第3讲 基本不等式及其应用

第3讲 基本不等式及其应用

一、选择题

1.下列不等式一定成立的是( )

A.lg ⎝ ⎛⎭

⎪⎫x 2+14>lg x (x >0) B.sin x +1sin x ≥2(x ≠k π,k ∈Z ) C.x 2+1≥2|x |(x ∈R ) D.1x 2

+1<1(x ∈R ) 解析 当x >0时,x 2+14≥2·x ·12=x ,所以lg ⎝ ⎛⎭

⎪⎫x 2+14≥lg x (x >0),故选项A 不正确;运用基本不等式时需保证“一正”“二定”“三相等”,而当x ≠k π,k ∈Z 时,sin x 的正负不定,故选项B 不正确;由基本不等式可知,选项C 正确;当x =0时,有

1x 2+1=1,故选项D 不正确. 答案 C

2.若2x +2y =1,则x +y 的取值范围是( )

A.[0,2]

B.[-2,0]

C.[-2,+∞)

D.(-∞,-2]

解析 22

x +y ≤2x +2y =1,所以2x +y ≤14,即2x +y ≤2-2,所以x +y ≤-2.

答案 D 3.(2016·合肥二模)若a ,b 都是正数,则⎝ ⎛⎭⎪⎫1+b a ·⎝ ⎛⎭

⎪⎫1+4a b 的最小值为( ) A.7 B.8 C.9 D.10

解析 ∵a ,b 都是正数,∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1+b a ⎝ ⎛⎭

⎪⎫1+4a b =5+b a +4a b ≥5+2b a ·4a

b =9,当且仅当b =2a >0时取等号.故选C.

答案 C

4.若a >0,b >0,且a +b =4,则下列不等式恒成立的是( )

A.1ab ≤14

B.1a +1b ≤1

C.ab ≥2

D.a 2+b 2≥8

解析 4=a +b ≥2ab (当且仅当a =b 时,等号成立),即ab ≤2,ab ≤4,1ab ≥

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