函数的奇偶性、周期性和对称性教案

教学过程

一、复习预习

1. 了解构成函数的要素，了解映射的概念,会求一些简单函数的定义域和值域。

2．理解函数的三种表示法：解析法、图像法和列表法，能根据不同的要求选择恰当的方法表示简单的函数。

3．了解分段函数，能用分段函数来解决一些简单的数学问题。

4．理解函数的单调性，会讨论和证明一些简单的函数的单调性；理解函数奇偶性的含义，会判断简单的函数奇偶性。

5．理解函数的最大（小）值及其几何意义，并能求出一些简单的函数的最大（小）值。6．会运用函数图像理解和研究函数的性质。

二、知识讲解

考点1：奇、偶函数的概念和性质

1．奇、偶函数的概念

一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数．

一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数．

奇函数的图象关于原点对称；偶函数的图象关于y轴对称．

2．奇、偶函数的性质

(1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反．

(2)在公共定义域内

①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数；

②两个偶函数的和、积都是偶函数；

③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数．

(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期

一条规律：

奇、偶函数的定义域关于原点对称．（函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要不充分条件．）

两个性质：

(1)若奇函数f(x)在x＝0处有定义，则f(0)＝0.

(2)设f(x)，g(x)的定义域分别是D1，D2，那么在它们的公共定义域上：

奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．

三种方法

判断函数的奇偶性，一般有三种方法：(1)定义法；(2)图像法；(3)性质法．

三条结论

(1)若对于R上的任意的x都有f(2a－x)＝f(x)或f(－x)＝f(2a＋x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称．

(2)若对于R上的任意x都有f(2a－x)＝f(x)，且f(2b－x)＝f(x)(其中a＜b)，则：y＝f(x)是以2(b－a)为周期的周期函数．

(3)若f(x＋a)＝－f(x)或

1

()

()

f x a

f x

+=

或

1

()

()

f x a

f x

+=-

，那么函数f(x)是周期函数，

其中一个周期为T＝2a；

(3)若f(x＋a)＝f(x＋b)(a≠b)，那么函数f(x)是周期函数，其中一个周期为T＝2|a－b|.

三、例题精析

【例题1】下列函数： ①f (x )＝

1－x 2＋

x 2－1；②f (x )＝x 3－x ；③f (x )＝ln(x ＋x 2＋1)；④f (x )＝

3x －3－x

2

；

⑤f (x )＝lg 1－x

1＋x .其中奇函数的个数是( )．

A ．2

B ．3

C ．4

D ．5

②f(x)＝x3－x的定义域为R，

又f(－x)＝(－x)3－(－x)＝－(x3－x)＝－f(x)，则f(x)＝x3－x是奇函数；

x2＋

则f(x)为奇函数．

【例题2】已知f (x )＝x ?

????

12x

－1＋12(x ≠0)． (1)判断f(x)的奇偶性；(2)证明：f(x)＞0.

【答案】（1）f(x)是偶函数；（2）见解析 【解析】(1)f(x)的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)

∵f(x)＝x ? ??

??12x －1＋12＝x 2·2x ＋1

2x －1. ∴f(－x)＝－x 2·2－x ＋12－x －1＝x 2·2x ＋1

2x －1＝f(x)．

故f(x)是偶函数．

(2)证明 当x ＞0时，2x ＞1,2x －1＞0，

所以f(x)＝x ?

????

12x －1＋12＞0. 当x ＜0时，－x ＞0，所以f(－x)＞0，又f(x)是偶函数， ∴f(－x)＝f(x)，所以f(x)＞0. 综上，均有f(x)＞0.

四、课堂运用

【基础】

1. 判断下列函数的奇偶性：

(1)f(x)＝4－x2

|x＋3|－3

；

(2)f(x)＝x2－|x－a|＋2.

【答案】（1）所以f(x)是奇函数；（2）当a＝0时，所以f(x)是偶函数；当a≠0时，f(x)既

不是偶函数也不是奇函数．

【解析】(1)解不等式组?

????

4－x2≥0，

|x ＋3|－3≠0，

得－2≤x<0，或0

因此函数f(x)的定义域是[－2,0)∪(0,2]，

则f(x)＝

4－x2

x . f(－x)＝

4

x 2

－x

＝－

4－x2

x

＝－f(x)， 所以f(x)是奇函数．

(2)f(x)的定义域是(－∞，＋∞)． 当a ＝0时，f(x)＝x2－|x|＋2，

f(－x)＝x2－|－x|＋2＝x2－|x|＋2＝f(x)． 因此f(x)是偶函数； 当a ≠0时，f(a)＝a2＋2， f(－a)＝a2－|2a|＋2，

f(－a)≠f(a)，且f(－a)≠－f(a)． 因此f(x)既不是偶函数也不是奇函数．

2.已知奇函数f(x)的定义域为[－2,2]，且在区间[－2,0]内递减，求满足：f(1－m)＋f(1－m2)

＜0的实数m 的取值范围．

【答案】－1≤m ＜1.

【解析】 ∵f(x)的定义域为[－2,2]，

∴有?????

－2≤1－m ≤2，－2≤1－m2≤2，

解得－1≤m ≤

3.①

又f(x)为奇函数，且在[－2,0]上递减， ∴在[－2,2]上递减，

∴f(1－m)＜－f(1－m2)＝f(m2－1)?1－m ＞m2－1， 即－2＜m ＜1.②

综合①②可知，－1≤m ＜1.

【巩固】

1.设)(x f 是定义在),(+∞-∞上以2为周期的周期函数，且)(x f 是偶函数，在区间[]3,2上，

.4)3(2)(2+--=x x f 求[]2,1∈x 时，)(x f 的解析式.

【答案】).21(4)1(2)(2

≤≤+--=∴x x x f

【解析】当[]2,3--∈x ，即[]3,2∈-x ，

4)3(24)3(2)()(22++-=+---=-=x x x f x f

又)(x f 是以2为周期的周期函数，于是当[]2,1∈x ，即243-≤-≤-x 时，

[]).

21(4)1(243)4(2)()

4()(2

2

≤≤+--=++--=?-=x x x x f x f x f 有

).21(4)1(2)(2≤≤+--=∴x x x f

2、设函数)(x f 对任意实数x 满足)2()2(x f x f -=+，=+)7(x f

,0)0()7(=-f x f 且判断函数)(x f 图象在区间[]30,30-上与x 轴至少有多少个交点.

【答案】在闭区间[]30,30-上)(x f 图象与x 轴至少有13个交点.

【解析】（由题设知函数)(x f 图象关于直线2=x 和7=x 对称，又由函数的性质得

)(x f 是以10为周期的函数.在一个周期区间[)10,0上，

,)(0)0()22()22()4(,0)0(不能恒为零且x f f f f f f ==-=+==

故)(x f 图象与x 轴至少有2个交点.

而区间[)30,30-有6个周期，故在闭区间[]30,30-上)(x f 图象与x 轴至少有13个交点.

【拔高】

1、已知f(x)是R 上的偶函数，对R x ∈都有f(x ＋6)=f(x)＋f(3)成立，若f(1)=2，则

f(2007)=_________.

【答案】0 【解析】

(6)()(3)f x f x f +=+令x=-3，则f(-3+6)=f(-3)+f(3)，即f(3)=f(-3)+f(3),

又∵f(x)为偶函数

∴f(3)=f(3)+f(3)，解得f(3)=0. ∴f(x+6)=f(x)，即函数f(x)的周期为6. 因为2007÷6=334 (3)

所以f (2007)=f (3)=0.

课程小结

【问题研究】函数的奇偶性、单调性、周期性是函数的三大性质，它们之间既有区别又有联系，高考作为考查学生综合能力的选拔性考试，在命题时，常常将它们综合在一起命制试题. 【解决方案】根据奇偶性的定义知，函数的奇偶性主要体现为f x f x

或相反关系，而根据周期函数的定义知，函数的周期性主要体现为f x＋T f x

的关系，它们都与f x

性得到.函数的奇偶性体现的是一种对称关系，而函数的单调性体现的是函数值随自变量变化而变化的规律，因此，在解题时，往往需借助函数的奇偶性或周期性来确定函数在另一区间上的单调性，即实现区间的转换，再利用单调性来解决相关问题.

课后作业

【基础】

1.已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，且在区间[0,2]上是增函数，则( )．A．f(－25)＜f(11)＜f(80) B．f(80)＜f(11)＜f(－25)

C．f(11)＜f(80)＜f(－25) D．f(－25)＜f(80)＜f(11)

【答案】D

【解析】由函数f(x)是奇函数且f(x)在[0,2]上是增函数可以推知，f(x)在[－2,2]上递增，又f(x－4)＝－f(x)?f(x－8)＝－f(x－4)＝f(x)，故函数f(x)以8为周期，

f(－25)＝f(－1)，f(11)＝f(3)＝－f(3－4)＝f(1)，

f(80)＝f(0)，故f(－25)＜f(80)＜f(11)．

故选D.

【巩固】

2.已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数，且f(x)的图象关于x＝1对称，当x∈[0,1]时，f(x)＝2x－1，

(1)求证：f(x)是周期函数；

(2)当x∈[1,2]时，求f(x)的解析式；

(3)计算f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2013)的值．

【答案】（1）见解析（2）f(x)＝f(2－x)＝22－x－1，x∈[1,2]（3）f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2013)=1

【解析】(1)证明函数f(x)为奇函数，则f(－x)＝－f(x)，函数f(x)的图象关于x＝1对称，则f(2＋x)＝f(－x)＝－f(x)，所以f(4＋x)＝f[(2＋x)＋2]＝－f(2＋x)＝f(x)，

所以f(x)是以4为周期的周期函数．

(2) 当x∈[1,2]时，2－x∈[0,1]，

又f(x)的图象关于x＝1对称，则f(x)＝f(2－x)＝22－x－1，x∈[1,2]．

(3) ∵f(0)＝0，f(1)＝1，f(2)＝0，

f(3)＝f(－1)＝－f(1)＝－1

又f(x)是以4为周期的周期函数．

∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2013)

＝f(2 012)＋f(2 013)＝f(0)＋f(1)＝1.

【拔高】

3．设f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数，f(x＋2)＝－f(x)，当0≤x≤1时，f(x)＝x.

(1)求f(π)的值；

(2)当－4≤x≤4时，求f(x)的图象与x轴所围成图形的面积；

(3)写出(－∞，＋∞)内函数f(x)的单调增(或减)区间．