2015清华大学自主招生试题(含答案)
一、选择题 1.设复数z=cos
23π+isin 23
π，则2111-1z z +-=（ ）
(A)0 (B)1 (C)12 (D)3
2
2.设数列{}n a 为等差数列，p,q,k,l 为正整数，则“p+q>k+l ”是“p q k l a a a a +>+”的( )条件 (A)充分不必要 (B)必要不充分 (C)充要 (D)既不充分也不必要
3.设A 、B 是抛物线y=2
x 上两点，O 是坐标原点，若OA ⊥OB,则( )
(A)|OA|·|OB|≥2 (B)|OA|+|OB|≥(C)直线AB 过抛物线y=2
x 的焦点 (D)O 到直线AB 的距离小于等于1
4.设函数()f x 的定义域为(-1,1)，且满足：①()f x >0,x ∈(-1,0)；②()f x +()f y =(
)1x y
f xy
++，x 、y ∈(-1,1)，则()f x 为
(A)奇函数 (B)偶函数 (C)减函数 (D)有界函数
5.如图，已知直线y=kx+m 与曲线y=f (x)相切于两点，则F(x)=f (x)?kx 有（ ）
(A)2个极大值点 (B)3个极大值点 (C)2个极小值点 (D)3个极小值点 6.△ABC 的三边分别为a 、b 、c ．若c=2，∠C=
3
π
，且sinC+sin(B ?A)?2sin2A=0,则有（ ）
(A)b=2a (B)△ABC 的周长为△ABC (D)△ABC 7.设函数2
()(3)x
f x x e =-，则（ ）
(A)()f x 有极小值，但无最小值 (B) ()f x 有极大值，但无最大值 (C)若方程()f x =b 恰有一个实根，则b>
36e (D)若方程()f x =b 恰有三个不同实根，则0 6e 8.已知A={(x,y)∣222x y r +=}，B={(x,y)∣222()()x a y b r -+-=，已知A∩B={(11,x y ),(22,x y )}，则（ ） (A)0<2 2 a b +<22 r (B)1212()(y )0a x x b y -+-= (C)12x x +=a ，12y y +=b (D)2 2 a b +=1122ax by + 9.已知非负实数x,y,z 满足22244x y z +++2z=3，则5x+4y+3z 的最小值为（ ） (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 10.设数列{n a }的前n 项和为n S ，若对任意正整数n ，总存在正整数m ，使得n S =m a ，则（ ） （A ）{n a }可能为等差数列 （B ）{n a }可能为等比数列 （C ）{n a }的任意一项均可写成{n a }的两项之差(D)对任意正整数n ，总存在正整数m ，使得n a =m S 11.运动会上，有6名选手参加100米比赛，观众甲猜测：4道或5道的选手得第一名；观众乙猜测：3道的选手不可能得第一名；观众丙猜测：1,2,6道选手中的一位获得第一名；观众丁猜测：4,5,6道的选手都不可能获得第一名．比赛后发现没有并列名次，且甲、乙、丙、丁中只有1人猜对比赛结果，此人是（ ） (A)甲 (B)乙 (C)丙 (D)丁 12.长方体ABCD ?1111A B C D 中，AB=2，AD=A 1A =1，则A 到平面1A BD 的距离为（ ） (A) 13 (B)23 (C)2 (D)3 13.设不等式组||||2 2(1) x y y k x +≤?? +≤+?所表示的区域为D ，其面积为S ，则（ ） (A)若S=4，则k 的值唯一 (B)若S=1 2 ，则k 的值有2个 (C)若D 为三角形，则0 2 3 (D)若D 为五边形，则k>4 14.△ABC 的三边长是2,3,4，其外心为O ，则OA AB OB BC OC CA ?+?+?=（ ） (A)0 (B)?15 (C)? 212 (D)?29 2 15.设随机事件A 与B 互相独立，且P(B)=0.5，P(A ?B)=0.2，则（ ） (A)P(A)=0.4 (B)P(B ?A)=0.3 (C)P(AB)=0.2 (D)P(A+B)=0.9 16.过△ABC 的重心作直线将△ABC 分成两部分，则这两部分的面积之比的（ ） (A)最小值为 34 (B)最小值为45 (C)最大值为43 (D 最大值为54 17.从正15边形的顶点中选出3个构成钝角三角形，则不同的选法有（ ） (A)105种 (B)225种 (C)315种 (D)420种 18.已知存在实数r ，使得圆周2 2 2 x y r +=上恰好有n 个整点，则n 可以等于（ ） (A)4 (B)6 (C)8 (D)12 19.设复数z 满足2|z|≤|z ?1|，则（ ） (A)|z|的最大值为1 (B)|z|的最小值为 13 (C)z 的虚部的最大值为23 (D)z 的实部的最大值为1 3 20.设m,n 是大于零的实数，a =(mcos α,msin α)，b =(ncos β,nsin β)，其中α,β∈[0,2π)α,β∈ [0,2π)．定义向量12 a =(2 α 2 α ),12 b =(2 β 2 β )，记θ=α?β，则 （ ） (A)1 2 a ·12 a =a (B)112 2 a b ?=2 θ (C)112 2 22||44 a b mn θ -≥ (D)112 2 22||44 a b mn θ +≥ 21.设数列{n a }满足：1a =6，13 n n n a a n ++= ，则（ ） (A)?n ∈N ?,n a <3(1)n + (B)?n ∈N ?,n a ≠2015 (C)?n ∈N ?,n a 为完全平方数 (D)?n ∈N ?, n a 为完全立方数 22.在极坐标系中，下列方程表示的图形是椭圆的有（ ） （A ）ρ= 1cos sin θθ+ （B ）ρ=12sin θ+ （C ）ρ=12cos θ- （D ）ρ=1 12sin θ + 23.设函数2sin ()1x f x x x π=-+，则（ ） （A ）()f x ≤4 3 (B)|()f x |≤5|x| (C)曲线y=()f x 存在对称轴 (D)曲线y=()f x 存在对称中心 24.△ABC 的三边分别为a ,b,c ，若△ABC 为锐角三角形，则（ ） (A)sinA>cosB (B)tanA>cotB (C)222a b c +> (D)333 a b c +> 25.设函数()f x 的定义域是(?1,1)，若(0)f =(0)f '=1，则存在实数δ∈(0,1)，使得（ ） (A)()f x >0，x ∈(?δ,δ) (B)()f x 在(?δ,δ)上单调递增 (C)()f x >1，x ∈(0,δ) (D)()f x >1，x ∈(?δ,0) 26.在直角坐标系中，已知A(?1,0)，B(1,0)．若对于y 轴上的任意n 个不同的点k P (k=1,2,…,n)，总存在两个不同的点i P ,j P ，使得|sin ∠A i P B ?sin ∠A j P B|≤1 3 ，则n 的最小值为（ ） (A)3 (B)4 (C)5 (D)6 27.设非负实数x,y 满足2x+y=1，则的（ ） (A)最小值为 45 (B)最小值为25 (C)最大值为1 (D) 28.对于50个黑球和49个白球的任意排列（从左到右排成一行），则（ ） (A)存在一个黑球，它右侧的白球和黑球一样多 (B)存在一个白球，它右侧的白球和黑球一样多 (C)存在一个黑球，它右侧的白球比黑球少一个 (D)存在一个白球，它右侧的白球比黑球少一个 29.从1,2,3,4,5中挑出三个不同数字组成五位数，其中有两个数字各用两次，例如12231，则能得到的不同的五位数有（ ） (A)300个 (B)450个 (C)900个 (D)1800个 30.设曲线L 的方程为42242(22)(2)y x y x x +++-=0，则（ ） (A)L 是轴对称图形 (B)L 是中心对称图形 (C)L ?{(x,y)∣22x y +≤1} (D)L ?{(x,y)∣?12≤y ≤12 } ##Answer## 1.【解析】 2111-1z z +-=211-zz z zz z +-=11-z z z z +-=22cos sin 1332221-cos sin 2sin 333 i i i πππππ -+-- =2 12sin 2sin cos 3 33i π π π -? - 22cos()sin() 33sin ) 22i i ππππ -+-+ = cos0sin 0 2sin [cos()sin()] 366 i i πππ +-+- 77 )sin()]66i ππ-+- 1 sin )6622i i ππ++-=1，选B 2.【简解】 ()p q k l a a a a +-+=[(p+q)-(k+l)]d ，与公差d 的符号有关，选D 3.【解析】设A(211,x x ),B(222,x x ),OA OB ?=1212(1)x x x x +=0?21 1 x x =- 答案(A),||||OA OB ? = ≥=2，正确；答案(B),|OA|+|OB|≥ 正确；答案(C),直线AB 的斜率为22 2121 x x x x --=21x x +=111x x - 方 程为y-21x =(111x x - )(x-1x ),焦点(0,14)不满足方程，错误；答案(D)，原点到直线AB ：(11 1 x x -)x-y+1=0 的距离 ≤1，正确。选ABD 4.【解析】x=y=0?(0)f =0,y=-x ?()()f x f x -=-,()f x 为奇函数，(A)正确；()f x ≡0，(B)错误； 12x x <，1()f x -2()f x =1()f x +2()f x -=12121x x f x x ?? - ?-?? >0?1()f x >2()f x ?()f x ↓,(C)正确； ()f x =-tan 2 x π 满足已知条件，但无界，(D)错误。选A,C 5.【简解】将直线平移知：斜率为k 的直线，与曲线y=()f x 至多有五个公共点，其中在此直线先下方后上方的两个区间，先上方后下方的三个区间，故()F x 有三个极大值点，两个极小值点。选BC 6.【解析】2R= sin c C ?正确； 又sinC+sin(B-A)=sin(B+A)+sin(B-A)=2sinBcosA=2sin2A=4sinAcosA ?cosA=0或sinB=2sinA ?A=2 π 或 b=2a ; A= 2 π时，b=, a =,周长为2+，面积为；b=2a 时， 2c =222cos a b ab C +-?a 2 π,同样有周长为BCD 7.【简解】()f x '=(x+3)(x-1)x e ,3 6 )(3)f x f e =-=极大 （, )(1)-2f x f e ==极小（，作出其大致图象，如图 选BD 8.【解析】已知即半径相等的两圆⊙O:222x y r +=与⊙C:222()()x a y b r -+-=交于相异的两点 111(,)P x y 、222(,)P x y 。0<|OC|<2|r|?0<22 a b +<42r ,(A)错；四边形O 1P C 2P 是菱形?对角线OC 与12PP 垂直且平分，(B)(C)正确；22 a b +=1122ax by +?22221111()()a x b y x y -+-=+?11||||CP OP =，(D)正确。 总之，选BCD 9.【解析】关于z 的方程22224430z z x y +++-=有非负实数解， 0?22 3 4 x y +≤ , 设x=rcos θ,y=rsin θ,θ∈[0, 2π],r ∈ [0,2 ] d=r(5cos θ+4sin θ θ+arctan 5 4 -3 ≥ )-3,设a =（2,3），b ) d ≥2a b ?-3=2||||a b cos(,a b cos(,a b )-3,作图知 (,a b )最大值是b 与OY 夹角，此时d ≥-3=3。选C 10.【解析】答案(A)，常数列0,0,0,...满足要求；答案(B),公比q=1时因n 1a ≠1a ,结论假，q ≠1时， 1 11(1)1n m a q a q q --=-?111n m q q q --=-常数，也不可能；答案(C),1n n n a S S -=-=m t a a -,满足要求；答案 (D),n a =m S =t a ，并非对所有数列成立。选AC 11.【简解】答案甲乙丙不能保证只有一个正确，故选D 12.等体积法，选B 13.【解析】如图：不等式组表示过点P(-1,-2)的直线的下方与正方形ABCD 围成的面积图形 23 k>0时，S 单调增，梯形2P ABC 面积为 28 5 >4，故S=4只有一解，(A)正确；△1P AB 、△34P P D 的面积分别为45、1,都比12大，故再两个三角形内各存在一个围成面积为1 2 的直线，(B)正确；k<0时，围成的仍然是三角形，(C)错误；围成五边形，斜率大于直线PC 的斜率4，(D)正确。选ABD 14.【简解】取AB 的中点D,则OA AB ?=OA ×AB ×cos(π-∠OAB)=-AB ×(OA ×cos ∠OAB)=- 21 2 AB ,同理OB BC ? =212BC -，212OC CA CA ?=-，原式=222129 ()22 AB BC CA -++=- .选D 15.【简解】设P(AB)=x ，则P(A)=0.2+x ，根据P(AB)=P(A)P(B)有x=(0.2+x)×0.5?x=0.2;P(A)=0.4， (A)正确；P(B-A)=0.5-0.2=0.3,(B)正确；P(AB)=0.2，(C)正确；P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)=0.7,(D)错误。选ABC 16.【解析】设△ABC 的重心为G,面积为1，过点G 的直线与三角形边AB 、AC 分别相交于D 、E ，AD=xAB,AE=yAC,则有 1 2 AB ×ACsinA=1,如图 E D G B A 特别的x,y ∈{0,1}时，DE 为三角形的中线，此时分成两部分面积比值为1 当x,y ∈(0,1)时，△ADE 面积S= 12AD ×AEsinA=1 2 xAB ×yACsinA=xy,D 、G 、E 三点共线?存在实数λ，使得DG DE λ=?AG AD -=λ(AE AD -)?AG =(1-λ)AD +λAE =(1- λ)x AB +λy AC , 又 AG =13 AB +13AC ?1(1)3 1 3x y λλ?-=????=?? ，消去λ得到11x y +=3，因11x y +≥?23?S ≥ 49,等号成立当且仅当x=y=23?DE ∥BC,故S 最小值为49，1-S 的最大值为5 9；故两面积比值有最小值45，最大值5 4 。选BD 17.【解析】先看一个顶点处构成钝角的三角形个数，加设此点为A ，从A 逆时针方向的点依次记为 k A (k=1,2,3,…,7),顺时针方向的顶点依次记为k A -(k=1,2,3,…,7)，△n m A AA -要构成以A 为钝角的钝 角三角形，则n+m ≤7，有1+2+3+…+6=21个。于是共可构成15×21=315个钝角三角形。选C 18.【简解】正数点关于x 轴、y 轴对称，故一定是4的倍数。选ACD 19.【简解】设x=x+yi(x,y ∈R),代入化简得到22 14()3 9x y ++≤，表示以(-13,0)为圆心，以2 3 为半径的圆及其内部，根据图形，选ACD 20. 【解析】12 a ·12 a 是一个数值，不是向量，(A)错； 1122 a b ?=cos 2 2 α β sin 2 2 α β 2 αβ -2 θ ,(B)正确； 1 12 2 2||a b - =2)2 2 α β +2)2 2 α β -=m+n-2 cos 2 αβ -= 2θ≥ 2θ)=24 θ,(C)正确； 同理(D)正确 选BCD 21.【简解】 13n n a n a n ++= ,迭乘得到n a =(n+2)(n+1)n ；3(1)n a n <+?n(n+2)<2 (1)n +,(A)正确；2015=5×13×31，不可能是三个连续整数之积，(B)正确；三个连续整数积不可能为完全平方数和立方数，(C)(D) 错误。选AB 22.【简解】(A)去分母，化成直角坐标方程为x+y=1，表示直线；(B)为ρ= 1 2 11cos()22 πθ-+表示椭圆；(C) 为ρ=1 211cos 2θ-表示椭圆；(D)为ρ=112cos()2 πθ-+表示双曲线。选BC 23.【解析】()f x ≤43?g(x)=2 4443sin x x x π-+-≥0,1()=g()2 g x 极小值 =0,(A)正确；|()|f x ≤5|x|?|sin πx|≤|32 x x x -+|.作图象知成立,(B)正确；x=12 是其一条对称轴，(C)正确； ()()f a x f a x -++不可能为常数，故(D)错误。选ABC 24.【简解】A+B> 2π?A>2π-B ?sinA>sin(2π-B)=cosB,tanA>tan(2 π -B)=cotB,(A)(B)正确； 锐角三角形，一定有2 2 2 a b c +>，(C)正确；三角形三边长为0.5,0.9,1时，满足锐角三角形条件，但 330.50.90.854+=<1，(D)错误。总之，选ABC 25.【解析】根据导数定义，对任意ε>0,存在δ>0,当|x|<δ时，| ()(0) f x f x --1|<ε?x(1-ε)+1<()f x 26.【解析】将所有的|sin ∠A i P B ?sin ∠A j P B|，按从小到大排序，共有2 n C 个，其中最小者不大于 1 3 ，最大为2，于是2 13 n C ≥2,n 的最小值为4.选B 27.【解析】设x=rcos θ,y=rsin θ,θ∈[0,2 π].2x+y=1?r=12cos sin θθ+,x+=rcos θ +r= cos 12cos sin θθθ ++,记作T ；去分母得到Tsin θ+(2T-1)cos θ=1,sin(θ +arctan 21T T - )=1≤，解得T ≥45,等号成立当且仅当θ+arctan 21T T -=θ +arctan 34=2π，(A)正确；当θ=0时T=2，θ=2 π 时T=1，最大值为2，(C)正确。选AC 28.【简解】黑球先放好，放白球，选A 29.【解析】先从五个数字中，将这三个数字中选出来，有3 5C 种方法，如选了123；在确定不重复用的数字，有13C 种方法，如选3；对数字3安排有15A 种方法，余下的对数字1安排有24C 种方法，剩下的两位安排2；有35C 13C 15A 24 C =900.选C 30.【简解】解方程得到221y x =--，易知它关于两坐标轴及原点都对称，(A)(B)正确； 22x y +1≤1有≤x 但已知中无此条件，故(C)错误；设2x=tan θ,θ∈(-2π , 2 π),2 y =-21sec 4θ+sec θ-34,当sec θ=2时，2max y =14，-12≤y ≤12,(D)正确。选ABD 自主招生模拟试题--03 一、选择题(本大题共6小题,每小题3分,共18分) 1.设A 是整数集的一个非空子集,对于A k ∈,如果A k ?-1,且A k ?+1,那么称k 是A 的一个“孤立元”．给定}8,7,6,5,4,3,2,1{=S ,由S 的三个元素构成的所有集合中,不含“孤立元”的集合个数为【 】． A.5 B.6 C.7 D.8 2.若函数1463)(2 3 +++=x x x x f ,且1)(=a f ,19)(=b f ,则=+b a 【 】． A.2- B.0 C.1 D.2 3.如果一条直线与一个平面垂直,那么称此直线与平面构成一个“正交线面对”.在一个正方体中,由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是【 】． A.12 B.18 C.24 D.36 4.某化工厂打算投入一条新的生产线,但需要经环保部门审批同意方可投入生产．已知该生产线连续生产 n 年的累计产量为)12)(1(2 1 )(++=n n n n f 吨,但如果年产量超过150吨,将会给环境造成危害． 为保护环境,环保部门应给该厂这条生产线拟定最长的生产期限的年数为【 】． A.5 B.6 C.7 D.8 5.若ABC ?的内角A B C ,,所对的边,,a b c 成等比数列,则 sin cot cos sin cot cos A C A B C B ++的取值范围是【 】． A.(0,)+∞ B.51(0, )2+ C.5151(,)22-+ D.51 (,)2 -+∞ 6.若设集合}10,,2,1{ =A ,则满足“每个子集至少有2个元素,且每个子集中任意两个元素之差的绝对值均大于1.”的A 的子集个数为【 】． A.55 B.89 C.109 D.133 二、填空题(本大题共4小题,每小题3分,共12分) 7.函数424236131y x x x x x = --+--+的最大值为____________. 8.若函数x x a y sin )3cos (2 -=的最小值为3-,则实数a 的取值范围是____________. 2016年清华大学领军计划测试 物理学科 注意事项： 1.2016清华领军计划测试为机考，全卷共100分，考试时间与数学累积180分钟； 2.考题全部为不定项选择题，本试卷为回忆版本，故有些问题改编为填空题； 3.2016清华领军计划测试，物理共35题，本回忆版本共26题，供参考。 【1】友谊的小船说翻就翻，假如你不会游泳，就会随着小船一起沉入水底。从理论上来说，你和小船沉入水底后的水面相比于原来（） A.一定上升 B.一定下降 C.一定相等 D.条件不足，无法判断 【2】在光滑地面上，物块与弹簧相连作简谐运动，小车向右作匀速直线运动，则对于弹簧和物块组成的系统（填守恒或者不守恒），当以地面为参考系时，动量________，机械能________；当以小车为参考系时，动量________，机械能________。 【3】如图所示，光滑导轨上垂直放置两根质量为m、且有电阻的金属棒， 导轨宽处与窄轨间距比为2：1，平面有垂直纸面向的磁场。现给左边的杆一个 初速度 v，在系统稳定时，左杆仍在宽轨上右杆仍在窄轨上运动。则这个过程产生热量Q=________。 【4】空间有一水平向右的电场E，现有一带电量为q的小球以初速度为 v向 右上抛出，已知 3 3 mg E q =，求小球落地点距离抛出点的最远距离。 【5】现有一轻质绳拉动小球在水平面做句速圆周运动，如图所示，小球质量为m，速度为v，重力加速度为g，轻绳与竖直方向夹角为θ，求小球在运动半周时，绳对小球施加的冲量。 【6】如图所示，有a、b两个物体，a物体沿长L、倾角为θ、动摩擦因数μ=的斜面滑下后，在长为L的光滑水平面BC上运动；b从C点上方高为 0.5 4.5L处下落。二者同时释放，在C处相遇，则sinθ=________。 【7】在水平面，金属棒MN一角速度ω绕O点顺时针旋转，空间有竖直向 >，则下列说确的是（） 下的磁场，如图所示。已知MO NO A.M点电势高于N点 B.M点电势低于N点 C.若增大ωo，则MN点电势差增大 D.若增大B，则MN点电势差增大 2010年清华大学自主招生数学试题 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设复数2 1a i w i +??= ?+?? ，其中a 为实数.若w 的实部为2，则w 的虚部为（ ） A 、3 2- B 、12 - C 、 12 D 、 32 2. 设向量a ，b 满足1a b ==，a b m ?=，则a tb +（R t ∈）的最小值为（ ） A 、2 B C 、1 D 3. 如果平面α，β，直线m ，n ，点A ，B 满足：αβP ，m α?，n β?，A α∈，B β∈，且AB 与α 所成的角为4π，m AB ⊥，n 与AB 所成的角为3 π ，那么m 与n 所成角的大小为（ ） A 、3π B 、4π C 、6π D 、8 π 4. 在四棱锥V -ABCD 中，1B ，1D 分别为侧棱VB ，VD 的中点，则四面体11AB CD 的体积与四棱锥V -ABCD 的体积之比为（ ） A 、1:6 B 、1:5 C 、1:4 D 、1:3 5. 在ABC △中，三边长a ，b ，c 满足3a c b +=，则tan tan 22 A C 的值为（ ） A 、1 5 B 、14 C 、12 D 、 23 6. 如图，ABC △的两条高线AD ，BE 交于H ，其外接圆圆心为O ， 过O 作OF 垂直BC 于F ，OH 与AF 相交于G ．则OFG △与GAH △面积之比为（ ） A 、1:4 B 、1:3 C 、2:5 D 、1:2 7. 设()ax f x e =（0a >）.过点(),0P a 且平行于y 轴的直线与曲线C ：()y f x =的交点为Q ，曲线C 过点 Q 的切线交x 轴于点R ，则PQR △的面积的最小值是（ ） A 、1 B C 、2 e D 、2 4 e A E C O G H B D F 1.（2007清华） 对于集合2 M R ?（表示二维点集），称M 为开集，当且仅当0,0P M r ?∈?>，使得{}2 P R PP r M ∈?与集合{}(,)0,0x y x y ≥>?是否为开集，并证明你的结论。 2，（2009北大） 已知,cos cos 21x R a x b x ?∈+≥-恒成立，求max ()a b + 3，（2009清华） 已知,,0x y z >，a 、b 、c 是x 、y 、z 的一个排列。求证： 3a b c x y z ++≥。 4，（2006清华） 已知a ，b 为非负数，44M a b =+，a+b=1，求M 的最值。 5，（2008北大） 实数(1,2,i i a i b i ==满足123a a a b b b ++=++，122313122313a a a a a a bb b b bb ++=++，123123min(,,)min(,,)a a a b b b ≤。求证：12312m a x (,, )m a x (,,)a a a b b b ≤。 6，（2009清华） 试求出一个整系数多项式110()n n n n f x a x a x a --=+++…，使得()0f x =有一根为 7，（2009清华） x>0,y>0,x+y=1,n 为正整数，求证：222112n n n x y -+≥ 8，（2007北大） 已知22()5319653196f x x x x x =-++-+，求f(1)+f(2)+…＋f(50)。 9，（2006清华） 设正三角形1T 的边长为a ，1n T +是n T 的中点三角形，n A 为n T 除去1n T +后剩下三个三角形内 清华大学自主招生保送生 考试物理试题 The Standardization Office was revised on the afternoon of December 13, 2020 2009 年清华大学自主招生保送生测试 物理试题 考试时间：2009年1月2日上午9：00 说明：考试时间90 分钟，考生根据自己情况选题作答，满分300 分（数学物理化学各100分），综合优秀或单科突出给予A 的认定。 一．单项选择题 1.设理想气体经历一热力学过程，该过程满足 2 1pV 常量。则当气体体积从V1 变化到V2=2V1时，气体的温度从T1变化到____ 。 A 12T B 12T C 1T /2 D 2/1T 2. 两个热力学过程的PV 图如图所示，则两过程中_____。 A.均放热 B.均吸热 C.甲过程放热，乙过程吸热 D.甲过程吸热，乙过程放热 二．填空题 1一水平圆盘可绕通过其中心的固定竖直轴转动，盘上站着一个人.把人和圆盘取作系统，当此人在盘上随意走动时，若忽略轴的摩擦，此系统守恒量有___________ 3.如图，已知AB 间等效电阻与n 无关，则______x R R =。 4. 如图，一个理想单摆，摆长为L ，悬点下距离为a 处有一小钉子。则小球在左右两段振动时的振幅之比_______A A =左 右 。 ， 5. 英国在海拔200m 的峭壁上建了一个无线电收发站（发射塔高忽略不计），发出波长5m 的无线电波。当敌机距此站20km 时，此站接收到加强的无线电信号，反射信号的一束经海拔125m 处的反射。已知此反射海拔为所有加强信号的反射海拔中最小的，则下一个加强信号的反射海拔为_________。 6. 波长为200nm 时，遏止电压为。则波长为500nm 时，遏止电压为________。 C D 2010年北大自主招生试题（理科） 数学： 1.AB为正五边形边上的点，证明：AB最长为（根5+1）/2(25分) 2.AB为y=1-x^2上在y轴两侧的点，求过AB的切线与x轴围成面积的最小值。(25分) 3.向量OA与OB已知夹角，|OA|=1，|OB|=2，OP=tOA，OQ=（1-t）OB，|PQ|在t0是取得最小值，问当0 2019年清华大学自主招生数学（理科）试题 1551 -的整数部分为a ，小数部分为b 。 （1）求,a b ；（2）求222ab a b ++ ；（3）求()2lim n n b b b →∞++L L 。 2．（1）,x y 为实数，且1x y +=，求证：对于任意正整数n ，222112n n n x y -+≥ 。 （2）,,a b c 为正实数，求证： 3a b c x y z ++≥，其中,,x y z 为,,a b c 的一种排列。 3．请写出所有三个数均为质数，且公差为8的等差数列，并证明你的结论。 4．已知椭圆22 221x y a b +=，过椭圆左顶点(),0A a -的直线L 与椭圆交于Q ，与y 轴交于R ，过原点与L 平行的直线与椭圆交于P ，求证：AQ 2OP ，AR 成等比数列。 5．已知sin cos 1t t +=，设cos sin s t i t =+，求2()1n f s s s s =+++L L 。 6．随机挑选一个三位数I （1）求I 含有因子5的概率；（2）求I 中恰有两个数码相等的概率。 7．四面体ABCD 中，AB CD =，AC BD =，AD BC = （1）求证：四面体每个面的三角形为锐角三角形； （2）设三个面与底面BCD 所成的角分别为,,αβγ，求证：cos cos cos 1αβγ++=。 8．证明当,p q 均为奇数时，曲线222y x px q =-+与x 轴的交点横坐标为无理数。 9．设1221,,,n a a a +L L 均为整数，性质P 为： 对1221,,,n a a a +L L 中任意2n 个数，存在一种分法可将其分为两组，每组n 个数，使得两组所有元素的和相等。求证：1221,,,n a a a +L L 全部相等当且仅当1221,,,n a a a +L L 具有性质P 。 2013 清华北大自主招生 测评试题 数学 自主招生数学与逻辑测评试题 （考试时间： 90 分钟，总分 100 分） 一、选择题：本大题共 6 小题．每小题 6 分，共 36 分．在每小题给出 的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设 z 1,z 2 为一对不相等的共轭复数，且 z 1 = 3, z 12 为实数，则 z 1-z 2 的值为 z 2 （ ） A ． 3 B ． 6 C ．3 D ．23 2. 若点 P 在曲线 y=-x 2 -1上，点 Q 在曲线 x=1+y 2 上，则 PQ 的最小值为 （） A ．3 2 B ．3 2 C ． 3 2 D ． 3 2 2 4 8 3. 在 ABC 中，三边和三角满足 a cos B-b cos A= 3 c 则 tan A = （ ） 5tan B A 。3 B 。4 C 。5 D 。6 4. 如图，在正四棱锥 P-ABCD 中，∠ APC =60 °，则二面角 A-PB-C 的平面角的余弦值为（ ） A. 1 B. 1 7 7 C. 1 D. 1 P 2 2 D M C A B 5. 设 P 是函数 y=x+ 2 x>2 图像上任意一点，过点 P 分别向直线 y=x 和 y x 轴作垂线，垂足分别为 A 、B ，则 PA PB = （ ） A ．1 B ．2 C ．-1 D ．-2 6. 某情报站有 A 、B 、C 、D 四种互不相同的密码，每周使用一种，且每 周都是从上周没使用的三种密码中等可能的随机选用一种，设第一周使 用 A 密码，则第七周也使用 A 密码的概率为（）（用最简分数表示） A．43 B． 61 C． 48 D． 61 8124324381 选择题答题处： 1.() 2.() 3.() 4.()5.()6.( )二、解答题 (每题 16 分,共 64 分) 7. 设函数f n x =x n1-x2在1 ,1上的最大值为 a n n=1,2,3, 2 （1）求数列 a n的通项公式； （2）求证：对任何正整数 n n 2 ，都有 a n1成立； 2 n+2 （3）设数列 a n的前 n 项和为S n，求证：对任意正整数 n ，都有S n<7 成16 立。 2019清华自主招生试题与答案 (2018清华自主招生)1、如图的电路，闭合开关S ，当滑动变阻器滑片P 向右移动时，下列说法正确是 C A．电流表读数变小，电压表读数变大B．小电泡L 变暗 C．电容器C 上电荷量减小D．电源的总功率变小 (2018清华自主招生)2、如图，固定的倾斜光滑杆上套有一个质量为m的圆环，圆环与竖直放置的轻质弹簧一端相连，弹簧的另一端固定在地面上的A点，弹簧处于原长h。让圆环沿杆滑下，滑到杆的底端时速度为零．则在圆环下滑过程中 C A．圆环机械能守恒B．弹簧的弹性势能先增大后减小 C．弹簧的弹性势能变化了mgh D．弹簧的弹性势能最大时圆环的动能最大 解析：对过程定性分析。斜面倾斜角大于450 3、 (2018清华自主招生)4、如图所示，有三个斜面a，b，c，底边的长分别为L、L 、2L高度分别为2h、h、h ，某物体与三个斜面间的动摩擦因数都相同，这个物体分别沿三个斜面从顶端由静止下滑到底端，忽略空气阻力，三种情况相比较，下列说法正确的是BD A．物体克服摩擦力做的功W c= 2W b= 4W a B．物体克服摩擦力做的功W c= 2W b= 2W a C．物体到达底端的动能E ka= 2E kb= 2E kc D ．物体到达底端的动能 E ka >2E kb >2E kc 解：克服摩擦力做的功 cos W mg x mgx =μθ=μ斜底 则有 ::W 2:1:1c b a W W = 动能定理 k mgx mgx E -μ=高底 则有 E ka >2E kb >2E kc (2018清华自主招生)10、2013 年 12 月 6 日，“嫦娥三号”携带月球车“玉兔号”运动到地月转移轨道的P 点时做近月制动后被月球俘获，成功进入环月圆形轨道Ⅰ上运行，如图所示。在“嫦娥三号”沿轨道Ⅰ经过 P 点时，通过调整速度使其进入椭圆轨道Ⅱ，在沿轨道Ⅱ经过Q 点时，再次调整速度后又经过一系列辅助动作，成功实现了其在月球上的“软着陆”。对于“嫦娥三号”沿轨道Ⅰ和轨道Ⅱ运动的过程，若以月球为参考系，且只考虑月球对它的引力作用，下列说法中正确的是 AC A ．沿轨道Ⅱ经过 P 点时的速度小于经过Q 点时的速度 B ．沿轨道Ⅱ经过 P 点时的机械能小于经过Q 点时的机械能 C ．沿轨道Ⅰ经过 P 点时的速度大于沿轨道Ⅱ经过 P 点时的速度 D ．沿轨道Ⅰ经过 P 点时的加速度大于沿轨道Ⅱ经过 P 点时的加速度 1 清华大学历年自主招生试题汇总 以下是2014年清华“领军计划”部分面试题： 1、怎么看待单独二孩政策？ 2、谈谈对节假日安排的看法，有什么建议？ 3、怎么看待社会公平？ 以下是2014年清华“自强计划”部分面试题： 结构性参考题目： 提问：在你的同龄人中，当有些同学在为上学、吃饭、治病乃至整个家庭的生计发愁时，另外一些同 学则在享受美味的食品、穿着流行的服装、接受各种优质的教育培训。你如何看待这一现象?你是否认为这是一种社会不公? 追问：你心目中的社会公平是怎样的?是否能够实现?若能实现，简要阐述实现的方法;若不能实现，请说说为什么? 自由提问参考题目： 请讲一个你的经历中体现你“自强”的故事。 你对自己的大学生活有何规划?将来想从事何种职业? 你认为自己的家乡至今仍然贫困的原因是有哪些?应该如何解决? 你曾经遇到过的最大困难是什么?你是如何面对和解决的? 考察点： 主要考察学生的个人理想与社会理想，是否能够独立思考并勇于创新，是否能够采取积极的方式克服 困难与挫折;是否能够保持积极向上的心态等。 以下是清华大学2013年自主招生复试考题： 1.近期上海、南京、杭州等地连续出现“H7N9禽流感”感染病例引起关注，公众非常想知道这方面的 相关信息。假如你是一位新闻发言人，你认为公众需要什么样的信息? 追问:假如你发布信息后，社会出现恐慌，那该怎么办? 2.“人类一思考，上帝就发笑”。请就人类社会发展与大自然的关系发表评论。 追问:基于你的评价，你打算在当下和未来做些什么? 3.请以“我和诺贝尔奖的距离”为题发表一段2分钟的演讲，可准备1分钟。 4.除了当选的10位人物外，举出你认为应该入围“2013‘感动中国’的一位人物”，并阐述理由。 2008年清华大学自主招生考试题目选 语文（此文与原考试选用的文章稍有出入）（语文试题应该算是完整版了）： 关于文学和它的寄主的故事 朱大可 关于文学死亡的话题，已经成为众人激烈争论的焦点。这场遍及全球的争论，映射了文学所面临的生 存危机。但文学终结并非危言耸听的预言，而是一种严酷的现实。本届诺贝尔文学奖，颁发给了多丽丝·莱辛，这位88岁高龄的英国女作家，代表了20世纪最后的文学精神。她是一枚被瑞典皇家委员会发现的化 石，她曾在20世纪中叶成为女权主义文学的激进代表，但其近15年来的作品，却遭到美国评论家哈罗德·布鲁姆的激烈抨击，认为它们只具有四流水准，完全不具备原创的能力。耐人寻味的是，在所有诺贝尔奖项 中，只有文学奖面临着二流化的指责，而造成这种状况的唯一原因，就是文学自身的全球性衰退。这种现 状，验证了20世纪60年代美国批评家关于“文学衰竭”的预言。 返观中国文学的狼藉现场，我们发现，汉语文学的衰退，主要基于以下三个方面的原因：第一，80年代以来活跃的前线作家，大多进入了衰退周期，而新生代作家还没有成熟，断裂变得不可避免。第二，重 商主义对文学的影响，市场占有率成为衡量作家成功与否的主要标准，这种普遍的金钱焦虑，严重腐蚀了 文学的灵魂和原创力，导致整个文坛垃圾丛生。第三，电影、电视、互联网、游戏等媒体的兴起，压缩了 传统文学的生长空间，迫使它走向死亡。 这是我关于文学衰败的基本看法。但我最近才意识到，这种看法其实是错误的。文学的衰败只有一个 主因，那就是文学自身的蜕变。建立在平面印刷和二维阅读上的传统文学，在经历了数千年的兴盛期之后，注定要在21世纪走向衰败。它是新媒体时代所要摧毁的主要对象。新媒体首先摧毁了文学的阅读者，把他们从文学那里推开，进而摧毁了作家的信念，把文学变成一堆无人问津的“废物”。 然而，尽管中国文坛充满了垃圾，但文学本身并不是垃圾，恰恰相反，文学是一个伟大的幽灵，飘荡 于人类的精神空间，寻找着安身立命的躯壳（寄主和媒体）。在可以追溯的历史框架里，文学幽灵至少两 度选择了人的身体作为自己的寄主。第一次，文学利用了人的舌头及其语音，由此诞生了所谓“口头文学” （听觉的文学）；而在第二次，文学握住了人手，由此展开平面书写、印刷及其阅读，并催生了所谓“书 面文学”（文字的文学）的问世。这两种文学都向我们提供了大量杰出的文本。在刻写术、纺织术、造纸 术和雕版印刷术的支持下，经历两千年左右的打磨，书面文学早已光华四射，支撑着人类的题写梦想。 文学还有两个值得关注的寄主，那就是歌曲和戏剧，它们跟传统文学并存，俨然是它的兄弟，照亮了 古代乡村社会的质朴生活。但就叙事和抒情的线性本质而言，它们都是口头和书面文学的变种而已。文学 的寄生形态，从来就是复杂多样的。它们制造了艺术多样性的幻觉。 北大清华自主招生用英语译古诗给歌曲挑语病 2009年第一天，北京大学、清华大学同时进行2009年保送生暨自主招生笔试、文艺特长生笔试。两校河南考点都设在郑州大学南校区，全省约400名学生参加了笔试。与高考不同，自主招生题目不仅灵活，而且“另类”，让考生们大呼“想不到”。 北大清华自主招生同时开考 1月1日上午9时，清华和北大自主招生、保送生考试同时在郑州大学南校区开考。 清华大学河南考区负责老师丁青青介绍，自2008年11月以来，全国共有1.3万名学生经过中学推荐和自我推荐的方式申请清华大学2009年保送生和自主招生，经过筛选，3000余名学生幸运地走进清华大学保送生与自主招生的考场。其中河南考生190余人。而今年报考北大自主招生的考生，全国超过了1.5万名，最终近4000人参加了考试，其中河南考生近200人。 清华的笔试有两天，1月1日上午进行的是中英文综合，下午文科考生考数学(文)和历史，理科考生考数学(理)和物理。2日上午考理科综合或文科综合。北大的笔试安排在1月1日，上午考语、数、外，下午文科考历史、政治，理科考物理、化学。每个科目分值100分，总分500分。 今年两校自主招生的优惠幅度都高于往年。北大自主招生比例将不再设定5%上限，招生比例预扩为10%左右，获得北大自主招生资格的学生优惠幅度扩大到降分30分以内。2009年清华大学认定的自主招生一般给予30分之内的优惠，对于有特殊潜能的考生，优惠幅度将不受30分限制。 清华：用英语翻译杜甫古诗 我省参加两所国内顶尖高校自主招生测试笔试的考生，都是来自我省各个高中的拔尖学生，不过今年两校的“怪题”却难倒了许多考生。 “清华的语文和英语在同一张卷子上，用英语来翻译古文，我还是头一次做这样的题。”中英文综合考完，来自郑州外国语学校的徐重说，考题里选了《汉书·艺文志》中的一段话，“小说家者流，盖处于稗官，街谈巷语，道听途说者之所造也……”先用中文解释其含义，再用英文概括其大意，并用英文评论其观点。 徐重说，古文他还勉强能翻译，但要再译成英文就太难了，“稗官”这样的词他实在不知道用英语怎么说。 在另一题中，还要求将杜甫的《旅夜书怀》翻译成英文。“把古诗翻译成英语，还要考虑押韵和工整的问题，对中英文的要求太高了。”考试结束，不少考生连连摇头，说很多题“太活”，从来没见过，“考得不好”。 北大：给《青花瓷》挑语病 和清华相比，北京大学的试题则紧扣“流行文化”。语文题中，要求给周杰伦《青花瓷》中的一句歌词“素坯勾勒出青花笔锋浓转淡，瓶身描绘的牡丹一如你初妆……”挑语病。“这首歌很多同学都会唱，但谁也没想过其中的语法有毛病。”来自洛阳一高的冯坤说，这些试题充分体现了北大的自由和人文色彩，看起来非常生活化，但想要答得好很难。 一、 选择题 1.设复数z=cos 23π+isin 23π，则2 11 1-1z z +-=（ ? ? ? ?） (A)0 (B)1 (C)12 (D)3 2 2.设数列{}n a 为等差数列，p,q,k,l 为正整数，则“p+q>k+l ”是“p q k l a a a a +>+”的( )条件 (A)充分不必要 (B)必要不充分 (C)充要 (D)既不充分也不必要 3.设A 、B 是抛物线y=2 x 上两点，O 是坐标原点，若OA ⊥OB,则( ) (A)|OA|·|OB|≥2 (B)|OA|+|OB|≥ (C)直线AB 过抛物线y=2 x 的焦点 (D)O 到直线AB 的距离小于等于1 4.设函数()f x 的定义域为(-1,1)，且满足：①()f x >0,x ∈(-1,0)；②()f x +()f y =( )1x y f xy ++，x 、y ∈(-1,1)，则()f x 为 (A)奇函数 (B)偶函数 (C)减函数 (D)有界函数 5.如图，已知直线y=kx+m 与曲线y=f (x)相切于两点，则F(x)=f (x)?kx 有（ ? ? ? ?） (A)2个极大值点 (B)3个极大值点 (C)2个极小值点 (D)3个极小值点 6.△ABC 的三边分别为a 、b 、c ．若c=2，∠C= 3 π ，且sinC+sin(B?A)?2sin2A=0,则有（ ? ?） (A)b=2a (B)△ABC 的周长为 (C)△ABC 的面积为 3(D)△ABC 的外接圆半径为3 7.设函数2()(3)x f x x e =-，则（ ? ? ? ?） (A)()f x 有极小值，但无最小值 (B) ()f x 有极大值，但无最大值 2017年清华大学领军计划测试物理试题 1、质量为m 的小球距轻质弹簧上端h 处自由下落，弹簧的劲度系数为k ，求小球在运动过程中的最大动能E km 。已知重力加速度为g . 2、一卫星在距赤道20000km 上空运行，求赤道上的人能观察到此卫星的时间间隙。已知地球半径R 0=6400km. 3、在粗糙地面上，某时刻乒乓球的运动状态如图所示，判断一段时间后乒乓球的可能运动状况 A 、静止 B 、可能原地向前无滑滚动 C 、原地向左滚动 D 、原地向右滚动 4、距O 点10m 处有一堵2m 高的墙，同方11m 处有一堵3m 高的墙，今将一小球（可看作质点）从O 点斜抛，正好落在两墙之间，求斜抛速度可能值。 5、半径为2r 的线圈，内部磁场分布如图，磁感应强度均为B 。有一长为4r 的金属杆（横在中间），其电阻为R 。金属杆的右半边线圈电阻为R ，左半边线圈电阻为2R ，当两个磁场磁感应强度从B 缓慢变化至0时，求通过右半边的电荷量。 6、一交警以50kmh -1速度前行，被超车后用设备进行探测，声波发出频率为10Hz ，接受频率为8.2Hz ，求前车的速度。 7、圆柱体M ，弹簧连接在M 的转轴上（圆柱体可绕转动轴转动）。压缩弹簧后放手，圆柱 体纯滚动，问圆柱体的运动是否为简谐振动？如果是，周期是多少？已知弹簧劲度系数为k ，重力加速度为g 。 8、杨氏双缝干涉实验中，双缝距光屏8cm ，现将光屏靠近双缝，屏上原来3级亮纹依旧为亮纹，则移动的距离可能为（ ） A ．4.8 B. 4 C. 3.4 D. 3 9、有一辆汽车以恒定功率由静止开始沿直线行驶，一定时间t 内走过的路程为s ，求s 与t 的几次方成正比。 10、有一封闭绝热气室，有一导热薄板将其分为左右体积比1：3的两部分，各自充满同种理想气体，左侧气体压强为3atm,右侧气体压强为1atm.现将薄板抽走，试求平衡以后气体的压强。 11、如图有一电容，由三块金属板构成，中间填充相对介电常数为ε的介质，中间两块极板面积为s ，真空介电常量为ε0，求此电容的大小。 12、如图。用长同为l 的细绳悬挂四个弹性小球，质量依次满足m 1>>m 2>>m 3>>m 4。将第一个小球拉起一定角度后释放，试问最后一个小球开始运动时速度为多少？ 13、如图所示导热U 形管中封有长为l 0的水银柱，当U 形管开口向下时，其中空气柱长度为l 1，开口向上时，空气柱长度为l 2，试求l 1/l 2。 + 1 2 3 4 0 0 1 l 2 清华北大自主招生测评试题物理 自主招生物理测评试题 （考试时间： 90 分钟，总分 100 分）试题说明： 1 、考试中不准使用计算器 2 、计算中，重力加速度一律取g10m / s2 3 、考试时间 90 分钟，试题满分100 分 一、选择题（每小题 4 分，共 48 分。每个小题的四个选项中，至少有 一个正确选项。全部选对的得 4 分，选对但不全的得 2 分，有选错的得0分） 1、如图所示，电源内阻不能忽略，开关闭合后，灯泡 A 、B 均发光。现将滑动触头向右移动，下列说法正确的是 （A）A 灯变亮、 B 灯变暗 （B ）A 灯变暗、 B 灯变亮 （C）电源路端一定电压增大 （D ）电源的输出功率一定增大 2 、如图所示，质量为m1和 m2的两个小球固定在长为2l 的轻杆两端，m1m2。杆的中点是一水平转轴O ，系统可在竖直面内无摩擦转动，空 气阻力不计。若从杆处于水平位臵由静止释放系统，系统转过900的过程中，以下说法正确的是（重力加速度已知） （A）该过程中系统机械能守恒 （B ）球m1的机械能守恒 （C）可以求出杆竖直时两球的速率 （D ）可以求出杆竖直时轴O 对杆的作用力大小 第2题图第3题图 3、如图所示，不计重力的正电粒子以一定的水平初速度射入平行金 属板间竖直的匀强电场中，则下列说法正确的是（以下各情况，粒子均 能穿过电场） （A）增大初速度大小，其他条件不变，粒子穿过电场的偏转位移变 大 （B ）滑动触头向上移动，其他条件不变，粒子穿过电场的偏转位 移变大 （C）适当增大两板间距离，其他条件不变，粒子穿过电场的偏转位 移变大 （D ）适当增大两板间距离，其他条件不变，粒子穿过电场的时间变 大 4、粗糙水平面上一物体以一定初速度向前滑行，从开始滑行到停止，物体的运动位移为S，运动时间为t ，运动过程中的加速度大小为a，则下列说法正确的是 （A）运动位移 S 随初速度增大而增大，随质量增大而减小 2015年清华大学自主招生数学试题（领军计划） 说明：共30小题，共100分。在每小题给出的四个选项中，有一个或多个选项是符合题目要求的。全选对，得满分；选对但不全，得部分分；有选错的，得0分。 1、设复数22cos sin 33z i π π =+，则211 11z z +=--（ ） A.0 B.1 C.1 2 D.3 2 2、设{}n a 为等差数列，,,,p q k l 为正整数，则“p q k l +>+”是“p q k l a a a a +>+”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3、设,A B 是抛物线2y x =上的两点，O 是坐标原点，若OA OB ⊥，则（ ） A.||||2OA OB ?≥ B.||||OA OB +≥ C.直线AB 过抛物线2y x =的焦点 D.O 到直线AB 的距离小于等于1 4、设函数()f x 的定义域为(1,1)-，且满足：①()0,(1,0)f x x >∈-； ②()()(),1x y f x f y f xy ++=+,(1,1)x y ∈-。则()f x 为（ ） A.奇函数 B.偶函数 C.减函数 D.有界函数 5、如图，已知直线y kx m =+与曲线()y f x = 相切于两点，则()()F x f x kx =-有（ ） A.2个极大值点 B.3个极大值点 C.2个极小值点 D.3个极小值点 6、ABC ?的三边长分别为,,a b c 。若2,3c C π =∠=，且s i n s i n ()2s i n 20C B A A +--=，则（ ） A.2b a = B.ABC ?的周长为2+ C.ABC ? D.ABC ?7、设函数2()(3)x f x x e =-，则（ ） A.()f x 有极小值，但无最小值 B.()f x 有极大值，但无最大值 C.若方程()f x b =恰有一个实根，则36 b e > D.若方程()f x b =恰有三个不同实根，则36 0b e << 自主招生模拟试题--04 说明：第1--4题每题15分,第5--6题每题20分,试卷总分为100分. 1.求最小的正实数k ,使得111 ()9ab bc ca k a b c +++++≥对所有的正实数,,a b c 都成立. 2.如图,已知O 分别与等边三角形ABC 的三边,,AB BC CA 相切于点,,D E F ,设劣弧DF 上的点P 到三边,,AB BC CA 的距离依次为123,,d d d ,求证:132d d d +=. 3.设定义在[1,1]-上的函数2 21 ()||33 f x x bx c =-++的最大值为M ,求M 的最小值. 4.如图,O 是边长为1的正六边形ABCDEF 的中心,一条路径是指从点O 出发,沿着线段又回到点O ,求长度为2013的路径条数. 5.已知非直角三角形ABC 的最小边长为5,且tan tan tan [tan ][tan ][tan ]A B C A B C ++≤++,其中符号[]x 表示不超过实数x 的最大整数,求ABC ?的面积？ 6.已知函数()b f x ax c x =+ +(0)a >的图像在点(1,(1))f 处的切线方程为1y x =-. (1)将,b c 用a 表示出来； (2)若()ln f x x ≥在[1,)+∞上恒成立,求a 的取值范围； (3)求证:对所有正整数n ,都有1111ln(1)232(1) n n n n ++++>+++ . O F A B C E D d 1 d 3 d 2 F D O E A B C P 自主招生模拟试题答题纸 1. 2. d 1 d 3 d 2 F D O E A B C P 一、选 择题 1.设复数z=cos 23π+isin 23π，则2 11 1-1z z + -=（ ） (A)0 (B)1 (C) 12 (D)32 2.设数列{}n a 为等差数列，p,q,k,l 为正整数，则“p+q>k+l ”是“p q k l a a a a +>+”的( )条件 (A)充分不必要 (B)必要不充分 (C)充要 (D)既不充分也不必要 3.设A 、B 是抛物线y=2 x 上两点，O 是坐标原点，若OA ⊥OB,则( ) (A)|OA|·|OB|≥2 (B)|OA|+|OB|≥22 (C)直线AB 过抛物线y=2 x 的焦点 (D)O 到直线AB 的距离小于等于1 4.设函数()f x 的定义域为(-1,1)，且满足：①()f x >0,x ∈(-1,0)；②()f x +()f y =( )1x y f xy ++，x 、y ∈(-1,1)，则()f x 为 (A)奇函数 (B)偶函数 (C)减函数 (D)有界函数 5.如图，已知直线y=kx+m 与曲线y=f (x)相切于两点，则F(x)=f (x)?kx 有（ ） (A)2个极大值点 (B)3个极大值点 (C)2个极小值点 (D)3个极小值点 6.△ABC 的三边分别为a 、b 、c ．若c=2，∠C= 3 π ，且sinC+sin(B ?A)?2sin2A=0,则有（ ） (A)b=2a (B)△ABC 的周长为3△ABC 23(D)△ABC 23 7.设函数2 ()(3)x f x x e =-，则（ ） (A)()f x 有极小值，但无最小值 (B) ()f x 有极大值，但无最大值 (C)若方程()f x =b 恰有一个实根，则b> 36e (D)若方程()f x =b 恰有三个不同实根，则0 一、选择题 1.设复数z=cos 23π+isin 23π，则2 11 1-1z z + -=（ ） (A)0 (B)1 (C) 12 (D)32 2.设数列{}n a 为等差数列，p,q,k,l 为正整数，则“p+q>k+l ”是“p q k l a a a a +>+”( )条件 (A)充分不必要 (B)必要不充分 (C)充要 (D)既不充分也不必要 3.设A 、B 是抛物线y=2 x 上两点，O 是坐标原点，若OA ⊥OB,则( ) (A)|OA|·|OB|≥2 (B)|OA|+|OB|≥22 (C)直线AB 过抛物线y=2 x 焦点 (D)O 到直线AB 的距离小于等于1 4.设函数()f x 的定义域为(-1,1)，且满足：①()f x >0,x ∈(-1,0)；②()f x +()f y =( )1x y f xy ++，x 、y ∈(-1,1)，则()f x 为 (A)奇函数 (B)偶函数 (C)减函数 (D)有界函数 5.如图，已知直线y=kx+m 与曲线y=f (x)相切于两点，则F(x)=f (x)?kx 有（ ） (A)2个极大值点 (B)3个极大值点 (C)2个极小值点 (D)3个极小值点 6.△ABC 的三边分别为a 、b 、c ．若c=2，∠C= 3 π ，且sinC+sin(B ?A)?2sin2A=0,则有（ ） (A)b=2a (B)△ABC 的周长为3△ABC 23(D)△ABC 23 7.设函数2 ()(3)x f x x e =-，则（ ） (A)()f x 有极小值，但无最小值 (B) ()f x 有极大值，但无最大值 (C)若方程()f x =b 恰有一个实根，则b> 36e (D)若方程()f x =b 恰有三个不同实根，则0 北大清华自主招生面试考题(完整版) 北大清华自主招生面试考题(完整版)梧桐夜雨 1.马克思在《资本论》中论述机器夺走了工人的饭碗时写道：“蒸汽机一开始就是人力的对头”。请谈谈你的看法。 2.近期房产税、车船税、“馒头税”等均引发社会热议，请谈谈你对纳税与公民权利关系的理解。 3.哈佛大学图书馆墙上写有这样一句话：“请享受无法回避的痛苦”，谈谈你的理解。 4.假如用一种植物比喻中国人的国民性，你会选择什么？为什么？ 5.有人说：“智慧比体力更重要，成功的关键在于如何使用智慧”，请谈谈你的看法。 6.现在很多家长在高中阶段就把孩子送到国外学习，谈谈你的看法。 7.国家最近规定，中央和省级机构录用公务员，一般情况下都须具有两年以上基层工作经历，不再招收应届毕业生，你对此有何评论。 8.“穷则独善其身，达则兼济天下”，在今天是否还适用？ 9.目前一些人富裕了但并没感到幸福，谈谈你的看法。 10.有人认为“三纲”(君臣、父子、夫妻)无益，“五常”(仁义礼智信)可取。试述你的观点。 11.近来续写《红楼梦》又成为社会热点话题。你认为后人可以续写、仿写、改写经典名著吗？ 12.古人云“诗画同源”，“诗是无形画，画是有形诗”。请谈谈你的见解。 13.请从世界历史和国际政治的角度，分析“只有永远的利益，没有永远的朋友”这句话的含义。 14.今年是辛亥革命100周年，海峡两岸将共同举行隆重庆典。你认为大陆和台湾看待辛亥革命的角度和意义会有什么不同？ 15.网络带来丰富的信息，但也存在着许多虚假报道和伪装成民意的倾向性意见，你认为政府如何才能从网络上获取真实的社情民意？ 16.日本政府最近称，由于中国的GDP已经超过日本，所以要大幅削减对华援助，你如何看待此事？ 17.在鲁迅的小说《祝福》中，“我”作为一个现代知识分子，为什么不告诉祥林嫂“人死后是没有灵魂的”？ 18.牛顿第一定律可以被实验验证吗？ 19.“火”被古人当成一种物质元素，今天我们如何认识“火”？ 20.诗曰：“我看青山多妩媚，料青山看我应如是”，说说你的理解。 21.现在人类一方面在保护自然，另一方面又在破坏着自然。你认为地球上的生物会有怎样的未来？ 22.一些世界非物质文化遗产可能在若干年后还是会消失，保护还有意义吗？请谈谈你的看法。 23.地球上有些生物是人类想消灭但难以消灭的，另一些生物又是人类想保护但保护不了的。谈谈你的看法。 24.如果将来全基因组测序可以用来预测个人的全部遗传信息，你对那个时代的到来有何看法？ 25.有人认为：“水资源短缺是中国未来面临的一个比能源问题更巨大的挑战”。你同意吗？为什么？ 26.普罗米修斯盗火，燧人氏钻木取火，请谈谈两者不同的文化寓意。清华北大自主招生模拟试题(数学)
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