第1章-等离子体动力学方程

第第一一章章等等离离子子体体动动力力学学方方程程

§1.1 引言

在单粒子理论中，认为等离子体是由一些无相互作用的带电粒子组成的，而且带电粒子仅在外电磁场作用下发生运动。但是，我们知道：等离子体与通常的中性气体的最大差别在于带电粒子的运动能够产生电磁场，反过来这种电磁场又要影响带电粒子的运动，这种电磁场称为自恰电磁场。因此，带电粒子的运动不仅受外电磁场的作用，而且还要受自洽场的影响。由于这种原因，用单粒子理论来描述等离子体的行为有很大的局限性，有必要用一种能够反映出带电粒子相互作用的理论来描述等离子体的状态，这就是等离子体动力学理论。

基本上有两种方法来描述等离子体动力学过程。一种是BBGKY （Bogoliubov，Born，Green，Kirkwood 及Yvon）的方程链方法。我们已经在《非平衡态统计力学》课程中对该方法进行了较详细地介绍，它是从系统的正则运动方程出发，通过引入系综分布函数及约化分布函数，可以得到一系列关于约化分布函数的方程链，即BBGKY方程链。该方程链是不封闭的，为了得到动力学方程，必须对该方程链进行截断。另一种方法是由前苏联科学家Klimontovich引入的矩方法。在该方法中，同样可以得到一系列关于各阶矩函数的不封闭的方程链。用这种方法描述一些较复杂的等离子体系统，例如有外电磁场存在，是非常有用的。该方法自60年代被提出后，一直在不断的发展。本章将利用后一种方法描述等离子体的动力学过程。可以说，等离子体动力学是把等离子体的微观状态描述引入宏观状态描述的一个桥梁。等离子体的微观状态可用正则运动方程来描述。如果系统有N个粒子组成，则有6N个运动方程。如此多的方程是难以进行求解的，而且包含的微观信息太多。但是

我们知道等离子体的宏观状态只需要为数不多的状态参量来描述，如温度、密度、流速及电磁场等。如何把等离子体的微观状态描述向宏观状态描述过渡，这正是等离子体动力学的任务。 §1.2 Klilmontovich 方程

一个带电粒子在t 时刻的微观状态可以用其位矢)(t X

及速度)(t V

来描述。在经典力学中，可以引入六维相空间（x,v

）来描述粒子的微观状态，每一个粒子在t 时刻的状态对应于六维相空间的一点。对于第i 个带电粒子，它在相空间的密度为

(,,)[()][()]i i i N x v t x X t v V t δδ=--

(1.2.1)

其中[()]()()()i i i i x X t x X y Y z Z δδδδ-≡---

是 Dirac delta 函数。

对于等离子体中第s 类粒子有0N 个，则在相空间中其密度为

01

(,,)[()][()]N s i i i N x v t x X t v V t δδ==

--∑

(1.2.2)

（1.2.2）式表示在相点（x ,v

）处观察N 0个粒子的运动，若它们均不“占据”该点，则对应的相密度为零；若其中某一个粒子位于该点，则相密度为无穷大。因此，函数s N (x ,v,t)

具有奇异性，它充分地体现出“点粒子”的性质。函数

s N (x ,v,t)

是由Klimontovich 引入的，有时称它为精确分布函数。因为它与用

粒子的坐标及速度描述粒子的状态是等价的，没有做任何统计近似。 下面我们建立相函数s N (x ,v,t)

所满足的方程。第s 类粒子中第i 个粒子的运动规律服从正则运动方程:

i i X (t)V (t)=

(1.2.3)

m m s i s i i i m V (t)q [E (X ,t)V (t)B (X ,t)]=+?

(1.2.4)

其中s s m ,q 是s 类粒子的电荷及质量。m m

E ,B 分别是总电场和总磁场，既包括外

电磁场和带电粒子运动产生的自恰电磁场。电磁场随时空的演化遵从Maxwell 方程组：

m m

m m m m m m E (x ,t)

(x ,t)/B (x ,t)

E (x ,t)

B (x ,t)/t

B (x ,t)

(J (x ,t)E (x ,t)/t)

ρεμε??=??=??=-????=+??

000

(1.2.5) 其中,με00是真空磁导率和真空介电常数，m

m

,J

ρ 分别是微观电荷密度及微观电

流密度：

m

s s s

m s s s

(x ,t)q dvN (x ,v,t)

J (x ,t)q dvvN (x ,v,t)

ρ=

=

∑

?∑

?

(1.2.6) In order to obtain an exact equation for the evolution of a plasma one can take the time derivative of the density s N ,

from (1.2.2)

s N i x

i i i 1N i v

i i

i 1

N (x ,v,t)

t X [x X (t)][v V (t)]V [x X (t)][v V (t)]δδδδ==?=

?-??---??--∑

∑

(1.2.7a) where we have used the relations

f [g(t)]f f (a b)

f (a b)

g,

t

g a

b

???-?-=?=-

????

and where x

y

z

x

x y z v v

v v (,,),(,,)?≡?≡????≡??? . Using (1.2.4) we can write

i i X ,V

in terms of m m i V ,E ,B

, whereupon (1.2.7a) becomes