专题3.12 综合求证多变换,几何结合代数算(原卷版)

专题12 综合求证多变换,几何结合代数算 【题型综述】

综合求证问题有以下类型:(1)证明直线过定点,设出直线方程,利用题中的条件与设而不求思想找出曲线方程中参数间的关系,即可求出定点.

(2)定值问题就是证明一个量或表达式的值与其中的变化因素无关,这些变化的因素可能是直线的斜率、截距,也可能是动点的坐标等,这类问题的一般解法是使用变化的量表示求证目标,通过运算得知求证目标的取值与变化的量无关.当使用直线的斜率和截距表示直线方程时,在解题过程中要注意建立斜率和截距之间的关系,把双参数问题化为单参数问题解决.

(3)恒等式的证明问题,将恒等式转化为常见的弦长、距离之比或向量关系等问题,进而转化为直线与圆锥曲线的交点坐标问题,利用设而不求思想及韦达定理即可证明.

(4)几何图形性质的证明,利用几何图形性质与向量运算的关系,转化为向量的运算或直线的斜率关系,再用直线与圆锥曲线的交点坐标问题,利用设而不求思想及韦达定理即可证明. 【典例指引】 类型一 证明分点问题

例1 【2017北京,理18】已知抛物线C :y 2=2px 过点P (1,1).过点(0,12

)作直线l 与抛物线C 交于不同的两点M ,N ,过点M 作x 轴的垂线分别与直线OP ,ON 交于点A ,B ,其中O 为原点. (Ⅰ)求抛物线C 的方程,并求其焦点坐标和准线方程;

(Ⅱ)求证:A 为线段BM 的中点..

【解析】 类型二 几何证明问题

例2. 【2015高考湖南,理20】已知抛物线2

1:4C x y =的焦点F 也是椭圆22

222:1(0)y x C a b a b +=>>的一个焦点,1C 与2C 的公共弦的长为26.

(1)求2C 的方程;

(2)过点F 的直线l 与1C 相交于A ,B 两点,与2C 相交于C ,D 两点,且AC 与BD 同向

(ⅰ)若||||AC BD =,求直线l 的斜率

(ⅱ)设1C 在点A 处的切线与x 轴的交点为M ,证明:直线l 绕点F 旋转时,MFD ∆总是钝角三角形

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