2017-2018学年人教版数学八年级下册全册教案(含教学反思)

第十六章二次根式

16.1二次根式

1.了解二次根式的概念,理解二次根式有意义的条件.

2.掌握二次根式的性质,并能将二次根式的性质运用于化简.

3.了解最简二次根式的概念,会判断一个二次根式是不是最简二次根式.

经历观察、比较,总结二次根式概念和被开方数取值范围的过程,发展学生的归纳概括能力.

经历观察、比较和应用等数学活动,感受数学活动充满了探索性和创造性,体验发现的快乐,并提高应用的意识.

【重点】会求二次根式中字母的取值范围,理解和掌握二次根式的性质,熟练化简二次根式.

【难点】运用二次根式的双重非负性解决问题,二次根式性质的综合运用.

第课时

使学生理解并掌握二次根式的概念,掌握二次根式中被开方数的取值范围和二次根式的取值范围.

经历观察、比较,总结二次根式概念和被开方数取值范围的过程,发展学生的归纳概括能力.

经历观察、比较和应用等数学活动,感受数学活动充满了探索性和创造性,体验发现的快乐,并提高应用的意识.

【重点】了解二次根式的概念,理解二次根式有意义的条件.

【难点】会求二次根式中字母的取值范围.

【教师准备】教学所需的习题资料.

【学生准备】复习平方根和立方根的有关知识.

导入一:

唐僧师徒在万寿山五庄观做客.猪八戒来到后花园,看见人参果树上结满了人参果,嘴馋得直流口水.正准备伸手摘时,突然一道金光,在同一个枝头上一大一小的两个果子同时掉了下来,噗的一声同时着地.有爱好数学的电视迷算了人参果下落的时间t与h之间的关系式为t=,你觉得他算的正确吗?

要解决这个问题,我们得从二次根式说起.

[设计意图]将数学问题融入到学生喜爱的神话故事中,激发学生学习的兴趣,拉近了数学与学生的距离,为探究本节课奠定了基础.

导入二:

1.教师出示复习题:

(1)4的平方根是;0的平方根是;-16的平方根

是.

(2)5的平方根是;5的算术平方根是.

学生口答:(1)4的平方根是±2;0的平方根是0;-16没有平方根.

(2)5的平方根是±;5的算术平方根是.

2.教师出示教材第2页“思考”题:

用带有根号的式子填空,看看写出的结果有什么特点:

(1)面积为3的正方形的边长为,面积为S的正方形的边长

为.

(2)一个长方形的围栏,长是宽的2倍,面积为130 m2,则它的宽为

m.

(3)一个物体从高处自由落下,落到地面所用的时间t(单位:s)与开始落下时离地面的高度h(单位:m)满足关系h=5t2.如果用含有h的式子表示t,那么t 为.

学生思考后回答,教师补充得出答案:(1),;(2);(3).

[设计意图]以回顾练习和思考的形式引导学生回忆,巩固所学知识,并引入新课.

1.二次根式的概念

思路一

教师引导学生说出各式的意义,概括它们的共同特征:都表示一个非负数(包括字母或式子表示的非负数)的算术平方根.

讨论:你能用一个式子表示一个非负数的算术平方根吗?

学生小组讨论,全班交流.教师由此给出二次根式的定义:

一般地,我们把形如(a≥0)的式子叫做二次根式,“”称为二次根号.

追问:在二次根式的概念中,为什么要强调“a≥0”?

教师引导学生举出例子说明,经过讨论知道二次根式被开方数必须是非负数.

[设计意图]让学生在填空过程中初步感知二次根式与实际生活的紧密联系,体会研究二次根式的必要性,再让学生体会由特殊到一般的过程,培养学生的概括能力,最后通过讨论二次根式中被开方数a≥0,进一步加深学生对二次根式

被开方数必须是非负数的理解.

思路二

像,,,这样的式子有什么共同特点呢?

学生观察,交流发现:一是从形式上看,都含有二次根号;二是被开方数的取值范围有限制:被开方数必须是非负数.

教师进一步明确:形如(a≥0)的式子叫做二次根式.

引导学生说一说对二次根式的认识:

(1)表示a的算术平方根;(2)a可以是数,也可以是代数式;(3)从形式上看,

含有二次根号;(4)a≥0,≥0.

[设计意图]加深对二次根式的理解,进一步明确二次根式的非负性.

2.例题讲解

下列各式中,哪些是二次根式?并指出二次根式中的被开方数.

,,,(x≥3),(y>-1),,,(xy>0).

引导学生观察根指数和被开方数分析发现:显然不是二次根式(因为它的根指数是4,含有四次根号),其余式子都含有二次根号,关键看根号下的被开方数是否为非负数.若根号下是负数,则二次根式没有意义.

解:,(x≥3),,(xy>0)是二次根式.其中被开方数依次是7,x-3,(x+1)2,.

[解题策略]①当被开方数形式是含有字母的代数式时,可以把这个代数式看成一个整体.如的被开方数是x2+2015.②当被开方数形式比较复杂时,可以将这个被开方数适当化简.如,因为(-3)2-7=9-7=2,所以它的被开方数其实就是2.

【变式训练】下列各式中,一定是二次根式的是()

A. B.

C. D.(其中a<0)

〔解析〕的被开方数-9<0,的被开方数m-1可能是负数,的根指数是3,所

以选项A,B,C中的式子都不是二次根式.含有二次根号,并且无论a取什么负数,被开方数a2+8都是正数,所以一定是二次根式.故选D.

(教材例1)当x是怎样的实数时,在实数范围内有意义?

引导学生从概念出发进行思考:二次根式的被开方数为非负数,则x-2≥0.解:由x-2≥0,得x≥2.

当x≥2时,在实数范围内有意义.

【变式训练】若式子1+有意义,则x的取值范围是.

〔解析〕根据二次根式的性质可知:x+1≥0,即x≥-1;又因为分式的分母

不能为0,所以x的取值范围是x≥-1且x≠0.故填x≥-1且x≠0.

[易错分析]容易产生只考虑到x+1≥0,而忽略了x≠0的错误.

[知识拓展](1)二次根式的定义是从代数式的结果和形式上界定的,必须含有二次根号“”,如,都是二次根式,而就不是二次根式了.(2)在二次根式中,被开方数可以是具体的数,也可以是含有字母的单项式、多项式、分式等代数式.(3)形如b(a≥0)的式子也是二次根式,其表示的是b与的乘积,如3表示

33,-表示-3,但是不能写成3的形式.(4)当a≥0时,表示a的算术平方根.也

就是说,有意义的条件是a≥0.(5)当a是非负数时,(其中a≥0)本身也是一个非负数.

师生共同回顾本节课所学主要内容:

1.已知下列各式:,(a≥2),,,其中二次根式的个数是()

A.1个

B.2个

C.3个

D.4个

解析:的被开方数不是非负数,所以不是二次根式,其余3个都是二次根式.故选C.

2.(20142南通中考)若在实数范围内有意义,则x的取值范围是()

A.x≥

B.x≥-

C.x>

D.x≠

解析:是二次根式,因此2x-1≥0,在分母上,因此≠0.则解得x>.故选C.

3.当x=时,二次根式有最小值,其最小值是.

解析:∵二次根式有意义,∴x+3≥0,即x+3的最小值是0,∴x+3=0,解得x=-3.

答案:-30

4.求下列各式中字母a的取值范围:

(1);(2);(3);(4).

解:(1)由a+1≥0,得a≥-1.∴字母a的取值范围是大于或等于-1的实数.

(2)由>0,得1-2a>0,即a<.∴字母a的取值范围是小于的实数. (3)因为无论a取何值,都有(a-3)2≥0,所以字母a的取值范围是全体实数. (4)因为无论a 取何值,都有|a|+1>0,所以字母a的取值范围是全体实数.

第1课时

1.二次根式的概念

2.例题讲解

例1例2

一、教材作业

【必做题】

教材第3页练习第1,2题;教材第5页习题16.1第1题.

【选做题】

教材第5页习题16.1第7题.

二、课后作业

【基础巩固】

1.若是二次根式,则下列结论正确的是()

A.x≥0,y≥0

B.x>0,y>0

C.x,y同号

D.≥0

2.已知实数x,y,m满足+=0,且y为负数,则m的取值范围是()

A.m>6

B.m<6

C.m>-6

D.m<-6

3.如果式子+有意义,那么在直角坐标系中点A(a,b)的位置在()

A.第一象限

B.第二象限

C.第三象限

D.第四象限

4.(20152遵义中考)使二次根式有意义的x的取值范围是.

【能力提升】

5.当x 时,+在实数范围内有意义.

6.(20152攀枝花中考)若y=++2,则x y=.

7.已知x,y为实数,且满足-(y-1)=0,求x2016-y2016的值.

8.已知实数a满足+=a,求a-20142的值.

【拓展探究】

9.若x,y,n满足关系式+=2,试确定m的值.

【答案与解析】

1.D(解析:依题意得≥0,即≥0.故选D.)

2.A(解析:根据题意,结合非负数的性质,得=0,=0,所以解得因为y是负数,所以6-m<0.解得m>6.故选A.)

3.A(解析:根据二次根式有意义的条件,易得a>0,b>0.故选A.)

4.x≥(解析:要使二次根式有意义,则需满足5x-2≥0,∴x≥.)

5.≥-且x≠-1(解析:要使+在实数范围内有意义,必须同时满足的被开方数

2x+3≥0和的分母x+1≠0,即由①得x≥-,由②得x≠-1.∴当x≥-且x≠-1时,+在实数范围内有意义.)

6.9(解析:由题意得x-3≥0,3-x≥0,得x=3,故y=2,∴x y=9.)

7.解:∵-(y-1)=0,∴+(1-y)=0.∴x+1=0,1-y=0.解得x=-1,y=1.∴x2016-y2016=(-1)2016-12016=1-1=0.

8.解:由a-2015≥0,得a≥2015,故已知式子可化为a-2014+=a.∴=2014.两边平方并整理,得a-20142=2015.

9.解:由等式的右边,根据二次根式有意义的条件得x-2013+y≥0且2013-x-y ≥0,得x+y≥2013且x+y≤2013,所以x+y=2013.所以+=0.所以①-②,得

x+2y=2.又x+y=2013,两式相加,得2x+3y=2015.所以m=2015.

我们经常说过程比结果更重要.我对整节课的设计力求符合学生的认知特点,想方设法创设生动活泼的教学情境,使学生始终处在好奇、好学的高亢的学习情绪当中,同时,整节课努力做到先有框架,中有深化,后有突破.学生学有情趣,学有所获,并由衷感到:学习是快乐的事,学会了更是幸福的事.

在教学中,我适当增加了有拓展性的练习,层层递进,想使不同的学生得到不同程度的发展和提高,但受到教材中练习题的局限,就当a是非负数时,本身也是一个非负数的练习没有落实到位.

若x,y为实数,且满足y=+-3,求x+2y的值.

〔解析〕根据二次根式的被开方数不小于0,求得x,y的值,然后将其代入所求的代数式并计算.

解:由二次根式有意义的条件得即x2-4=0,所以x=±2.

当x=±2时,y=-3.

①当x=2,y=-3时,x+2y=2+23(-3)=-4;

②当x=-2,y=-3时,x+2y=-2+23(-3)=-8.

所以x+2y的值是-4或-8.

[解题策略]根据已知得出并得到x=±2是解决本题的关键.

已知(3a-6)2+=0,求b a的值.

〔解析〕根据非负数的性质:若两个非负数的和为0,则这两个非负数的值都为0,解出a,b的值,再代入原式中计算.

解:因为(3a-6)2与都是非负数,且它们的和为0,

所以3a-6=0,b-3=0,即a=2,b=3.

此时b a=32=9.

[解题策略]本题考查了非负数的性质,初中阶段有三种类型的非负数:(1)绝对值;(2)偶次方;(3)二次根式(算术平方根).当它们的和为0时,必须满足其中的每一项都等于0.根据这个结论可以求解这类问题.

第课时

1.理解()2=a(a≥0)和=a(a≥0),并利用它们进行计算和化简.

2.用具体数据结合算术平方根的意义推出()2=a(a≥0)和探究=a(a≥0),会用这个结论解决具体问题.

3.了解代数式的概念.

在明确()2=a(a≥0)和=a(a≥0)的算理的过程中,感受数学的实用性.

通过运用二次根式的性质化简的相关计算,解决一些实际问题,培养学生解决问题的能力.

【重点】掌握二次根式的性质,并能将二次根式的性质运用于化简.

【难点】能运用二次根式的性质化简.

【教师准备】教学所需的习题资料.

【学生准备】自学教材第3~4页的内容.

导入一:

教师出示问题:

先化简再求值:当a=9时,求a+值,甲、乙两人的解答如下:

甲的解答为:原式=a+=a+(1-a)=a+1-a=1;乙的解答为:原式=a+=a+(a-1)=2a-1=17.两种解答中,谁的解答是错误的呢?

本节课,我们一起来学习二次根式的性质,然后就可以解决上面的问题了.

[设计意图]以问题设疑,发挥问题导向作用,激发学生的求知欲,为本节课学习打下基础.

导入二:

1.什么叫二次根式?

2.当a≥0时,叫什么?当a<0时,有意义吗?

学生口答,老师点评.

通过前面的学习,我们知道了二次根式具有双重非负性.今天我们主要学习一些二次根式的其他性质.

[设计意图]复习旧知导入新知,让本节课自然过渡,为本节课学习奠定了基础.

思路一

1.二次根式的性质1:()2=a(a≥0)

提问:你能解释下列式子的含义吗?

()2,()2,,()2.

学生口述,教师根据情况评价.

()2表示4的算术平方根的平方;()2表示2的算术平方根的平方;表示的算术平方根的平方;()2表示0的算术平方根的平方.

追问:根据算术平方根的意义填空,并说出得到结论的依据.

()2=;()2=;=;()2=.

学生独立完成填空后,让学生展示其思维过程,说出得到结论的依据.

教师引导学生说出每一个式子的含义.

是4的算术平方根,根据算术平方根的意义,是一个平方等于4的非负数,因此有()2=4.是2的算术平方根,根据算术平方根的意义,是一个平方等于2的非负数,因此有()2=2. 是的算术平方根,根据算术平方根的意义,是一个平方等

于的非负数,因此有=.表示0的算术平方根,因此有()2=0.

讨论:从以上的结论中你能发现什么规律?你能用一个式子表示这个规律吗?

引导学生归纳得出二次根式的性质:一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数,即()2=a(a≥0).

(教材例2)计算:

(1)()2;(2)(2)2.

学生独立完成,两名学生板演,再集体订正.

〔解析〕(1)直接运用()2=a(a≥0)化简即可.(2)运用幂的性质(ab)2=a2b2.解:(1)()2=1.5.

(2)(2)2=223()2=435=20.

[解题策略]把底数看成根号外因数与二次根式的积,按照积的乘方计算即可.

【变式训练】计算:(-2)2.

〔解析〕把原式的底数看成是-2与的积,先利用(mn)2=m2n2,再根据()2=a(a ≥0)化简.

解:(-2)2=(-2)2()2=433=12.

[知识拓展]形如(x)2的关于二次根式的运算可结合(ab)2=a2b2得到(x)2=x2a.

2.二次根式的性质2:=a(a≥0)

提问:你能解释下列式子的含义吗?

,,,.

教师引导学生说出每一个式子的含义.

表示2的平方的算术平方根;表示0.1的平方的算术平方根;表示的平方的算术平方根;表示0的平方的算术平方根.

追问:根据算术平方根的意义填空,并说出得到结论的依据.

=;=;=;=.

学生独立完成填空后,让学生展示其思维过程,说出得到结论的依据.

∵4=22,∴=2,因此=2;∵0.01=0.12,∴=0.1,因此=0.1;∵=,∴=,因此

=;∵0=02,∴=0,因此=0.

讨论:从以上的结论中你能发现什么规律?你能用一个式子表示这个规律吗? 引导学生归纳得出:一个非负数的平方的算术平方根等于这个数.即=a(a≥0).

(教材例3)化简:

(1);(2).

引导学生根据=a(a≥0)进行分析:(1)因为16=42,所以=,再计算即可得出结果.(2)因为(-5)2=52,所以=.

学生独立完成,集体订正.

解:(1)==4.

(2)==5.

[知识拓展](1)中的a的取值范围可以是任意实数,即不论a取何值,一定有意义.(2)化简时,一定要弄明白被开方数的底数a是正数还是负数,若是正数或0,则等于a本身,即=a(a≥0);若a是负数,则等于a的相反数-a,即=-

a(a<0).

小组讨论:()2和有什么关系?

学生自由讨论,教师根据情况引导学生从式子的意义和结果两个方面去分析,得出:

()2表示a的算术平方根的平方,()2=a(a≥0);表示a的平方的算术平方

根,=|a|=

[设计意图]让学生经历从特殊到一般的过程,概括出二次根式的性质2,培养学生抽象概括的能力,并通过例题练习及时巩固二次根式的性质2.

思路二

请同学们阅读和自学课本第3~4页的内容,并思考下面的问题:

1.(1)填

空:()2=;()2=;=;()2=;=;()2= .

(2)猜想当a≥0时,()2=.

2.(1)观察下列各式的特点,找出各式的共同规律,并用表达式表示你发现的规律.

==;==;==;==;….

通过观察,你得到的结论是什么?试着说一说.

(2)发现:当a≥0时,=,当a<0时,=.

学生用充足的时间学习后,交流学习情况,教师分析并讲解.

1.(1)根据算术平方根与乘方运算的关系,得=2,所以()2=22=4;=4,所以

()2=42=16;=,所以==.根据以上规律,可以得出()2=2;=;()2=0.

(2)从第(1)问可以发现,一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数,即()2=a(a≥0).

2.先计算==2;==2;==3;==3;….可以看出:一个正数的平方的算术平方根等于这个数,一个负数的平方的算术平方根等于这个数的相反数.于是当a≥0时,=a,当a<0时,=-a.

归纳并板书:

二次根式的性质:1.()2=a(a≥0);2.=a(a≥0).

提问:()2和有什么关系?

学生自由讨论,教师根据情况引导学生从式子的意义和结果两个方面去分析,得出:

()2表示a的算术平方根的平方,()2=a(a≥0);表示a的平方的算术平方

根,=|a|=

3.代数式

提问:回顾我们学过的式子,如a+b,-ab,,-x3,,(a≥0),这些式子有哪些共同特征?

学生概括式子的共同特征,得出代数式的概念.

这些式子都是用基本运算符号把数或表示数的字母连接起来的式子,我们称这样的式子为代数式.

学生举出一些例子,并书写,教师针对学生书写出现问题的地方进行指导.

4.例题讲解

(补充)计算:(-5)2,,-.

〔解析〕利用()2=a(a≥0)和=a(a≥0)化简,注意被开方数的符号.

解:(-5)2=(-5)23()2=2532=50.

==.

-=-=-.

(补充)比较2与3的大小.

〔解析〕直接比较这两个二次根式的大小不太容易,由于这两个二次根式平方后得到两个有理数,因此可以通过比较这两个二次根式平方的大小来比较它们的大小.

解:∵(2)2=223()2=44,(3)2=323()2=45,

又∵44<45,且2>0,3>0,

∴2<3.