小值为2P . (2)若和x +y =S (定值),则积xy 最大值为????S 22 . 即积定和最小,和定积最大. 运用最值定理求最值应满足的三个条件:“一正、二定、三相等”. 五、比较法的两种形式

一是作差,二是作商. 基础自测 1.(2012·深圳松岗中学模拟)若函数f (x )=x +1 x -2(x >2)在x =n 处有最小值,则n =( ) A .1+2 B .1+ 3 C .4 D .3 解析:f (x )=x -2+1x -2+2≥2(x -2)·1x -2+2=4,当且仅当x -2=1x -2 ,即x -2=1,x =3时,f (x )有最小值.故选D. 答案:D 2.(2013·广州二模)已知0<a <1,0<x ≤y <1,且log a x ·log a y =1,那么xy 的取值范围为( ) A .(0,a 2] B .(0,a ] C .(0,1 a ] D .(01a 2] 解析:因为0<a <1,0<x ≤y <1,所以log a x >0,log a y >0, 所以log a x +log a y =log a (xy )≥2log a x ·log a y =2,当且仅当log a x =log ay =1时取等号.所以0<xy ≤a 2.故选A. 答案:A 3.(2012·合肥重点中学联考)若直线2ax -by +2=0(a ,b >0)始终平分圆x 2+y 2+2x -4y +1=0的周长,则1a +1 b 的最小值是________. 答案:4 4.当x >2时,不等式x +1 x -2≥a 恒成立,则实数a 的取值范围是________. 解析:因为x + 1 x -2≥a 恒成立, 所以a 必须小于或等于x +1 x -2 的最小值.

人教A版高中数学选修4-5_《不等式选讲》全册教案

选修4--5 不等式选讲

一、课程目标解读 选修系列4-5专题不等式选讲,内容包括:不等式的基本性质、含有绝对值的不等式、不等式的证明、几个著名的不等式、利用不等式求最大(小)值、数学归纳法与不等式。通过本专题的教学,使学生理解在自然界中存在着大量的不等量关系和等量关系,不等关系和相等关系都是基本的数学关系,它们在数学研究和数学应用中起着重要的作用;使学生了解不等式及其证明的几何意义与背景,以加深对这些不等式的数学本质的理解,提高学生的逻辑思维能力和分析问题解决问题的能力。 二、教材内容分析 作为一个选修专题,虽然学生已经学习了高中必修课程的5个模块和三个选修模块,教材内容仍以初中知识为起点,在内容的呈现上保持了相对的完整性.整个专题内容分为四讲,结构如下图所示: 第一讲是“不等式和绝对值不等式”,为了保持专题内容的完整性,教材回顾了已学过的不等式6个基本性质,从“数与运算”的思想出发,强调了比较大小的基本方法。回顾了二元基本不等式,突出几何背景和实际应用,同时推广到n个正数的情形,但教学中只要求理解掌握并会应用二个和三个正数的均值不等式。 对于绝对值不等式,借助几何意义,从“运算”角度,探究归纳了绝对值三角不等式,并用代数方法给出证明。通过讨论两种特殊类型不等式的解法,学习解含有绝对值不等式的一般思想和方法,而不是系统研究。 第二讲是“证明不等式的基本方法”,教材通过一些简单问题,回顾介绍了证明不等式的比较法、综合法、分析法,反证法、放缩法。其中,用反证法和放缩法证明不等式是新的课程标准才引入到中学数学教学中的内容。这些方法大多在选修2-2“推理与证明”已经学过,此处再现也是为了专题的完整性,对于新增的放缩法,应通过实际实际例子,使学生明确不等式放缩的几个简单途径和方法,比如舍掉或加进一些项,在分式中放大或缩小分子或分母,应用基本不等式进行放缩等(见分节教学设计)。本讲内容也是本专题的一个基础内容。 第三讲是“柯西不等式和排序不等式”。这两个不等式也是本专题实质上的新增内容,教材主要介绍柯西不等式的几种形式、几何背景和实际应用。其中柯西不等式及其在证明不等式和求某些特殊类型函数极值中的应用是教材编写和我们教学的重点。事实上,柯西不等式和均值不等式在求最值方面的简单应用,二者同样重要,在某些问题中,异曲同工。比如课本P41页,习题3.2 第四题。

2019-2020年高考数学一轮复习第七章不等式第4讲基本不等式理

2019-2020年高考数学一轮复习第七章不等式第4讲基本不等式理 一、选择题 1.若x >0,则x +4 x 的最小值为( ). A .2 B .3 C .2 2 D .4 解析 ∵x >0,∴x +4 x ≥4. 答案 D 2.已知a >0,b >0,a +b =2,则y =1a +4 b 的最小值是( ). A.72 B .4 C.9 2 D .5 解析 依题意得1a +4b =12? ????1a +4b (a +b )=12??????5+? ????b a +4a b ≥12? ? ???5+2 b a ×4a b =9 2 , 当且仅当????? a + b =2b a = 4a b a >0,b >0 ,即a =2 3 , b =4 3时取等号,即1a +4b 的最小值是9 2 . 答案 C 3.小王从甲地到乙地的时速分别为a 和b (a a 2 -a 2 a + b =0,∴v >a . 答案 A 4.若正实数a ,b 满足a +b =1,则( ). A.1a +1 b 有最大值4 B .ab 有最小值1 4

C.a +b 有最大值 2 D .a 2+b 2 有最小值 22 解析 由基本不等式,得ab ≤ a 2+ b 2 2 = a +b 2 -2ab 2,所以ab ≤14,故B 错;1a +1b = a +b ab =1ab ≥4,故A 错;由基本不等式得a +b 2 ≤ a +b 2 = 1 2 ,即a +b ≤ 2,故C 正确;a 2+b 2=(a +b )2 -2ab =1-2ab ≥1-2×14=12,故D 错. 答案 C 5.已知x >0,y >0,且2x +1y =1,若x +2y >m 2 +2m 恒成立,则实数m 的取值范围是 ( ). A .(-∞,-2]∪[4,+∞) B .(-∞,-4]∪[2,+∞) C .(-2,4) D .(-4,2) 解析 ∵x >0,y >0且2x +1 y =1, ∴x +2y =(x +2y )? ?? ??2x +1y =4+4y x +x y ≥4+2 4y x ·x y =8,当且仅当4y x =x y , 即x =4,y =2时取等号, ∴(x +2y )min =8,要使x +2y >m 2 +2m 恒成立, 只需(x +2y )min >m 2 +2m 恒成立, 即8>m 2 +2m ,解得-40),l 1与函数y =|log 2x |的图象从左至右相 交于点A ,B ,l 2与函数y =|log 2x |的图象从左至右相交于点C ,D .记线段AC 和BD 在x 轴上的投影长度分别为a ,b .当m 变化时,b a 的最小值为 ( ). A .16 2 B .8 2 C .83 4 D .434 解析 如图,作出y =|log 2x |的图象,由图可 知A ,C 点的横坐标在区间(0,1)内,B ,D 点的横坐标在区间(1,+∞)内,而且x C -x A 与x B -

基本不等式及其应用(优秀经典专题及答案详解)

专题7.3 基本不等式及其应用 学习目标 1.了解基本不等式的证明过程; 2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题. 知识点一 基本不等式ab ≤a +b 2 (1)基本不等式成立的条件:a >0,b >0. (2)等号成立的条件:当且仅当a =b . 知识点二 几个重要的不等式 (1)a 2+b 2≥2ab (a ,b ∈R);(2)b a +a b ≥2(a ,b 同号); (3)ab ≤????a +b 22(a ,b ∈R);(4)????a +b 22≤a 2+b 2 2(a ,b ∈R); (5)2ab a +b ≤ab ≤a +b 2≤ a 2+b 22(a >0,b >0). 知识点三 算术平均数与几何平均数 设a >0,b >0,则a ,b 的算术平均数为a +b 2 ,几何平均数为ab ,基本不等式可叙述为:两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. 知识点四 利用基本不等式求最值问题 已知x >0,y >0,则 (1)如果xy 是定值p ,那么当且仅当x =y 时,x +y 有最小值是2p (简记:积定和最小). (2)如果x +y 是定值q ,那么当且仅当x =y 时,xy 有最大值是q 2 4(简记:和定积最大). 【特别提醒】 1.此结论应用的前提是“一正”“二定”“三相等”.“一正”指正数,“二定”指求最值时和或积为定值,“三相等”指等号成立. 2.连续使用基本不等式时,牢记等号要同时成立. 考点一 利用基本不等式求最值

【典例1】(江西临川一中2019届模拟)已知x <54,则f (x )=4x -2+14x -5 的最大值为_______ 【答案】1 【解析】因为x <54 ,所以5-4x >0, 则f (x )=4x -2+ 14x -5=-????5-4x +15-4x +3≤-2+3=1.当且仅当5-4x =15-4x ,即x =1时,取等号. 故f (x )=4x -2+ 14x -5 的最大值为1. 【方法技巧】 1.通过拼凑法利用基本不等式求最值的实质及关键点 拼凑法就是将相关代数式进行适当的变形,通过添项、拆项等方法凑成和为定值或积为定值的形式,然后利用基本不等式求解最值的方法.拼凑法的实质是代数式的灵活变形,拼系数、凑常数是关键. 2.通过常数代换法利用基本不等式求解最值的基本步骤 (1)根据已知条件或其变形确定定值(常数); (2)把确定的定值(常数)变形为1; (3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除,进而构造和或积为定值的形式; (4)利用基本不等式求解最值. 【变式1】(山东潍坊一中2019届模拟)已知x >0,y >0,x +3y +xy =9,则x +3y 的最小值为________. 【答案】6 【解析】由已知得x +3y =9-xy , 因为x >0,y >0,所以x +3y ≥23xy , 所以3xy ≤????x +3y 22,当且仅当x =3y ,即x =3,y =1时取等号,即(x +3y )2+12(x +3y )-108≥0. 令x +3y =t ,则t >0且t 2+12t -108≥0, 得t ≥6,即x +3y 的最小值为6. 【方法技巧】通过消元法利用基本不等式求最值的策略 当所求最值的代数式中的变量比较多时,通常是考虑利用已知条件消去部分变量后,凑出“和为常数”或“积为常数”,最后利用基本不等式求最值. 考点二 利用基本不等式解决实际问题 【典例2】 【2019年高考北京卷理数】李明自主创业,在网上经营一家水果店,销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃,价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒.为增加销量,李明对这四种水果

高考数学二轮复习 第一部分 专题篇 专题一 集合、常用逻辑用语、不等式、函数与导数 第四讲 不等式课

2017届高考数学二轮复习 第一部分 专题篇 专题一 集合、常用逻 辑用语、不等式、函数与导数 第四讲 不等式课时作业 理 A 组——高考热点基础练 1.已知a ,b ,c 满足c <b <a 且ac <0,则下列选项中不一定能成立的是( ) A.c a <b a B.b -a c >0 C.b 2c 0,∴c a 0,a -c ac <0, 但b 2 与a 2 的关系不确定,故b 2c 0,即-16x 2+56 x -1>0,解 得2

C .4 D .5 解析:先作出可行域,再求目标函数的最大值. 根据题意作出可行域如图阴影部分所示,平移直线y =-2x ,当直线平移到虚线处时,目标 函数取得最大值.由? ?? ?? 2x -y =0, x +y =3,可得A (1,2),此时2x +y 取最大值为2×1+2=4. 答案:C 4.已知函数f (x )=ax 2 +bx +c ,不等式f (x )<0的解集为{x |x <-3或x >1},则函数y =f (- x )的图象可以为( ) 解析:由f (x )<0的解集为{x |x <-3或x >1}知a <0,y =f (x )的图象与x 轴交点为(-3,0),(1,0), ∴f (-x )图象开口向下,与x 轴交点为(3,0),(-1,0). 答案:B 5.设a ,b ∈R ,且a +b =3,则2a +2b 的最小值是( ) A .6 B .42 C .2 2 D .26 解析:2a +2b ≥22a +b =223=42,当且仅当2a =2b ,a +b =3,即a =b =32 时,等号成立.故 选B. 答案:B

基本不等式及其应用

基本不等式及其应用 一、教学分析设计 【教材分析】 人教版普通高中课程标准试验教科书分不同的章节处理不等式问题。在必修5的第三章中,首先介绍了不等关系与不等式;然后是一元二次不等式及其解法,二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题;最后在第四节介绍基本不等式。在选修教材《不等式选讲》中对不等式与绝对值不等式、证明不等式的基本方法、柯西不等式与排序不等式、数学归纳法证明不等式作了更详细的介绍。并在书中还安排章节复习了基本不等式,并将其推广到三元的形式。基本不等式从数学上凸显了沟通基础数学知识间的内在联系的可行性。 基本不等式的课程标准内容为:探索并了解基本不等式的证明过程;会用基本不等式解决简单的最值问题。教学要求为:了解基本不等式的代数背景、几何背景以及它的证明过程;理解算数平均数、几何平均数的概念;会用基本不等式解决简单的最值问题;通过基本不等式的实际应用,感受数学的应用价值(说明:突出用基本不等式解决问题的基本方法,不必推广到三个变量以上的情形)。《考试说明》中内容为:会用基本不等式解决简单的最值问题。通过对比分析,他们的共同都有“会用基本不等式解决简单的最值问题”。基本不等式与函数(包括三角函数)、数列、解析几何等内容均有丰富的联系,在《考试说明》中属于C及内容(含义:对该知识有实质性的理解并能与已有知识建立联系,掌握内容与形式的变化;相关技能已经形成,能用它来解决简单的相关问题)。 【学生分析】 从知识储备上看,高三学生已经基本掌握了不等式的简单性质和证明,并能用不等式及不等式组抽象出实际问题中的数学模型,也具备一定的几何知识。 从思维特点看,学生了解了不等关系的数学模型是解决实际问题的重要工具,具备一定的归纳、猜想、演绎证明和抽象思维的水平。 【目标分析】 结果性目标: 1、能在具体的问题情景中,通过抽象概括、数学建模以及逻辑推理获得基本不等式; 2、掌握基本不等式应用的条件“一正二定三相等”,和基本不等式的常见变形; 3、会用基本不等式解决一些简单的实际问题。 体验性目标: 1、在解决实际问题的过程中,体验基本不等式的本质是求二元的最值问题; 2、在解决实际问题中,体验“形”与“数”间的关联。 重点:创设基本不等式使用的条件。 难点:基本不等式的简单应用,以及使用过程中定值的取得。 【核心问题分析】 核心问题:在学校文化厘清过程中,拟对一块空地实行打造,现对其规划如下:将这块空地建成一个广场,在广场中间建一个长方形文化长廊,在其正中间造一个长方形景观池,并利用长廊内部左下角的那颗古树打造一条直线型景观带。请同学们按照以下要求实行数据设计: 问题1:文化长廊的周长为480米,要求文化长廊所围成的长方形面积最大,应怎样设计其长和宽? 问题2:已知景观池的容积为4800米,深为3米。已知景观池底每平米的造价是150元,池壁每平方米的造价是120元,问怎样设计,使造价最低,最低造价是多少? 问题3:设文化长廊为ABCD,现在长廊ABCD的左下角点E处有颗古树,且点E距左边AB和下边AD的D距离各为20米、10米,为保护古树,现经过古树E建造一直线型的景观带

3.4基本不等式(第一课时)

3.4 基本不等式: 2b a a b + ≤(第一课时) 教学设计 一、教学内容解析 (一)教材的地位和作用 本节课是人教版《数学》必修5第三章第四节(第一课时),基本不等式是高中数学中一个非常重要的不等式,它是解决一些简单的最大(小)值问题的最基本也是最重要的方法。在前几节课刚刚学习了不等式的性质、一元二次不等式、二元一次不等式组与线性规划问题,这些内容为本节课打下了坚实的基础,同时基本不等式的学习为今后解决最值问题提供了新的方法。 本节内容是在系统的复习了不等关系和不等式性质,掌握了不等式性质的基础上展开的。教材通过赵爽弦图回顾基本不等式,在代数证明的基础上,通过“探究”引导学生回顾基本不等式的几何意义,并给出在解决函数最值和实际问题中应用,在知识体系中起着承上启下的作用;从知识的应用价值上看,基本不等式是从大量数学问题和现实问题中抽象出来的一个模型,在公式推导中所蕴涵的数学思想方法(如数形结合、抽象归纳、演绎推理、分析法证明等)在各种不等式的研究中均有着广泛的应用;从内容的人文价值上看,基本不等式的探究、推导和应用需要学生观察、分析、猜想、归纳和概括等,有助于培养学生思维能力和探索精神,是培养学生数形结合意识和提高数学能力的良好载体. (二)教学目标 1. 通过实例探究,引导学生从几何图形中获得重要不等式,并通过类比的和代换的思想得到基本不等式,让体会数形结合的思想,经历从特殊到一般的思维过程,进一步提高学生学习数学、研究数学的兴趣; 2. 从结构、形式等方面进一步认识基本不等式; 3. 经历由实际问题推导出基本不等式,在回归实际问题的解决这一过程,体会数学源于生活、高于生活、用于生活的道理,让学生体验到发现数学、运用数学的过程。 (三)教学重点与难点 重点:应用数形结合的思想理解不等式,并从不同角度认识基本不等式。 难点:在几何背景下抽象出基本不等式的过程;使用基本不等式解决求最值问题时的条件的认识。 二、学生学情分析: 在初中阶段,学生学习了平方、开方、勾股定理、圆、射影定理等概念,高中阶段学生学习了基本初等函数及其性质,加上刚学过的不等关系与不等式的性质,学生对不等式有了初步的了解和应用,但本节内容,变换灵活,应用广泛,条件有限制,考察了学生属性结合、转化化归等数学思想,对学生能灵活应用数

专题一 第3讲 不等式

第3讲 不等式 [考情分析] 1.不等式的解法是数学的基本功,在许多题目中起到工具作用.2.求最值和不等式 恒成立问题常用到基本不等式.3.题型多以选择题、填空题形式考查,中等难度. 考点一 不等式的性质与解法 核心提炼 1.不等式的倒数性质 (1)a >b ,ab >0?1a <1b . (2)a <0b >0,0b d . 2.不等式恒成立问题的解题方法 (1)f (x )>a 对一切x ∈I 恒成立?f (x )min >a ,x ∈I ;f (x )g (x )对一切x ∈I 恒成立?当x ∈I 时,f (x )的图象在g (x )的图象的上方. (3)解决恒成立问题还可以利用分离参数法. 例1 (1)若p >1,01 B.p -m p -n log n p 答案 D 解析 方法一 设m =14,n =1 2 ,p =2,逐个代入可知D 正确. 方法二 对于选项A ,因为01,所以00,所以p -m p -n >m n ,故B 不正确;对于 选项C ,由于函数y =x -p 在(0,+∞)上为减函数,且0n -p ,故C 不正确;对于选项D ,结合对数函数的图象可得,当p >1,0log n p ,故D 正确. (2)(2020·北京市昌平区新学道临川学校模拟)已知关于x 的不等式ax -b ≤0的解集是[2,+∞),则关于x 的不等式ax 2+(3a -b )x -3b <0的解集是( )

基本不等式及其应用-沪教版必修1教案

基本不等式是每年的高考热点,主要考察命题的判定,不等式的证明以及求 最值问题。特别是求最值问题往往在基本不等式的使用条件上设置一些问题。 考 察学生恒等变形的能力,运用基本不等式的和与积转化作用的能力。 教学目标 1. 知识与技能 理解基本不等式,了解变式结构;理解基本不等式的“和”、“积”放缩作用。 会运用基本不等式解决相关的问题。 2. 过程与方法 通过师生互动、学生主动的探究过程,让学生体会研究数学问题的基本思想 方法,学会学习,学会探究。 3. 情感态度与价值观 鼓励学生大胆探索,增强学生的信心,获得探索问题的成功情感体验。逐步 养成学生严谨的科学态度及良好的思维习惯。 重点:运用基本不等式求最值 难点:恰当变形转化,构建出满足运用基本不等式的条件 教学过程: 一、 要点梳理 1、基本不等式 若a 、b € R,则a 2+b 2> 2ab,当且仅当a=b 时取“=” b 2(a 、b 同号) a 3、求最大值、最小值问题 (1) __________________________________________________________ 如果x 、y € (0,+ g ),且xy=p(定值),那么当x=y 时,x+y 有 _______________ (2) __________________________________________________________ 如果x 、y € (0,+ g ),且x+y=s(定值),那么当x=y 时,xy 有 _______________ 例题精讲 例1、若正数a 、b 满足ab=a+b+3,求ab 的取值范围, 1 9 例2、已知x>0、y>0,且一 一 1,求x+y 的最小值 x y 2、 若 a 、b € R',则 常用变形形式: 宁,ab ,当且仅当a=b 时取 ■- ab 2 b 2 ——b a 0,b 0 ④ 2 b 2 2ab ab 2 a 2 b 2 2 概括为:

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