王式安考研概率讲义

概率统计

第一讲

随机事件和概率

考试要求：数学一、三、四要求一致。

了解：样本空间的概念

理解：随机事件，概率，条件概率，事件独立性，独立重复试验

掌握：事件的关系与运算，概率的基本性质，五大公式（加法、减法、乘法、全概率、贝叶斯），独立性计算，独立重复试验就算

会计算：古典概率和几何型概率。

§1随机事件与样本空间

一、随机试验：E

（1）可重复（2）知道所有可能结果（3）无法预知

二、样本空间

试验的每一可能结果——样本点ω

所有样本点全体——样本空间Ω

三、随机事件

样本空间的子集——随机事件A B C

样本点——基本事件，随机事件由基本事件组成。

如果一次试验结果，某一基本事件ω出现——ω发生，ω出现

如果组成事件A的基本事件出现——A发生，A出现

Ω——必然事件Φ——不可能事件

§2事件间的关系与运算

一．事件间关系

包含，相等，互斥，对立，完全事件组，独立 二．事件间的运算： 并，交，差

运算规律：交换律，结合律，分配律，对偶律 概率定义，集合定义，记号，称法，图 三．事件的文字叙述与符号表示

例2 从一批产品中每次一件抽取三次，用(1,2,3)i A i =表示事件：

“第i 次抽取到的是正品”试用文字叙述下列事件： （1）122313A A A A A A ； （2）123A A A ；

（3）123A A A ； （4）123123123A A A A A A A A A ； 再用123,,A A A 表示下列事件：

(5)都取到正品； (6)至少有一件次品； (7)只有一件次品； (8)取到次品不多于一件。

§3 概率、条件概率、事件独立性、五大公式

一．公理化定义 ,,A P Ω (1)()0P A ≥ (2)()1P Ω= (3)1212()()()()n n P A A A P A P A P A =++++ ,i j A A i j =?≠ 二．性质

(1)()0P ?=

（2）1212()()()()n n P A A A P A P A P A =++++ ,i j A A i j =?≠ (3)()1()P A P A =-

(4),()()A B P A P B ?≤ (5)0()1P A ≤≤ 三．条件概率与事件独立性 (1)()

()0,(),()

P AB P A P B A P A >=

事件A 发生条件下事件B 发生的条件概率； (2)()()(),P AB P A P B =事件,A B 独立，

,A B 独立,A B 独立,A B 独立,A B 独立；

()0P A >时,,A B 独立()()P B A P B = ；

(3)1

2

1

2

12(,,,)()()()

1k

k

i i i i i i k P A A A P A P A P A i i i n =≤<<<≤

称12,,n A A A 相互独立,(2321n

n n n n C C C n +++=-- 个等式)

相互独立?

两两独立。 四．五大公式

(1)加法公式：()()()()P A B P A P B P AB =+-

P(A )()()()()()()()B C P A P B P C P AB P BC P AC P ABC =++---+

12(...)n P A A A = …

(2)减法公式：()()()P A B P A P AB -=- (3)乘法公式：()0,()()()P A P AB P A P B A >=

121(...)0n P A A A ->时，12121312121(...)()()()(...)n n n P A A A P A P A A P A A A P A A A A -=

(4)全概率公式：12,...,n B B B 是完全事件组，且()0i P B >，1,i n =

1

()()()n

i i i P A P B P A B ==∑

(5)贝叶斯公式：12,,...,n B B B 是完全事件组，()0,()0,1,,i P A P B i n >>=

1

()()

()()()

j j j n

i

i

i P B P A B P B A P B P A B ==

∑ 1,2,...,j n =

§4 古典型概率和伯努利概率

一．古典型概率

()A n A P A n =

=所包含的样本点数样本点总数

二．几何型概率

()()()A A L P A L ΩΩ=

=

ΩΩ的几何度量

的几何度量

三．独立重复试验

独立——各试验间事件独立，重复——同一事件在各试验中概率不变 四．伯努利试验

试验只有两个结果A A 和——伯努利试验

n 重伯努利试验

二项概率公式 (1)k

k

n k

n C P P -- 0,1,...,k n = ()P A p =

§5 典型例题分析

例1.设,A B 为两事件，且满足条件AB AB =，则()P AB =_______________ .

例2.,A B 为任意两事件，则事件()()A B B C -- 等于事件

()A

A C -

()B ()A B C -

()C ()A B C -- ()D ()A B BC -

例3．随机事件,A B ，满足1

()()2

P A P B ==

和()1P A B = 则有 ()A A B =Ω

()B AB φ=

()C

()1P A B =

()D ()0P A B -=

例4．设()

()01P A P B <<且()()1P B A P B A += 则必有

()A ()()P A B P A B = ()B ()()P A B P A B ≠

()C

()()()P AB P A P B = ()D ()()()P AB P A P B ≠

例5．(06)设A 、B 为随机事件，且()0P B >，()1P A B =，则必有

()A ()()P A B P A > ()B ()()P A B P B > ()C

()()P A B P A =

()D ()()P A B P B =

例6．试证对任意两个事件A 与B ，如果()0P A >，则有

()

(|)1()

P B P B A P A ≥-

）

例7．有两个盒子，第一盒中装有2个红球，1个白球；第二盒中装一半红球，一半白球，现从

两盒中各任取一球放在一起，再从中取一球，问： （1） 这个球是红球的概率；

（2） 若发现这个球是红球，问第一盒中取出的球是红球的概率。

例8．假设有两箱同种零件：第一箱内装50件，其中10件一等品；第二箱内装30件，其中18

件一等品，现从两箱中随意挑出一箱，然后从该箱中先后随机取出两个零（不放回）试求： （1）先取出的零件是一等品的概率p ；

（2）在先取的零件是一等品的条件下，第二次取出的零件仍为一等品的条件概率q .

例9．袋中装有α个白球和β个黑球，分有放回和无放回两种情况连续随机每次一个地抽取，求

下列事件的概率：

（1） 从袋中取出的第k 个球是白球(1)k αβ≤≤+

（2） 从袋中取出a b +个球中，恰含a 个白球和b 个黑球(,)a b αβ≤≤

例10．随机地向半圆{

}

2(,)02x y y ax x <<

-（其中0a >，是常数）内掷一点，则原点和该

点的连线与x 轴的夹角小于

4

π

的概率为____________。

例11．在伯努利试验中，每次试验成功的概率为p ，求在第n 次成功之前恰失败了m 次的概率。

例12．四封信等可能投入三个邮筒，在已知前两封信放入不同邮筒的条件下，求恰有三封信放入

同一个邮筒的概率为_____________。

例13．已知,,A B C 三事件中A B 与相互独立，()0P C =，则,,A B C 三事件

()A 相互独立 ()B 两两独立，但不一定相互独立 ()C 不一定两两独立 ()D 一定不两两独立

例14．10台洗衣机中有3台二等品，现已售出1台，在余下的9台中任取2台发现均为一等品，

则原先售出1台为二等品的概率为

()A

310 ()B 28 ()C 210

()D

3

8

例15．甲袋中有2个白球3个黑球，乙袋中全是白球，今从甲袋中任取2球，从乙袋中任取1

球混合后，从中任取1球为白球的概率

()A

15

()B

25

()C

35

()D

45

例16．10件产品中含有4件次品，今从中任取两件，已知其中有一件是次品，求另一件也是次

品的概率。

例17．两盒火柴各N 根，随机抽用，每次一根，求当一盒用完时，另一盒还有R 根的概率。()R N ≤

例18．（05）从数1，2，3，4中任取一个数，记为X ，再从1，2，…，X 中任取一个数记为Y ，

则(2)P Y ==_____________。

第二讲

随机变量及其概率分布

考试要求： 理解： 离散型和连续型随机变量，概率分布，分布函数，概率密度

掌握： 分布函数性质：0-1分布，二项分布，超几何分布，泊松分布，均匀分布，正态分

布，指数分布及它们的应用

会计算： 与随机变量相联系的事件的概率，用泊松分布近似表示二项分布，随机变量简单函

数的概率分布。

数学一，了解；数学三、四，掌握：泊松定理结论和应用条件

§1 随机变量及其分布函数

一．随机变量

样本空间Ω上的实值函数()X X ω=，ω∈Ω。常用,,X Y Z 表示

二．随机变量的分布函数

对于任意实数x ，记函数()()F x P X x =≤，x -∞<<+∞ 称()F x 为随机变量X 的分布函数；

()F x 的值等于随机变量X 在(],x -∞内取值的概率。

三．分布函数的性质

（1）lim ()0x F x →-∞

=，记为()0F -∞=；

lim ()1x F x →+∞

=，记为()1F +∞=。

（2）()F x 是单调非减，即12x x <时，12()()F x F x ≤ （3）()F x 是右连续，即(0)()F x F x +=

（4）对任意12x x <，有1221()()()P x X x F x F x <≤=- （5）对任意x ，()()(0)P X x F x F x ==--

性质（1）—（3）是()F x 成为分布函数的充要条件。

例 设随机变量X 的分布函数为,0()10,0

Ax

x F x x x ? >?

=+?? ≤?，

其中A 是常数，求常数A 及(12)P X ≤≤。

§2 离散型随机变量和连续型随机变量

一．离散型随机变量

随机变量和可能取值是有限多个或可数无穷多个。 二．离散型随机变量的概率分布

设离散型随机变量X 的可能取值是12,,...,,...n x x x 称(),

1,2,...k k P X x p k ===为X 的概率分布或分布律

分布律性质：（1）0.,

1,2,...k p k ≥=

（2）

1k

k

p

=∑

分布律也可表示为

12

1

2k k

X x x x P

p p p

三．离散型随机变量分布函数

()()k k k k x x

x x

F x P X x p ≤≤===∑∑，

()()(0)P X a F a F a ==--

例1．

123

1113

2

6

X

P

求()F x

四．连续型随机变量及其概率密度

设X 的分布函数()F x ，如存在非负可积函数()f x ，有

()()x

F x f t dt -∞

=?，

x -∞<<+∞

称X 为连续型随机变量，()f x 为概率密度。

概率密度性质： （1）()0f x ≥； （2）

()1f t dt ∞

-∞

=?

；

（3）12x x <，2

1

12()()x x P x X x f t dt <<=

?

；

（4）()f x 的连续点处有'()()F x f x =。

例 已知()f x 和1()()f x f x +均为概率密度，则1f 必满足

()A 11()1,

()0f x dx f x ∞

-∞=≥? ()B 11()1,

()()f x dx f x f x +∞

-∞

=≥-?

()C 11()0,

()0f x dx f x ∞

-∞=≥?

()D

1

1()0,

()()f x dx f x f x ∞

-∞=≥-?

§3 常用分布

一．（0—1）分布

01011X p P p

p

<<-

二．二项分布

(),k k n k

n P X k C p q -==

0,1,...,k n =. 01p << ， 1q p =-

(,)X B n p

三．超几何分布 ()k n k

M N M

n

N

C C P X k C --==，12,...,k l l =， (,,)X H n M N

四．泊松分布 ()!

k

P X k e k λλ-==

，0,1,2,...k = 0λ>

()X P λ

例 设某段时间内通过路口车流量服从泊松分布，已知该时段内没有车通过的概率为

1

e

，则这段时间内至少有两辆车通过的概率为________________。

五．均匀分布 1()0

a x

b f x b a

?≤≤?

=-???其他

[,]X U a b

例 设随机变量ξ在(1,6)上服从均匀分布，则方程2

10x x ξ++= 有实根的概率是_________。

六．指数分布 0()0

x

e x

f x x λλ-?>=?

≤?0

，

0λ>

()X E λ

七．正态分布 22

()21()2x f x e μσπσ

--=

，x -∞<<+∞

2(,)X N μσ ，0σ>

(0,1)X N 标准正态分布

2

21()2x x e ?π-=，x -∞<<+∞，2

2

1

()2t x

x e dt π

-

-∞

Φ=

?

如果2

(,)X N μσ ，则(0,1)X N μ

σ

-

（1）()()x x ??-= （2）()1()x x Φ-=-Φ （3）1(0)2

Φ=

（4）()2()1P X a a ≤=Φ-，

(0,1)X N

例 2

(,)X N μσ ，且(3)0.9987Φ=，则(3)P X μσ-<=___________。

§4 随机变量X 的函数()Y g X =的分布

一．离散型随机变量的函数分布

设X 的分布律()k k P X x p ==，1,2,...k =

则()Y g X =的分布律(())k k P Y g x p ==，1,2,...k = （如果()k g x 相同值，取相应概率之和为Y 取该值概率） 二．连续型随机变量的函数分布

1．公式法：X 的密度(),()X f x y g x =单调，导数不为零可导，

()h y 是其反函数，则()Y g X =的密度为

'()(())()0

X Y h y f h y y f y αβ

?<

??其他

其中(,)αβ是函数()g x 在X 可能取值的区间上值域。 2．定义法： 先求

()()()(())()Y X g x y

F y P Y y P g X y f x dx ≤=≤=≤=?

然后 ()()Y Y f y F y '=。

§5 典型例题分析

例1．设随机变量的分布函数20(1)()0b a x x F x C x ?+>?

+=?? ≤?

求,,a b c 的值。

例2．设随机变量X 的分布律为(),

1,2,...,!

k

P X k C

k k λ===0λ>

试确定常数C 的值。

例3．汽车沿街行驶需要过三个信号灯路口，各信号灯相互独立，且红绿显示时间相等，以X 表

示汽车所遇红灯个数，求X 的分布及分布函数。

例4．（04）设随机变量X 服从正态分布(0,1)N ，对给定的(01)αα<<数u α满足

()P X u αα>=，若()P X x α<=，则x 等于

()A 2u α ()B 12u α- ()C 12

u α-

()D 1u α-

例5．在区间[,]a b 上任意投掷一点，X 为这点坐标，设该点落在[,]a b 中任意小区间的概率与这

小区间长度成正比，求X 的概率密度。

例6．[2,5]X U ，对X 进行三次独立观测，试求至少有两次观测值大于3的概率。

例7．（06）设随机变量X 服从正态分布2

11(,)N μσ，Y 服从正态分布2

22(,)N μσ 且12{1}{1}P X P Y μμ-<>-<，则必有

()A 12σσ< ()B 12σσ> ()C 12μμ< ()D 12μμ>

例8．X 的密度2()()x x

f x Ae x -+=-∞<<+∞，试求常数A 。

例9．设X 服从参数为2的指数分布，证明：随机变量21X

Y e

-=-服从(0,1)U 。

例10．已知X 的密度为1()2

x

f x e -=

，()x -∞<<+∞， 求2Y X =的概率密度。

例11．设随机变量X 的密度()x ?满足()()x x ??-=，()F x 是X 的分布函数，

则对任意实数a 有

()A

()1()a

F a x dx ?-=-?

()B 0

1()()2a

F a x dx ?-=

-? ()C

()()F a F a -=

()D ()2()1F a F a -=-

例12．设随机变量X 的分布函数为()F x ，引入函数1()()F x F ax =，2

2()()F x F x =，

3()1()F x F x =--和4()()F x F x a =+，则可以确定也是分布函数为

()A 12(),()F x F x ()B 23(),()F x F x ()C

34(),()F x F x

()D 24(),()F x F x

例13．设2

(2,)X N σ 且(24)0.3P x <<=，则(0)P X <=____________。

例14．设2

(,)X N μσ ，则随σ的增大，概率()P X μσ-<

()A 单调增大 ()B 单调减小 ()C 保持不变

()D 非单调变化

例15．证明X X -与具有相同密度，则其分布函数()F x 一定满足()()1F x F x +-=。

例16．(,)X U a b ，(0)a >且1(03)4P X <<=

，1(4)2

P X >=， 求：（1）X 的概率密度； （2）(15)P X <<。

第三讲 多维随机变量及其概率分布

考试要求

理解：随机变量及其联合分布，离散型联合概率分布，

边缘分布和条件分布，连续型联合概率密度。 边缘密度和条件密度，随机变量独立性和相关性。 掌握：随机变量的联合分布的性质，离散型和连续型随机变量

§1 二维随机变量及其联合分布函数

一．二维随机变量

设(),()X X Y Y ωω==是定义在样本空间Ω上的两个随机变量， 则称向量(,)X Y 为二维随机变量或随机向量。 二．二维随机变量的联合分布函数

定义：(,)(,)F x y P X x Y y =≤≤ x -∞<<+∞，y -∞<<+∞ 性质：（1）0(,)1F x y ≤≤；

（2）(,)(,)(,)0F y F x F -∞=-∞=-∞-∞=，(,)1F +∞+∞=； （3）(,)F x y 关于x 和关于y 单调不减；

（4）(,)F x y 关于x 和关于y 右连续。

例1．设二维随机变量(,)X Y 的分布函数为(,)F x y ，则随机变量(,)Y X 的分布函数

1(,)F x y =_________________.

三．二维随机变量的边缘分布函数

()()(,)(,)X F x P X x P X x Y F x =≤=≤≤+∞=+∞ ()()(,)(,)Y F y P Y y P X Y y F y =≤=≤+∞≤=+∞

例2．设二维随机变量(,)X Y 的分布函数为

2(1)(1)

0,0(,)0

x y e e x y F x y --?-->>=?

?其他

试求(),()X Y F x F y

§2 二维离散型随机变量

一．联合概率分布

(,),1,2,i j ij

P X x Y y p i j ====

12

11112122122212\i j j i i i ij X Y y y y x p p p x p p p x p p p

性质：（1）0ij p ≥

（2）

1ij

ij

p

=∑

例 设随机变量X 在1，2，3三个数字中等可能取值，随机变量Y 在1X 中等可能的取一整数值，求(,)X Y 的概率分布。

二．边缘概率分布 ()(,)i i i j ij j

j

p P X x P X x Y y p ======∑∑ ，

1,2,...i =

()(,)j j i j ij i

i

p P Y y P X x Y y p ======∑∑ ，

1,2,...j =

三．条件概率分布

()0,j P Y y =>(,)

()()

i j ij i j j j

P X x Y y p P X x Y y P Y y p =====

=

= ， 1,2,...

i = ()0i P X x =>，(,)()()

i j ij j i i i P X x Y y p P Y y X x P X x p =====

=

=

，

1,2,...j =

例 设分布律为

\01

01

0.5

X Y

a

b c ，已知1(10)2P Y X ===，1

(10)3

P X Y ===，求,,a b c

§3 二维连续型随机变量

一．概率密度

(,)(,)x

y

F x y f u dud νν-∞-∞

=?

?

(,)

f x y ——概率密度 性质：（1）(,)0f x y ≥

（2）

(,)1f x y dxdy +∞+∞

-∞

-∞

=??

例 (2),0,0

(,)0x y ke x y f x y -+? >>=? ?其他

， 则k =__________。

二．边缘密度

()(,)X f x f x y dy +∞

-∞

=?

， ()(,)Y f y f x y dx ∞

-∞

=?

三．条件概率密度

1．条件分布 0

()lim ()Y X F y x P Y y x X x εεε+

→=≤-<≤+

()l i m

()X Y F x y P X x y Y y εεε+→=≤-<≤+ 2．条件概率密度

(,)()()Y X X f x y f y x f x =

(,)()()

X Y Y f x y f x y f y =

()0X f x >

()0Y f y >

§4 随机变量的独立性

定义：对任意,x y (,)()()P X x Y y P X x P Y y ≤≤=≤≤

(,)()()X Y F x y F x F y = 离散型 ij i j p p p =

连续型

(,)()()X Y f x y f x f y =

例1．设随机变量X Y 和相互独立，下表列出了二维随机变量(,)X Y 的联合概率分布及关于

X Y 和的边缘概率分布的部分数值，将剩余数值填入表中空白处

1

23

12\18

1816i j

X Y y y y p x x p

例2．判断X Y 与是否独立

（1）

\12311

0031120661113

9

9

9

X Y

（2） 2(1)(1)

0,0(,)0

x y e e x y F x y --?-->>=?

?其他

§5 二维均匀分布和二维正态分布

一．二维均匀分布

1(,)(,)0

x y G f x y A

?∈?

=???其他

，

A G 是的面积

例 设二维随机变量(,)X Y 在xOy 平面上由曲线2

y x y x ==和所围成的区域上服从均匀分

布，则概率11

(0,0)22

P X Y <<

<<=________________。

二．二维正态分布，22

1212(,,,;)N μμσσρ12,0σσ>， 1ρ<

2211222222112212

()2()()()11(,)exp 2(1)21x x y y f x y μρμμμρσσσσπσσρ????----??=

--+????-??-???

?

性质：（1）2

11(,)X N μσ ， 2

22(,)Y N μσ （2）X Y 与相互独立的充分必要条件是0ρ=

（3）2

2

2

2

121212(,2)aX bY N a b a b ab μμσσσσρ++++

§6 两个随机变量函数的分布

一．二维离散型随机变量的函数的概率分布求法与一维类似。

二．二维连续型随机变量的函数(,)Z g X Y =的分布求法，可用公式

(,)()()((,))(,)Z g x y z

F z P Z z P g X Y z f x y dxdy ≤=≤=≤=

??

当Z X Y =+时，()(,)z x

Z F z dx f x y dy +∞

--∞

-∞=?

?

(,)z y

dy f x y dx +∞

--∞

-∞

=

?

?

或

()(,)Z F z f x z x dx +∞

-∞

=-?

(,)f z y y d

y +∞

-∞

=

-?

特别，当,X Y 相互独立时， ()()()Z X Y f z f x f z x dx +∞

-∞=-?

()()()Z X Y f z f z y f y dy +∞

-∞

=

-?

三．简单函数通常包括线形函数，初等函数，最大值，最小值，绝对值等。

例 设,X Y 相互独立，分布函数为(),()X Y F x F y ，试求 （1）max(,)M X Y =的分布函数()M F z ； （2）min(,)N X Y =得分布函数()N F z 。

§7 典型例题分析

例1．从1，2，3三个数字中一次任取两数，第一个数为X ，第二个数为Y ，

记max(,)X Y ξ=，试求(,)X Y 和(,)X ξ的分布律及其边缘分布。

例2．设随机变量101

1114

2

4

i

i x X p

-

，1,2i =，且12(0)1P X X ==，