第八单元植树问题

第七单元数学广角

单元教材分析

教学内容：植树问题

教学目标：

1、通过生活中的事例，初步体会解决“植树问题”的思想方法。

2、初步培养从实际问题中探索规律、找出解决问题的有效方法的能力。

3、经协探索日常生活中间隔排中简单规律的过程，初步认识其中的简单规律。

4、经历观察、猜测、操作验证的过程，学会用数学的观点分析和解决问题。

教学重点：

培养从实际问题中探索规律、找出解决问题的有效方法的能力。

教学难点：

学会用数学的观点分析和解决问题。

课时安排：

植树问题 4课时整理和复习 1课时

共5课时

第1课时两端都植树的情况

教学内容：

教材第106页的内容例1

教学目标：

1、学生通过小组合作、交流，经历将实际问题抽象出植树问题模型的过程，掌握在线段上植树（两端要栽）的情况中“棵数=间隔数+1”的关系。

2、会应用植树问题的模型解决一些相关的实际问题。

3、学生能借助图形理解“棵数=间隔数+1”“总长=间隔数×间距”等间隔数与棵数、总长、间距的关系，感悟数形结合的思想。

教学重点：

学生发现植树的棵数和间隔数之间的关系，并用发现的规律解决实际问题。教学难点：

能把现实生活中类似的问题同化为“植树问题”，建立物体总个数与间隔数之间的关系，并运用植树问题的思想方法解决这些实际问题。

教学准备：

多媒体课件、答题卡。

时间安排：

引入5分钟，探新20分钟，练习10分钟，作业5分钟

教学过程：

一、谈话引入，明确课题

1．同学们，在我们的身边到处都有数学。请你伸出手张开手指，你看到数学了吗？看到了什么。

提示：用数学的眼光看问题（如：5个手指）

4个“空”，这里的空用数学语言说就是手指之间的间隔，也就是说5个手指之间有4个“间隔”

手指数与间隔数有什么关系，手指数比间隔数多1，或间隔数比手指数少1 我们可以用数量关系表示：手指数=间隔数+1

2、我们认识了“间隔” ，知道了手指数=间隔数+1，其实像这样的问题在我们生活中随处可见，在数学中它还有一个名字，就是——植树问题。（板书课题：植树问题）。今天这堂课，我们就一起来研究和学习植树问题。大家有兴趣吗？

二、引导探究。发现“两端要种”的规律

1、动手操作、探究问题：

（1）我们学校门前的道路施工已经完成了，为了美化校园，学校准备在进校门那条路上种上一些树，怎样种比较美呢？是随便种呢还是等距离种呢？（等距离）那需要准备多少棵小树苗呢？要弄清这个问题必须知道些什么？（这条路有多长，间隔多少种一棵）这些信息学校已经收集清楚了，我们一起来看一看。

（2）出示问题1：请同学们看，现在要种一行树，要求每两棵树间隔的距离一样大。如果这条小路全长是100米，每隔5米栽一棵(两端要栽)。我们一共需要准备多少棵树苗呢?你们能不能解决这个难题?

（3）理解题意。

从题中你们了解到了哪些信息呢?

谁能理解“两端要栽”是什么意思?

出示一根小棒：指一指哪里是这根小棒的两端。

题目的意思我们都理解了，现在请同学们自己动笔算一算，一共需要多少棵树苗。

100÷5=20(棵) 20+1=21(棵)

谁能说说100÷5=20求的是什么?

全长100米除以每两棵树之间的距离5米得到的是分成的段数。

2、简单验证。发现规律：

（1）画图实际种一种。

我们从绿化带的这头开始，先在头上种一棵，然后隔5米再种一棵，再隔5米再种一棵，再隔5米再种一棵，照这样一棵一棵地种下去……

同学们，你有什么想法?

一棵一棵地种到100米确实太麻烦了。其实，像这种比较复杂的问题，在数学上还有一种更好的研究方法，大家想知道吗?这种方法就是：遇到比较复杂的问题先想简单的，从简单的问题人手来研究。比如：100米的路太长了，我们可以先在短距离的路上种一种，看一看。

（2）画一画，简单验证，发现规律。

我们把100米改为20米。一齐读题：

同学们在全长20米的小路一边植树，每隔5米栽一棵（两端要栽）一共需要多少棵树苗？

处理：①请你用画图的方法模拟栽一栽，算一算。

想一想，20米里面有几个5米？

②请你在四人小组内相互说一说：一共栽了多少棵树？你是怎样算的？

③谁来说一说怎么算的？20÷5+1=5（棵）你是怎样画的图呢？

④20÷5表示什么？(20里面有4个5米)

这个4相当于“手指问题”中的什么数量？（间隔数）

⑤为什么还要加上1？

⑥讲解：每间隔5米栽1棵，20米里面有4个5米，栽上4棵，因为两端都要栽，最后一棵已经栽好了，最左端还要栽1棵，所以加1棵就是加上最左端的一棵。

（3）独立尝试，解决问题

如果让你来植树，同样全长20米，我们还可以每隔几米栽1棵？（1米、

2 米、4米、10米、20米）

①下面我们全班合作完成：

活动要求：每人选择1种或2种，用自己喜欢的方式（可以算，可以画图研究间隔数和棵数之间的关系？）算出这样栽可以栽多少棵？

②完成表格

③小组活动，师巡视指导

④谁来说一说，你是怎样栽的？还有不同的意见吗？

⑤仔细观察表格，师指间隔数、间距（全长、间距、间隔数、棵数）你发现了什么？想一想（1分钟）同桌相互说一说。

⑥你来说？你认为呢？（请几个说）师板书

两端都栽：间距×间隔数=全长

棵数=间隔数+1 是这样吗？指表格验证。

⑦根据发现的规律快速的完成其他表格。

（4）小结

应用这个规律，前面这个问题，能不能解决了？哪个答案是正确的？

我们通过简单的例子，发现了规律，应用这个规律解决了这个复杂的问题。以后再遇到“两端要栽”求棵树，知道该怎么做了吗？

如果只有一端种，那么棵数和间隔数的关系怎样？如果两端都不种呢？（同学们可以回去好好想想）

在实际生活中，两端都种、只种一端和两端都不种三种情况都存在，我们必须仔细审题，弄清是哪一种情况。今天，我们主要研究的是两端都种的植树问题。

三、方法应用

1、联系生活

其实我们的生活中类似植树问题的现象有很多，你能举例吗？

师：杨老师也找到一些，请大家试一试。

（1）小玲家门口到公路边有一条小路，长40米。小玲要在小路一旁每隔两米种一棵树，一共要种多少棵树？

（2）一座大桥全长1400米，在桥的两边从头到尾每隔20米，有一盏路灯（两端都有），共有多少盏路灯？

2、分层练习

A组：在一条长400米的马路的一边，从头到尾每隔8米种一棵树。一共可以种多少棵树？

B组：从王村到李村一共设有16根高压电线杆，相邻两根的距离平均是200米。王村到李村大约有多远？

（1）选择一题，独立解题。（2）组内交流。（3）集体交流。

四、全课小结。

五、课堂作业：练习二十四第1、2题

板书：

两端都植树的情况

两端都栽：间距×间隔数=全长

棵数=间隔数+1

100÷5=20(棵) 20+1=21(棵)

答：一共要准备21棵树苗。

第2课时两端都不植树的情况

教学内容：

教材第107页内容

教学目标：

1、理解并掌握“植树问题”的基本解题方法，能解决一些实际生活中的与“植树”有关的问题。

2、掌握“植树问题”的第二种情况是“两端都不栽”（即间隔数比棵数多1的情况）

3、培养学生认真审题的良好习惯。

教学重点：

掌握“两端都不栽树的植树问题”的解题方法。

教学难点：

掌握已知棵数和全长示间隔长的方法，以及已知棵数和间隔长求全长的方法。

教学准备：

多媒体课件

时间安排：

引入5分钟，探新20分钟，练习10分钟，作业5分钟

教学过程：

一、问题引入

我们昨天学了两端都植树的问题，先来看一下下面这个问题：

同学们在全长10 米的小路一边植树，每间隔5米栽一棵。（两端不栽）一共要栽多少棵？

间隔数是（ ） 树的棵数是（ ） 在一条直路上种树，当两端都种时，种树棵数＝间隔数＋1。

二、探索新知

在我们日常生活中，植树的情况有很多，有的是沿一条线段植树，有的是沿一条首尾相接的封闭曲线植树。即使是关于一条线段的植树问题，也可能有不同的情况。今天我们就来探讨另外一种情况的植树问题。

1、出示“一刀两断”，同学们，这是什么？出示“一刀两段”，如果换成这个段，谁来解释，这什么意思？

2、既然，一刀是两段，那2刀如果这么切的话（师做动作），那是几段呢？为什么是3段？这是你心里想的，谁能上来在这条线段上画出来给大家瞧瞧？继续，3刀几段？会画吗？每人都动手在1号线段上快速地画一画。切了几刀？有几段？再问，几刀是6段？2号线段上画出来。

3、观察这些线段，你能发现规律吗？

开端

终端

5米 5米

间隔数-1=棵数棵数+1=间隔数总长=间隔数×间隔长（两端都不栽）在生活中，有这种规律的数学问题叫做两端不种的植树问题

4、观看刘翔比赛破记录的录像

假如这块纸板是跑道，如果让你来设计：在110米的跑道上，每10米放一个跨栏，一共可以放多少个跨栏？

引导：起点和终点两端都不放跨栏，这种情况下跨栏数和10米的段数有什么关系？我们可以用线段图来观察分析

说明：跨栏数可以看做“棵数”，段数可以叫做“间隔数”注意让学生说清楚跨栏数和10米的段数的关系

（1）引导列式：

师：如果用算式表示出这种数量关系，应该怎么计算？（学生独立算，指一名板算）

（2）延伸：出示类似情况的线段图（一端植树）

师：如果是一段50米的道路，也像这样子每10米一段，有多少个间隔？中间有多少点数？（根据线段图分析，让学生说）

（3）练习：书第107页做一做。

5、生活延伸：

同学们还可以从我们的生活中找到有这种规律的现象吗？

6、引入课本植树问题

两端不种的植树问题在我们的生活中经常出现，动物园在植树时也遇到了这类问题。

课件出示：大象馆和猩猩馆相距60米。绿化队要在两馆间的小路两旁栽树，相邻两棵树之间的距离是3米。一共要栽几棵树？

注意强调：道路两旁都种的棵数是只在道路一旁种树的2倍

7、小结：观察以上两个问题，你又发现了什么规律？

在一条直路上种树，当两端都不种时，种树棵数＝间隔数－1；

在一条直路上种树，当一端种，一端不种时，种树棵树＝间隔数。

三、巩固练习：

1、在一个1.5米的窗框里，按每15厘米插一根铁管，要插多少根铁管？

2、教室的两根柱子之间摆了6盆花，每3米摆一盆，两根柱子之间的距离有多少米？

3、一根木头长10米，要把它平均分成5段。每锯下一段需要8分钟，锯完一共要花多少分钟？

4、一条 60 米的小路的一端有一个亭子，在这条小路一侧种树，两棵树之间间隔 3 米，可以种多少棵？

5、王师傅把5根一样长的钢筋一共剪成同样长的30段（一次只能剪下1段），他一共剪了多少次？

6、两根栏杆之间每隔3米放一个障碍物，一共放了8个。这两根栏杆之间相距多少米？

四、全课小结

五、课堂作业：练习二十四第3、4题

板书：

植树问题

两端都植树：棵数＝间隔数＋1；

60÷3-1=19（棵） 19×2=38（棵）

两端都不植树：棵数＝间隔数－1；

一端植树：棵树＝间隔数。

第3课时封闭图形的植树问题

教学内容：

教材第108页内容

教学目标：

1、引导学生通过观察、操作等方法，经历探究封闭线路“植数”问题特征、规律、解决方法等的过程，感悟解决问题思路的多样性。

2、初步学会应用“植数”问题的思想方法，解决一些生活中的简单问题。

3、感受数学在生活中的广泛应用，培养应用意识和解决实际问题的能力。教学重点：

从封闭曲线（方阵）中探讨植树问题。发现并掌握“棵数=间隔数”的规律。教学难点：

培养学生多种思路解决问题、逆向解决问题的思路。

教学准备：

多媒体课件

学具准备：

小棒圆形的泡沫板

时间安排：

引入5分钟，探新20分钟，练习10分钟，作业5分钟

教学过程

一、复习旧知，引入新课

1．课件出示复习题。

(1)学校开展校园文化建设，我们班的植树任务是在一条8 m长的小路的一旁，每隔2 m栽一棵树，可以怎么栽？(生根据已学知识，进行汇报)

(2)学生汇报。

①两端都栽：8÷2＋1＝5(棵) 棵数＝间隔数＋1

②两端不栽：8÷2－1＝3(棵) 棵数＝间隔数－1

2．引入新课。

生活中，除了在直线上植树的情况外，还有这样的植树情况。(课件展示在封闭路线上的植树图)把树、花沿着各种封闭图形种植，我们就称之为封闭路线上的植树问题，这节课我们就来研究封闭路线上的植树问题。(板书课题) 设计意图：用复习引入新课，一方面是沟通前知与新知的联系，另一方面是体会不封闭路线上的植树问题与封闭路线上的植树问题之间的联系与区别。

二、动手操作，感受新知

1．从简单的数据入手，动手操作。

师：我们从熟悉的圆开始研究(课件出示教材108页例3)张伯伯准备在圆形池塘周围栽树。池塘的周长是120 m，如果每隔10 m栽一棵，一共要栽多少棵树？

(1)师提出问题：如果我们用画图的方法，在周长是120 m的圆的边上画这么多棵树大家感觉怎样？你们有什么更好的办法吗？

(有已学知识为基础，学生能发现可用较小的数去验证)

(2)师提出要求：我们可不可以像研究两端都栽和两端不栽的情况那样，从较小的数来研究呢？

2．探索模型。

师：这样吧，我们先选择在周长是120 m的圆形池塘周围栽3棵、4棵、5棵，同学们完成下面的表格。

(1)

也可以用画线段图的方法画一画，边栽边数栽了几棵，把圆分成了几等份。

(2)学生以小组为单位动手操作，教师适时的给予帮助和指导。

(3)分组汇报，学生汇报时教师课件动态演示，并在黑板上填表格中的数据。

(4)引导学生仔细观察表格中的数据，栽树棵数和间隔数有关系吗？有什么关系？(学生观察，思考)

(5)要求学生先把自己的发现跟小组内的伙伴们说一说，再进行全班交流，要认真倾听其他小组的汇报，感受不同的验证方法。

教师小结：同学们真爱动脑，这是多么了不起的发现呀！看，通过大家的努力，我们一起发现了封闭路线上的植树问题的规律，就是棵数＝间隔数。让我们用最自豪的声音读一遍。(棵数＝间隔数)

3．应用模型。

师：现在你们能很快地解决例3中一共要栽多少棵树的问题吗？(课件出示例3)

(1)学生读题，分析题意，明确已知条件和所求问题。

(2)学生用发现的规律来解答例3，独立列出算式。

(3)指名汇报算式，并引导学生理解每一步算式的意义。

根据学生的汇报，教师板书：120÷10＝12(棵)

设计意图：在发现规律的过程中，引导学生解释、理解建立的数学模型，并能灵活应用数学模型解决实际问题。

三、联系实际，拓展应用

1．教材108页“做一做”。

(学生读题，分析、理解题意，尝试独立解答，有困难的同学可以借助画图帮助解答，反馈时，说说自己是怎么想的)

2．教材110页7题。

(引导学生认真分析题意，发现此题的规律是一端栽，一端不栽，棵数＝间隔数)

3.请你选择正确的解法：

48名学生在操场上做游戏。大家围成一个正方形，每边人数相等。四个顶点都有人，每边各有几名学生？

A、48÷4=12

B、48÷4－1=11

C、48÷4＋1=13

提示：48÷4表示什么？（表示每边的间隔数）

我们还可以怎样来判断？从结果。根据结果算出最外层人数是不是48。

4.要在五边形的水池边上摆上花盆，使每一边都有4盆花，可以怎样摆放？

（1）讨论可以怎么摆放？（五个角上都摆或都不摆）

（2）要最少应该怎么摆？（必须五个角上都摆）

（3）练习反馈（重点反馈（4－1）?＝15（盆）这种解法）

小结：其实我们在解决正方形、正五边形及正多边形的植树问题时，都可以用（每边棵数－1）也就是间隔数＝棵数去解决。

5.学校楼前摆放了一个方阵花坛。这个花坛的最外层每边各摆放8盆花，最外层共摆了多少盆花？

6.圆形滑冰场的一周全长是150米。如果沿着这一圈每隔15米安装一盏灯，一共需要装几盏灯？

7.学校为了庆祝“六一”儿童节，改变校园环境，想全校范围内征集校园花坛设计方案。有以下三种，请每组同学选择一种你最喜欢的图形，算一算如果每边放三盆花，一共可以摆放多少盆花？再动手画一画，展示在黑板上，看

哪一组做得又好又快！

四、全课总结

通过这节课的学习，你有什么收获？你是用什么方法发现规律的？

五、布置作业

教材111页13、14题。

板书设计

封闭路线上的植树问题

120÷10＝12(棵)

棵数＝间隔数

第4课时练习课

教学内容：

植树问题的练习

教学目标：

1、通过练习，进一步认识间隔排列中的简单规律，并能将这种认识应用到解决简单实际问题中去。

2、能用不同的方法解决问题，提高学生的发散思维能力。

3、体验数学问题的探索性，感受成功的乐趣，增强学习的信心。

教学重点：

理解植树问题的特征，应用规律解决问题。

教学难点：

植树问题基本规律的提炼和方法的应用。

教学准备：

多媒体课件

时间安排：

引入5分钟，探新20分钟，练习10分钟，作业5分钟

教学过程

一、理清脉络，基础练习。

1、例1：一条线段的植树问题并且两端都要栽树的情况

例2：两端都不栽的情形

例3：封闭曲线(方阵)中的植树问题

2、引导学生发现隐含于不同的植树问题中的规律，经历抽取出数学模型的过程。

两端都种：棵数=间隔数+1

一端种一端不种：棵树=间隔数

两端都不种：棵数=间隔数-1

封闭曲线（方阵）中的植树问题：间隔数×边数＝最外层的总数。

3、广场上的大钟5时敲响5下，8秒钟敲完，12时敲响12下，需要多长时间？

分析：此题是敲钟的用时问题，与例1相似。大钟敲5下时，中间共有4个间隔，所以每个间隔是8÷4=2秒。敲12下时，中间有11个间隔，所用时间是11×2=22秒。

4、5路公共汽车行驶路线全长12千米，相邻两站的距离是1千米。一共有几个车站？

分析：这道题与例1相似。12千米长的公共汽车行驶路线每1千米设一个车站，共有12个间隔，而两端都有车站，也就是公共汽车的起点站和终点站，因此共有13个车站。

5、笔直的跑道一旁插着51面小旗，它们的间隔是2米。现在要改为只插26面小旗，间隔应改为多少米？

分析：先要求出跑道的总长，求法和第3题类似。求出总长100米后，再想现在要插26面小旗，也就是有25个间隔，100米被平均分成25份，每个间隔是4米。

二、综合练习

1.从公园通往湖心的小岛有一条长900米的小路，在小路的两侧，从头到尾每隔15米栽1棵树，需要多少棵数？122

2.有12名小学生站成一排，要求在每两名小学生中间放2盆花，需要摆放几盆？

3、城中小学在一条大路两边从头至尾栽树56棵，每隔6米栽一棵。这条大路长多少米？

4、一个鱼塘的周长是1500米，沿鱼塘周围每隔6米栽一棵杨树，需要种多少棵杨树？

5、在圆形的水池边，每隔3米种一棵树，共种树60棵，这个水池的周长是多少米？

6、有一根圆钢长22米，先锯下2米，剩下的锯成每根都是4米的小段，又锯了几次？.

7、有2根木料，打算把每根锯成3段，每段锯开一处需要3分钟，全部锯完需要几分钟？

8、某人到十五层大楼的第十层楼办事，由于电梯维修，只能走楼梯，如果从一层走到第三层需要30秒，请问：用同样的速度往上走到第十层，还要多少分钟？

9、在学校的走廊两边，每隔4米放一盆菊花，从起点到终点一共放了18盆。这条走廊长多少米？

10、在一条20米长的绳子上挂气球，从一端起，每隔5米挂一个气球，一共可以挂多少个气球？

11、在一条长32米的公路一侧插彩旗，从起点到终点共插了5面，相邻两