实变函数与泛函分析第2章

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第二章
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点集
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§1 度量空间， n 维欧氏空间
教学目的 1、深刻理解 R n 中的距离、邻域、点列收敛等概念，弄清它们在刻划不同类型 的点及点集中的作用. 2、理解距离的性质、点到集合的距离、两集合之间的距离、集合的直径等概念， 理解有界集、无界集、区间及区间的体积等概念. 3、了解邻域的四条性质. 本节要点 度量空间的概念. 本节难点 度量空间的概念. 一、 度量空间 定义 1：设 X 为一非空集合， d ： X ? X ? R 为一映射，且满足 （1） d ( x , y ) ? 0 ， d ( x , y ) （2） d ( x , y ) （3） d ( x , y )
? d ( y, x) ? 0 ? x ? y
（正定性）
（对称性） （三角不等式）
? d ( x, z ) ? d ( z, y )
则称 ( X , d ) 为度量空间. 例 1: (1) 欧氏空间 ( R n , d ) ,其中 d ( x , y ) ?
? (x
i ?1
n
i
? yi )
2
(2)离散空间 ( X , d ) ，其中 d ( x , y ) ? ?
?1 ?0
x ? y x ? y
(3) C ? a , b ? 空 间 ( C ? a , b ? 表 示 闭 区 间 ? a , b ? 上 实 值 连 续 函 数 全 体 ), 其 中
d ( x , y ) ? m ax | x ( t ) ? y ( t ) |
a?t?b
二、 邻域 定义2： 称集合 { P | d ( P , P0 ) ? ? } 为 P0 的 ? 邻域，并记为 U ( P0 , ? ) . P0 称为邻域的中 心， ? 称为邻域的半径. 在不需要特别指出是什么样的半径时，也简称为 P0 的邻域，并记为 U ( P0 ) . 不难看出：点列 { Pm } 收敛于 P0 的充分必要条件是对任意 ? ? 0 ，存在 N ，当
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m ? N
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时有： Pm ? U ( P0 ) .
容易验证邻域具有下面的基本性质： 1)
P ? U (P ) ；
2) 对于 ? U 1 ( P ) 和 U 2 ( P ) ， 如果存在 P ? U 1 ( P ) ? U 2 ( P ) ，则存在
U 3 (P ) ? U 1 (P ) ? U 2 (P )
3) 对于 ? Q ? U ( P ) ，存在 U ( Q ) ? U ( P ) ； 4) 对于 ? Q
? P
，存在 U ( Q ) 和 U ( P ) 满足 U ( Q ) ? U ( P )
??
定义3：
两个非空的点集 A , B 间的距离定义为
d ? A, B ? ?
P ? A ,Q ? B
in f
d ? P,Q ?
注：1）如果 A , B 中至少有一个是空集，则规定 d ? A , B ? ? 0 ； 2）若 B ? ? X ? ，则记
d ? A, B ? ? d ? A, X
?
3）若 A ? B ? ? ，则 d ? A , B ? ? 0 。 定义4： 一个非空的点集 E 的直径定义为：
? ? E ? ? su p d ? P , Q ?
P ,Q ? E
注：1）当 E ? ? 时，规定 ? ? ? ? ? 0 。 2） ? ? E ? ? 0 ? E 至多只有一个元素。 3） ? ? E ? ? ? ? ，则称 E 为有界集。 定义5：
?? x , x
1
2
, ? , x n ? : a i ? x i ? bi , i ? 1, 2, ? , n ? , ? , x n ? : a i ? x i ? bi , i ? 1, 2, ? , n ? , ? , x n ? : a i ? x i ? bi , i ? 1, 2, ? , n ?
-------（n维）开区间。 -------（n维）闭区间。 -------（n维）左开右闭区间。
?? x , x
1
2
?? x , x
1
2
通称为区间，记为 I
b i ? a i 为区间 I
的第i个“边长” ，
I ?
? (b
i ?1
n
i
?a )
i
为区间 I 的“体积” ，
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? 0时 ， a ? ? ? ? ? a ? ?
注：1) 这里约定 0 ? ? ? ? ? 0 ? 0 ，当 a
.
2) R 1 中的区间体积即区间的长度，R 2 中的区间体积即矩形面积＝长×宽，R 3 中的区 间体积即长方体体积＝长×宽×高，因此规定 R n 中的区间体积＝ n 个边长的乘积，既是合 理的又是自然.
第二章
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§ 2、聚点、内点、界点
教学目的 1、深刻理解内点、外点、界点、聚点、孤立点的概念，弄清它们的区别与联系. 2、 理解并掌握开核、 导集、 闭包、 边界及孤立点集等概念， 对一个已知的点集 E ， 会求这些相关的点集. 3、了解 Bolzano--Weierstrass 定理. 本节要点 内点、外点、界点、聚点、孤立点及开核、导集、闭包、边界及孤立点集等概 念. 本节难点 对一个已知的点集 E ，求这些相关的点集. 一、 欧氏空间中各类点的定义 （1） P0 为 E 的内点： ? ?
? 0, 使得 U ( P0 , ? ) ? E
，
?
E 的全体内点组成的集合，称为 E 的开核，记为 E （2） P0 为 E 的外点： ? ?
? 0, 使得 U ( P0 , ? ) ? E ? ? ? 0, 有 U ( P0 , ? ) ? E ? ?
， E 的外点的全体记为 E c . 且 U ( P0 , ? ) ?
E
c
（3） P0 为 E 的边界点： ? ?
? ?
，
E 的全体边界点组成的集合，称为 E 的边界，记为 ? E （4） P0 为 E 的聚点： ? ?
E
? 0, 有 U ( P0 , ? ) ? ( E ? { p 0 } ) ? ?
'
，
的聚点的全体称为 E 的导集，记为 E
（5） P0 为 E 的孤立点： ? ?
? 0, 使得 U ( P0 , ? ) ? E ? { p 0 }
（6） E ? E ? 称为 E 的闭包，记为 E
E ? E ? E ? ? { x : 对 ? U ( x ), U ( x ) ? E ? ? } ? E ? ? E ? E ? ? E ? E ? ? { E 的 孤 立 点 }
?
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由定义可知 E
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注： (1) 聚点、边界点不一定属于 E ，内点、孤立点一定属于 E .
? E ? {E
'
的孤立点全体 } ? E ' ? E ? E ? ? E
(2) E 的边界点不是聚点就是孤立点。 (3) 如果 E ? ? , E ? R n ，则 ? E ? ? 。 例 1： （1）令 E （2）令 E
?Q
， 则 E ? E ' ? ?E ? R ， E ?
??
1 ? 1 1 ? ? ?1, , , ? , ? ? ,则 E ' ? {0} k ? 2 3 ?
对一切
1 k
( k ? 1, 2, 3, ? ) 均为 E
的孤立点
二、 聚点的等价定义 定理1 下面三个陈述是等价的： （1） P0 ? E ' ； （2）对 ? ? ? 0 ， ? U ( P0 , ? ) ? ? P0 ? ? ? E ? ?
（3） E 中有各项互异的点列 ? Pk ? ? Pk ? P0 , k ? 1, 2, 3, ? ? ，使 Pk ? P0 ? k ? ? ? 证明 （1） ? （2）是显然的． （2） ? （3）：因为 ? U ? P0 ,1 ? ? { P0 } ? ? E ? ? ，取 P1 ? ? U ? P0 ,1 ? ? { P0 } ? ? E ，则
P1 ? E
且 P1 ? P0 .令 ? 1
1? ? ? m in ? d ? P1 , P0 ? , ? 2? ?
，则 U ? P0 , ? 1 ? 中至少有一点 P2 ? E 且
1? ? P2 ? P0 ， P2 ? P1 .令 ? 2 ? m in ? d ? P2 , P0 ? , ? ，则 U ? P0 , ? 2 3? ?
? 中至少有一点 P3 ? E 且
P3 ? Pi ? i ? 0,1, 2 ?
.这样继续下去，便得到点列 ? Pk ? 且满足要求.
（3）? （1） ? ? ? 0 ，存在自然数 k 0 ，当 k ? k 0 时，有 Pk ? U ? P0 , ? ? ，即 U ? P0 , ? ? ? E 为 ： 无限集，故 P0 ? E ' . 三、 开核、边界、导集之间的关系 定理2 设A ? B ，则 A ' ?
B '， A ? B
0 0
，A
? B
．
定理 3 ? A ? B ? ' ? A '? B ' ， A ? 证明： （1） 因为 A
? A? B
B ? A? B
，B
? A? B
，由定理 2 知，A ' ? ? A ? B ? ' ，B ' ? ? A ? B ? '
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从而 A '? B ' ? ? A ? B ? ' .另一方面，任取 P ? ? A ? B ? ' ，若 P ? A '? B ' ，则 P ? A ' 且
P ? B ' .于是 ? ? 1 ? 0 ，使
?U ? P , ? ? ? ? P ? ? ?
1
A ??
，
?? 2 ? 0
，使
?U ? P , ? ? ? ? P ? ? ? B
2
? ?
，
取 ? ? m in ?? 1 , ? 2 ? ，则
?U ? P , ? ? ? ? P ? ? ? ? A ? B ?
? ? ?U ?
? P , ? ? ? ? P? ? ?
A ? ? ? ?U ? ?
? P , ? ? ? ? P? ? ?
B? ? ? ?
这说明 P ? ? A ? B ? ' ，这与 P ? ? A ? B ? ' 矛盾.所以 P ? 综合以上两个方面，即有 ? A ? B ? ' ? A '? B ' .
A '? B ' ，即 ? A ? B ? ' ? A '? B '
（2） A ? B ? ? A ? B ? ? ? A ? B ? ' ? ? A ? B ? ? ? A '? B ' ? ? ? A ? A ' ? ? ? B ? B ' ?
? A? B
.证毕
定理 4 （Bolzano-Weierstrass 定理） R n 中的有界点列必有收敛子列．（证略）
第二章
点集 §3、开集、闭集、完备集
教学目的 1、掌握开集、闭集和完备集的概念、性质及相关定理（对偶性定理及运算方 面的定理）. 2、理解 Heine--Borel 有限覆盖定理. 本节要点 开集、闭集和完备集的概念、性质及相关定理. 本节难点 Heine--Borel 有限覆盖定理. 一、开集、闭集的定义 若 E 0 ? E ,则称 E 为开集（ E 中每个点都为内点) 若E
? E
,则称 E 为闭集（与 E 紧挨的点不跑到 E 外）
? E ? E ? E ? {E
' '
注：由于 E 说明：(1)
的孤立点全体} ，故 E
? E
等价于 E ' ? E
E
是开集 ? E ? E ?
（ E ? ? E 显然）
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(2)
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E
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? E
是闭集， ? E ' ? E 或 E
（E
? E
显然）
例 1：开区间 ( a , b ) 为开集 证明： 任取 x ? ( a , b ) 取 ? ? m in{ x ? a , x ? b } ,则 U ( x , ? ) 故 ( a , b ) 是开集。 例 2：闭区间 [ a , b ] 为闭集. 证明：任取 x ? [ a , b ] c ,取 ? ? m in{ x ? a , x ? b } ,则 U ( x , ? ) ? [ a , b ] c , 从而 [ a , b ] 的接触点都在 [ a , b ] 内，从而 [ a , b ] 是闭集。 注：闭集为对极限运算封闭的点集. 即： A 为闭集当且仅当 A 中的任意收敛点列收 敛于 A 中的点.
? ( a , b ) 从而 x
是 ( a , b ) 的内点，
定理 1
对任何 E ? R n ， E ? 是开集， E ' 和 E 都是闭集.
证明： （1） E ? 是开集.只要证 E ? ? ( E ? ) ? 任取 x ?
E
?
，由内点的定义知 ? ?
? 0, 使得 U ( x , ? ) ? E
. ，从而 y 为 E 的内点，从
'
任取 y ? U ( x , ? ) ，取 ?
' ? ? ? d ( x , y ) ， 则 U ( y , ? ') ? U ( x , ? ) ? E
而 U ( x , ? ) ? E ? ，所以 x 为 E ? 的内点，即 x ? ( E ? ) ? ，从 而 E ? ? ( E ? ) ? ， 即 E ? 为 开 集 .（2） E 是闭集。只要证 ? E ' ? 任 取
x ? ? E '?
' '
? E'
， 由 聚 点 的 定 义 知 ? ? ? 0, 有 U ( x , ? ) ? ( E '? { x}) ? ? ， 取 ，有 x ' ? E ' ， （当 ?
' ? m in{? ? d ( x , x '), d ( x , x ')} 时， ? { x }) ? ?
x ' ? U ( x , ? ) ? ( E '? { x })
有 x ? U ( x ' ,? ' ) ? U ( x,? ) ） ，从而 U ( x , ? ) ? ( E 从而 ? E ' ?
'
，即 x 为 E 的聚点，
? E '。
( E ? E ') ' ? E '? ( E ') ' ? E '? E ' ? E ' ? E
利用 ( E ) ' ?
可得 E 为闭集.
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注： E ? 为含于 E 内的最大开集。
二、开集与闭集的对偶性
a
） ( E )c ? ( E c )?
(E ) ? (E )
c
?
c
b)
若 E 为开集，则 E c 为闭集; 若 E 为闭集，则 E c 为开集。
三、开集的性质 1） 空集， R n 为开集; 2） 任意多个开集之并仍为开集； 3) 有限个开集之交仍为开集。 注：(1) 无限多个开集的交不一定为开集，如： E n ? (0,1 / n ), (2) R n 中只有空集和 R n 既开又闭，存在大量既不开又不闭的集合，如： E
? [0,1)
四、 闭集的性质 1）空集， R n 为闭集； 2）任意多个闭集之交仍为闭集；
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3) 有限个闭集之并仍为闭集。 注：无限多个闭集的并不一定为闭集，如： E n ? [0,1 ? 1 / n ] 说明：不仅 R n 中开集具有以上三性质，一般距离空间也有此性质，在拓扑空间中以上三 性质则是描述开集概念的三公理.
五、 R 中有关紧性的两个结论 Heine-Borel 有限覆盖定理 设 F 为有界闭集，若开集簇 {U i : i ? I } 覆盖 F （ 即 F 在有限个开集 U 1 , U 2 , ? , U n ,它同样覆盖 F . Bolzano-Weierstrass 定理：若 E 是 R n 中的一个有界的无限集，则 E 至少有一个聚点. 点列 ? a1 , a 2 , a 3 , ? ? ，则 {U i : i ? I } ? ?Ui）
i? I
中存
a1 ? （ a1 1 , a1 2 , a1 3 , a1 4， , a1 n ） ? a 2 =（ a 2 1 , a 2 2 , a 2 3 , a 2 4 ， , a 2 n ） ? a 3 =（ a 3 1 , a 3 2 , a 3 3 , a 3 4 ， , a 3 n ?
）
? ?
? ? ?
?
注：对无限维空间不一定成立。
六、完备集
定义 1
设 E ? R n ，如果 E ? E ' ，称 E 是自密集.
注： （1）如果集合中的每个点都是这个集合的聚点，则这个集合是自密集. (2) 没有孤立点的集合是自密集.
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定义 2
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设 E ? R n ，如果 E ? E ' ，则称 E 为完备集或完全集.
注：完备集是自密闭集，也就是没有孤立点的闭集.
第二章 点集
§4 直线上的开集、闭集及完备集的构造
教学目的 介绍直线上的开集，闭集及完备集构造. 本节要点 直线上开集构造定理尤为重要，由它演绎出闭集，完备集构造 定理. 本节难点 直线上开集构造定理. 本节所讨论的点集都是 R 1 的子集． 一、直线上的开集、闭集的构造 定义 构成区间． 定理：直线上的任一非空开集都可唯一地表示成有限个或可数个互不相交的开区间 的并。 设 G 是开集，若非空开区间 (? , ? )
? G
，且 ? , ?
?G
，就称 (? , ? ) 是 G 的一个
直线上的闭集或是全直线，或是从直线上挖去有限个或可数个互不相交的开区间所 得之集.
注 (1)直线上的闭集的孤立点必是其余区间的某两个相邻开区间的公共端点;
但并不意味无孤立点的闭集定为互不相交的闭区间之并。 (2) R n 中的闭集一般不能表示成至多可数个互不相交的开区间之并，但总可表示成 至多可数个互不相交的半开半闭区间之并.
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第二章
点集
§5
Cantor 三分集的构造
对 [0,1] 区间三等分，去掉中间一个开区间，然后对留下的两个闭区间三等分，各自 去掉中间一个开区间，此过程一直进行下去，最后留下的点即为 Cantor 集. 1． 定义：令 G ? ? I (i n )
n, j
第n 次 1 2
? n ?
去掉的开区间
留下的闭区间
I (1)
I (2)
i
i
i ?1
i ? 1, 2
Ii
(1)
i ? 1, 2
Ii
(2)
i ? 1, 2, ? 2
2
?
I (n)
i
?
i ? 1, 2, ? 2
n ?1
Ii
(n)
i ? 1, 2, ? 2
n
?
?
称 P ? [0,1] ? G ? [0,1] ? G c 为 Cantor 集. Cantor 集的性质 1) 分割点一定在 Cantor 集中 Cantor 集 P ? [0,1] ? G ? [0,1] ? G c 为闭集, G ? ? I (i n )
n ,i
1
2)
P
的“长度”为 0，去掉的区间长度和
?3
n ?1
?
1
n
?2
n ?1
?
3 1? 2 3
?1
注：第 n 次共去掉 2 n ? 1 个长为 1 / 3n 的开区间 3)
P
没有内点
证明：对任意 x ? P , x 必含在“去掉手续进行到第 n 次”时留下的 2 n 个长为 1 / 3n 的互 不相交的某个闭区间中 I i( n ) .
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1 3
n
用
(n)
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? U ( x, ? )
? ? ? 0, 当
? ?时 ， 有 Ii
,但由 Cantor 集的作法知，我们要对继续三等分
去掉中间一个开区间，从而 U ( x , ? ) 内至少有一点不属于 P ，所以 x 不可能是 P 的内点。 4)
P
中的点全为聚点,从而没有孤立点.
P
为完备集
证明：对任意 x ? P ，只要证： ? ? ? 0, 有 U ( x , ? ) ? ( P ? { x }) ? ? , 由 Cantor 集的作法知 ? n , ? ?
1 3
n
, 及 某 个 i， 使 U ( x , ? ) ? I i
(n)
,而 I i( n ) 的两个端点定在 P 中，从
而 x 为 P 的聚点，当然不为孤立点。 5)
P
的势为 ?
（利用二进制，三进制证明）
证明思路：把 [0,1] 区间中的点都写成三进制小数，则 Cantor 集的作法中去掉的点为 小数位出现 1 的点的全体，从而 Cantor 集为小数位只是 0,2 的点的全体，作对应 （三进制数） 0 .a1 a 2 a 3 ? ? 0 .
a1 a 2 a 3 2 2 2 ?
（二进制数）
说明：三等分的端点有必要特殊考虑，因为它有两种表示，如 0.1000000… = 0.0222222… （三进制小数） 0.2000000… = 0.1222222… 注:Cantor 集中除了分割点外,还有大量其他点.
练习题
1 设 E 为 Cantor 集的余集的构成区间的中点所成之集，求 E ? . 2 证明用十进位小数表示 [0,1] 中的数时，其中用不着数字 6 的一切数成为完备集. 3 证明如果闭集 A 不含任何开区间，则 A 必是疏朗集. 4 疏朗集的余集是否一定为稠密集？
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