四川省米易中学2014届高三数学下学期第一次段考试题 文

米易中学2014届高三下学期第一次段考数学(文)试题

一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合A={x|0

2.在复平面内,复数2i

i +的对应点位于( )

(A )第一象限 (B )第二象限 (C ) 第三象限 (D )第四象限 3.已知命题p :1≤∈x cos R x ,有对任意,则( )

A .1≥∈?x cos R x p ,使:存在

B .1≥∈?x cos R x p ,有:对任意

C .1>∈?x cos R x p ,使:存在

D .1>∈?x cos R x p ,有:对任意

4.为了得到函数R

x x y ∈+=),42sin(π

的图像,只需将函数R x x y ∈=,2sin 图像上所有的点

( )

A .向左平行移动8π个单位长度

B .向右平行移动8π

个单位长度 C .向左平行移动4π个单位长度 D .向右平行移动4π

个单位长度

5.按照如图的程序框图执行,若输出结果为15,则M 处条件为 ( )

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A .8k ≥

B .8k <

C .16k <

D .16k ≥

6.一个四棱锥的三视图如图所示,其中主视图是腰长为1的等腰直角三角形,则这个几何体的体积是( )

A.12

B.1

C.2

3 D.2

7.函数f(x)=ln(x +1)-2

x 的零点所在的大致区间是( )

A . (3,4)

B .(1,2)

C .(2,e)

D .(0,1)

8、在满足不等式组

??

?

??≥≤-+≥+-00301y y x y x 的平面点集中随机取一点),(00y x M ,设事件A =“002x y <”,

那么事件A 发生的概率是( )

41 B .43

C .31

D .32

9.在ABC ?中,90,60,A B ==一椭圆与一双曲线都以,B C 为焦点,且都过,A 它们的离心率分别为12,,e e 则12e e +的值为( )

A .3

B

C

D .2

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10.对定义域为D 的函数,若存在距离为d 的两条平行直线11:l y kx m =+和22:l y kx m =+,

使得当x D ∈时,

()12

kx m f x kx m +≤≤+恒成立,则称函数

()

f x 在x D ∈有一个宽度为d

的通道.有下列函数:①()1

f x x =

;②()sin f x x =;③(

)f x =;④()31f x x =+.

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其中在

[)1,+∞上通道宽度为1的函数是( )

A.①③

B.②③

C.②④

D.

①④

第II 卷(非选择题)

填空题(本大题5个小题,每小题5分,共25分,只填结果,不要过程)

11.已知幂函数)(x f y =的图象过点)

22,21(,则)2(log 2f =

12.已知向量,a b 满足2,3

a b ==,

237

a b +=,则,a b 的夹角为 .

13. 已知

{}n a 为等比数列,若1064=+a a ,则9373712a a a a a a ++的值为

14.在边长为2的正方形ABCD 内部任取一点M ,则满足

90>∠AMB 的概率为_______. 15.若函数

()

y f x =在

()0,+∞上的导函数为()f x ',且不等式()()xf x f x '>恒成立,又常

数,a b ,满足0a b >>,则下列不等式一定成立的是 .

()()

bf a af b >;②

()()

af a bf b >;③

()()

bf a af b <;④

()()

af a bf b <.

三、解答题:本大题共6小题,满分75分。解答须写出文字说明,证明过程和演算步骤。

16.(本小题满分12分)已知函数

3cos 32cos sin 2)(2

-+=x x x x f ,R ∈x . (1)求函数)(x f 的最小正周期和单调递增区间; (2)在锐角三角形ABC 中,若1)(=A f ,2=?,求△ABC 的面积.

17.(本小题满分12分)在等差数列

{}n a 中,31=a ,其前n 项和为n S ,等比数列{}n b 的各

项均为正数,11=b ,公比为q ,且1222=+S b ,

22

b S q =

.

(1)求

n a 与n b ;

(2)设数列{}n c 满足

1

n n c S =

,求{}n c 的前n 项和n T .

18.(本小题满分12分)某英语学习小组共12名同学进行英语听力测试,随机抽取6名同学的测试成绩(单位:分),用茎叶图记录如下,其中茎为十位数,叶为个位数.

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(1)根据茎叶图计算样本均值;

(2)成绩高于样本均值的同学为优秀,根据茎叶图估计该小组12名同学中有几名优秀同学; (3)从该小组12名同学中任取2人,求仅有1人是来自随机抽取6人中优秀同学的概率.

19.(本小题满分12分)如图,在底面是正方形的四棱锥P ABCD -中,PA ⊥面ABCD ,BD 交AC 于点E ,F 是PC 中点,G 为AC 上一动点.

(1)求证:BD FG ⊥;

(1)确定点G 在线段AC 上的位置,使FG //平面PBD ,并说明理由. (3)如果PA=AB=2,求三棱锥B-CDF 的体积

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20.(本小题满分13分)已知椭圆C 两焦点坐标分别为

1(F ,2F ,一个顶点为

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(0,1)A -.

(Ⅰ)求椭圆C 的标准方程;

(Ⅱ)是否存在斜率为(0)k k ≠的直线l ,使直线l 与椭圆C 交于不同的两点,M N ,满足

AM AN

=. 若存在,求出k 的取值范围;若不存在,说明理由.

21.(本小题满分14分)已知函数)

(ln 2)12(21

)(2R ∈++-=x x x a ax x f .

(1)若曲线)(x f y =在x=l 和x=3处的切线互相平行,求a 的值 (2)讨论函数)(x f y =的单调区间;

(3)设x

e x x x g )2()(2-=,若对任意)2,0(1∈x ,均存在)2,0(2∈x ,使得)()(21x g x

f <,

求实数a 的取值范围.

参考答案

1.C

【解析】

试题分析:根据集合交集的定义可知C正确。

考点:集合的运算。

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5.D

【解析】

=?=→24,7

k S

k S

=?=,输

=?=→28,15 =?=→22,3

1,0

k S

==→21,1

k S

k S

出S=15,故选D.

考点:程序框图.

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7.D

8.B

【解析】

试题分析:不等式组

??

?

??≥≤-+≥+-00301y y x y x 对应的平面区域如下图中的阴影图形

h

全部基本事件对应的平面区域为ABC ? , 事件A =“002x y <”对应的平面区域为其中位于直线

2y x

= 下方的部分,即

BCD

?,由几何概型知:

()()()1

3

21

42BCD

ABC

CD h

S A S CD P A S S AC AC h ???=

=

===Ω? ,故选B.

考点:1、二元一次不等式(组)所表示的平面区域的作法;2、几何概型.

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9.C

【解析】略

3

1x =+,函数

()31

f x x =+在

[)1,+∞上增长速度较一次函数快,结合图象可知,不存在距离

为1的两条平行直线1

1:l y kx m =+和22:l y kx m =+,使得当x D ∈时,

()12

kx m f x kx m +≤≤+恒成立,故④中的函数()31

f x x =+不是在

[)1,+∞上通道宽度为1

的函数.故选A.

考点:1.新定义;2.函数的图象

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D

C

B

A

考点:古典概型 .

15.① 【解析】

试题分析:令

()()f x g x x =

,(0,)x ∈+∞.22()()()()

()xf x x f x xf x f x g x x x '''--'∴==

,因为

()()

xf x f x '>,所以()0g x '>,即g()x 在(0,)+∞上是增函数.由0a b >>得g()g()a b >,

即()()

f a f b a b >,所以()()bf a af b >.所以①成立,③不成立;再令()()h x xf x =,

(0,)x ∈+∞.所以

()()()()()h x x f x xf x f x xf x ''''=+=+,因为不能确定()h x '是否大于0,所以()h x 单调性不

能确定,即不知道()()h a af a =与()()h b bf b =的大小关系,所以②④不一定成立.因此本题填①.

考点:利用导数研究函数的单调性、导数的运算法则、利用函数单调性比较大小

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223222πππππ+≤+≤-

k x k (Z ∈k ), (2分)

12125ππππ+≤≤-

k x k (Z ∈k ), (2分)

所以,函数)(x f 的单调递增区间是??????

+-12,125ππππk k (Z ∈k ). (1分)

(2)由已知,132sin 2)(=??? ??+=πA A f ,所以2132sin =

??? ?

?

+πA , (1分) 因为

20π<

π=

+A ,从而

4π=A . (2分)

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所以,△ABC 的面积

22

22221sin |

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|||21=??=???=

A S . (2分)

考点:(1)三角函数的性质;(2)三角形的面积.

(2)由(1)可知,

()332n n n S +=

, 8分 所以

()

122113331n n c S n n n n ??=

==- ?++??

10分

()21111

121211322313131n n T n n n n ??????????=

-+-++-=-= ? ? ? ???+++????

??????… 13分 考点:1.待定系数法求通项.2.裂项求和.

21.⑴详见解析;⑵当G 为EC 中点时,FG //平面PBD ;(3)三棱锥B-CDF 的体积为32.

【解析】

试题分析:⑴证空间两直线垂直的常用方法是通过线面垂直来证明,本题中,由于直线FG 在平

面PAC 内,所以考虑证明BD ⊥平面APC .⑵注意平面PAC 与平面PBD 相交于PE ,而直线

FG 在平面PAC 内,故只需FG PE ∥即可,而这又只需G 为EC 中点即可.(3)求三棱锥B-CDF

的体积中转化为求三棱锥F -BCD 的体积,这样底面面积与高都很易求得. 试题解析:⑴∵PA ⊥面ABCD ,四边形ABCD 是正方形, 其对角线BD 、AC 交于点E , ∴PA BD ⊥,AC BD ⊥.2分 ∴BD ⊥平面APC , 3分 ∵FG ?平面PAC , ∴BD FG ⊥ 4分

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⑵当G 为EC 中点,即3

4AG AC =

时,FG ∥/平面PBD , 5分

理由如下:

连结PE ,由F 为PC 中点,G 为EC 中点,知FG PE ∥ 6分 而FG ?平面PBD ,PB ?平面PBD ,

故FG //平面PBD . 8分

(3)三棱锥B-CDF 的体积为

112221323B CDF F BCD V V --==????=

.12分 考点:1、空间直线与平面的关系;2、三棱锥的体积

.

B

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(Ⅱ)连结PD,

PA=PB,

∴ PD ⊥ AB. 4分

DE BC,BC ⊥ AB,

//

DE⊥ AB. 5分

=,

又 PD DE D

∴AB⊥平面PDE 6分

PE平面PDE,

AB⊥PE . 7分

(Ⅲ) 平面PAB⊥平面ABC,平面PAB 平面ABC=AB,PD ⊥ AB,PD⊥平面ABC.8分

如图,以D为原点建立空间直角坐标系

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由图知,

121212

||1cos cos ,2

n n n n n n θ?=<>=

=

?,所以60,θ=?即二面角的A PB E --大小为

60?. 12分

考点:1.直线与平面平行;2.直线与平面垂直的判定与性质;3.平面的二面角.

23.(1)23;(2)4;(3)3310

.

【解析】 试题分析:(1)依题意,这6个同学的将成绩从小到大依次为18,19,21,22,28,30,根据公式如果有n 个数

123,,,n x x x x ???那么这n 个数的平均数

123n

x x x x x n +++???+=

求出样本均值;(2)

由于这6个同学的成绩高于样本均值的有2名,故估计该小组12名同学中优秀的人数为

2

1246?

=名;(3)从该小组12名同学中,任取2人有

2

1266C =种方法, 而恰有1名优秀同学有11

10220C C = 种方法,

根据古典概型共是可求得仅有1人是来自随机抽取6人中优秀同学的概率.

试题解析:(1)由题意可知,样本均值181921222830

23

6x +++++=

= 4分

(2)

样本中成绩高于样本均值的同学共有2名,

∴可以估计该小组12名同学中优秀同学的人数为:

21246?

= 8分

(3)从该小组12名同学中,任取2人有21266C =种方法, 而恰有1名优秀同学有

11

10220C C = ∴所求的概率为:

111022

1220106633C C P C === 12分 考点:样本均值的求法,排列组合,古典概型. 24.ξ的分布列是

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5.2)9(9)3(3)0(0==?+=?+=?=ξξξξP P P E

获得奖金期望值的大小与答题顺序无关. 【解析】

解:(1)按先A 后B 的次序答题,获得奖金数ξ的可能值是9,3,0.

21

211)0(=-

==ξP

31)311(21)3(=-=

=ξP ,613121)9(=?==ξP 。所以ξ的分布列是

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5.2)9(9)3(3)0(0==?+=?+=?=ξξξξP P P E

(2)按先B 后A 的次序答题,获得奖金数额η的可取值为9,6,0.

所以,

32311)0(=-

==ηP ,61)211(31)6(=-==ηP ,612131)9(=?==ηP

5.2)9(9)6(6)0(0==?+=?+=?=ηηηηP P P E

由于按先A 后B 或先B 后A 的 次序答题,获得奖金期望值的大小相等. 故获得奖金期望值的大小与答题顺序无关.

25.(Ⅰ)2

21

3x y +=;(Ⅱ)存在,(1,0)(0,1)k ∈-

【解析】

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设直线l 的方程为y kx m =+,则

由22

13

x y y kx m ?+=???=+?得222(31)6330k x kmx m +++-=

因为

2222

364(31)(33)0k m k m ?=-+->得22310k m -+> ① 设

1122(,),(,)M x y N x y ,线段MN 中点为00(,)P x y ,则1222

12263133

31km x x k m x x k ?

+=-??+?-?=?+? 于是000

223,3131km m

x y kx m k k =-

=+=++

因为

AM AN

=,所以AP MN ⊥.

若0m =,则直线l 过原点,(0,0)P ,不合题意.

若0m ≠,由0k ≠得,001

1

y k x +=-,整理得2231m k =+ ②

由①②知,2

1k <, 所以11k -<< 又0k ≠,所以(1,0)

(0,1)k ∈-. 14分

考点:(1)椭圆的定义及简单几何性质(2)直线与圆锥曲线的位置关系的问题

26.(1)单调递增区间为30 2?? ???,,()2 +∞,,单调递减区间为3 22

?? ???,. (2)ln 21a >-. 【解析】

试题分析:(1)首先依题意求得

2

3a =

,确定函数的解析式,

进一步求导数:272(23)(2)()333x x f x x x x --'=

-+=,求驻点,分区间讨论导数值的正负,确

定得到单调区间.

(2)将问题加以转化:若要命题成立,只须当[]

0,2x ∈时,

max max ()()f x g x <.

()()22e x

g x x '=-可知, 当

(]

0,2x ∈时

max ()(0)(2)0g x g g ===,

所以只须

max ()0f x <.

问题进一步转化成确定()f x 的最大值,注意到

2(1)(2)

()(21)ax x f x ax a x x --'=-++

=,

12a >

时, 1a ≥时,112a <<时,

1

2a ≤

时,分别讨论. 试题解析:(1)

21

()(21),(1)1,(3)3f x ax a f a f a x '''=-++=-+=-

, 由(1)(3)f f ''=得

23a =

,272(23)(2)

()333x x f x x x x --'=-+= 3分

所以()y f x =:单调递增区间为30 2??

???,,()2 +∞,, 单调递减区间为3 22

??

???,

. 6分 (2)若要命题成立,只须当[]

0,2x ∈时,

max max ()()f x g x <. 由

()()22e x

g x x '=-可知, 当

(]

0,2x ∈时

max ()(0)(2)0

g x g g ===,

所以只须

max ()0f x <. 8分

对()f x 来说,

2(1)(2)

()(21)ax x f x ax a x x --'=-++

=,

①当

12a >

时,max 11

()()2ln 22f x f a a a ==---

当1a ≥时,显然

max ()0f x <,满足题意,

当11

2a <<时,令

()112ln 2122h x x x x ??=---<< ???, ()221

02h x x x '=-+<,所以()h x 递减,所以()0h x <,满足题意,

所以

1

2a >

满足题意; 10分

②当

1

2a ≤

时,()f x 在(]0,2x ∈上单调递增,

所以

max ()(2)2ln 222f x f a ==--0<得

1

ln 212a -<≤

, 12分

综上所述, ln 21a >-. 13分

考点:导数的几何意义,应用导数研究函数的单调性、最值.

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