6 毕业论文定稿
本科毕业论文（设计）
( 2016 届 )
题目： GPS高程拟合常见方法的对比分析
二级学院：资源环境学院
专业：测绘工程
学生姓名：吴健学号：120714123
指导教师：武玲玲职称（学位）：助教（硕士）合作导师：职称（学位）：
完成时间：2016 年 5 月 30 日
池州学院教务处制
学位论文原创性声明
本人所提交的学位论文，是在指导老师指导下独立完成的研究成果。本人在论文写作中参考的其他个人或集体的研究成果，均在文中以明确方式标明。本人依法享有和承担由此论文而产生的权利和责任。
声明人（签名）：
年月日
目录
摘要.......................................................................................................................................... I Abstract ................................................................................................................................... II 1 绪论 (1)
1.1研究背景 (1)
1.2研究现状 (1)
1.3研究内容 (2)
2 GPS及高程系统的介绍 (3)
2.1 GPS系统介绍 (3)
2.2大地高程系统 (3)
2.3正常高系统 (3)
2.4大地高和正常高的转换 (3)
3 GPS高程拟合的方法 (4)
3.1 曲线拟合法 (4)
3.2 曲面拟合法 (4)
3.2.1 垂直平移法 (4)
3.2.2 多次项曲面拟合法 (5)
3.2.3 多面函数拟合法 (5)
3.3最小二乘配置法 (5)
4 各拟合方法精度的分析 (7)
4.1内符合精度和外符合精度 (7)
4.2相对精度评定的方法 (7)
5 实例分析 (9)
5.1收集数据 (9)
5.2计算精度 (11)
5.3精度比较 (12)
6 结论 (13)
参考文献 (14)
致谢 (15)
全球定位系统测量定位技术可以得到高精度的平面位置和大地高差，但在实际应用中,地面点的高程常采用正常高高程系统,因此需将GPS大地高转换成正常高。本文对常用GPS高程拟合方法的拟合精度进行对比实验研究,并在此基础上进行综合运用GPS水准方法的试验,以提高拟合精度从GPS高程测量应用问题入手简述了GPS高程拟合的原理，介绍了曲面拟合法、最小二乘配置拟合法和基于曲线拟合法3种高程拟合方法，并通过某地区GPS水准点数据进行了实验比较，得出了一些有益的经验结论。
关键词：GPS高程拟合；曲面拟合；最小二乘配置拟合法；曲线拟合法
Global positioning system (GPS) measurement positioning technology can get high accuracy plane position and geodetic height difference, but in practice, the ground elevation Often USES the normal high elevation system, therefore need to convert GPS geodetic to normal. In this paper, the fitting precision of GPS height fitting method is commonly used to compare the experimental research, and on this basis for the experiment of comprehensive use of GPS leveling method, in order to improve the fitting accuracy from the GPS height measurement problem of applications, this paper expounds the principle of GPS height fitting, this paper introduces the curved surface fitting method, least square fitting method and three elevation fitting methods based on curve fitting method, and through the GPS leveling points in a given area are compared, and the experimental data obtained some beneficial experience conclusion.
Key Words：The GPS elevation fitting; Curved surface fitting; The least squares fitting configuration Curve fitting
1 绪论
1.1研究背景
随着GPS测量技术的高速发展，GPS的应用也在不断的深入我们的身边，GPS技
术可以给我们的交通，建筑，海洋勘探，军事应用乃至生活都带来了极大的方便。
但GPS高程测量却并未得到广泛的应用，主要是因为GPS高程测量所到的是建立在WGS-84高程坐标系上的大地高H，但我们其他测量应用的大多高程数据是似大地水准面上的正常高H，GPS高程测量可以得到厘米级精度的大地高，而GPS高程测量的大地高在转换为正常高时就需要利用GPS高程拟合测出正确的高程异常加入到我们所测的大地高H中，从而计算出r H（正常高），便于其他测量需要的高精度的数据。
所以GPS拟合方法的应用是我们更好的使用GPS来方便我们对于家园的建设和方便我们的生活必要的因素。而不同或相同的情况下使用正确的拟合方法十分的重要，因为在一定的情况下选择正确的拟合方法可以更简单的得出精确的拟合结果，而选择了错误的拟合方法不仅可能会事倍功半，更可能影响最后数据的准确性，造成更巨大的损失。因此了解GPS拟合的几种基本方法有利于我们更好的使用正确的方法来拟合相对应的
情况，从而减少不必要的付出和损失。
1.2研究现状
当GPS刚进入国内时，很长时间都没有走进我们的身边，因为GPS所利用的是WGS-84系统中的大地高，而我国长期使用的一直是基于似大地水准面的正常高，因此测绘学者们通过研究大地高与正常高之间的关系得出了一套套大地高转换成正常高的方法，起初这些方法并不成熟，但随着技术的成熟，学者们总结了经验与知识得出了完整的转换方法，可以保证转换结果与实际数值的差值几乎可以忽略不计，这些方法便是GPS高程拟合的原始模型，随着拟合方法的不断使用，拟合的方法也越来越完美，知道现在有了一整套完善的拟合方法，几乎所有的条件下都能找到对应的拟合方法将大地高转换为正常高。其中曲面拟合法、曲线拟合法、和最小二乘配置法的应用最为广泛。当然拟合方法还是有着很大的探索空间，如拟合方法的融错性，以及拟合精度的提升都还有提升的余地。在这方面根据前人作出的研究分析和发展，在本文中做出相应的具有发展性的论述。本文笔者通过对前人的论述的总结与归纳，对GPS的高程拟合的方法进行了系统性的论述，对多种GPS高程拟合的方法进行对比分析，从而得出GPS高程拟合的每种方法的具体性认识。所以说现阶段国内和国外的主要研究现状就是利用对不同种的GPS高程拟合方法的探索与研究，然后得出相应的结论和应对措施。所以对于我们来说在GPS高程拟合方法这一方面还有很大的探索的空间。
1.3研究内容
在研究GPS高程拟合方法方面，每种方法都有着各自的特点。所以说，在进行相关的操作过程中为了适应不同种的要求，选择最佳的高程拟合方法。选择较好的高程拟合方法，对后续的工作也有着很大的影响。
在本文首先对GPS高程拟合方法进行论述。然后在前人的研究基础上，总体的对GPS高程拟合方法分析总结。全文共分成六个章节，具体包括：
第一章“绪论”主要叙述了GPS高程拟合方法在现阶段的应用的现状，以及在现阶段GPS高程拟合方法的实际的情况。
第二章“GPS及高程系统的介绍”主要叙述了GPS及高程系统的中用到的一些基本概念。对我们目前所采用的GPS及高程系统的介绍做出简要的概述，对我们现阶段所采用的GPS及高程系统做出系统的总结，最后根据理论进行实验数据分析。
第三章“GPS高程拟合的方法”主要论述了GPS高程拟合的方法的分类以及各种GPS高程拟合方法的基本原理。并且对每种GPS高程拟合的方法进行系统性的分析。并分析各种方法的应用范围，针对其产生的来源，逐个提出最优化的GPS高程拟合的方法。
第四章“各拟合方法精度的分析”主要论述了对各种GPS高程拟合的方法的精度分析。并且对每种GPS高程拟合的方法的精度分析，对多种GPS高程拟合的方法进行比较，对每种GPS高程拟合的方法逐个分析。
第五章“实例分析”，利用得来的数据对其进行数据处理，根据其处理的结果判断其优缺点。对数据处理的结果进行分析，从而得出怎样才能更好地选择最合适的GPS 高程拟合的方法。
第六章“结论”本章主要对本文所提出的GPS高程拟合的方法进行总结得出结论，并简要的概括出在GPS高程拟合的方法中要注意一些基本事项。
2 GPS 及高程系统的介绍
2.1 GPS 系统介绍
GPS 全称Global Positioning System ，是指利用GPS 的卫星定位，在全球范围内进行实时的定位导航的系统，即全球卫星定位系统。
它由28颗人造卫星组成，其中4颗起备用作用，另外24颗则发布于6条交线互成60度角的轨道上，距离地面的平均距离约为两万千米，综合精度可达到厘米级和毫米级，但民用精度只开放到十米的精度范围。 GPS 系统由三个部分组成：地面控制部分，空间部分和用户装置部分组成。
2.2大地高程系统
大地高程系统是基准面为椭球面的高程系统。
某点的大地高是指由该点到参考椭球面的法线距离。大地高一般用H 表示，用GPS 可以直接测得测点在WGS-84系统的大地高。
2.3正常高系统
正常高系统是基准面为似大地水准面的高程系统，则正常高是指某点沿着铅垂线方向到似大地水准面的距离，一般记作r H 。
2.4大地高和正常高的转换
图1 正常高与大地高的关系图
2.5大地高和正常高的转换
由GPS 测得点的大地高 H 是以椭球面( WGS-84)起算,但在实际应用中,地面点的高程常采用正(常)高高程系统，其正常高r H 是以似大地水准面起算的(图1),其中表示似大地水准面至椭球面的高差,叫高程异常ζ,N 表示大地水准面至椭球面的高差,叫大地水准面差距。高程异常是指似大地水准面到参考椭球面之间的距离，记作ζ。则
ζ=-r H H ，则ζ+=r H H 。
ζ
地表面
似大地水准面 参考椭球面
p
r
H H
3 GPS 高程拟合的方法
3.1 曲线拟合法
当GPS 点是以线状布设时，而且沿线似大地水准面是一条光滑连续的曲线，可以根据水准重合点的平面坐标和高程异常拟合出线方向上的似大地水准面曲线，求出插值点的高程异常。
若将坐标系转换，使得x 坐标方向与测线方向重合，y 坐标方向与测线方向垂直，则可以设函数ζ（高程异常），与x 之间存在下列关系式。
i m m i i i x a x a x a x a a x m +++=+33221000)(ζ （1） 在min 2=∑i R 的条件下由已知点高差的条件来解出i a ，来求出各点的ζ（高程异常），从而获得点的r H （正常高）。
3.2 曲面拟合法
这是目前应用较为广泛的一种拟合方法 它的主要优点是精度较高, 能在多种地形情况下使用 ,但是需要采用较多的已知点来进行拟合。当GPS 点的分布形成一定的区域面时，待定点的正常高可以由数学曲面拟合的方法求出。由已知点的平面坐标y x 、，以及已知点的ζ（高程异常），通过数据拟合法拟合出测区的似大地水准面，内插待测点的ζ（高程异常），从而得到待测点的正常高。
常见的曲面拟合法主要有垂直平移法、二次曲面拟合法、三次曲面拟合法、曲面样条拟合法、移动曲面法、地形改正法、加权平均法、多面函数拟合法、平面相关拟合法、BP 神经网络法、平面拟合法及综合拟合方法等，这里就垂直平移法、多次项曲面拟合法、多面函数拟合法进行介绍。
3.2.1 垂直平移法
垂直平移法的原理是利用测区其他已知GPS 水准点求出测区的平均高程异常ζ，然后直接代入待求点的大地高推求出待求点的正常高，原理如下： 由 ∑=-=n
i i i h H n 1
)
()1(ζ （2）
n 为测区已知点的数量，i h 为正常高，i H 为大地高。求出测区平均高程异常。然后
直接将待求点的大地高代入公式 ζ-=i i H h 即可求出待求点的正常高i h 。垂直平移法的原理虽然十分简单，甚至一个已知GPS 水准点也可以求出测区的高程异常，但是GPS 水准点的数量和位置的选取决定了待求点正常高的准确性。
3.2.2 多次项曲面拟合法
当GPS 测点的分布为区域面分布时，一般选用此种方法，设GPS 点y x ,的高程异常为ζ，则εζ+=),(y x f ，其中ε误差值，),(y x f 为高程异常ζ的趋势值。
则),(y x f 与平面坐标存在以下关系i i i i i i y x a y a x a y a x a a xy f 52423210)(+++++= 其中54321,,,,a a a a a 为待定参数，则有矩阵εζ
+=XB
????
???
???????=
??
????
??????=????????????=????????????= 2
2222111212121111,,,2n n n n n n x y x x y x x y x X a a a B εεεεζζζζ （3）
在min 2=∑ε时，可得到各i a 的数值，代入上式，解出待求点的ζ，计算出待求点
的r H 即可。
3.2.3 多面函数拟合法
1971年美国的哈迪（Hardy ）教授提出了多面函数拟合法，并建议将此法用于拟合重力异常、大地水准面差距、垂直偏差等大地测量问题。它的基本思想是任何规则或不规则的数学表面和连续曲面，都可以由规则数学面来叠加逼近。具体可以理解为以单个数据点为基础建立一个个曲面，然后将这些曲面以一定的规则比例叠加为一个连续的可以通过这些数据点的完整曲面。
则存在函数)i i y x y x Q 、、、（,为参与插值计算的简单数学面，即为y x 、的二次核函数，其中y x 、为已知点坐标，i i y x ,为待求点坐标，则点的ζ有以下表达式，
),,(,1
i i k
i i y x y x Q K ∑==ζ，其中i K 为待定系数，p i i i y y x x y x y x Q ])()[(),,,(22δ+-+-=，其中δ为光滑系数,P 为非零实数，一般为1/2或-1/2，当已知点的数目和待求点的数目相同时，则：
??
??
?
???????????????==-n nn n n n np p p p p Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q ζζζζ 12111211211),,,( （4） 其中),,,(j i ij y x y x Q Q =
当已知点数目少于待求点数目时，则：
ζζT T p p Q Q Q Q 1)(-= （5）
3.3最小二乘配置法
最小二乘配置法的基本模型是?++=CZ BX L .式中，?是观测信号中的噪声，L 是已知点的观测的高程异常向量，B 是已知常数组成的矩阵，X 是非随机变量（为拟合
函数所建立的倾向参数），S 是随机变量(观测到的滤波信号),1S 是待测点高程异常的观测信号。
T
X X Z B C ][
],0[1
== （6）
则上式也可以这样表达
?++=ES BX L , （7） L,X,1X ,?都是正态随机变量，设X ,Z ,V 是X,Z,?的最值或然值，则有：
V Z C X B L ++=,T ZZ LL C CD D D +=?? （8） 根据最小二乘法的补偿估计原则，代入惩罚项，min =+??T zz T C P Z P V ,按照函数极值的拉格朗日乘数法，可以组成新函数：
)(2L V Z C X B K C P Z V P V T T ZZ T
T -++-+=??φ （9） 将φ对X ,Z ，V 求一阶导数，并使其为零，可得
0=K B T ,K C Z P T ZZ =,V P K ??= （10）
假设单位权中误差10=δ有：
K D V ??=,K C D Z T ZZ =,代入V Z C X B L ++= （11） 则得到：
L D B B D B X LL T LL T 1
11)(---=,0=-+L K D X B LL ,
（12） 再代入K C D Z T ZZ =展开后可得到：
)(1
11X B L D D S LL S S -=-, （13）
则待求点的高程异常平差为：
11S X B L += （14）
4 各拟合方法精度的分析
4.1内符合精度和外符合精度
采用拟合法得到的点的正常高有必要通过精度评定确定数据的准确性。高程拟合的精度评定指标主要有两种标准：内符合精度和外符合精度。
内符合精度：根据n 个参加计算的已知点的高程异常值i ζ和计算后得到的高程异常值0i ζ用0i i i V ζζ-=求得残差值，按下式计算GPS 水准的内符合精度i V
1
-±
=n VV
V i 外符合精度：根据t 个参与检验的已知点的高程异常值i ζ和计算后得到的高程异常值0i ζ用01i i i V ζζ-=求得残差值，按下式计算GPS 水准的内符合精度μ
1
-±
=t VV
μ 两种精度都是根据点的统计角度考虑的，因此从一定的方面来看，可以认为它们是绝对精度评定，而垂直数据因为各自的参考基准不同，所以各自的偏差相对较大，因此精度评定的结果更具有客观性。当然两种精度的结果相差不大，一般我们直接取外符合精度来计算拟合结果的准确性，所以后面我们直接取外符合精度来计算各拟合方法的精度，又称拟合中误差，直接用M 来表示。
4.2相对精度评定的方法
GPS 相对精度评定的方法也分为两种：
（1）几何水准允许残差：是指几何水准测量的实测值与计算值之间的差值，一般来说差值只有在一定的范围内时，数据才可以被使用，若差值超过规范值，则数据舍弃不用或进行重测。
设检测点与已知点之间的距离为L ，则下表表示各级几何水准测量的允许残差所能达到的精度。
表1 水准测量允许残差表
等级 允许残差（mm ）
三等几何水准测量 L 12± 四等几何水准测量 L 20± 普通几何水准测量
L 30±
闭合差：在测量中，某个测量值与实际值之间存在的差值，在几个量构成几何方程条件时，因为这些量的观测误差所造成的差值，使得他们不能满足公式所形成的那一部分差值称为闭合差。则在GPS水准测量中，用GPS测量的点之间的正常高高差，与已知点所组成的高程导线所计算出的闭合差W与几何水准测量的允许残差进行比较来衡量各自的精度标准。
5 实例分析
5.1收集数据
本文采用广西北部湾经济区高精度GPS 网布设成果，采用了曲线拟合法，曲面拟合法，最小二乘配置法和多面函数拟合法来进行GPS 高程拟合的比较实验，点的分布如下图所示：
图2 GPS 水准点点位分布图
（其中三角点表示的是已知点，圆形点表示的是检测点）
D054
D055 D094
D093
D091 D092
D072
D036
D047
D056
D099
D098
D097
D096
D095 D122
D127
D090
D087
D088
表2 已知点与检测点数据及点的高程异常数据表
点名X坐标（x）
（m）
Y坐标（y）
（m）
高程异常（ ）
（mm）
已知点D099 132231 266075 -17.9566 D096 552207 732864 -18.3477 D093 125570 197450 -18.4130 D072 484226 383670 -18.9297 D088 584003 541094 -18.9791 D047 284986 105678 -19.1705 D055 655491 765529 -19.3842 D098 733666 764927 -17.9221 D090 592014 083213 -18.6755 D091 147941 731568 -18.7429
检测点D122 970001 601563 -17.5985 D094 772552 574528 -18.1522 D095 758779 904590 -18.5694 D127 426359 936428 -18.5169 D092 065298 307659 -18.7080 D087 724622 765523 -18.9071 D054 999105 377796 -19.2662 D056 973450 018585 -19.5606 D036 737049 206256 -19.1180 D097 599849 416579 -18.2151
5.2计算精度
通过最小二乘配置法，多次项曲面拟合法，多面函数拟合法三种拟合方法计算得到的各点的残差值如下表所示：
表3 三种拟合方法计算得到的各点的残差值表
点名多面函数拟
合法
二次项曲面
拟合法
最小二乘配
置法
二次曲线拟合
法
已知点D099 -0.0365 -0.0206 -0.0060 -0.0265 D096 0.0114 0.0020 0.0005 0.0096 D093 0.0256 0.0071 0.0112 0.0362 D072 -0.0304 -0.0169 -0.0058 -0.0254 D088 -0.0335 -0.0334 0.0137 0.0056 D047 0.0053 -0.0028 0.0029 -0.0065 D055 0.0117 0.0170 -0.0029 0.0183 D098 0.0230 0.0180 0.0055 0.0082 D090 -0.0241 -0.0257 -0.0200 -0.0256 D091 0.0336 0.0321 0.0200 0.0360
检测点D122 -0.0599 0.0610 0.0004 -0.0452 D094 0.0603 0.0594 0.0025 0.0321 D095 0.0030 -0.0006 0.0212 0.0156 D127 -0.0369 -0.0210 -0.0020 -0.0154 D092 0.0028 0.0015 0.0096 0.0032 D087 0.0101 0.0024 -0.0077 0.0142 D054 0.0388 0.0263 0.0087 0.0035 D056 -0.0328 -0.0340 -0.0111 0.0053 D036 -0.0368 -0.0288 0.0044 -0.0354 D097 -0.0207 -0.0217 -0.0053 0.0054
5.3精度比较
总结上表可得以下数据：
表4 精度分析表
拟合方法多面函数拟
合法
二次项曲面拟
合法
最小二乘配
置法
二次曲线拟合法
最大残值0.0335 -0.0334 0.0111 0.0282 最小残值0.0052 -0.0021 0.0003 0.0046
内符合精度
0256
.0
±
=
M0205
.0
±
=
M0091
.0
±
=
M
0236
.0
±
=
M
外符合精度
0329
.0
±
=
M0361
.0
±
=
M0093
.0
±
=
M
0313
.0
±
=
M
由表中数据可以看出多面函数拟合法和多次项曲面拟合法的最大残值和最小残值的绝对值都在3cm左右，而最小二乘配置法的最大残值的绝对值在1cm左右且最小残值的绝对值处于毫米级，而多面函数拟合法和多次项曲面拟合法的外符合精度相当，但多次项曲面拟合法的内符合精度略高于多面函数拟合法，而最小二乘配置法的内符合精度和外符合精度都远远低于多面函数拟合法和多次项曲面拟合法，则在本组数据中，使用最小二乘配置法得到的精度远远的高于多面函数拟合法和多次项曲面拟合法。
6 结论
在曲面拟合中，我们的数据虽然表明二次曲面拟合法比多面函数拟合法的内拟合精度略高，但不能忽视在一般条件下较高阶次的拟合精度更好，所以这不能表明阶次越高的拟合方法的结果就越精确，而外符合精度更能表明拟合结果准确的普遍性，所以在此我觉得相比起来多面函数拟合法的结果比多次项曲线拟合法更具有准确性。
最小二乘配置法从数学方面可以理解为是随机函数的逼近，它更能表现高程异常的趋势性和随机性，因此从理论上说它的结果更具有准确性，而此次试验的数据结果也证明了这一点。相对于其他方法垂直平移法最为简单，但他的局限性也太过明显，首先选点数量的多少决定了结果的精确程度，另外还需要考虑到随机性，例如山区选点时每一个独立点的高程异常都相差较大时则次方法的局限性更是完全暴露，当然在一般情况下他还是可取的。
GPS点呈线状分布时可采用曲线拟合法，但是当GPS点呈面状分布时则需要采用曲面拟合法，而且拟合的次数也不是越多越好，而是根据实际需要来决定拟合的次数。由于本次所选取的数据有限，因此并不能完全说明各种拟合方法的优劣，而且高程拟合的精度与选点的数量、质量、位置以及点位的分布也有着重要的关系，还有当数据存在粗差时，更会导致计算结果的错误。在测量中还是要根据实际的需要选择适合的拟合方法。
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致谢
本文是在武玲玲老师的耐心指导下才得以顺利完成，老师渊博的专业知识、严谨的教学及科学态度深深地感染着我，令我意识到尽管这只是篇本科毕业论文，但仍要本着科学、严谨、精益求精的精神来面对。从开始的选题、开题答辩到后来的修改和定稿，武玲玲老师都很有耐心的予以我学术上的指导和精神上的鼓励。在此谨向武玲玲老师致以真诚的谢意，感谢他对我的关怀和栽培。
此外，也要感谢大学中的各科老师，是他们给予我知识上的传授，令我可以在发展迅速这个社会有立足之地。还有相处了四年可爱的同学们，也要对你们说声谢谢，感谢你们的陪伴才令我这四年有更美好的回忆！
再次感谢武玲玲老师的悉心指导！