2016-2017学年高中数学第三章空间向量与立体几何3.2.2用向量方法求空间中的角高效测评新人教A版选修2-1资料
2016-2017学年高中数学 第三章 空间向量与立体几何 3.2.2 用向
量方法求空间中的角高效测评 新人教A 版选修2-1
一、选择题(每小题5分，共20分)
1．设ABCD ，ABEF 都是边长为1的正方形，FA ⊥面ABCD ，则异面直线AC 与BF 所成的角等于( )
A ．45°
B ．30°
C ．90°
D ．60°
解析： 以B 为原点，BA 为x 轴，BC 为y 轴，BE 为z 轴建立空间直角坐标系．则A (1,0,0)，
C (0,1,0)，F (1,0,1)，
∴AC →＝(－1,1,0)，BF →＝(1,0,1)．∴cos 〈AC →，BF →
〉＝－12.
∴〈AC →，BF →
〉＝120°.∴AC 与BF 所成的角为60°. 答案： D
2．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，BB 1与平面ACD 1所成角的余弦值为( ) A.23
B.33
C.23
D.
63
解析： 建系如图，设正方体棱长为1，则BB 1→
＝(0,0,1)．
∵B 1D ⊥面ACD 1，∴取B 1D →
＝(1,1,1)为面ACD 1的法向量． 设BB 1与面ACD 1所成的角为θ， 则sin θ＝????????BB 1→·B 1D →|BB 1→||B 1D →|＝13＝3
3，
∴cos θ＝63
. 答案： D
3．如图所示，已知点P 为菱形ABCD 所在平面外一点，且PA ⊥平面ABCD ，PA ＝AD ＝AC ，点F 为PC 中点，则二面角C －BF －D 的正切值为( )
A.36
B.34
C.33
D.
23
3
解析： 设AC ∩BD ＝O ，连接OF ，以O 为原点，OB ，OC ，OF 所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，设PA ＝AD ＝AC ＝1，则BD ＝3，
∴B ?
????32，0，0，F ? ????0，0，12， C ?
??
??0，1
2
，0，D ? ?
?
??－32，0，0. ∴OC →＝? ??
??0，12，0，且OC →
为平面BDF 的一个法向量．
由BC →＝? ?
???－32，12，0，FB →＝? ????32，0，－12可得平面BCF 的一个法向量n ＝(1，3，3)．
∴cos 〈n ，OC →〉＝217，sin 〈n ，OC →
〉＝277.
∴tan 〈n ，OC →
〉＝233.
答案： D
4．在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，底面是边长为2的正方形，高为4，则点A 1到截面AB 1D 1
的距离为( )
A.83
B.38
C.43
D.34
解析： 如图，建立空间直角坐标系D －xyz ，则A (2,0,0)，A 1(2,0,4)，B 1(2，2,4)，
D 1(0,0,4)，
∴D 1B 1→＝(2,2,0)，D 1A →＝(2,0，－4)，AA 1→
＝(0,0,4)， 设n ＝(x ，y ，z )是平面AB 1D 1的法向量，则n ⊥D 1B 1→，n ⊥D 1A →
， ∴???
??
n ·D 1B 1→＝0
n ·D 1A →＝0
，即?
??
??
2x ＋2y ＝0
2x －4z ＝0，
令z ＝1，则平面AB 1D 1的一个法向量为n ＝(2，－2,1)． A 1到平面AB 1D 1的距离为d ＝|AA 1→
·n ||n |＝4
3.
答案： C
二、填空题(每小题5分，共10分)
5．若两个平面α，β的法向量分别是n ＝(1,0,1)，v ＝(－1,1,0)．则这两个平面所成的锐二面角的度数是________．
解析： cos 〈n ，v 〉＝－1
2·2＝－12.
∴〈n ，v 〉＝120°. 答案： 60°
6．已知三棱柱ABC －A 1B 1C 1的侧棱与底面边长都相等，A 1在底面ABC 上的射影为BC 的中点，则异面直线AB 与CC 1所成的角的余弦值为________．
解析： 建立如图所示的空间直角坐标系，设AB ＝1.因为A 1D ⊥平面ABC ，AD ⊥BC ，由
AD ＝
32，AA 1＝1知A 1D ＝1
2
.
故A 1? ????0，0，12.又A ? ????32，0，0，B ? ????0，－12，0，
∴AA 1→＝? ?
???－32，0，12，AB →＝? ????－32，－12，0，
∴cos 〈AA 1→·AB →
〉＝34
.
又∵CC 1∥AA 1，∴cos 〈AA 1→，AB →〉＝cos 〈CC 1→，AB →
〉． 故异面直线AB 与CC 1所成的角的余弦值为34.
答案： 3
4
三、解答题(每小题10分，共20分)
7．如图所示，A 1B 1C 1－ABC 是直三棱柱，∠ACB ＝90°，点D 1，F 1分别是A 1B 1，A 1C 1的中点，BC ＝CA ＝CC 1，求BD 1与AF 1所成角的余弦值．
解析： 方法一：取BC 中点E ，连接EF 1，D 1F 1， ∵D 1F 1綊12B 1C 1，BE 綊1
2
B 1
C 1，
∴D 1F 1綊BE ，
∴四边形BEF 1D 1是平行四边形， ∴EF 1∥BD 1，
∠AF 1E 是BD 1与AF 1所成的角， 连接AE ，设BC ＝CA ＝CC 1＝1， 则AE ＝
1＋14＝5
2， AF 1＝
1＋14＝52
， EF 1＝BD 1＝
1＋24＝62
， 在△AEF 1中，由余弦定理得：
cos ∠AF 1E ＝EF 21＋AF 21－AE
22·EF 1·AF 1
＝
64＋54－54
2×62×
52
＝3010. ∴BD 1与AF 1所成角的余弦值为
30
10
. 方法二：如图所示，以C 为原点，CA ，CB ，CC 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空
间直角坐标系，设CB ＝CA ＝CC 1＝1，则A (1,0,0)，B (0,1,0)，D 1? ????12
，12，1，F 1? ??
??12，0，1，
则AF 1→＝? ????－12，0，1，
BD 1→＝? ??
??1
2，－1
2
，1， ∴|AF 1→|＝52，|BD 1→
|＝62
，
则cos 〈BD 1→
，AF 1→
〉＝AF 1→·BD 1
→
|AF 1→||BD 1→|
＝30
10，
∴BD 1与AF 1所成角的余弦值为
3010
. 8．如图所示，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是正方形，PD ⊥平面ABCD ，PD ＝DC ，E 是PC 的中点．
求EB 与平面ABCD 夹角的余弦值． 解析： 取CD 的中点M ，则EM ∥PD ， 又∵PD ⊥平面ABCD ，∴EM ⊥平面ABCD ， ∴BE 在平面ABCD 上的射影为BM ， ∴∠MBE 为BE 与平面ABCD 的夹角，
如图建立空间直角坐标系， 设PD ＝DC ＝1，
则P (0,0,1)，C (0,1,0)，B (1,1,0)，
∴M ? ????0，12，0，E ? ??
??0，12，12， ∴BE →＝? ?
???－1，－12，12，
BM →
＝?
??
??－1，－12
，0，
cos 〈BM →，BE →
〉＝BE →·BM →
|BE →|·|BM →|
＝
1＋14
32×5
2
＝306，
∴BE 与平面ABCD 夹角的余弦值为
306
.
9．(10分)如下图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，已知AB ＝4，AD ＝3，AA
1＝2.E ，F 分别
是线段AB ，BC 上的点，且EB ＝FB ＝1.
(1)求二面角C －DE －C 1的正切值； (2)求直线EC 1与FD 1所成角的余弦值．
解析： (1)如图，以A 为原点，AB →，AD →
，AA 1→
分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系A －xyz ，则有
D (0,3,0)，D 1(0,3,2)，
E (3,0,0)，
F (4,1,0)，C 1(4,3,2)．
于是，DE →＝(3，－3,0)，EC 1→＝(1,3,2)，FD 1→
＝(－4,2,2)． 设向量n ＝(x ，y ，z )与平面C 1DE 垂直，则有 ???
??
n ⊥DE →，n ⊥EC 1
→??
??
??
3x －3y ＝0，
x ＋3y ＋2z ＝0?x ＝y ＝－1
2
z .
∴n ＝? ????－z 2
，－z 2，z ＝z
2(－1，－1,2)，其中z >0.
取n ＝(－1，－1,2)，则n 是平面C 1DE 的一个法向量． ∵向量AA 1→
＝(0,0,2)与平面CDE 垂直， 设二面角C －DE －C 1的平面角大小为θ. 由图知所求二面角为锐二面角， ∴cos θ＝cos 〈n ，AA 1→
〉＝n ·AA 1
→
|n |·|AA 1→
|
＝－1×0－1×0＋2×21＋1＋4×0＋0＋4
＝
63
， ∴tan θ＝
22
. (2)设EC 1与FD 1所成角为β，则
cos β＝|cos 〈EC 1→
，FD 1→
〉|＝
?????
???EC 1→·FD 1→|EC
1→|×|FD 1→| ＝??
????1× －4 ＋3×2＋2×212＋32＋22× －4 2＋22＋22
＝2114
.
高二数学向量知识点总结
高二数学向量知识点总结 导读：我根据大家的需要整理了一份关于《高二数学向量知识点总结》的内容，具体内容：数学数学是高考的三大必考主科之一，数学成绩的好坏也将直接关系到你是否能够考入理想的大学，高二数学也是整个高中数学学习承上启下的一年，所以一定要下功夫学好数学。以下是我为您整理的关于的相... 数学数学是高考的三大必考主科之一，数学成绩的好坏也将直接关系到你是否能够考入理想的大学，高二数学也是整个高中数学学习承上启下的一年，所以一定要下功夫学好数学。以下是我为您整理的关于的相关资料，供您阅读。 (一) 考点一：向量的概念、向量的基本定理 【内容解读】了解向量的实际背景，掌握向量、零向量、平行向量、共线向量、单位向量、相等向量等概念，理解向量的几何表示，掌握平面向量的基本定理。 注意对向量概念的理解，向量是可以自由移动的，平移后所得向量与原向量相同;两个向量无法比较大小，它们的模可比较大小。 考点二：向量的运算 【内容解读】向量的运算要求掌握向量的加减法运算，会用平行四边形法则、三角形法则进行向量的加减运算;掌握实数与向量的积运算，理解两个向量共线的含义，会判断两个向量的平行关系;掌握向量的数量积的运算，体会平面向量的数量积与向量投影的关系，并理解其几何意义，掌握数量积的坐
标表达式，会进行平面向量积的运算，能运用数量积表示两个向量的夹角，会用向量积判断两个平面向量的垂直关系。 【命题规律】命题形式主要以选择、填空题型出现，难度不大，考查重点为模和向量夹角的定义、夹角公式、向量的坐标运算，有时也会与其它内容相结合。 考点三：定比分点 【内容解读】掌握线段的定比分点和中点坐标公式，并能熟练应用，求点分有向线段所成比时，可借助图形来帮助理解。 【命题规律】重点考查定义和公式，主要以选择题或填空题型出现，难度一般。由于向量应用的广泛性，经常也会与三角函数，解析几何一并考查，若出现在解答题中，难度以中档题为主，偶尔也以难度略高的题目。 考点四：向量与三角函数的综合问题 【内容解读】向量与三角函数的综合问题是高考经常出现的问题，考查了向量的知识，三角函数的知识，达到了高考中试题的覆盖面的要求。 【命题规律】命题以三角函数作为坐标，以向量的坐标运算或向量与解三角形的内容相结合，也有向量与三角函数图象平移结合的问题，属中档偏易题。 考点五：平面向量与函数问题的交汇 【内容解读】平面向量与函数交汇的问题，主要是向量与二次函数结合的问题为主，要注意自变量的取值范围。 【命题规律】命题多以解答题为主，属中档题。 考点六：平面向量在平面几何中的应用 【内容解读】向量的坐标表示实际上就是向量的代数表示.在引入向量的坐
平面向量及空间向量高考数学专题训练
平面向量及空间向量高考数学专题训练（四） 一、选择题（本大题共12小题，每小题分6，共72分） 1．设-=1(a cos α,3), (=b sin )3,α,且a ∥b ， 则锐角α为（ ） A. 6π B. 4π C. 3 π D. 125π 2．已知点)0,2(-A 、)0,3(B ，动点2),(x y x P =?满足，则点P 的轨迹是（ ） A. 圆 B. 椭圆 C. 双曲线 D. 抛物线 3．已知向量值是相互垂直，则与且k b a b a k b a -+-==2),2,0,1(),0,1,1(（ ） A. 1 B. 51 C. 53 D. 5 7 4．已知b a ,是非零向量且满足的夹角是与则b a b a b a b a ,)2(,)2(⊥-⊥-（ ） A. 6π B. 3 π C. 32π D. 65π 5．将函数y=sinx 的图像上各点按向量=a （2,3 π ）平移，再将所得图像上各点的横坐标 变为原来的2倍，则所得图像的解析式可以写成（ ） A.y=sin(2x+ 3π)+2 B.y=sin(2x －3 π )－2 C.y=(321π+x )－2 D.y=sin(321π-x )+2 6．若A,B 两点的坐标是A(3φcos ,3φsin ,1),B(2,cos θ2,sin θ1),||的取值范围是( ) A. [0,5] B. [1,5] C. (1,5) D. [1,25] 7．从点A(2,－1,7)沿向量)12,9,8(-=a 方向取线段长|AB|=34,则点B 的坐标为（ ） A.(-9,-7,7) B. (-9,-7,7) 或(9,7,-7) C. (18,17,-17) D. (18,17,-17)或(-18,-17,17) 8．平面直角坐标系中，O 为坐标原点， 已知两点A(3, 1)， B(-1, 3)，若点C 满足 =OB OA βα+, 其中α、β∈R 且α+β=1, 则点C 的轨迹方程为 ( ) A.01123=-+y x B.5)2()1(2 2 =-+-y x C. 02=-y x D. 052=-+y x 9．已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线的长都等于m ，点E ，F 分别是BC ，AD 的中点，则?的值为 （ ） A.2 m B. 212m C. 4 1 2m D. 432m 10．O 为空间中一定点，动点P 在A,B,C 三点确定的平面内且满足)()(-?-=0,
高中数学选修2-1《空间向量与立体几何》知识点讲义
第三章 空间向量与立体几何 一、坐标运算 ()()111222,,,,,a x y z b x y z == ()()()()121212121212 11112121 2,,,,,,,,a b x x y y z z a b x x y y z z a x y z a b x x y y z z λλλλ+=+++-=---=?=???则 二、共线向量定理 (),0,=.a b b a b a b λλ≠←??→?充要对于使 三、共面向量定理 ,,.a b p a b x y p x a y b ←??→?=+充要若与不共线，则与共面使 ,,, 1.O OP xOA yOB P A B x y =+←???→+=充要条件四、对空间任意一点，若则三点共线 ,1.P A B C O OP xOA yOB zOC P A B C x y z =++←??→++=充要五、对空间异于、、、四点的任意一点，若若、、、四点 ()()()11, 1.P A B C AP xAB y AC OP OA x OB OA y OC OA OP xOB yOC x y OA x y z x y z ∴=+∴-=-+-∴=++----=∴++=证明：①必要性 、、、四点共面， ，，， 令()()() 1, 1,x y z OP y z OA yOB zOC OP OA y OB OA z OC OA AP y AB z AC A B C P ++=∴=--++∴-=-+-∴=+∴②充分性，，、、、四点共面. 六、空间向量基本定理 {} ,,a b c p x y z p xa yb zc a b c a b c ?若,,不共面，对于任意，使=++，称,,做空间的一个基底，, ,都叫做基向量.
高中数学-空间向量及向量的应用
高中数学 - 空间向量及向量的应用 空间直角坐标系的原则： 规定：一切空间向量的起点都是坐标系原点，于是，空间任意一个向量与它的终点坐标一一对应 一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。 设 ， ， 空间向量的直角坐标运算： 空间两点间距离： ； 1：利用空间向量证明空间位置关系（同平面向量） 2：利用空间向量求线线角、线面角 1 ）异面直线所成角 设 分别为异面直线 的方向向量，则 则： 空间线段 的中点 M （x ，y ，z ）的坐标：
2 ）线面角 设 是直线 l 的方向向量， n 是平面的法向量，则 3 ：利用空间向量求二面角 其计算公式为：设 分别为平面 的法向量，则 与 互补或相等， 操作方法： 1．空间中各种角包括：异面直线所成的角、直线与平面所成的角以及二面角。 ①棱上一点双垂线法：②面上一点三垂线法：③空间一点垂面法： 斜面面积和射影面积的关系公式： S S cos （ S 为原斜面面积 , S 为射影面积 , 为斜面与射影所成二面 角的平面角 ）这个公式对于斜面为三角 形 , 任意多边形都成立 . 是求二面角的好方法 .当作二面角的平面角有困难时 如果能找得斜面面积的射影面积 ,可直接应用公式 ,求出二面角的大小。 2．空间的距离 点线距，点面距，线线距，线面距，面面距都是对应图形上两点间的最短距离 3．空间向量的应用 （1）用法向量求异面直线间的距离 2）直线与平面所成的角的范围是 [0, ] 。射影转化法 2 方法 3）二面角的范围一般是指 （0, ]，解题时要注意图形的位置和题目的要求。作二面角的平面角常有三种 1）异面直线所成的角的范围 是 b F
(完整word)高中数学平面向量基础练习及答案
基础练习 1、若(3,5)AB =u u u r ，(1,7)AC =u u u r , 则BC =u u u r （ ） A ．（－2，－2） B ．（－2，2） C ．（4， 2） D ．（－4,－12） 2、已知平面向量→a ＝(1，1)，→b ＝(1，－1)，则向量12→a －32→b ＝ ( ) A 、(－2，－1) B 、(－2，1) C 、(－1，0) D 、(－1，2) 3、已知平面向量a r =（1，－3），b r =（4，－2），a b λ+r r 与a r 垂直，则λ是（ ） A. －1 B. 1 C. －2 D. 2 4、若平面向量b r 与向量a r =（1，－2）的夹角是180°，且|b r |=，则b r =（ ） A ．（－1，2） B ．（－3，6） C ．（3，－6） D ．（－3，6）或（3，－6） 5、在ABC AB BC AB ABC ?=+??则中，若,02是（ ） A ．锐角三角形 B ． 直角三角形 C ．钝角三角形 D ．等腰直角三角形 6、直角坐标平面内三点()()()1,23,29,7A B C -、、，若E F 、为线段BC 的三等分点，则·＝（ ） （A ）20 （B ）21 （C ）22 （D ）23 7.在四边形ABCD 中，AB =a +2b ，=－4a －b ，=－5a －3b ，其中a 、b 不共线，则四 边形ABCD 为（ ） A.平行四边形 B.矩形 C.梯形 D.菱形 8.已知()() 3,4,223,a b a b a b ==++=r r r r r r g 那么a r 与b r 夹角为（ ） A 、60? B 、90? C 、120? D 、150? 9.已知D 、E 、F 分别是△ABC 的边BC 、CA 、AB 的中点，且BC =a r ，=b r ，=c r , 则下列各式： ①=21c r －21b r ②=a r +2 1b r ③CF =－21a r +2 1b r ④++CF =0r 其中正确的等式的个数为（ ） A.1 B.2 C.3 D.4 10.已知向量a ＝（3，－4），b ＝（2，x ）， c ＝（2，y ）且a ∥b ，a ⊥c ．求|b －c |的值．
高中数学的空间向量知识
高中数学的空间向量知识 基本内容 空间向量作为新加入的内容，在处理空间问题中具有相当的优越性，比原来处理空间问题的方法更有灵活性。 如把立体几何中的线面关系问题及求角求距离问题转化为用向量解决，如何取向量或建立空间坐标系，找到所论证的平行垂直等关系，所求的角和距离用向量怎样来表达是问题的关键．立体几何的计算和证明常常涉及到二大问题：一是位置关系，它主要包括线线垂直，线面垂直，线线平行，线面平行；二是度量问题，它主要包括点到线、点到面的距离，线线、线面所成角，面面所成角等。这里比较多的主要是用向量证明线线、线面垂直及计算线线角，而如何用向量证明线面平行，计算点到平面的距离、线面角及面面角的例题不多，起到一个抛砖引玉的作用。 以下用向量法求解的简单常识： 1、空间一点P位于平面MAB的充要条件是存在唯一的有序实数对x、y，使得PM=xPA+yPB(其中PM等为向量，由于图不方便做就如此代替，下同） 2、对空间任一点O和不共线的三点A，B，C，若：OP=xOA+yOB+zOC （其中x＋y＋z=1），则四点P、A、B、C共面． 3、利用向量证a‖b，就是分别在a，b上取向量（k∈R）． 4、利用向量证在线a⊥b，就是分别在a，b上取向量． 5、利用向量求两直线a与b的夹角，就是分别在a，b上取，求：的问题． 6、利用向量求距离就是转化成求向量的模问题：． 7、利用坐标法研究线面关系或求角和距离，关键是建立正确的空间直角坐标系，正确表达已知点的坐标． 首先该图形能建坐标系 如果能建 则先要会求面的法向量 求面的法向量的方法是 1。尽量在空中找到与面垂直的向量 2。如果找不到，那么就设n=（x,y,z） 然后因为法向量垂直于面 所以n垂直于面内两相交直线
高中数学-空间向量的基本定理练习
高中数学-空间向量的基本定理练习 课后导练 基础达标 1.若对任意一点O ，且OP =y x +,则x+y=1是P 、A 、B 三点共线的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 答案：C 2.已知点M 在平面ABC 内，并且对空间任一点O ，OM OM=x + 31+31,则x 的值为…( ) A.1 B.0 C.3 D. 3 1 答案：D 3.在以下命题中,不正确的个数是（ ） ①已知A,B,C,D 是空间任意四点,则DA CD BC AB +++=0 ②|a |+|b |=|a +b |是a ,b 共线的充要条件 ③若a 与b 共线,则a 与b 所在的直线的平行 ④对空间任意一点O 和不共线的三点A,B,C,若z y x ++=,(其中x,y,z∈R ),则P,A,B,C 四点共面 A.1 B.2 C.3 D.4 答案：C 4.设命题p:a ,b ,c 是三个非零向量;命题q:{a ,b ,c }为空间的一个基底,则命题p 是命题q 的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案：B 5.下列条件中，使M 与A 、B 、C 一定共面的是( ) A.OM --= B.MC MB MA ++=0 C.3 13131++++ D.OC OB OA OM +-=2 答案：B 6.在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 为矩形ABC Ｄ的对角线的交点，设A 1=a,11B A =b,11D A =c,则E A 1=____________.
答案：a +21b +21c 7.设O 为空间任意一点,a,b 为不共线向量,OA =a,OB =b,OC =ma+nb,(m,n∈k)若A,B,C 三点共线,则m,n 满足____________. 答案：m+n=1. 8.已知A 、B 、C 三点不共线，对平面ABC 外一点O ，在下列各条件下，点P 是否与A 、B 、C 一定共面？ (1)OP =52OA +51OB +5 2OC ； (2)OP=2OA-2OB-OC. 解：(1)OP = 52OA +51OB +52OC . ∵1525152=++,∴P 与A 、B 、C 共面. (2)OP =OC OB OA --22. ∵2-2-1=-1,∴P 与A 、B 、C 不共面. 9.如右图，已知四边形ABCD 是空间四边形，E 、H 分别是边AB 、AD 的中点，F 、G 分别是边CB 、CD 上的点，且CF =32CB ,CG =3 2CD . 求证：四边形EFGH 是梯形． 证明：∵E、H 分别是AB 、AD 的中点, ∴= 21,=2 1， EH =-=21AD -21AB =21(AD -AB )=21BD =2 1(CB CD -) =21(23CG -23CF )=43(-)=4 3. ∴EH ∥FG 且|EH |=43|FG |≠|FG |. ∴四边形EFGH 是梯形. 综合运用 10.如右图，平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 为AC 与BD 的交点，若11B A =a ，11D A =b ，11A A =c ，则下列向量中与B 1M 相等的向量是（ ）
(完整版)高中数学空间向量训练题
高中数学空间向量训练题（含解析） 一．选择题 1．已知M、N分别是四面体OABC的棱OA，BC的中点，点P在线MN上，且MP=2PN，设向量=，=，=，则=（） A．++B．++C．++D．++ 2．已知=（2，﹣1，2），=（﹣1，3，﹣3），=（13，6，λ），若向量，，共面，则λ=（） A．2 B．3 C．4 D．6 3．空间中，与向量同向共线的单位向量为（） A．B．或 C． D．或 4．已知向量，且，则x的值为（） A．12 B．10 C．﹣14 D．14 5．若A，B，C不共线，对于空间任意一点O都有=++，则P，A，B，C四点（） A．不共面B．共面C．共线D．不共线 6．已知平面α的法向量是（2，3，﹣1），平面β的法向量是（4，λ，﹣2），若α∥β，则λ的值是（）
A．B．﹣6 C．6 D． 7．已知，则的最小值是（）A．B．C．D． 8．有四个命题：①若=x+y，则与、共面；②若与、共面，则=x+y；③若=x+y，则P，M，A，B共面；④若P，M，A，B共面，则=x+y．其中真命题的个数是（） A．1 B．2 C．3 D．4 9．已知向量=（2，﹣1，1），=（1，2，1），则以，为邻边的平行四边形的面积为（）A．B．C．4 D．8 10．如图所示，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AD=AA1=1，AB=2，点E是棱AB的中点，则点E到平面ACD1的距离为（） A．B． C．D． 11．正方体ABCDA1B1C1D1中，直线DD1与平面A1BC1所成角的正弦值为（） A． B． C．D． 二．填空题（共5小题） 12．已知向量=（k，12，1），=（4，5，1），=（﹣k，10，1），且A、B、C三点共线，则k= ． 13．正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，MN是正方体内切球的直径，P为正方体表面上的动点，则?的最大值为． 14．已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点，如果=（2，﹣1，﹣4），=（4，
高中数学-空间向量及向量的应用
高中数学-空间向量及向量的应用 一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。 设血勺乃召），氓叫?乃w ）， AB = OB-OA=（^y 2l 切—（吊丹 丑）=（乃—咛乃—丹 勺一匂） 空间向量的直角坐标运算： 设Q = 2],砌，色3 $ =1鹉毎妇则； ① 口+ b= P],曲，电 宀|俎,给禺 ?=I 角十知鬥 +為、屯 +鸟I ? ② a-b = \ a^a 2,a 21■ 诲.场岛i =（业一％ 气-如 码一為 帀 ③ 加=兄I 曲卫2，? ' = I 現珂"久卷 '（/i e 7?）； ④ 总■&= |气命4 片妇任 | = &占 + 逐血 +&並： ⑤ 口0Fe 鱼二 空三生=左或。『舌寻口[三碣‘ - 冊节 处二赵; 对? $ ⑥ 7丄匸q 口血十口曲十m 禺=0 ； 空间两点间距离:丄“ 「 1 :利用空间向量证明空间位置关系（同平面向量） 2:利用空间向量求线线角、线面角 （1）异面直线所成角Z ? gw 设Q”分别为异面直线讥的方向向量，则 则: 空间线段 的中点M （x ，y ，z ）的坐标: 空间直角坐标系的原则: 规定：一切空间向量的起点都是坐标系原点，于是，空间任意一个向量与它的终点坐标一一对应
(2) 线面角凰打殳《是直线l 的方向向量，n 是平面的法向量，则 3 :利用空间向量求二面角 其计算公式为：设 加“分别为平面G 8的法向量，则 与，剤7 互补或相等, - ? ? . m * n |( csfl i = | A>| = I 忘I * I 云I 操作方法： 1 ?空间中各种角包括：异面直线所成的角、直线与平面所成的角以及二面角。 ①棱上一点双垂线法：②面上一点三垂线法：③空间一点垂面法: 斜面面积和射影面积的关系公式： S S cos (S 为原斜面面积，S 为射影面积，为斜面与射影所成二面 角的平面角)这个公式对于斜面为三角形 ,任意多边形都成立.是求二面角的好方法.当作二面角的平面角有困难时 如果能找得斜面面积的射影面积 ，可直接应用公式，求岀二面角的大小。 2 ?空间的距离 点线距，点面距，线线距，线面距，面面距都是对应图形上两点间的最短距离 3 ?空间向量的应用 (1 )用法向量求异面直线间的距离 CQS P rris-：欧 * b (1)异面直线所成的角的范围是 (2 )直线与平面所成的角的范围是 ［0,—］。射影转 化法 2 方法 (3 )二面角的范围一般是指 (0,］，解题时要注意图形的位置和题目的要求。作二面角的平面角常有三种 b F
(完整版)高中数学平面向量讲义
专题六 平面向量 一. 基本知识 【1】 向量的基本概念与基本运算 （1）向量的基本概念： ①向量：既有大小又有方向的量 向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小． ②零向量：长度为0的向量，记为0 ，其方向是任意的，0 与任意向量平行 ③单位向量：模为1个单位长度的向量 ④平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量 ⑤相等向量：长度相等且方向相同的向量 （2）向量的加法：设,AB a BC b u u u r u u u r r r ，则a +b r =AB BC u u u r u u u r =AC u u u r ①a a a 00；②向量加法满足交换律与结合律； AB BC CD PQ QR AR u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r L ，但这时必须“首尾相连”． （3）向量的减法： ① 相反向量：与a 长度相等、方向相反的向量，叫做a 的相反向量 ②向量减法：向量a 加上b 的相反向量叫做a 与b 的差， ③作图法：b a 可以表示为从b 的终点指向a 的终点的向量（a 、b 有共同起点） （4）实数与向量的积：实数λ与向量a 的积是一个向量，记作λa ，它的长度与方向规定如下： （Ⅰ）a a ； （Ⅱ）当0 时，λa 的方向与a 的方向相同；当0 时，λ a 的方向与a 的方向相反；当0 时，0 a ，方向是任意的 （5）两个向量共线定理：向量b 与非零向量a 共线 有且只有一个实数 ，使得b =a （6）平面向量的基本定理：如果21,e e 是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数21, 使：2211e e a ，其中不共线的向量21,e e 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底 【2】平面向量的坐标表示
空间向量高中数学教案课程
空间向量 考纲导读 1．理解空间向量的概念；掌握空间向量的加法、减法和数乘． 2．了解空间向量的基本定理；理解空间向量坐标的概念；掌握空间向量的坐标运算． 3．掌握空间向量的数量积的定义及其性质；掌握用直角坐标计算空间向量数量积的公式； 掌 握 空 间 两 点 间 的距离公式． 理解空间向量的夹角的概念；掌握空间向量的数量积的概念、性质和运算律；了解空间向量的数量积的几何意义；掌握空间向量的数量积的坐标形式；能用向量的数量积判断向量的共线与垂直. 第1课时空间向量及其运算 空间向量是平面向量的推广．在空间，任意两个向量都可以通过平移转化为平面向量．因此，空间向量的加减、数乘向量运算也是平面向量对应运算的推广． 本节知识点是：
1．空间向量的概念，空间向量的加法、减法、数乘运算和数量积；(1) 向量：具有 和 的量． (2) 向量相等：方向 且长度 ． (3) 向量加法法则： ．(4) 向量减法法则： ．(5) 数乘向量法则： ．3．共线向量 (1)共线向量：表示空间向量的有向线段所在的直线互相 或 ．(2) 共线向量定理：对空间任意两个向量a 、b (b ≠0)，a ∥b 等价于存在实数λ，使 ． (3) 直线的向量参数方程：设直线l 过定点A 且平行于非零向量a ，则对于空间中任意一点O ，点P 在l 上等价于存在R t ∈，使 ．4．共面向量 (1) 共面向量：平行于 的向量． (2) 共面向量定理：两个向量a 、b 不共线，则向量P 与向量a 、b 共面的充要条件是存在实数对(y x ,)，使P ． 共面向量定理的推论： ．5．空间向量基本定理 (1) 空间向量的基底： 的三个向量． 2．线性运算律 (1) 加法交换律：a ＋b ＝ ．
苏教版数学选修2-1：3.1 空间向量及其运算3.1.5
1.若a ，b 均为非零向量，则a ·b ＝|a ||b |是a 与b 共线的____________条件． 解析：a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉＝|a ||b |?cos 〈a ，b 〉＝1?〈a ，b 〉＝0，当a 与b 反向时，不成立． 答案：充分不必要 2.对于向量a ，b ，c 和实数λ，下列命题中真命题是________(填序号)． ①若a ·b ＝0，则a ＝0或b ＝0； ②若λa ＝0，则λ＝0或a ＝0； ③若a 2＝b 2，则a ＝b 或a ＝－b ； ④若a ·b ＝a ·c ，则b ＝c . 解析：①中若a ⊥b ，则有a ·b ＝0，不一定有a ＝0或b ＝0. ③中当|a |＝|b |时，a 2＝b 2，此时不一定有a ＝b 或a ＝－b . ④中当a ＝0时，a ·b ＝a ·c ，不一定有b ＝c . 答案：② 3.已知向量a ，b 满足条件：|a |＝2，|b |＝2，且a 与2b －a 互相垂直，则a 与b 的夹角为________． 解析：因为a 与2b －a 互相垂直，所以a ·(2b －a )＝0. 即2a ·b －a 2＝0.所以2|a ||b |cos 〈a ，b 〉－|a |2＝0， 所以cos 〈a ，b 〉＝22 ，所以a 与b 的夹角为45°. 答案：45° 4.已知a ，b 均为单位向量，它们的夹角为60°，那么|a ＋3b |＝________． 解析：|a ＋3b |2＝(a ＋3b )2＝a 2＋6a ·b ＋9b 2＝13. 答案：13 [A 级 基础达标] 1.(2011·高考重庆卷)已知单位向量e 1，e 2的夹角为60°，则|2e 1－e 2|＝__________． 解析：|2e 1－e 2|2＝4e 21－4e 1·e 2＋e 22＝4－4×1×1×cos60°＋1＝3，∴|2e 1－e 2|＝ 3. 答案： 3 2.若向量a 与b 不共线，a ·b ≠0，且c ＝a －(a ·a a ·b )b ，则向量a 与c 的夹角为__________． 解析：a ·c ＝a ·[a －(a ·a a ·b )b ]＝a ·a －(a ·a a ·b )b ·a ＝a ·a －a ·a ＝0，∴a ⊥c . 答案：90° 3.已知三点A (1，－2，11)，B (4，2，3)，C (6，－1，4)，则三角形ABC 的形状是__________． 解析：AB →＝(3，4，－8)，BC →＝(2，－3，1)，AC →＝(5，1，－7)． ∴|AB →|＝89，|BC →|＝14，|AC →|＝75， ∴|AB →|2＝|BC →|2＋|AC →|2，
高中数学(理)空间向量知识点归纳总结及综合练习
空间向量知识点归纳总结 知识要点。 1. 空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。 注：（1）向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。 （2）空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示。 2. 空间向量的运算。 3. 共线向量。 （1）如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，那么这些向量也叫做共线向量或平行向量， a 平行于 b ，记作b a //。 》 （2）共线向量定理：空间任意两个向量a 、b （b ≠0 ），a b a b 共面向量 （1）定义：一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量。 说明：空间任意的两向量都是共面的。 （2）共面向量定理：如果两个向量,a b 不共线，p 与向量,a b 共面的条件是存在实数,x y 使 p xa yb =+。 5. 空间向量基本定理：如果三个向量,,a b c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在一个唯一的有序实数组 ,,x y z ，使p xa yb zc =++。 若三向量,,a b c 不共面，我们把{,,}a b c 叫做空间的一个基底，,,a b c 叫做基向量，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底。 推论：设,,,O A B C 是不共面的四点，则对空间任一点P ，都存在唯一的三个有序实数,,x y z ，使 OP xOA yOB zOC =++。 6. 空间向量的直角坐标系： ~ （1）空间直角坐标系中的坐标： （2）空间向量的直角坐标运算律： ①若123(,,)a a a a =，123(,,)b b b b =，则112233(,,)a b a b a b a b +=+++， 112233(,,)a b a b a b a b -=---，123(,,)()a a a a R λλλλλ=∈， 112233a b a b a b a b ?=++， 112233//,,()a b a b a b a b R λλλλ?===∈， 1122330a b a b a b a b ⊥?++=。 ②若111(,,)A x y z ，222(,,)B x y z ，则212121(,,)AB x x y y z z =---。 一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。 》
高中数学向量总结归纳
平面向量的数量积及平面向量的应用 1.定义及运算律. 两个向量的内积(即数量积),其结果是一个实数，而不是向量.其定义源于物理学中“力所做的功”. 设a 及b 是具有共同始点的两个非零向量,其夹角θ满足:0°≤θ≤180°,我们把|a |·|b |·cos θ叫做a 与b 的数量积，记作a ·b 若a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),则a ·b =2121y y x x +. 其运算满足“交换律”“结合律”以及“分配律”,即:a ·b =b ·a ，(λ·a )·b =λ(a ·b )，(a ±b )·c =a ·c ±b ·c . 2.平面向量数量积的重要性质. ①|a |=a a ?=2||cos ||||a a a =θ?;cos θ=| |||) (b a b a ??;|a ·b |≤|a |·|b |,当且仅当a ,b 共线时取等号. ②设a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),则:|a |= 21 21y x +;cos θ= 22 22 21 21 2121) (y x y x y y x x + ? + +;|x 1x 2+y 1y 2|≤ 2 2 222121y x y x +?+ 3.两向量垂直的充要条件 若a ,b 均为非零向量,则:a ⊥b ?a ·b =0. 若a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),则a ⊥b ?x 1x 2+y 1y 2=0. 4.向量的模及三角不等式 |a |2=a ·a 或|a |=a a ?;|a ·b |≤|a |·|b |;|a |2-|b |2=(a +b )·(a -b );|a ±b |=θ??±+cos ||||222b a b a (θ为a ,b 夹角);||a |-|b ||≤|a ±b |≤|a |+|b |. 5.三角不等式的推广形式 |a 1+a 2+…+a n |≤|a 1|+|a 2|+…+|a n |.
高中数学 空间向量及其运算 教案
空间向量及其运算 【高考导航】 本节内容是高中教材新增加的内容，在近两年的高考考查中多作为解题的方法进行考查，主要是解题的方法上因引入向量得以扩展.例如2001上海5分，2002上海5分. 【学法点拨】 本节共有4个知识点：空间向量及其线性运算、共线向量与共面向量、空间向量的分解定理、两个向量的数量积.这一节是空间向量的重点，在学习本节内容时要与平面向量的知识结合起来，认识到研究的范围已由平面扩大到空间.一个向量是空间的一个平移，两个不平行向量确定的是一个平行平面集，在此基础上，把平行向量基本定理和平面向量基本定理推广到空间，得出空间直线与平面的表达式，有了这两个表达式，我们可以很方便地解决空间的共线和共面问题.空间向量基本定理是空间几何研究代数化的基础，有了这个定理，整个空间被3个不共面的基向量所确定，空间一个点或一个向量和实数组（x ，y ，z ）建立起一一对应关系，空间向量的数量积一节中，由于空间任一向量都可以转化为共面向量，所以空间两个向量的夹角的定义、取值范围、两个向量垂直的定义和表示符号及向量的模的概念和表示符号等，都与平面向量相同. 【基础知识必备】 一、必记知识精选 1.空间向量的定义 (1)向量：在空间中具有大小和方向的量叫作向量，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量. (2)向量的表示有三种形式：a ,AB ，有向线段. 2.空间向量的加法、减法及数乘运算. (1)空间向量的加法.满足三角形法则和平行四边形法则，可简记为:首尾相连，由首到尾.求空间若干个向量之和时，可通过平移将它们转化为首尾相接的向量.首尾相接的若干个向量若构成一个封闭图形，则它们的和为0，即21A A +32A A +…1A A n =0. (2)空间向量的减法.减法满足三角形法则,让减数向量与被减数向量的起点相同,差向量由减数向量的终点指向被减数向量的终点,可简记为“起点相同,指向一定”,另外要注意 -=的逆应用. (3)空间向量的数量积.注意其结果仍为一向量. 3.共线向量与共面向量的定义. (1)如果表示空间向量的有向线段在直线互相平行或重合,那么这些向量叫做共线向量或平行向量.对于空间任意两个向量a,b(b≠0),a∥b ?a=λb ,若A 、B 、P 三点共线,则对空间任意一点O ,存在实数t,使得OP =(1-t)OA +t OB ,当t=2 1 时,P 是线段AB 的中点,则中点公式为OP = 2 1 (OA +). (2)如果向量a 所在直线O A 平行于平面α或a 在α内,则记为a ∥α,平行于同一个平面的
高中数学向量基础知识
高中数学的平面向量知识向量的概念表c，.......（物理学中叫做矢量），向量可以用a，b，既有方向又有大小的量叫做向量（物示，也可以用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示。只有大小没有方向的量叫做数量）。在自然界中，有许多量既有大小又有方向，如力、速度等。我们为了研究理学中叫做标量这些量的这个共性，在它们的基础上提取出了向量这个概念。这样，研究清楚了向量的性质，当然用它来研究其它量，就会方便许多。向量的几何表示是印刷体，AB。（AB有向线段，以A为起点，B为终点的有向线段记作具有方向的线段叫做也就是粗体字母，书写体是上面加个→） AB|。AB的长度叫做向量的模，记作| 有向线段个因素：起点、方向、长度。有向线段包含3 相等向量、平行向量、共线向量、零向量、单位向量： 相等向量。长度相等且方向相同的向量叫做共线向量，两个方向相同或相反的非零向量叫做平行向量或 ，，零向量与任意向量平行，即0//a、向量ab平行，记作a//b 在向量中共线向量就是平行向量，（这和直线不同，直线共线就是同一条直线了，而向量 共线就是指两条是平行向量）”是有区别。（注意粗体格式，实数“0”和向量“0零向量，记作 0长度等于0的向量叫做的）的方向是任意的；且零向量与任何向量都平行，垂直。零向量。1个单位长度的向量叫做单位向量模 等于 平面向量的坐标表示作为基底。任作ji、x 在直角坐标系内，我们分别取与轴、 y轴方向相同的两个单位向量 ，使得、y，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x一个向量a +yj a=xi 的（直角）坐标，记作）叫做向量，ya 我们把（x ），，y（ a=x 向量的坐标表示。在y轴上的坐标，上式叫做叫做在其中 x叫做ax轴上的坐标，ya 在平面直角坐标系内，每一个平面向量都可以用一对实数唯一表示。注意：平面向量的坐标与点的坐标不一样，平面向量的坐标是相对的。而点的坐标是绝对 ），）那么该向量上的所有点都可以用（，的。若一向量的起点在原点，例如该向量为（12a2a1 / 5 表示。即，若一向量的起点在原点，那么该向量上的任意一点的横纵坐标比例关系与向量坐标。关系是的比例的一样
高中数学平面向量公式
1、向量的的数量积 定义：已知两个非零向量a,b。作OA=a,OB=b,则角AOB称作向量a和向量b的夹角，记作〈a,b〉并规定0≤〈a,b〉≤π 定义：两个向量的数量积（内积、点积）是一个数量，记作a?b。若a、b不共线，则a?b=|a|?|b|?cos〈a，b〉；若a、b共线，则a?b=+-∣a∣∣b∣。 向量的数量积的坐标表示：a?b=x?x'+y?y'。 向量的数量积的运算律 a?b=b?a（交换律）； (λa)?b=λ(a?b)(关于数乘法的结合律)； （a+b)?c=a?c+b?c（分配律）； 向量的数量积的性质 a?a=|a|的平方。 a⊥b 〈=〉a?b=0。 |a?b|≤|a|?|b|。 向量的数量积与实数运算的主要不同点 1、向量的数量积不满足结合律，即：(a?b)?c≠a?(b?c)；例如：(a?b)^2≠a^2?b^2。 2、向量的数量积不满足消去律，即：由a?b=a?c (a≠0)，推不出b=c。 3、|a?b|≠|a|?|b| 4、由|a|=|b| ，推不出a=b或a=-b。 2、向量的向量积 定义：两个向量a和b的向量积（外积、叉积）是一个向量，记作a×b。若a、b不共线，则a×b的模是：∣a×b∣=|a|?|b|?sin〈a，b〉；a×b的方向是：垂直于a和b，且a、b和a×b按这个次序构成右手系。若a、b共线，则a×b=0。向量的向量积性质： ∣a×b∣是以a和b为边的平行四边形面积。 a×a=0。 a‖b〈=〉a×b=0。 向量的向量积运算律 a×b=-b×a； （λa）×b=λ（a×b）=a×（λb）； （a+b）×c=a×c+b×c. 注：向量没有除法，“向量AB/向量CD”是没有意义的。 3、向量的三角形不等式 1、∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a+b∣≤∣a∣+∣b∣； ①当且仅当a、b反向时，左边取等号； ②当且仅当a、b同向时，右边取等号。 2、∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a-b∣≤∣a∣+∣b∣。 ①当且仅当a、b同向时，左边取等号； ②当且仅当a、b反向时，右边取等号。 4、定比分点
高中数学空间向量与立体几何单元练习题
《空间向量与立体几何》习题 一、选择题（每小题5分，共50分） 1.如图，在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 为AC 与BD 的交点.若11B A =a ， 11D A =b ，A A 1=c ，则下列向量中与M B 1相等的向量是 A .－ 21a +21b +c B .21a +21b +c C .2 1a － 21b +c D .－21a －2 1 b + c 2.下列等式中，使点M 与点A 、B 、C 一定共面的是 A.OC OB OA OM --=23 B.OC OB OA OM 51 3121++= C.0=+++OC OB OA OM D.0=++MC MB MA 3.已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线的长都等于1，点E 、F 分别是AB 、AD 的中点，则DC EF ?等于 A.41 B.4 1 - C.43 D.43- 4.若)2,,1(λ=a ，)1,1,2(-=b ，a 与b 的夹角为060，则λ的值为 A.17或-1 B.-17或1 C.-1 D.1 5.设)2,1,1(-=OA ，)8,2,3(=OB ，)0,1,0(=OC ，则线段AB 的中点P 到点C 的距离为 A. 213 B.253 C.453 D.4 53 6.下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是 A ．①② B ．①③ C ．①④ D ．②④ 7.右图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是 ①正方体 ②圆锥 ③三棱台 ④正四棱锥
A .9π B .10π C .11π D .12π 8.如图，ABCD -A 1B 1C 1D 1为正方体，下面结论错误．．的是 A .BD ∥平面CB 1D 1 B .AC 1⊥BD C .AC 1⊥平面CB 1 D 1 D .异面直线AD 与CB 1所成的角为60° 9.如图，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB =BC =2,AA 1=1,则BC 1与平面BB 1D 1D 所成角的正弦值为 A . 6 B .552 C .15 D .10 10.⊿ABC 的三个顶点分别是)2,1,1(-A ，)2,6,5(-B ，)1,3,1(-C ，则AC 边上的高BD 长为 A.5 B.41 C.4 D.52 二、填空题（每小题5分，共20分） 11.设)3,4,(x =a ，),2,3(y -=b ，且b a //，则=xy . 12.已知向量)1,1,0(-=a ，)0,1,4(=b ，29=+b a λ且0λ>，则λ=________. 13.在直角坐标系xOy 中，设A （-2，3），B （3，-2），沿x 轴把直角坐标平面折成大小为θ的二面角后，这时112=AB ，则θ的大小为 ． 14.如图，P —ABCD 是正四棱锥， 1111ABCD A B C D -是正方体，其中 2,6AB PA ==，则1B 到平面P AD 的距离为 . 三、解答题（共80分） 俯视图 正(主)视图 侧(左)视图 2 3 2 2
高一数学必修四平面向量基础练习题及答案
平面向量的基本定理及坐标表示 一、选择题 1、若向量a = (1,1), b = (1,－1), c =(－1,2),则 c 等于( ) A 、21- a +23 b B 、21a 23-b C 、23a 2 1-b D 、2 3- a + 21b 2、已知，A （2，3），B （－4，5），则与AB 共线的单位向量是 （ ） A 、)10 10 ,10103(- =e B 、)10 10 ,10103()1010,10103(-- =或e C 、)2,6(-=e D 、)2,6()2,6(或-=e 3、已知b a b a k b a 3),2,3(),2,1(-+-==与垂直时k 值为 （ ） A 、17 B 、18 C 、19 D 、20 4、已知向量OP =(2，1)，OA =(1，7)，OB =(5，1)，设X 是直线OP 上的一点(O 为坐标原点)，那么XB XA ?的最小值是 ( ) A 、-16 B 、-8 C 、0 D 、4 5、若向量)1,2(),2,1(-==n m 分别是直线ax+(b －a)y －a=0和ax+4by+b=0的方向向量，则 a, b 的值分别可以是 （ ） A 、 －1 ，2 B 、 －2 ，1 C 、 1 ，2 D 、 2，1 6、若向量a =(cos α,sin β)，b =(cos α ,sin β )，则a 与b 一定满足 （ ） A 、a 与b 的夹角等于α－β B 、(a ＋b )⊥(a －b ) C 、a ∥b D 、a ⊥b 7、设j i ,分别是x 轴，y 轴正方向上的单位向量，j i OP θθsin 3cos 3+=， i OQ -=∈),2 ,0(π θ。若用 来表示OP 与OQ 的夹角，则 等于 （ ） A 、θ B 、 θπ +2 C 、 θπ -2 D 、θπ- 8、设πθ20<≤，已知两个向量()θθsin ,cos 1=OP ，()θθcos 2,sin 22-+=OP ，则向