龙校五年级寒假第二讲
清华龙校 寒假讲义 第二讲概率的初步认识（二）
概率的初步认识（二）
知识提要
学习古典概型后，可能有人会认为概率就是两个计数问题的简单拼凑，没有自身的新东西。这个观点当然是肤浅的。本讲所学的内容将初步显示概率的一些自身特色。
首先，若随机试验的所有等可能结果总数是无限的，则古典概型就无能为力了。例如若已知某路口的红绿灯循环一次需要3分钟，每次循环中绿灯时间长达2分钟，考虑小明到这个路口就是绿灯的概率。此问题中，小明到达路口的时刻（即随机试验的结果）有无穷多个，其中恰好是绿灯的时刻也是无穷多个，无法
用古典概型计算其概率，但直觉建议其概率定为32
。为了更好的理解，可将此问题类比成：在3米长的线段内，有某段长2米的部分线段染成绿色，若从整条线段上任选一点，则选中绿色的点的概率应该为绿色线段长度除以整条线段长度。 一般的，如果随机试验的结果由无穷多个等可能的基本结果组成，这些结果可以用一个几何图形来代表，那么可以通过这个几何图形的度量（长度、面积、体积、角度等）来计算概率。这样的概率模型称为几何概型。限于大家所学知识，我们直观上认识初步这个概念即可。
借助于几何概型，可以澄清一个概念性问题。设想1米长的线段上任取一点，考虑恰到好处取到该线段的中点这个事件。按几何概型来算其概率显然是0，然而这个事件显然又是可能发生的，这个例子告诉我们：概率为0的事件不一定就是不可能事件，而是依然有可能发生，完全类似的容易明白：概率为1的事件不一定就是必然事件（为什么？）
接下来初步探讨时间之间的相互关系。
先来看一个例子：某罐中装有如下6个摸起来一样的球：标号分别为1,2,3的红球，和标号分别为1,2,3的黄球。从罐中随机摸出一个球。定义以下5个事件：A “摸出1号球”，B “摸出2号球”，C “摸出3号球”，D “摸出红球”，E “摸黄球”。
容易看出，事件A 和B 不能同时发生，事件D 和E 也不能同时发生，像这种不能同时发生的两个事件称为互斥事件。在上面的5个事件中，你还能举出哪些互斥事件？
如果两个互斥事件必有一个发生，则称这两个事件为对立事件。按这定义，事件D 和E 就是对立事件，或者说事件D 的对立事件是事件E ，任意事件X 的对立事件记为X 。
对于任意事件X 和Y ，把X 和Y 同时发生的事件记作事件Y X 或者XY ，把X 和Y 至少有一个发生的事件记作事件Y X .按这记号，事件AD 就是摸出1号红球的事件，事件B A 就是摸出1号或2号球的事件。请说出事件()BC D C E B A C B D A ,,,, 的含义。
此例题中还蕴含着一个重要概念——独立。通俗的说，如果一个事件是否发生，并不会使另一个事件变得更容易或更难发生，则称这两个事件是（互为）独立事件。这里并不打算叙述独立的严格数学定义，两个事件是否独立通常可以直观感受。例如事件A 和D 互相独立；但若在此罐中增加一个1号红球，那么A 和D 显然就不独立了（为什么？）
性质1：对于任意事件X 和Y ，有()()()()XY P Y P X P Y X P -+= .
性质2：对于任意事件X 和Y ，有()()()XY P X P Y X P -=.
性质3：对于事件X 和Y 互斥，则()0=XY P .
性质4：若事件n X X X ,,21中任意两个均互斥（简称两两互斥），则 ()()()()n n X P X P X P X X X P +++= 2121。
性质5：对于任意事件X ，有()
()X P X P -=1
性质6：若事件X 与Y 独立，则()()()Y P X P XY P =
性质7：若事件X 与Y 独立，则X 与Y 、X 与Y 、Y X 与均独立。
综合前面的例子不难理解上述性质。另外，熟悉集合的同学不难发现以上内容与集合相关内容的类似之处。实际上，事件本身就是某些试验结果组成的集合，因而这种相似性不足为奇。不熟悉集合的同学可以忽视这种联系，直接学习本讲内容不会受到影响。
基础练习题
1. 地铁每5分钟一趟，到站后停45秒。则进地铁不用等待就能直接上车的概
率是多少？
2. 在△ABC 内任取一点X （假设△ABC 内的每一点被取到的机会均等），则△XBC
的面积小于△ABC 的面积的一半的概率是多少？
3. 甲、乙两人各进行一次射击，每人中靶的概率都是0.6.现将甲中靶的事件记
为A ，乙中靶的事件记为B ，用含A 和B 的表达方式表示下列事件，然后计算其概率：
（1）两人都中靶；（2）至少有一人中靶；（3）甲中靶但乙未中靶。
4.连续投掷一枚骰子两次，将第一次投得的点数为奇数的事件记为A，第二次投得的点数为奇数的事件记为B，用含A和B的表达方式表示下列事件，然后计算其概率：
（1）两次投得的点数乘积为奇数；
（2）两次投得的点数乘积为偶数；
（3）两次投得的点数之和为奇数；
（4）两次投得的点数之和为偶数.
5.抛掷三枚硬币，至少有一枚硬币背面朝上的概率为多少？
试将这个较为复杂的事件表示成为简单的事件，然后计算概率。
6.有三个不透明的盒子，每个盒子分别放着红色、黄色、蓝色的小球各一个，如果从每个盒子中各取一个小球，那么取出的三个小球恰好有两球同色的概率为多少？
试将这个较为复杂的事件表示称为简单的事件，然后计算概率。
能力扩展题
7.地面上画着一组平行线，每间距20厘米就画了一条，往地面上随意扔一个直径为6厘米的圆环。求圆环没有压着任何平行线的概率。
8.某房间的地板由边长为10厘米的正方形的小方格图案拼成，往其上扔一枚1厘米的圆形硬币。求硬币压着地板的图案上的格线的概率。
9.连续掷立方体骰子三次，三次掷得的最大点恰好为5点的概率是多少？
10.在1~10这10个数中等可能的任取一个数，记事件A为所取的数为2的倍数，事件B为所取的数为3的倍数，那么事件AB是什么事件？分别求出
()()()
P,
A
,.事件A和B独立吗？能直观感受到吗？
AB
P
B
P
思考题
在某种草履虫培养液中，草履虫的生长符合以下特点：（1）每只新草履虫要么在一昼夜内直接死亡，要么生长一昼夜后分裂为两只新草履虫，分裂的概率是0.7；（2）每只草履虫是否分裂，对其他的草履虫没有任何影响；（3）培养液的养分足够草履虫永远繁殖。
在这个培养液中投放一只草履虫，那么培养液中的草履虫永远不会灭绝的概率是多少？
张老师，中国农业大学教育学2004年入读数学金牌教师，曾在多家大型教育机构担任数学部主管及数学带头教师。从2009年开始从事清华龙校，101中学，十一学校，北大附中，北大资源等学校的小升初奥数辅导，先后有张博涵等多位同学被点招。张老师
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方法总结
一、如果随机试验有无限种等可能的结果，可以考虑采用几何模型
——用一个恰当的图形代表所有基本结果，图中的每个点代表一种等可能的结果。所采用的几何图形可能是现成的，也可能需要自己构造的。要注意图中的每个点代表的结果是否等肯能。
二、学会将一个事件用其他事件进行表达。根据事件之间的关系来计算复杂事件的概率，往往会比较简单。
三、在概率问题中，“等可能性”、“独立性”需要结合题意或问题背景进行判断。如果问题出现“随机的”或“任意的”做某件事情，意思往往表示“等可能的”做某件事情。忽视“等可能性”或者想当然的承认“独立性”，是解概率问题的常见错误。
课后作业
1.某圆盘绕中心飞速旋转（图中的圆），向其上滴一滴墨汁（视为一点），墨汁
落在阴影部分内的概率是多少？
2.一杯200毫升的清水中恰有一只自由游动的草履虫，倒掉50毫升水后，这
只草履虫依然在杯中的概率是多少？
3.在正方形ABCD中任意取一点X，求∠AXB是钝角的概率。（提示：当点X在
以现代AB为直径的园内时，∠AXB是钝角或平角，在其它位置时∠AXB为直角或锐角）
4.下图中共有9个点，从中任取三个点，这三个点不在同一条直线上的概率是
多少？
5. 从四名男生也2名女生中，任意选3人参加演讲比赛，所选3人中至少有1
名女生的概率是多少？
6. 某国科研合作项目成员有11个美国人，4个法国人和5个中国人组成，现从
中随机取出两位最为成果发布人，则此两人属于不同国家的概率是多少？
7. 概率论是由17世纪的法国著名数学家帕斯卡和费马对赌博的研究而提出的。 当时法国宫廷流行掷骰子的赌博。开始的规则是：玩家将1枚骰子连掷4次，如果6点从未出现，则玩家赢，否则庄家赢。这种规则对庄家有利，还是对玩家有利？
后来规则变得更复杂：玩家同时将2枚骰子连掷24次，如果2个6点 从未同时出现，则玩家赢，否则庄家赢。当人们普遍认为：每次投掷时，2个6点同
时出现的可能性是1个6点出现的可能性的6
1；如果把投掷次数增加6倍，那么2个6点同时出现的可能性就应等于1个6点出现的可能性，即前后两种规则输赢的可能性应该是一样的。但实际情况并非如此，人们百思不得其解，于是请教公认的天才帕斯卡，由此引发帕斯卡和费马对概率的通信研究。
你能解释这种现象吗？